与图形旋转有关的问题

1、与函数相联系的图形旋转问题举例图形的旋转是图形变换的重要内容之一，又是新课程标准明确的重要内容。其有利于培养学生实践与操作能力，形成空间观念和运动变化意识.本文列举几道与函数相联系的图形旋转问题，来帮助学生进一步体会数形结合思想在解题中的应用。一、与一次函数相联系的图形旋转问题A.三角形作旋转例1 （06沈阳）.如图1-，在平面直角坐标系中， 两个全等的直角三角形的直角顶点及一条直角边重合， 点A在第二象限内，点 B、点C在x轴的负半轴上，/ CAO30° , OA4。（1）求点C的坐标；（2）如图1-，将4AC璘点C按顺时针方向旋转30。到A'CB的位置，其中 AC交直线O

2、A于点E,A B'分别交直线 OA CA于点F、G则除 A B 8 AO。卜，还有哪几对全等的三角形，请直接写出 答案；（不再另外添加辅助线）隹（3）在（2）的基础上，将 A CB绕点C按顺时针方向继续旋转，当 COEW面积为。时，求直线CE的函 数表达式。分析：（1）要求点C的坐标只需求出 OCK即可；（2）根据旋转性质：旋转前后图形大小、形状不变可以获得其他3对全等三角形；（3）问题关键是“其中 A C交直线OA于点E"，所以“当 COE勺面积为直门时”要注意多解。解：（1）;在Rt月Cd二二点的坐标为（一4。）.二'S（3）如图1-，过点用作区设上于点时.第1页

3、共18页算皿CM :史E.M =214同理，如图1-所示，点区1的坐标为4.在 RtAW。中，N&OM = 60，&0" 二E 一驾 当"立点j的坐标为4 4 .直线的 7例2 （08金华）如图2,在平面直角坐标系中，已知 AO提等边三角形，点A的坐标是（0, 4）,点B在 第一象限，点 P是x轴上的一个动点，连结 AP,并把4AO蹴着点A按逆时针方向旋转，使边 AO与AB重 合，得到 ABD(1)求直线AB的解析式;(2)当点P运动到点（百,0）时，求此时DP的长及点D的坐标;(3)是否存在点P使4OPD勺面积等于4 ，若存在，请求出符合条件的点 P的坐标

4、；若不存在，请说明理由.图2-图2-分析：（1）要求直线 AB的解析式只需知道点 A、点B的坐标即可，点 A坐标已知，由已知 AO泥等边 三角形、AGAB过点B向坐标轴作垂线即可求出点 B的坐标；（2）因为 ABD是由 AOP旋转而得到的， 易证ADP是等边三角形，所以 DP的长即为AP的长；求点D坐标，一般可过点 D作DHL x轴于点H,但 此题不易直接求得线段 OH DH的长，因而可过点 B作BGL DH于点G并反向延长 BG交y轴于点K. （3）第2页共18页由于点P是x轴上的一个动点设点4乖>0、3 vtw0、t <_砧3时三种情况讨论。P坐标为（t, 0）,所以分当tDO

5、FF H y第12页共18页解：（1）如图2-，过点B作B已y轴于点E, BB BF ±x轴于点F.由已知得BF=OE=2, OF= ：- = ：?1'.点B的坐标是（2g, 2）设直线AB的解析式是A=小则有？=2匹+ A解得上=4，直线AB的解析式是y= 3 x+4（2）如图2-，. ABD由 AO端转得到，. .AB况MOP，AP=AD Z DAB=/ PAQ/ DAP=/ BAO=60 ,. ADP是等边三角形，DP=AP炉丽二晒.（2分）如图，点B作BGL DH于点G,并反向延长 BG交y轴于点K.在 RtABDG, / BGD=90 , / DBG=60 .BG=

6、BD cos60 ° =6 X1 #2=TDG=BD sin602s tOH=KG= , DH-3.点D的坐标为（£7二）正假设存在点P,在它的运动过程中,使 OPD勺面积等于 4设点P为（t , 0）,下面分三种情况讨论：t>0 时，如图 2-，BD=OP=t, DG=2 t,立昱1（2十至）二立.DH=2+2 t. .OPD勺面积等于 4 ,224 ,解得、3,“"4垂 = 当 3 <t < 0时，如图2-（DH=GF=2 （ 2 t ） =2+ 2一1“2 +盘）=应E24 ,解得3（舍去）.，点Pi的坐标为（3, 0）后了_j4,BD=O

