量子力学教案(PPT)(物理与电子工程学院)

1、目录目录退出退出目录目录退出退出目录目录退出退出SchrdingerSchrdinger方程方程一维无限深势阱一维无限深势阱 目录目录退出退出量子系统的物理量用算符来表示量子系统的物理量用算符来表示算符的对易关系算符的对易关系厄密算符的本征方程及物理量测量厄密算符的本征方程及物理量测量量子力学的矩阵形式及表象交换量子力学的矩阵形式及表象交换量子力学的量子力学的DiracDirac抽象表示抽象表示力学量随时间的演化力学量随时间的演化 5.2 5.2守恒量与对称性关系守恒量与对称性关系 5.3 5.3 量子系统的物理量用算符来表示量子系统的物理量用算符来表示算符的对易关系算符的对易关系厄密算符的本

2、征方程及物理量测量厄密算符的本征方程及物理量测量量子力学的矩阵形式及表象交换量子力学的矩阵形式及表象交换量子力学的量子力学的DiracDirac抽象表示抽象表示力学量随时间的演化力学量随时间的演化 5.2 5.2守恒量与对称性关系守恒量与对称性关系 5.3 5.3 目录目录退出退出 5.45.4 5.55.5 5.65.6 5.75.7全同粒子体系与波函数的交换对称性全同粒子体系与波函数的交换对称性 第第6 6章章 6.16.1中心力场中粒子运动的一般性质中心力场中粒子运动的一般性质目录目录退出退出1、19世纪末，经典物理存在的局限性世纪末，经典物理存在的局限性前前 言言到了到了19世纪末，已

3、建立了三大物理理论：世纪末，已建立了三大物理理论： 牛顿力学牛顿力学： 确定了宏观经典粒子的运动规律；确定了宏观经典粒子的运动规律； 麦克斯韦电动力学麦克斯韦电动力学： 确定了电磁场和电磁波的运动规律；确定了电磁场和电磁波的运动规律； 热力学和统计物理热力学和统计物理： 确定了热平衡态的物性。确定了热平衡态的物性。 目录目录退出退出虽然三大经典理论在解释某些自然现象取得了巨大的成功，但它们存在局限虽然三大经典理论在解释某些自然现象取得了巨大的成功，但它们存在局限性，譬如：性，譬如： 只局限于研究光的传播，只局限于研究光的传播，并未真正涉及到光的产生、并未真正涉及到光的产生、吸收和光与物质的相互

4、作吸收和光与物质的相互作用的物理机制。用的物理机制。光学光学（包括后来的电磁波理论）（包括后来的电磁波理论）牛顿力学牛顿力学（包括后来建立的相对论力学）（包括后来建立的相对论力学）只局限于研究物体在其外只局限于研究物体在其外在时空中的机械运动，并在时空中的机械运动，并没有涉及到物体的物质结没有涉及到物体的物质结构和物质的内禀属性等问构和物质的内禀属性等问题题目录目录退出退出 物理学出现了一些物理现象与经典理论解释相矛盾。如黑体辐射问物理学出现了一些物理现象与经典理论解释相矛盾。如黑体辐射问题，光电效应，原子系统出现的线状光谱及原子的稳定性，固题，光电效应，原子系统出现的线状光谱及原子的稳定性，

5、固体与分子的体与分子的比热问题等，这些物理现象都不能用经典物理理论给予圆满的解释。比热问题等，这些物理现象都不能用经典物理理论给予圆满的解释。 正是在这样的背景下，德国物理学家正是在这样的背景下，德国物理学家马克思马克思.普朗克普朗克为了合理解释黑体为了合理解释黑体辐射能谱，而在辐射能谱，而在1900年年12月月14日日提出了一个崭新的物理概念提出了一个崭新的物理概念量子论。量子论。 2 2、量子论的提出、量子论的提出 、背景背景目录目录退出退出(2)(2)、 量子力学与其它学科之间的关系：量子力学与其它学科之间的关系：目录目录退出退出(3)(3)、量子力学的近代发展及其应用：、量子力学的近代

6、发展及其应用：目录目录退出退出0.1 0.1 经典物理学碰到的困难及量子论的诞生经典物理学碰到的困难及量子论的诞生 固体或液体，在任何温度下都在发射各种波长的电磁波，这种由于固体或液体，在任何温度下都在发射各种波长的电磁波，这种由于物体中的分子、原子受到激发而发射电磁波的现象称为热辐射。所辐射物体中的分子、原子受到激发而发射电磁波的现象称为热辐射。所辐射电磁波的特征仅与温度有关。电磁波的特征仅与温度有关。目录目录退出退出312Eexp(/)vdvc vcT dv固体在温度升高时颜色的变化固体在温度升高时颜色的变化1400K800K1000K1200K目录目录退出退出238EvdvkTv dvc

