第3章 微积分实验

1、电子信息工程系电子信息工程系 贺伟凇贺伟凇电子信息工程系电子信息工程系 贺伟凇贺伟凇2022-4-292n MATLAB函数表达式函数表达式n 极限与连续极限与连续n 微分微分n 积分积分电子信息工程系电子信息工程系 贺伟凇贺伟凇n 能使用能使用MATLAB进行微积分实验方法进行微积分实验方法电子信息工程系电子信息工程系 贺伟凇贺伟凇 一、一、MATLAB函数表达式的表示方法函数表达式的表示方法 Matlab中的函数表达式要求必须写在同一行上，因中的函数表达式要求必须写在同一行上，因此与书写形式的表示有不同的地方。此与书写形式的表示有不同的地方。Matlab的加法、减的加法、减法运算符号仍然是

2、法运算符号仍然是“+”，“-”；乘法运算符号不能省略；乘法运算符号不能省略，用，用“*”表示；指数运算符号为表示；指数运算符号为“.”；除法运算符号；除法运算符号为为“/”；还要注意在；还要注意在Matlab中括号不能省略，而且一律中括号不能省略，而且一律用圆括号用圆括号“（）（）”表示。表示。电子信息工程系电子信息工程系 贺伟凇贺伟凇电子信息工程系电子信息工程系 贺伟凇贺伟凇电子信息工程系电子信息工程系 贺伟凇贺伟凇二、常用的表达式处理函数二、常用的表达式处理函数1函数表达式的四则运算函数表达式的四则运算电子信息工程系电子信息工程系 贺伟凇贺伟凇程序如下：syms xf=2*x2-1g=x+

3、1z1=f+gz2=f-gz3=f*gz4=f/gz5=fg电子信息工程系电子信息工程系 贺伟凇贺伟凇电子信息工程系电子信息工程系 贺伟凇贺伟凇电子信息工程系电子信息工程系 贺伟凇贺伟凇程序如下：程序如下： f=sin(x+1)； g=finverse(f,x) 运行结果如下：运行结果如下： g = -1+asin(x) 需要说明的是，需要说明的是，如果符号函数以单引号定义如果符号函数以单引号定义，这时必须指明其中的自变量，这时必须指明其中的自变量。 电子信息工程系电子信息工程系 贺伟凇贺伟凇4求函数值求函数值 一般的函数可以用一般的函数可以用function编制函数文件来编制函数文件来定义，

4、这时要计算某点的函数值只需要调用该定义，这时要计算某点的函数值只需要调用该函数即可。特别地，对于表达式函数，也可以函数即可。特别地，对于表达式函数，也可以直接将其定义为符号函数，这种定义方式简单直接将其定义为符号函数，这种定义方式简单明了，这时由于定义的函数名中没有参数位置明了，这时由于定义的函数名中没有参数位置，要计算函数值时，首先给自变量赋值，然后，要计算函数值时，首先给自变量赋值，然后用函数用函数eval() 求得该点处的函数值。求得该点处的函数值。电子信息工程系电子信息工程系 贺伟凇贺伟凇方法一、定义为函数文件方法一、定义为函数文件方法二、定义为符号函数方法二、定义为符号函数程序如下：

5、 syms x f=exp(x)/(x+1);x=0.5;g=eval(f)运行结果如下： g = 1.0991电子信息工程系电子信息工程系 贺伟凇贺伟凇三、求函数的零点三、求函数的零点 在实际应用中经常涉及到求函数零点的问题。在实际应用中经常涉及到求函数零点的问题。Matlab提供了函数提供了函数fzero用于求函数的零点，其基本调用格式为：用于求函数的零点，其基本调用格式为：z=fzero(f,x) 说明：其中函数说明：其中函数f是要求零点的函数。是要求零点的函数。x是计算的初始值是计算的初始值，既可以是标量也可以是二维向量。当，既可以是标量也可以是二维向量。当x是标量时函数自动是标量时函

6、数自动在初始值附近找到函数值异号的区间，然后迭代求出函数值在初始值附近找到函数值异号的区间，然后迭代求出函数值为零时自变量的值，若找不到，则返回为零时自变量的值，若找不到，则返回NaN；当；当x为二维向为二维向量时，函数在区间寻找函数值为零时自变量的值，此时要求量时，函数在区间寻找函数值为零时自变量的值，此时要求在处的函数值异号，否则系统会显示出错。在处的函数值异号，否则系统会显示出错。 注意：参数注意：参数x应该是很接近零点的一个数（一般先用较应该是很接近零点的一个数（一般先用较粗略的方法找到计算初始值粗略的方法找到计算初始值x，再用这个函数进行精确计算，再用这个函数进行精确计算），否则误差