7、P =t,BG= 2t,/卜、: 此上/t. .OPM面积等于 4 ,-D图3一包厂3£? = ,.亚-2#-邓际点P2的坐标为（3 , 0_4出当t w 3时，如图，&DH=- 2 t 2.更OPD勺面积等于 4 ,），点P3的坐标为（一再，0）.*BD=OP= t, DG= 2 t,1式八乖小/ （ dL. t- J - 224 ）解得“ 3(舍去)，“3点P4的坐标为(3, 0)应J君也-而-3综上所述，点P的坐标分别为Pl (3, 0)、P2 ( 3 , 0)、P3 (, 0) 、P4 (3, 0)B.角作旋转例3 (06南通) 如图3-，在平面直角坐标系中，O为坐标

8、原点为，B (5,0), M为等腰梯形 OBC味边OB上一点，OD= BC= 2, /DMC/DO9 60 .(1)求直线CB的解析式；(2)求点M的坐标；(3) /DM噬点M顺时针旋转“(30°vav600)后，得到/ D1MC1点D1,C1依次与点D,C对应)射线MD仅直线D。点E,射线M©直线CB于点F ，设DE匹BF= n .求m与n的函数关系式.分析：(1)要求直线CB的解析式只需知道点 R C坐标即可；求点 C坐标只需过点 C作CGL x轴于点G。 (2)求点M的坐标只需求出线段 OM勺长度，由 ODMh BMC即可求得。(3)由于/ DMCg点M顺时 针旋转，

9、点 M有两种情况，因而需分情况讨论。解：(1)BC解析式：y=-小五+5后OP _0M _ DM设 OM=x 2X2 = x (5x) , x = 1 或 4M(1, 0)或(4, 0)(2)略证 ODW4 BMCW 二二DEDM OD(3)当 M(1, 0)时， DMH CMF OF C虞CF= 2+n,DE DM OD当 M(4, 0)=2mi= 2 (2 n),即"二 1)mi= 4 2n 一DE= m, 2+n = 2m ,即 m= 1+ 2<闻 <产图3-图3-、与反比例函数相联系的图形旋转问题A.矩形旋转例4 （06吉林.如图4-，在平面直角坐标系xOy中，矩

10、形OEFG勺顶点E坐标为（4, 0）,顶点G坐标为（0 , 2）.将矩形OEF磷点O逆时针旋转，使点(1)判断 OG喇OMN否相似，并说明理由;(2)求过点乂的反比例函数解析式;(3)设（2）中的反比例函数图象交 EF于点B,求直线AB的解析式;F落在尸轴的点N处，得到矩形（4）请探索：求出的反比例函数的图象，是否经过矩形OEFG勺对称中心，并说明理由.分析：（1）由/ OGA=OMN=9（K, / AOGW AOG知财R ； （2）求过点工的反比例函数 解析式只需求出点 A坐标，因为矩形 OEFGg点O逆时针旋转彳#到矩形 OMNP所以OM=OE=140G=EF=MN=2 又。&4s

11、所以求AG的长即可；（3）由点B横坐标为4,根据（2）中结论易求点 B坐标， 即可求出直线 AB的解析式；（4）看矩形OEFG勺对称中心（4, 1）是否满足（2）中所求解析式即可。解:（1）AG _ 0G2由(1)得加0M . 月(1，2),工(3)1 f.二 七2y （4）设矩形OEFG勺对称中心为Q,则点Q坐标为（2,1）.把先二2代入 工,得川=1 .反比例函数的图象经过矩形 OEFG的对称中心.B.三角形旋转例5 （06天门）如图5-，边长为2的等边三角形 OAB勺顶点A在x轴的正半轴上，B点位于第一象限。A 二& （工0）将AOA瞰点O顺时针旋转30。后，恰好点 A落在双曲线