7、231.38 10/kJ K为为Boltzman常数常数.v 时，Ev 目录目录退出退出233313/28/8.e1exp() 1hhvch kTch ccv dvhdEvdvc vcT346.62559(16) 10.hJ Sv 时，普朗克公式维恩公式v0时，普朗克公式瑞利、金斯公式目录目录退出退出瑞利瑞利-金斯金斯维恩理论值维恩理论值),(TE实验实验T=1646k目录目录退出退出hhh德国物理学家普朗克德国物理学家普朗克(1858-1947(1858-1947）因提出量子假说，荣获因提出量子假说，荣获19181918年诺贝尔物理学奖年诺贝尔物理学奖目录目录退出退出目录目录退出退出34E=

8、h =,1.0545 10.2hwJ S222,vhvpnnkknncc为波矢目录目录退出退出2012uvhvw阿尔伯特阿尔伯特- -爱因斯坦爱因斯坦(1879-1955(1879-1955）因发现光电效应定律，荣获了因发现光电效应定律，荣获了19211921年年诺贝尔物理学奖诺贝尔物理学奖h目录目录退出退出目录目录退出退出目录目录退出退出nmhvEE目录目录退出退出,1,2,3,.Jnnpdqnh目录目录退出退出目录目录退出退出,Ehvwhpnk法国物理学家德布罗意法国物理学家德布罗意(1892-1987(1892-1987）因发现电子的波动性，荣获因发现电子的波动性，荣获19291929年

9、诺贝尔物理学奖年诺贝尔物理学奖目录目录退出退出()i k r wtAe( .)ip rEtAe 22pEhpnk2hhpEEeUhpn12.252hueUU目录目录退出退出目录目录退出退出0.2量子力学形成过程量子力学形成过程 经过经过20多年的时间，在许多物理学家的共同努力下，量子力学这一门理多年的时间，在许多物理学家的共同努力下，量子力学这一门理论体系才最终形成。主要的贡献有：论体系才最终形成。主要的贡献有：1923 年年 德布罗意德布罗意电子也具有波动性电子也具有波动性1924 年年 泡利泡利不相容原理不相容原理1924 年年 玻色玻色&爱因斯坦爱因斯坦引进了玻色引进了玻色- 爱因斯坦统

10、计爱因斯坦统计1925 年年 乌伦贝克乌伦贝克&古德斯密特古德斯密特提出了电子自旋提出了电子自旋1925 年年 海森伯、玻恩和约尔丹海森伯、玻恩和约尔丹发表量子矩阵力学发表量子矩阵力学1926 年年 薛定谔薛定谔发表量子波动力学发表量子波动力学1926年年薛定谔薛定谔证明量子矩阵力学和波动力学等价证明量子矩阵力学和波动力学等价目录目录退出退出1926 年年克莱因克莱因&戈登戈登提出相对论波动方程提出相对论波动方程1926 年年费米费米发现自旋和统计的联系发现自旋和统计的联系1926 年年狄拉克狄拉克引进费米引进费米- 狄拉克统计狄拉克统计1927年年戴维孙、革末戴维孙、革末&汤姆孙汤姆孙实验证

11、明电子的波动性实验证明电子的波动性1927年年海森伯海森伯提出测不准关系式提出测不准关系式1927年年玻恩玻恩提出波函数的统计解释提出波函数的统计解释1928年年狄拉克狄拉克发表电子的相对论方程发表电子的相对论方程1930年年狄拉克狄拉克引进电子空穴引进电子空穴1931年年泡利泡利提出中微子假说提出中微子假说1931年年泡令泡令发现化学共振键发现化学共振键1932年年查德威克查德威克发现中子发现中子1932年年海森伯海森伯引进同位旋概念引进同位旋概念,提出原子核的核子模型提出原子核的核子模型1932年年安德森安德森发现正电子发现正电子目录目录退出退出量子系统的状态量子系统的状态波函数波函数量子

12、系统的量子系统的动力动力学演化学演化薛定谔方程薛定谔方程运运动动方方程程目录目录退出退出1 11 1 量子系统的状态由波函数来描述量子系统的状态由波函数来描述目录目录退出退出目录目录退出退出目录目录退出退出目录目录退出退出目录目录退出退出12x0 1px目录目录退出退出21x0 2px目录目录退出退出21x0 12px目录目录退出退出x210 1x目录目录退出退出21x0 2x目录目录退出退出21x0 12x目录目录退出退出目录目录退出退出211( )( )I xE x222( )( )IxEx1( )p x2( )px1212( )( )( )pxp xpx目录目录退出退出其中其中2221.

13、21212121212( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )cIxE xExE xExEx ExE x ExI xIxIx1212( )( )( )( )( )cIxEx ExE x Ex22121212( )( )( )( )( )( )E xExEx ExE x Ex21.212( )( )( )IxE xEx目录目录退出退出()i k r wtAe ()ip rEtorAe rt目录目录退出退出玻恩，玻恩，M.(Max Born 18821970)德德国理论物理学家国理论物理学家目录目录退出退出2( , , , )x y z tdxdydz则则22( ,

