数学分析第二章数列极限

1、数学分析教案第二章数列极限教学目的：1 .使学生建立起数列极限的准确概念，熟练收敛数列的性质；2 .使学生正确理解数列收敛性的判别法以及求收敛数列极限的常用方法，会用数列极限的定义 证明数列极限等有关命题。要求学生：逐步建立起数列极限的斯概念.深刻理解数列发散、单调、有界和无穷小数列等有关概念.会应用数列极限的E 定义证明有关命题，并能运用 -浦语言正确表述数列不以某定数为极限等相 应陈述；理解并能证明收敛数列、极限唯一性、单调性、保号性及不等式性质；掌握 并会证明收敛数列的四则运算定理、迫敛性定理及单调有界定理，会用这些定理求某 些收敛数列的极限；初步理解柯西准则在极限理论中的重要意义，并逐

2、步学会应用柯 西准则判定某些数列的敛散性；教学重点、难点：本章重点是数列极限的概念；难点则是数列极限的 E-"定义 及其应用.教学时数：14学时§ 1数列极限的定义教学目的：使学生建立起数列极限的准确概念；会用数列极限的定义证明数列极 限等有关命题。教学重点、难点：数列极限的概念，数列极限的N定义及其应用。教学时数：4学时一、引入新课：以齐诺悖论和有关数列引入一一二、讲授新课：（一）数列：1数学分析教案1 .数列定义一一整标函数.数列给出方法：通项，递推公式.数列的几何意义.2 .特殊数列：常数列，有界数列，单调数列和往后单调数列.（二） 数列极限：以露=1寸口匚为例.J

3、用定义（描% =以的“ 5拉”定义）定义（数列&J收敛的“ eW定义）注：1.关于£：日的正值性，任意性与确定性，£以小为贵；2.关于M : N的存 在性与非唯一性,对却只要求存在,不在乎大小.3.同/ 二厚的几何意义.（三）用定义验证数列极限：讲清思路与方法.例 1.1: - IJ w K例2如/ = 0,|夕< L左1c 1-2理'一蔺十 32例 3 lj ,一me-42盟 +1 3例 4 Ln . - Je 4*证 Y1- I一：一神-1）（拓-2）守 心§3注意到对任何正整数 匕足2上时有?2-k> ,就有a /6黯6内跑 6将

4、, 42 1 , 10 -丁 = ,一一4*27库(用-1)(对-2) 27 (« -1)(« - 2)27 / 27 n 总于是，对 Vm。？取 M = max 4 , J : 例 5.：-、；,一证法一 令 物-1 = %,有口再0.用Bernoulli不等式，有21_ -1值三（1十口尸21十内。0三1十盟口" -1）, 或。口* -1 - n n证法二（用均值不等式）。短7尸-1/"7 7=匚巴.V 口Tk迄 注证 首2 2时，QF-'NW石产_"2石+x-21.2石-2库库 J，1 M例7 设lim /三4，A三一1 证明扁4

5、=4 *-*帮甘ZB（四）收敛的否定：定义（lirn % m。的"曰-N ”定义）.定义（数列4）发散的“ £一2'定义）.例8验证ta尘1H 0.（五）数列极限的记U :1. 满足条件“七VE0,用>N =>彩-疗|< E "的数列2. 改变或去掉数列的有限项，不影响数列的收敛性和极限.重排不改变数列 敛散性：3. 数列极限的等价定义：中£0,叫与内2 M =>%-白设立三 g>0）D"对W <3心D3:任有理数 宫。，D* : 对任正整数 m, 3AT, M => -Q < , m（六

6、）无穷小数列：定义.Th2.1 （数列极限与无穷小数列的关系）.§ 2 收敛数列的性质（4学时）教学目的：熟悉收敛数列的性质；掌握求数列极限的常用方法。教学重点、难点：迫敛性定理及四则运算法则及其应用，数列极限的计算。教学时数：4学时1 .收敛数列的性质：1. 极限唯一性：（证）2. 收敛数列有界性收敛的必要条件：（证）3. 收敛数列保号性:Th 1 设Inn=0, lim & =五若口上，则HV, m /盟 > 瓦=> %>久一（证）系1 设&若mH,也 > 用时有匕戈< % ,=值Wb.（注意 RT心HT3“=”；并注意a三方和8 =

7、 0的情况）.系2 设邮二/ > 0 （或。）.则对引0厂口（或/厂< Q）, W 3 K->D也> M = %力（或%（埒系3 若加曳=30,则对TO/二储1, 3N,中厚 > 环=> |距|）厂.绝对值收敛性见后4. 迫敛性（双逼原理）:Th 2 （双逼原理）.（ 证）5. 绝对值收敛性：（ 注意反之不正确）.Th 3 lirn 白川=4,二 hm | 2* = I aUTo ®IStM 力Ern % = 0, O 面 | % = 0.（证）ax B mt"'7系设数列 %和4收敛，则Inn maz ax , ） - tnax