12、 工 ,上。尸=兀>。）（1）求双曲线天的解析式；（2）等边三角形 OABt续按顺时针旋车t多少度后，A点再次落在双曲线上？分析：（1）根据题意，只需求出 OAB点O顺时针旋转30。后点Ai坐标即可（过 Ai作AC，X轴于C,解：（1）设旋转30°后，A点到A,过A1作A1，X于C,在直角一8所以A （, -1 ）,所以反比例函数的解析式为y=工O A1C 中，得 OC=： , A A1=1, BA jr JX/C r3_At图5-由直角 OAC中/ AOC=30度，OA=OA=2求出OCCA）;（2）可设A点次落在双曲线的 外处坐标为（a, 口 ）, 然后过A2作A2D>

13、;± y轴于D,在直角 OAD中利用勾股定理求出 a的值，再利用特殊角的三角函数值求旋转 角度。（2）设A点次落在双曲线的 A2处，设A2（a,值），过A作A2，y于D,在直角 OAD中，则a2+ 点，解得ai=1叵22=在（舍），所以h/AOD=3 ，/A2OD=30 所以/ AOA=30°继续按顺时针旋转 30。后，A点再次落在双曲线上。例6. （08义乌）已知：等腰三角形 OABE直角坐标系中的位置如图 6-，点A的坐标为（-）, 点B的坐标为（一6, 0）.（1）若三角形 OA联于y轴的轴对称图形是三角形，请直接写出 A B的对称点且二£的坐标；（2）若将

14、三角形。且日沿x轴向右平移a个单位，此时点 A恰好落在反比例函数 产 工 的图像上，求a 的值；（3）若三角形°乂日绕点O按逆时针方向旋转口度（。亡值工90）.k y 当S = 3D时点b恰好落在反比例函数T的图像上，求k的值.问点A B能否同时落在中的反比例函数的图像上，若能，求出 a'的值；若不能，请说明理由.分析：（1）关于y轴对称的图像特点是横坐标互为相反数，纵坐标不变，所以根据点A、B的坐标可以直接写出对称点 工二3的坐标；（2）三角形 E3沿x轴向右平移a个单位纵坐标不变，由图象的意义可 求点A恰好落在图像上的点的坐标，即可求出 a的值；（3）当比二 3。-时，易

15、求点b坐标即可 求k的值。解：（1）”。）3.逑./ 二 ? . 工，k=2出./ = 5力(3): a =3。" .相应B点的坐标是 (-*士 = 93能当a = 60°时，相应刃，3点的坐标分别是（-3叵百,（-3-邛）,经检验：它们都在”一工的图像上，C.直线旋转例7 （06北京）在平面直角坐标系工丹中，直线A=一左绕点0顺时针旋转9。°得到直线I .直线与反比_ k例函数工的图象的一个交点为'（”3），试确定反比例函数的解析式.分析：由直线"工一工绕点口顺时针旋转9T得到直线？，易知直线上的解析式为A=#尸本由图象的意义易求出点 A的坐标

16、，即可求出反比例函数的解析式。.又因为用0、）在 工的图象上,的解析式为尸二因为小父在直线二天上,V =又因为以凌在 工的图象上可求得k=9 .所以反比例函数的解析式为y=H例8. （07福州）如图8-,y=7iy = > 0）已知直线L:2与双曲线左 交于4召两点，且点上的横坐标为4.（1）求心的值;y = (/c >(2)若双曲线工 ,上一点D的纵坐标为8,求工。C的面积;k(3)直线？绕点。旋转与交双曲线, =1的40)于巴。两点(尸点在第一象限)，若由点儿 旦 旦2为顶点组成的四边形面积为 24 ,求点尸的坐标.分析：(1)由图象意义根据直线 L、点工的横坐标为4易求点A坐

17、标，继而求出北的值;(2)由点C的纵坐标为8,可求点C坐标，求NiROC的面积可转化为易求的、几个规则图形的面积的和与差：可过点 C、A分别作H轴的垂线，垂足为 E、F,所以5 的面积MOEC勺面积+梯形AFEC- AOF的面积；(3)可分为当L绕点O逆时针旋转和顺时针旋转两种情况讨论。因为不与点A重合因而分0朋V4和附>4讨论，由于上 艮 巴。为顶点组成的四边形是平行四边形,由所给面积可求点 P坐标。解：(1)二.点A横坐标为4 ,，当大=4时，尸=2 .标为(4 , 2 ).1 S/=- 点A是直线 2与双曲线X (k>0)的交点，.(2)解：如图8-，过点C、A分别作X轴的垂