14、 , , )( , , , )1x y z tdxdydzx y z tdv全空间目录目录退出退出( , ),r t与 c( t)*(*( , ) ( , )( , , , ) ( , , , ),x tx t dxx y z tx y z t dxdydz 全空间）全空间）一维量子系统：三维量子系统：,1 目录目录退出退出22112222( , )( , )( , )( , )cr tr tcr tr t()cr t()r t()r t与c ( t)()crt1r2r目录目录退出退出2()0(1)r tdAA()()()r tr tr t的归一化形式为=c21d（r t）21cd（r t）2

15、21cd（r t）目录目录退出退出21cA1cA （r t）的归一化形式为：21Ad（r t）（r t）（r t）目录目录退出退出221iedd（r t）（r t）21d（r t）()i则e（r t） 为实常数 也满足归一化的条件。i而由本节五可知，e（r t）与 （r t）是描述系统的同一状态。（r t）为归一化的波出数，目录目录退出退出2（ r t）2（r t）r2（r t）目录目录退出退出, 12N(r r ,.,r )11,1122,22,.(,),(,),()Nnnnr x y zr x yzrx y z2333,ddd 12N12N(r r ,.,r )rrr3111ddx dy

16、dz1r3222ddx dy dz2r3NNNddx dy dzNr2333,=1ddd12N12N全(rr ,.,r )rrr目录目录退出退出1121122cc22121c22c121122cc目录目录退出退出电子穿过狭缝电子穿过狭缝出现在点出现在点的几率密度的几率密度电子穿过狭缝电子穿过狭缝出现在点出现在点的几率密度的几率密度相干项相干项 正是由于相干项的正是由于相干项的出现，才产生了干出现，才产生了干射条纹。射条纹。2 22 2P1 1目录目录退出退出3 / 21exp()(2)piprp由 于是 连 续 变 化 的 ， 所 以 后 式 应 用 积 分 代 替 了 求 和 。p3/23/

17、211( , )( )( )( )exp()(2)(2)pppir tc prc pp r3/23/211( )( )( )( )exp()(2)(2)pxyzirc pr dpc pp rdpdp dp dpdp，其中目录目录退出退出3/21( )( )exp()(2)ic prp rddxdydzdx，其中 x2( )c p( )c p目录目录退出退出pdtpctpcpdtpc),(),(| ),(|2 证明：证明：3/23/211( )exp()( )exp()(2)(2)iirp rdrrp rdr dp 31( )( )exp()(2)irrprrdp drdr 目录目录退出退出(

18、)( ) ()rrrr drdr 1),(),(rdtrtr31exp()()(2)iprrdprr其中使用了关系式目录目录退出退出2( )|( ) |dWrrdrrdr 粒 子 出 现 在 点 附 近体 积 元 内 的 几 率 ；()( )c pr与具有类似的物理含义2()| () |+dWpc pdppp dp粒子的动量在，的几率。目录目录退出退出.2xp 目录目录退出退出目录目录退出退出目录目录退出退出设设(x) (x) 是归一化波函数，是归一化波函数，| (x)| (x)|2 2 是粒子出现在是粒子出现在x x点的几率密度，点的几率密度，则则2*|( )|( )( )( )( ),xx

19、xxdxxxx dxx xx dxx 2*1/2| () |=()()c,1()( )exp(/)(2)xxxxxxxxxxxxppc pp dpcpp c pdpp cc pxip xdx其中目录目录退出退出xxxxxxxxxdppcppcdppcppp)()(| )(|2 xxxxpidppcpdxexx)()(21 xxxxpidxdppcpexx)()(21 xxxpidxdppcedxdixx)()(21 )(21)(xxxpidppcedxdixdxx dxxpxdxxdxdixx)()()()( 目录目录退出退出xdpidx xdpidx xx *( )( )xxx xx dx目

20、录目录退出退出rpi rr22222mmPT222222xmmPTxxLrp目录目录退出退出()()()xzyyxzzyxLypzpiyzzyLzpxpizxxzLxpypixyyx 22( )( )2HTV rV rm 222( )( )2HTV xV xm x 目录目录退出退出2( )2pHV rm ( , )( ,)FF r PF ri ( ,)( ,)xFF x PF xix目录目录退出退出一维情况：一维情况：( )( )FFx Fx dx( )( )FFr Fr dr( )( )( )( )r Fr drFFrr dr若波函数未被归一化，则：若波函数未被归一化，则：三维情况：三维情况

21、：思考题：思考题：用动量表示波函数时的算符的表示及平均值公式用动量表示波函数时的算符的表示及平均值公式目录目录退出退出目录目录退出退出12 Schrdinger方程方程系统的初始状态系统的初始状态（q q0 0,p,p0 0）系统任意时刻的系统任意时刻的状态（状态（q,pq,p）系统的初始状态系统的初始状态（t t0 0）系统任意时刻的系统任意时刻的状态状态（t t）目录目录退出退出( , )ip r Etr tAe 目录目录退出退出波函数随时间的变化，故将波函数随时间的变化，故将 ( , )r tiEt 但遵循原则（但遵循原则（2），不能有），不能有E作为系数，但作为系数，但22222222