7、较大。），否则误差较大。电子信息工程系电子信息工程系 贺伟凇贺伟凇电子信息工程系电子信息工程系 贺伟凇贺伟凇四、多项式函数四、多项式函数1多项式的表示方法多项式的表示方法 Matlab中的多项式可以用一般函数表达式的中的多项式可以用一般函数表达式的表示方法，也可以将多项式写为行向量，其中表示方法，也可以将多项式写为行向量，其中数为多项式降幂书写时每次幂的系数，缺项多数为多项式降幂书写时每次幂的系数，缺项多项式要补零。项式要补零。电子信息工程系电子信息工程系 贺伟凇贺伟凇方法一、定义为符号函数方法一、定义为符号函数syms x;f=3*x4-x2+x-1方法二、用行向量定义，可以将之恢复为多项式

8、方法二、用行向量定义，可以将之恢复为多项式 的一般形式，用函数的一般形式，用函数poly2sym()A=3 0 -1 1 -1f=poly2sym(A)得到：得到：f =3*x4-x2+x-1电子信息工程系电子信息工程系 贺伟凇贺伟凇n 2常用多项式函数常用多项式函数 （1）多项式求根函数）多项式求根函数roots(A)，参数，参数A是一个表示多项是一个表示多项式的行向量。其结果也是一个行向量。式的行向量。其结果也是一个行向量。 （2）多项式四则运算）多项式四则运算 如果是用符号函数定义的多项式，其四则运算和一般符如果是用符号函数定义的多项式，其四则运算和一般符号函数相同。号函数相同。 注意：

9、很多时候多项式都是以行向量的形式表示的，这注意：很多时候多项式都是以行向量的形式表示的，这时，对于两个次数不同的多项式要进行加减运算，需要将时，对于两个次数不同的多项式要进行加减运算，需要将低阶多项式行向量前面补低阶多项式行向量前面补0，让两个多项式的维数（向量，让两个多项式的维数（向量中数字的个数）相同。中数字的个数）相同。电子信息工程系电子信息工程系 贺伟凇贺伟凇（3）多项式相乘用函数）多项式相乘用函数conv(A1,A2)；（4）多项式相除用函数）多项式相除用函数deconv(A1,A2)。它们的参数。它们的参数A1，A2都是表示多项式的行向量。函数都是表示多项式的行向量。函数decon

10、v(A1,A2)的格式有两种：的格式有两种： （a）deconv(f,g)返回返回f除以除以g的商；的商； （b）q,r=deconv(f,g)计算计算f除以除以g，q表示商，表示商，r表表示余式。示余式。电子信息工程系电子信息工程系 贺伟凇贺伟凇3表达式的变形表达式的变形（1）因式分解函数）因式分解函数factor(f)对表达式进行因式分解；对表达式进行因式分解；（2）表达式展开函数）表达式展开函数expand(f)，将表达式，将表达式f 展开。展开。 注意：函数中的参数可以是任意的函数，这里即注意：函数中的参数可以是任意的函数，这里即使是多项式函数也不能以向量的形式给出。使是多项式函数也不

11、能以向量的形式给出。电子信息工程系电子信息工程系 贺伟凇贺伟凇 一、用一、用MATLAB计算极限计算极限 电子信息工程系电子信息工程系 贺伟凇贺伟凇 注意：注意：（1）F是被求极限的函数表达式，要以符号表达式是被求极限的函数表达式，要以符号表达式的方式定义，当中出现的字母以及的方式定义，当中出现的字母以及F（如果要用（如果要用的话），事先要定义为符号变量；的话），事先要定义为符号变量；（2）参数）参数a可以是有限的数，也可以是无穷大，无可以是有限的数，也可以是无穷大，无穷大用穷大用inf表示；表示；（3）结果输出可以是数值、无穷大）结果输出可以是数值、无穷大inf、不定值、不定值NaN，当函数

12、中有待定参数时，输出的还可以是，当函数中有待定参数时，输出的还可以是表达式。表达式。电子信息工程系电子信息工程系 贺伟凇贺伟凇二、函数的连续性二、函数的连续性 没有专门用于判断函数连续性的系统函数。于是利用极限来判没有专门用于判断函数连续性的系统函数。于是利用极限来判断函数的连续性。可以编写如下的通用程序断函数的连续性。可以编写如下的通用程序lxx.m，来判断函数，来判断函数f在在x0点的连续性。点的连续性。syms x;f=input(f=)x0=input(x0=)z=limit(f,x,x0);x=x0;f1=eval(f);if z=f1 函数在该点连续函数在该点连续else 函数在该

13、点不连续函数在该点不连续end电子信息工程系电子信息工程系 贺伟凇贺伟凇课外上机实验课外上机实验电子信息工程系电子信息工程系 贺伟凇贺伟凇电子信息工程系电子信息工程系 贺伟凇贺伟凇微分学实验微分学实验一、符号微分1一元函数的符号微分电子信息工程系电子信息工程系 贺伟凇贺伟凇2多元函数的偏导数 由于偏导数是将其他变量当作常量来求导的，所以仍然可以用diff来求多元函数的偏导数。电子信息工程系电子信息工程系 贺伟凇贺伟凇二、数值微分 数值微分是用离散的方法近似地计算函数在某点的导数值（变化率）。实际情况中，函数往往是以统计数据表格的形式给出的一系列离散的数据，因而数值微分具有较强的实用性。电子信息