18、线，垂足为E、F,8 = 点C在双曲线工上，当尸=8时，汽=1 .点C的坐标为(1, 8 ). 图8-8尸二一 点G A都在双曲线工上,S ACOE = S AAOF = 4 O .二 S COE+ S 梯形 CEFA= S ACOA+ S AAOF.O的中心二 S ACOA= S 梯形 CEFAS 梯形 CEFA= 2x (2+8) X3 = 15 ,Sacoa= 15 .(3)当L绕点O逆时针旋转时;反比例函数图象是关于原点对称图形，OP=OQOA=OB .四边形APBQ1平行四边形23.1. S APOA = 4 S 平行四边形 APBQ= 4 X 24 = 6.8_设点P的横坐标为 阳

19、(叫0且切? 4 ),得P (跳，相).过点P、A分别作K轴的垂线，垂足为 日F,点R A在双曲2线上， Sa POE = S AO= 4 . 则0附4,S APOE+ S 梯形 PEF= S APOA+ S AAOF,S 梯形 PEFA= S POA= 6 . 图 8-1 o Q + 一二62 加.解得胴=2,活=-8(舍去). P (2,当L绕点O顺时针旋转时，则 雁4,如图8-，S AAOF+ S 梯形 AFE= S AAO+ S POE,1 g-(2 + ) Q-4) =6.二 S 梯形 PEFA= S PO/= 6 . £ 阳)解得酒=8,叫-2 (舍去).P (8, 1)

20、.点P的坐标是P (2, 4)或P (8, 1).三、与二次函数相联系的图形旋转问题第11页共18页A.矩形旋转第21页共18页例9（08沈阳）.如图9-所示，在平面直角坐标系中， 矩形80c的边30 在工轴的负半轴上，边。叮在二轴的正半轴上，且工日=1 ,以=若，矢巨形 工B°。绕点口按顺时针方向旋转6丁后得到矩形豆FO0 .点工的对应点为口点不，点3的对应点为点打，点口的对应点为点口,抛物线y=ax +加+已（1）判断点不是否在厂轴上，并说明理由;（2）求抛物线的函数表达式;（3）在K轴的上方是否存在点 F,点£?,使以点口，B,尸'°为顶点的平行四边

21、形的面积是矩形 且3OD 面积的2倍，且点尸在抛物线上，若存在，请求出点 F ,点白的坐标；若不存在，请说明理由.分析：（1）连接AQ由dB=1, °曾=J5 ,易求得ZAOB =3（T，因为矩形AS0C绕点C?按顺时针方 向旋转6T后得到矩形EF0D ,所以口G5 = SCT ,因而确定点3在轴上；广求抛物线的函数表达式，只需求点 且 段 刀三点坐标；（3）点尸必须满足在或轴的上方和在抛物线上两个条件；此平行四边形顶点没有顺序，因而需分情况讨/一论：以。'丛 已 口为顶点的平行四边形面积为 2环.由题意可知0B为此平I B "的国H3行四边形一边，点 F ,点的位

22、置可以调换；由面积关系可求得OB边上的高为2,所以可求出点 P坐标，从而求出点 Q的坐标。解：（1）点石在17轴上，理由如下：连接 工。，如图9-所示,在Rt抽。中，二月八1, 二出,3。二2sin £A0B =-2,= 30由题意可知：。豆二6。=二3。£=乙一44。E= 3Qn += 90°,点总在k轴上，点区在丁轴上.（2）过点上作力四_L五轴于点血二。口 =八DM二史在 RtZkDtW 中，2 ,2目o = wa=2,点与在尸轴的正半轴上.点工的坐标为（一依1）.抛物线y-aDp D由题意，将出-也1）, I?b代入Jr _83a + 2 = 1仃 g&q

23、uot; 3 M2_1 L_ 5后422解得L91 "0M 二”Ml.点口在第一象限，点D的坐标为%由（1）知点区的坐标为22）/+加+也经过占区二2+E + 2中得y-x /+2所求抛物线表达式为：99（3）存在符合条件的点 F ,点C .理由如下：矩形四的面积=达£5°=石.以& £由题意可知°为此平行四边形一边，又 -依题意设点F的坐标为（肉，2）.点p在抛物线一个一 9加2 = 2解得，叼=。，%/,IF （。【8 J区巴0）以''P 0为顶点的平行四边形面积为 2抬.=出:.OB边上的高为23 2寸y = -