22、2222xyzpxpypz 222222222222222()() ().ijkijkxyzxyzxyzxyzp 222222222222222()() ().ijkijkxyzxyzxyzxyzp 222222222222222()() ().ijkijkxyzxyzxyzxyzp 目录目录退出退出再由于再由于22222( , )()( , )( , )22pEuipir tiEEr tr ttuu 即有即有22( , )( , )2ir tr ttu iEt 和和222p 由前面的推导方式，有由前面的推导方式，有222p 所以所以目录目录退出退出可知粒子能量可知粒子能量E和动量和动量P与下

23、列算符有对应关系与下列算符有对应关系,Eipit ( )U r由于粒子在势场由于粒子在势场 ( )U r2( )2pEU ruEit2( , )( , )( ) ( , )2pir tEr tU rr ttu目录目录退出退出22( , )( )( , )2ir tU rr ttu ( )U rpi 目录目录退出退出);,(),()(2);,(211212221trrrrrrVrUtrrrtiNNiNiiiiN 目录目录退出退出222Hu ( , )( , )ir tHr ttH目录目录退出退出 222HU ru NiNiiiirrrVrUH12122),()(2 目录目录退出退出*vd 。*v

24、vvdddttt 222iVt目录目录退出退出222iVt 222iVt 2*2*2iVt 目录目录退出退出2*2*2vvidVdt 2*22viVd *22*2vid * .2vid *.2SidS SdS 目录目录退出退出*,2ij r t *,r tr tr t( , ).Sdr t dJ dSdt 目录目录退出退出令令趋于趋于 ，即让积分对全空间进行，考虑到任何真实的波函数应该是，即让积分对全空间进行，考虑到任何真实的波函数应该是平方可积的，波函数在无穷远处为零，则上式右面积分趋于零，于是平方可积的，波函数在无穷远处为零，则上式右面积分趋于零，于是 有：有：( , )0dr t ddt

25、全目录目录退出退出e( , ).eSdr t dJ dSdt ( , ).Sdr t dJ dSdt 2|( , )|()2r tiJJ 质量密度质量流密度矢量2|( , )|()2eeeer tiJeJe 电荷密度电流密度矢量目录目录退出退出、定态、定态 Schrdinger 方程方程如果粒子所处的势场如果粒子所处的势场U不显含时间，即不显含时间，即( )UU rSchrdinger方程为：方程为：22( , )( )( , )2ir tU rr ttm 用分立变量法进行求解：用分立变量法进行求解：( , )( ) ( )r tr f t目录目录退出退出由上面的方程可知：方程左边最多与时间由

26、上面的方程可知：方程左边最多与时间t有关，而不与有关，而不与有关，方程的右边最多与有关，方程的右边最多与 有关，而不与有关，而不与t相关，而相关，而 与与t是两个独立的变量，故两边都应等于一常量是两个独立的变量，故两边都应等于一常量E，即，即：rrr22( )( )( )( ) ( )2r if tU rr f ttm .22( )( )( )2fiU rrrfm .22,1( )( ),2( )ifEfU rrEmr 目录目录退出退出由此有由此有22( ),( )( )( ),2iEtf tceU rrErm 从而得到在从而得到在 ( )U r22( , )( )( , )2ir tU rr

27、 ttm 的解的解( , )( )iEtr tr e目录目录退出退出其中其中( ) r满足：满足：22( )( )( )2U rrErm 二、能量本征方程二、能量本征方程由由2( )2pU ru在经典力学为在经典力学为Hamilton函数，在量子力学中函数，在量子力学中22( )2HU ru 为量子力学中的哈密顿算符。将上式代入定态为量子力学中的哈密顿算符。将上式代入定态Schrdinger方程中，便方程中，便有有目录目录退出退出HE这就是这就是H的本征方程或能量的本征方程。的本征方程或能量的本征方程。nAAHE思考题思考题：一个算符的两个本征波函数的叠加构成的波函数仍为该算符的本一个算符的两

28、个本征波函数的叠加构成的波函数仍为该算符的本征波函数吗？征波函数吗？目录目录退出退出由于由于( )( )HrEr，即，即22( )( )( )2U rrEru 当然当然( , )( )iEtr ter同样满足同样满足22( )( , )( , )2U rr tEr tu ( , )( )iEtr ter为系统的定态。为系统的定态。所以所以思考题思考题：定态指的是不随时间变化的状态吗？定态指的是不随时间变化的状态吗？目录目录退出退出三三 定态的性质定态的性质定态：能量为唯一确定的状态。定态：能量为唯一确定的状态。定态的性质：定态的性质：（1 1）粒子在空间几率密度与时间无关）粒子在空间几率密度与

29、时间无关(, )nnnr t )/exp()/exp(tiEtiEnnnn )/exp()/exp(tiEtiEnnnn )()(rrnn 目录目录退出退出2),(nnnnnitrJ )/exp()/exp()/exp()/exp(2tiEtiEtiEtiEinnnnnnnn )()()()(2rrrrinnnn （3 3）任何不显含）任何不显含t t的力学量平均值与的力学量平均值与t t 无关无关 dtrFtrFnn),(),( 目录目录退出退出 dtiErFtiErnnnn)/exp()()/exp()( drFrnn)()( 目录目录退出退出四四 非定态的性质非定态的性质非定态：由若干能