8、 Ltn % , lun 方2），km nun an ,瓦 = mm hm 淳罡，hm ） S-J-»B->«& HTw（证明用到以下6所述极限的运算性质）.6. 四则运算性质：Th 4 （四则运算性质，其中包括常数因子可提到极限号外）.（ 证）7. 子列收敛性：子列概念.Th 5 （数列收敛充要条件） 4 收敛=4 的任何子列收敛于同一极限.Th 6 （数列收敛充要条件）怎收敛子列g时1和%制收敛于同一极限.Th 7 （数列收敛充要条件） %收敛子列%、 口就和森就）都收敛.（简证）2 .利用数列极限性质求极限：两个基本极限：Inn = Or lini/nO

9、.（ 一 X Twh "知Tg11 .利用四则运算性质求极限：届一.% * 1 司 +10例 1 : .口-101一 2再2程十5关于附的有理分式当 6时的极限情况12 -例 3,：7,-.：' 4 lun 一4 1HlE 口* 十 12.双逼基本技法:大小项双逼法，参阅4P53.例5求下列极限：(1)二-；，； i-t i； ,厂 I网 1 4 1 1(3) Inn .十,十, * +.T6-二石3+3 加十!例 61：- ,1>'(公一 二/二： _”1ETW弟例7 西)0, (1。4灯 求证lim +：+域 + + 靖 =ma 町，,厘J, M T-例8

10、设曲1 3存在.若lim方=。， 则由口 = 0三.利用子列性质证明数列发散：一一，门制1-1尸川例9 证明数列 一3：十发散.§ 3 收敛条件（4学时）教学目的：使学生掌握判断数列极限存在的常用工具。教学要求：1 .掌握并会证明单调有界定理，并会运用它求某些收敛数列的极限;Cauchy 准贝U2 .初步理解Cauchy准则在极限理论中的主要意义，并逐步会应用 判断某些数列的敛散性。教学重点：单调有界定理、Cauchy收敛准则及其应用教学难点：相关定理的应用。教学方法：讲练结合。一.数列收敛的一个充分条件Th 1（单调有界定理）.（例1 设值 =1十十二-4,-*2W¥例

11、2 ，二，二二.一.一单调有界原理：回顾单调有界数列.证）,9 2 2）,证明数列%收敛.”,2 + 2斗二+、后（即重根号），证明数列I.f O >洋3例求亶% （计算品的逐次逼近法, 4 单调有界，并求极限.亦即迭代法）.解由均值不等式，有“.=注意到对v乩有七之而，有1.12, I-Ho收敛的充要条件Cauchy收敛准则:1.Cauchy列:2.Cauchy收敛准则:Th 2数列 4收敛,台,；0,遮 V储小。瓦寺|绘（或数列 /收敛，勺VQQ,三葡"疗配VpsN.n 鼻Th 2又可叙述为：收敛列就是 Cauchy列.（此处“就是”理解为“等价于"）.（简证必要

12、性）例4证明：任一无限十进小数 4三0也勾（0< < 1）的不足近似值所组 成的数列瓦瓦.瓦瓦士瓦J. 4 bxwr 10 10a 1' 10 1。：10* ?收敛.其中 Ei12，、g）是QL，,9中的数.瓦上瓦44为证令4 十'十"1-10 10210*io* ' ioa试证明数列例 5 设 0gL 4 g sin q + / sin + +/ sm 5.仆）收敛.证明留在下节进行.11 1三.关于极限 11ml十一 =«: (<? *2.718285例6例7数列）!单调有界证法欣赏1（楷 7）!四.Riemann （18261

13、866）最先给出以Cauchy （1789 1857）最先给出这一极限,下证法证法一 （Riemann最先给出这一证法） 设/ =11+11应用二项式展开，得1寸用（用-1）1十理（再-1）（碎-2）1寸 十并（用-1）3 2 11n 2!"31 府川 总”注意到（J |J 1 J且小+i比五多一项i-_L典+1 胃1I *LE）a=x）勺，即/.1十1十工十工十,，.十工<i+i+_L + _L十.，十J2! 3! 加V2 力3（典一1）花.11 fl 111一 1 一 =1 + 14+ - - 4,，4一一l + l + - - < 3.=3用有界.2J （2引 1-

14、1叫 数学分析教案14综上，数列 “单调有界.评U:该证法朴素而稳健，不失大将风度.证法二（利用Bernoulli不等式）注意至U Bernoulli不等式（1+旷21中叫 S>7. m为正整数）， 有1 + - n+114-网41rrnxtl0+1)由-二"> 7,利用 Bernoulli 不等式，有为证怎上方有界，考虑数列队，邛3,可类证".事实上,1+-越1J帅+1（此处利用了 Bernoulli不等式）显然有x .有入£山£再三4. 即数列居有上界.数学分析教案17 -评U:该证法的特点是惊而无险，恰到好处证法三（利用均值不等中，令丐

15、= = %. =1国一化4=> F.1 £勺，即公令 / =叼&T =1n -时无意义,理=2时诸弓二口一八/典. h* 斗一二；江证法四（仍利用均值不回日, f 7*】« 1 + - +1 , 1£ 冷+1W + 1式） 在均值不等式 也串35>0）« i-1十二% = L 就有 « -1卜什卜卜+:旧=师/. as = 1,可仿上证得用）3时1-L）/, （ K = 1,不能用均值不等式.） 当打之2时，由« 1-1 K3 卜-邛/ = _!_. ="_1< 4.L HI 匕）等式）胃工i，m<j VM+1 V&qu