24、-x 三+上99上5g=一8.PQ I) OB= #一 1 当点立的坐标为（0,2）时，点Q的坐标分别为 1、J ,-' J ;当点鸟的坐标为点Q的坐标分别为例10. （08吉林）.如图10-，在平面直角坐标系中， 矩形。/二的顶点小°同、5T，u）.将矩形。/口绕原点口顺时针方向旋转9O",得到矩形yC'.设直线与或轴交于点加、与二轴交于点耨,抛物线经过点e、肘、绅.解答下列问题:（1）设直线表示的函数解析式为丫 =3+料,求溶、打X4图10,(7¥(2)求抛物线表示的二次函数的解析式;(3)在抛物线上求出使所士二斯柳岫©的所有点的坐标

25、.分析：（1）求直线上抨表示的函数解析式只需求出点B、B'坐标即可;（2）求抛物线表示的二次函数的解析式只需求得点 U 和直线交x轴、轴的两点M、N坐标即 可；（3）由'由西。痂皿g易求出点F到3fU'的距离为2.则F点的纵坐标为3或一 1 .代入二次函 数的解析式即可求出点尸的坐标。解：（1） .四边形口45©是矩形，二HU）根据题意，得Z0，D ,把8（-L3） , £©1）代入 =的+却1W3 =2中,一幽+川-3,3删+甩=I5与二一.解得1-由（1）得15工 22(5、：.N 0, . M0O) 2)设二次函数解析式为n aI 2

26、J代入得,a -占+- = 0,225+5fi-h-= 0.2解得23 = 2,5C .2-A3 +2a+ ，二次函数解析式为（3）二,距原会= 3x1 = 3,又二刚了=3 ,，点F到歹C'的距离为2,则F点的纵坐标y为3或-1.当，=3时,3二# 一 2兀J产-4工+1 = 0 .解得x=2土石二耳043与9月Q-百可当尸-1时,即，4l7=0 ,解得穴=2±而二招（2+后,-瑶而f产点坐标（2%点司-的3）,（2.国7367例11 （06吉林）.如图11-，在平面直角坐标系 xOy中，把矩形COA璘点C顺时针旋转a角，得到矩形CFED设FC与AB交于点H,且A（0,4）

27、 , C（6,0）（如图11-）.（1）当a =60°时， CBD的形状是（2）当AH=HC寸，求直线FC的解析式;（3）当a =90°时，（如图11-）.请探究：经过点 D,且以点B为顶点的抛物线，是否经过矩形 CFED 的对称中心M并说明理由.图11-11-分析：（1）当a =60°时，易求得/ BCD=60 ,由于矩形 COA璘点C顺时针旋转a角得到矩形CFED所以BC=CD所以 CBD勺形状是等边三角形；（2）求直线FC的解析式只需知道点 C点H坐标即可，由AH=HC及直角三角形 BHC A（0,4） , C（6,0）即可求得点 H坐标；（3）求出经过点

28、D,且以点B为顶点的抛物线解 析式，看点M坐标是否满足抛物线解析式。解：（1）等边三角形.设斯一，即/-0一句-4:131272x = . y =工解得 3 .55.二尸二一1（工-6）3+4= - -j：3 -3x-5（3）4（或 4）./ny =（工-6）+4依题可得，点肝坐标为2打，把甫二E代入 4,得、 = 3. .抛物线经过矩形CFED的对称中心M .B.三角形旋转例12. （07绍兴）如图12-，在平面直角坐标系中，O为原点，点A、C的坐标分别为（2, 0）、（ 1,W，）.将口Q4c绕AC的中点旋转1800,点O落到点B的位置.抛物线 是该抛物线的顶点.（1）求点B坐标；（2）若点P是线段OA上一点，且N工尸口 =,求点P的坐标；（3）若点P是x轴上一点，以P、A、D为顶点作平行四边形，该平行四边形的另一 点P的坐标（直接写出答案即可）.4工一