30、量不同对应的本征态叠加构成的状态。非定态：由若干能量不同对应的本征态叠加构成的状态。( , )( )iEtEEEr tc er( ,0)( )EEErcr例如：例如：Schrdinger方程的通解方程的通解*( ) ( ,0)EEcrrdr目录目录退出退出*( , )2( )( )2( )( )iEtiE tEEEEEEiE tiEtEEEEEEiJ r tic ercercerc er 非定态的性质：非定态的性质：*(, )(, )(, )()()()()iE tiE tEEEEEEi EEtEEEEE Er tr tr tcerc ercc err目录目录退出退出（3 3）除守恒量外，不显

31、含）除守恒量外，不显含t t的力学量在非定态中的平均值随的力学量在非定态中的平均值随t t变化。变化。*( )( )( )( )2i EE tEEEEEEEEicc errrr目录目录退出退出目录目录退出退出2.12.1一维不含时量子系统的一般性质一维不含时量子系统的一般性质在不显含时间的势场在不显含时间的势场 V(r) 中运动粒子的中运动粒子的Schrdinger方程方程一维不含时量子系统：指系统的自由度为一维，而其势能部分（更一维不含时量子系统：指系统的自由度为一维，而其势能部分（更一般指的一般指的Hamiltmian量）不显含时间的量子系统。量）不显含时间的量子系统。 222,2ix t

32、V xx ttm x 的特解（定态）为的特解（定态）为 ,tiEhx tx e2.1.1 一维不含时量子系统一维不含时量子系统目录目录退出退出 2222V xxExm x x 2222V xxExm x 是方程是方程的一个解，对应的的一个解，对应的也是该方程的解，且对应的能量仍为也是该方程的解，且对应的能量仍为E。能量本征值为能量本征值为E，则，则（x）证明：取不含时证明：取不含时Schrdinger方程的复共轭方程的复共轭目录目录退出退出 2222VxxExm x 2222V xxExm x x x由于力学量对应的算符（厄米算符）的本征值为实数，且势函数也为实变由于力学量对应的算符（厄米算符

33、）的本征值为实数，且势函数也为实变量，故量，故即即满足相同的不含时满足相同的不含时Schrdinger方程，且对应的能量为方程，且对应的能量为E.目录目录退出退出如果不含时量子系统的能级属于非简并，则相应的能量本征函数总如果不含时量子系统的能级属于非简并，则相应的能量本征函数总可以（并不是一定）取为实数可以（并不是一定）取为实数能级非简并能级非简并：对应一个能量取值对应一个能量取值E，只对应一个状态，只对应一个状态(x)(x)，即能量不简并。，即能量不简并。能级简并：能级简并：对应一个能量取值对应一个能量取值E，对应的状态不只一个，即有多个描述不同，对应的状态不只一个，即有多个描述不同状态的能

34、量本征状态的能量本征1(x)， 2(x)， 3(x)， f(x), 则称能级简并度为则称能级简并度为f。 2xcxc cxcx目录目录退出退出21ciace（为实常数为实常数) 可以取可以取 =0，则，则目录目录退出退出 2222V xxExm x xxx 1xxxi 目录目录退出退出 12xi 12xi x x 2222dV xxExm dx目录目录退出退出 2222dV xxExm dx xcx目录目录退出退出 2xcxcx目录目录退出退出 f xxxfx g xxxgx 目录目录退出退出 12xfxg x 12xf xg x 1212 为常数目录目录退出退出 11220mEV x 222

35、20mEV x (A) (B)12210 12210 1221= 常数目录目录退出退出1221= 常数 12210 xxxx目录目录退出退出1212 12xcx目录目录退出退出a0U(x)2.2 2.2 一维无限深势阱一维无限深势阱222222( )( )22( )( )2pHU rU ruuH xU xux 系统的定态薛定谔为系统的定态薛定谔为 xExx22220 xa1) 2222xVxExx0 xxa或V (2)无限深势阱中粒子的无限深势阱中粒子的Hamimonim是：是：目录目录退出退出方程（方程（1）可变为：）可变为： 0222xkxx（3）其中其中22Ek（4） kxBkxAxsi

36、ncos0 xa（5）由于在由于在0 xxa或，V 所以所以 0 x0 xxa或（6）由连续性条件：由连续性条件：0sincoskaBkaA（7）目录目录退出退出0A（8）由此得到：由此得到：0sinka即即,1,2,3.kann（9）将（将（9）式代入（）式代入（4）式，可得到体系的能量：）式，可得到体系的能量：2222,2nnEa1,2,3.n 而系统的波函数为而系统的波函数为sinnnBxa其中系数由归一化条件确定为其中系数由归一化条件确定为aB2。则有则有 2sinnnxxaa（10）目录目录退出退出222( , )( ) ( , )2ix tV xx ttm x 2sin(),1,2