14、工程系电子信息工程系 贺伟凇贺伟凇电子信息工程系电子信息工程系 贺伟凇贺伟凇电子信息工程系电子信息工程系 贺伟凇贺伟凇电子信息工程系电子信息工程系 贺伟凇贺伟凇电子信息工程系电子信息工程系 贺伟凇贺伟凇三、求函数的极值 在实际工作中经常遇到求函数极值的问题。这时一般方法是先求出函数的一阶导数为零的点以及一阶导数不存在的点，然后从中选出极值点，需要时带入函数表达式求出极值。对于简单的函数，可以编程按照这个方法求解。电子信息工程系电子信息工程系 贺伟凇贺伟凇 另外，当碰到函数很复杂的情况时，为避免求更加复杂的导函数解析式，可以使用数值方法。下面介绍求一元函数的极值的一个函数：fminbnd，该函数

15、是通过迭代算法找出一元函数的局部极小值，其常用格式有以下几种：n x = fminbnd(f,x1,x2)n x = fminbnd(f,x1,x2,options)n x,fval = fminbnd(.)n x,fval,exitflag = fminbnd(.)电子信息工程系电子信息工程系 贺伟凇贺伟凇说明：（1）求函数f在区间上的一个极小值。注意此区间不宜太大，最好只含有函数的一个极小值；如果在该区间函数有多个极小值，则只搜索最小的极小值当中的一个；（2）options是可选项，是一个向量，常用的几个选项有：options.Dispaly 决定是否显示求最小值的迭代步骤，若为非0值则显

16、示，否则不显示；默认值是0；options.TolX 是迭代时的误差控制范围，默认是1e-4；options.MaxIter 是最大的迭代步骤，默认为500。电子信息工程系电子信息工程系 贺伟凇贺伟凇（3）x返回极值点，fval返回极值，exitflag若返回1表示搜索成功，若为-1表示没有搜索到极小值点，若为0表示已经达到迭代的最大次数；（4）也可以用fminbnd 来求函数的极大值，这时只需求函数的极小值即可。电子信息工程系电子信息工程系 贺伟凇贺伟凇积分学实验 积分运算比微分运算复杂得多。微积分课程的学习让我们可以通过求被积函数的原函数来得到积分结果，在MATLAB中这种运算可以用函数i

17、nt来实现。另外我们也从微积分的学习了解到，有时即使知道被积函数有原函数，我们也无法将它表示为初等函数的形式，这时往往要用数值积分方法来求得。这方面的算法很多，我们将介绍比较成熟的几种。本书只介绍一元函数的积分。对于重积分，可以将之转化为累次积分再利用下列函数计算。电子信息工程系电子信息工程系 贺伟凇贺伟凇一、符号积分1不定积分 函数常用格式：int(f,x)返回函数f的原函数。当函数f中有多个字母时，用参数x来指明积分变量；当函数f中仅有一个字母时，参数x可以省略。 要注意，MATLAB所求的原函数中没有任意常数c。电子信息工程系电子信息工程系 贺伟凇贺伟凇 2定积分 求定积分也可以用函数i

18、nt，这时格式为：int(f,x,a,b)其中f为被积函数，x为被积变量，a为积分下限，b为积分上限。在不至于引起混淆时，x可以省略。电子信息工程系电子信息工程系 贺伟凇贺伟凇二、数值积分 如果函数是离散数据给出的，或者无法找出原函数的积分，这时可以用数值积分法得到积分近似值。对定积分定义的学习让我们知道，定积分的计算是将小区间上的曲边梯形的面积用规则图形的面积近似代替，然后取极限得到精确值的。因此在找积分值时，如果用梯形近似代替小曲边梯形得到的积分算法，就叫梯形求积算法，在此基础上为计算更加快速、精确而对算法作一些优化，可以得到很多算法。对具体算法感兴趣的读者可以阅读数值计算方法方面的书籍。本书仅介绍相关函数的使用。电子信息工程系电子信息工程系 贺伟凇贺伟凇1梯形求积分函数trapz() 常用格式有：trapz(Y)，trapz(X,Y) 其中，X，Y是同维向量，trapz(Y)表示对被积函数Y以间距为1取点，根据所得到的函数值Y进行梯形积分计算，如果取点时是以a为间距取的，则实际积分值为trapz(Y)*a；当间距不均匀时，采用trapz(X,Y)，它是求Y关于X的积分值。电子信息工程系电子信息工程系 贺伟凇贺伟凇电子信息工程系电子信息工程系 贺伟凇贺伟凇程序如