37、,3,.,00,0,( , )iE tnnx enx aaanxx ax t 22222nnEma目录目录退出退出221202Ema22212,nnnnEnEEEnma2,0nnEnEn 目录目录退出退出222( )2V xm x 00,2,2( )axaVxV xa0V00EV目录目录退出退出2ax ( )( )xEx22022Vm x 20222( )() ( )0dmxVExdx202 ()m VE222( )( )0dxxdx ( )xxe目录目录退出退出()0 ,2,2( )xxaAexaBexx0,V ( )0 x目录目录退出退出2ax ( )( )xEx2222m x 222(

38、)( )0dxkxdxsin,cosikxkxkxe或22Ek目录目录退出退出2ax 2ax ( )cosxkx()(),()()2222aaaa外外内内()()22()()22aaxxaaxx 外内外内ln()ln()22aaxx 外内目录目录退出退出22(lncos) |(ln) |xaaxxkxe()2kaktg,22akatg222022mV a, 目录目录退出退出( )sinxkx内2ax ()2kakctgctg 222022mV a, 目录目录退出退出35p35p0V22220224mV a0V22202V am目录目录退出退出目录目录退出退出22222122mxx ( )x22

39、2221) ( )( )22xxExx一维谐振子目录目录退出退出2,Exx222()0dd 222dd 22e22( )e22e目录目录退出退出( )22( )( )2(1) ( )0dddd( )( ) 21,0,1,2,nn1(),0,1,2,2nEEnn22 222( )( )( )(),0,1,2,xnnnnN eN ex n nn或2( )( )2!nmnmnednnNnNn目录目录退出退出122!nnNn( )( )mnmnxx dx1nnEEE 012E目录目录退出退出0n 012E2 22014( )xxe2220|( )|xxe0 x 0 x 00()V xE0 xm目录目录

40、退出退出0|xm0|xm00220020|( )|( )|( )|xxxdxxdxxdx0( ) x0202002|( )|2|( )|xxdxxdx220220 xxxedxedx16%目录目录退出退出( )n()( 1)( )nnnxx ( )0nx目录目录退出退出目录目录退出退出( )x( , )x t,rr pi ,xxx pix 22222,22xTTmm x 22( , )( ) ( , )2ir tV rr ttm 222( , )( ) ( , )2ix tV xx ttmx 动量表象目录目录退出退出xp()xp1()( )2xip xxpx edx1( )()2xip xxx

41、xp edp,pp ri ,xxxppxip22,22xxppTTmm 目录目录退出退出2()()()2xxxxp pxxxppVp dpEp1( )2xxxxiip xp xp pVeV x edx0( )nnnV xC x2() ()()2xxxxpV ipEpp21( ) ()22xip xxxxpV xp edp()2xipxxxEped p 目录目录退出退出xipex2()()( )()2xxxxiiippxp xp xxxxxxpp edxdpeV x ep dxdp()()xxippxxxEp edxdp2()()( ) ()2xxxxiiippxp xp xxxxxxppedx

42、 dpeV x edxp dp () ()xxippxxxEedxp dp ()2()xxippxxxedxpp 1( )2xxxxiip xp xp pVeV x edx2()()()2xxxxp pxxxppVp dpEp目录目录退出退出( )V x0( )nnnV xC x()()xxxxiippxppxxxeiep()()()xxxxiippxppxnnxx eiep()012xxxxippxnp pnnVC x edx()01()2xxippxnnnxC iedxp0()()nnxxnxC ippp() ()xxxV ippp目录目录退出退出2()() () ()()2xxxxxxx

43、xppV ippp dpEpp2()() ()()2xxxxxppV ipEpp2() ()()2xxxxpV ipEpp2(, )() (, )2xxxxpip tV ip ttp目录目录退出退出目录目录退出退出3 31 1 算符算符的一般运算规则的一般运算规则Pi F uvF例：如果描述系统状态的波函数是坐标的函数，则常见的算符有：例：如果描述系统状态的波函数是坐标的函数，则常见的算符有：动量算符：动量算符：xPix 第第3 3章章 量子系统的物理量用算符来表示量子系统的物理量用算符来表示目录目录退出退出坐标算符：坐标算符：rr xx动能算符：动能算符：22222mmPT222222xmm

44、PTxx一般的物理量算符：一般的物理量算符：),(), ( irFPrFF),(), (xixFPxFFx目录目录退出退出二二 算符的运算算符的运算1、线性算符：、线性算符：对任意两个波函数对任意两个波函数 和和 ，算符，算符 满足：满足：其中其中 与与 是任意常数，则称是任意常数，则称 为线性算符为线性算符（量子力学中的力学量对应的算符都是线性算符）（量子力学中的力学量对应的算符都是线性算符）12O11221122()O cccOc O1c2cOIIIIABABAB目录目录退出退出AB() AB ()()CC 目录目录退出退出AB AB() ()()CC ()CC ,C 0C AB nAAA

45、AAAmnm n ,0 ( ), ( )0mnfg目录目录退出退出1111 1 ,0 111() 1() () 111 111() 目录目录退出退出( )F x( )F AA( )0(0)( )!nnnFFn 220( )2!nnnFenI eee ,0 eee目录目录退出退出( , )dr 11221122( ,)( ,)( ,)cccc 11221122(, )(, )(, )cccc ( , )( ,) ( ,)0 O*OO,xpix xpix目录目录退出退出OOdrdOOr ( ,)(,)OO ( ,)() ,)() ,) (,),)(,) 思考题思考题：坐标求导算符坐标求导算符 x

46、的转置形式为什么？的转置形式为什么？目录目录退出退出OO()drdrOO( ,)(, )OO *OO(, )( ,(,)OOO (,)O(, )( ,)OO *( ,)(,)OO*OO*( ,)(,)OO目录目录退出退出O()O drOdr( ,)(, )OO OO目录目录退出退出,AA BB()ABAB,AA BB()ABB ABA ,0A B ABBA()ABAB思考题思考题：两个厄密算符两个厄密算符A A和和B B的对易子的对易子 A，B 是厄密算符吗是厄密算符吗？，？， iA，B和和 A，B+目录目录退出退出OO( ,)( ,)OO( ,)(,)( ,)OOO ( ,)( ,)OOOO

47、O2( ,)(,)(,)0OOOO 目录目录退出退出1. 动量算符动量算符 iP，2. 角动量算符角动量算符如果描述系统状态的如果描述系统状态的 波函数为笛卡尔坐标的函数，则波函数为笛卡尔坐标的函数，则)(yzzyiPzPyLyzx)(zxxziPxPzLzxy)(xyyxiPyPxLxyz，。三、最常用的厄密算符：动量算符和角动量算符三、最常用的厄密算符：动量算符和角动量算符xiPxyiPyzPiz目录目录退出退出角动量平方算符：角动量平方算符：22222222()()() xyzLLLLyzzxxyzyxzyx 角动量算符用球极坐标来表示角动量算符用球极坐标来表示：sin cosx rsi

48、n siny rcoszr2222, cos,zyrxyztgrx目录目录退出退出通过对变量求导，可得通过对变量求导，可得11 sinsincoscoscos,sinrxx rxxrrr11 cossinsincossin,sinryy ryyrrr1cossin.rzz rzzrr目录目录退出退出将上式带入用笛卡尔坐标定义的角动量算符，及角动量平方算符，可得到用将上式带入用笛卡尔坐标定义的角动量算符，及角动量平方算符，可得到用球极坐标表示的角动量算符及角动量平均算符球极坐标表示的角动量算符及角动量平均算符(sincos)(cossin)xyzLictgLictgLi 及及2222222222

49、222sin2sin coscoscos(csc)sin cos,xLctgctgctgctg 目录目录退出退出2222222222222cos2sin cossinsin(csc)sin cos,yLctgctgctgctg 2222zL 2222211(sin)sinsinL 目录目录退出退出3.23.2. . 算符的对易关系算符的对易关系满足如下关系：满足如下关系：,A BABBAC则称该关系式为则称该关系式为 ,A B的对易关系。如果的对易关系。如果0C ，则称则称 ,A B之间是不对易的；如果之间是不对易的；如果0C ，则称则称 ,A B对易。对易。 如果算符如果算符 ,A B量子对

50、易关系运算法则：量子对易关系运算法则： ,A B , B A目录目录退出退出 2,0A A3,0,A cc为常数 4,B,B,ACAA C 7,AB CA B CA C B 6,BB,BACA CAC 5,AB CA CB C目录目录退出退出 ,xx Pi ,0 xy P ,0 xz P ,0yx P ,yy Pi ,0yz P ,0zx P ,0zy P ,zz Pi 证明：证明： 8,0,AB CBC ACA BJacobi恒等式目录目录退出退出 , ,xx Px iixxi xixxxxxxi xii xixx x ,xx Pi , , ,0 xyxzyzP PP PP P目录目录退出退

51、出 , , , 0 xxyyzzL LL LL L,xyzL Li L ,yzxL Li L ,zxyL Li L LLi L证明证明: :,()()()()()xyzyxzzyxzxzzyzxzzyxyzxzxyzzzyLLyPzPzPxPyPzPzPxPzPxPyPzPyP zPyP xPzP zPzP xPzP yPzP zPxP yPxP zP目录目录退出退出,0zy P, 0zzyPPy, zzyPP y , ()()()()xyxzzzyxYZXZyxzzyzxzzyzzxyyxzL LyPPzyxPPzzP PxP zPyP zPzzP PyxPPxP PzyP PzzPxP z

52、PPzi yPi xPixPyPi L目录目录退出退出2,0 xL L 2,0yL L 2,0zL L证明证明：2222222222222222,()() xxxxyzxxyzxyzxxxxyxzxxyxzxxxxxyyxzzxxxyyxzzxLLLL LLLLLLLLLLLLLL LL LL LLLLLLLL L LL L LL L LL L LL L LL L L目录目录退出退出由于由于,xyzLLi L xyyxzL LL Li L x yzy xLLi L LL y xx yzLLLLi L 同样同样,xzyLLi L xzzxyL LLLi L xzzxyL LL Li L zxxz

53、yL LL Li L 代入上式代入上式：目录目录退出退出2 ,()() ()() 0 xzyxyzxyzyxyzzxzyzyyxyzxzyzyxyyzzxzzyLLi LL LLL Li LLLL Li LLL Li Li L LL L LL L Li L LL L Li L LL L Li L L其余式子同理可证。其余式子同理可证。目录目录退出退出3 33 3 厄密算符的本征方程及物理量测量厄密算符的本征方程及物理量测量AA*,A=Adr| ,A/,A 3.3.1 厄密算符的本征方程厄密算符的本征方程目录目录退出退出*| （ r） dr=1,AA FnnnnnFnFnFn目录目录退出退出Fn

54、FnFnn目录目录退出退出xPix xxPp ( )( )xixpxx( )( )xixpxx( )( )xxipxx目录目录退出退出( )exp()xixCp x()xxpp*22( )( )exp () 2()xxppxxxxixx dx Cpp xdx Cpp *( )( )()xxppxxxx dxpp，则有，则有221C12C目录目录退出退出xP1( )exp2xixp xxpzzll zil ( )exp/ zCil2 ( )(2 )( ) 目录目录退出退出/zlm(0, 1, 2 )m zlzlm( )immCe2220|() |21mdC12Czl1( )2imme目录目录退出

55、退出FF *()F dxFdx *()FdxFdx *F dxdxdx *()Fdxdxdx 目录目录退出退出*12*120d 12F目录目录退出退出nnnFF mmmFF 则则*( ) ( )( )( )( )( )( )mnmnnnmnx F xx dxx Fx dx Fxx dx 而按厄密算符的定义而按厄密算符的定义*( ) ( )( ) ( )( )( )mnmnx F xx dxF xxx dx*( )( )( )( )mmnmmnFxx dxFxx dx目录目录退出退出上面方程的左边相等，故右边必相等上面方程的左边相等，故右边必相等*( )( )( )( )nmnmmnFxx dx

56、Fxx dx*()( )( )0nmmnFFxx dxnmFF由于由于*( )( )0mnxx dx 由此得证由此得证。目录目录退出退出*( )( )1nnxx dx*( )( )0mnxx dx()mn*10( )( )m nmnmnxx dx当时当m n时F*( )( )()xx n()目录目录退出退出3.3.1 多个力学量同时测量问题多个力学量同时测量问题 2IAiBd 0I 2*,IAiBdAiBAiBdAiBAiBAAAiBiBAiBiB 很明显很明显而而目录目录退出退出2222222, ,AAiABiBABBAiABiBABAiA BB ,A BiCC易证 为厄密算符并令并令 22

57、2222_22_2_,22222224IACBACBCCCBABAAA 所以所以目录目录退出退出_2_2024CBA当当_22CA时，要满足时，要满足 0I则有则有_2_2242222 ,CCBAA BBA由由 ,A B为任意两个厄密算符，则有为任意两个厄密算符，则有目录目录退出退出AAABBB,ABA B也为厄密算符，并有也为厄密算符，并有22_ _22_ _22_11,441,21 ,2ABABA BABA BA BA B 开方得简记为则有则有目录目录退出退出A = x ,= P ,=x , P= ix2xxxBABP例 如 ：则则目录目录退出退出目录目录退出退出FGn , 0F G nn

58、nF nnnG ()0nnnnnnnnnnnn nnn nnFG GFFGGFFGFG ,1,2,nnnnna ()()0nnnFG GFa FG GF 目录目录退出退出0FGGF,0F G2222211(sin)sinsinllzi 2(, )zll目录目录退出退出lz2lzlz( )zmmlm( )12imme0, 1, 2,.m 2lz222( )( )zmmlm目录目录退出退出2l2l( ,)Y 222( ,)( ,)l YY 2l2lz2lz( ,)Y ( ,)( )( )mY 2222211(sin)sinsinllzi 目录目录退出退出( ,)( )()( ,)zzml Ylm

59、Y 22( , )( , )l YY zl2l( ,)Y ( ,)Y zl( ,)Y 221(sin)()0sinsinddmdd 0目录目录退出退出cos(| 1)222(1)()01ddmdd (1)l l0,1,2,.l ( )(cos )mlP|ml( , )(cos )( )mlYcP 目录目录退出退出( )( , )Y ( )(cos)(cos)0sinmmllPPd 2()!(21)()!lllmllm( )(cos)(21)()!( 1)2()!mmlmlllmPlm *0sinlml mlld 目录目录退出退出()!( 1)()!mmmlllmPPlm *( ,),( ,)(

60、 1)mlmlmYY 2l2(1)l l 21l l2l,1,.,1,mllll 21l 21l ,( ,)l mY zl21l 21l zl2l( ,)(cos)(21)()!( 1)4 ()!mmimlmlllmYPelm (|)ml22( ,)( ,)( , )( , )(1)lmlmzlmlml Yl lYl Ym Y 目录目录退出退出12(,.)A A A12(,.) AHxP,xyzP P P2 ,zH L L目录目录退出退出nnnC(,)nnC ,1,2,3,.nn( )x( )( )xnn xnC*( )( )xnCnxdx目录目录退出退出( )x2|1nnC*()( )()n