第四节中心极限定理演示文稿1

1、 4.4 中心极限定理中心极限定理问题：为什么有哪么多的随机变量服从正态分布问题：为什么有哪么多的随机变量服从正态分布？答案：服从正态分布的随机变量实质上可看作是多个答案：服从正态分布的随机变量实质上可看作是多个 随机变量之和。随机变量之和。例例4.4.1二项分布是二项分布是n个独立同分布的两点分布之和，个独立同分布的两点分布之和， 当当n 趋于无穷大时，二项分布接近正态分布。趋于无穷大时，二项分布接近正态分布。演示演示nnnn114.4.2X 0 1Y, P ( ) Y101P ( )=0niiXxyx例设为独立同分布的随机变量序列，都服从 ，上的均匀分布，令为的密度函数，用卷积公式可求得：

2、其他一、独立随机变量的和的趋势一、独立随机变量的和的趋势2232/2013/2)3/412P ( )=(3- ) /2230yyyyxyy（其他2333343/6014(1) /612P ( )= (4- )4(3) /623(4- ) /6340yyyyyxyyyyy其他从图形上可看出从图形上可看出,密度函数曲线随密度函数曲线随着着n 的增大，愈的增大，愈来愈光滑，愈来来愈光滑，愈来愈接近正态分布。愈接近正态分布。0 1 2 3 41y1234P(y)P(y)P(y)P(y)P(y) 201 P ( )= 2-12 0yyxyy其他1105或或 n(1-p)5 时，用正态近似。时，用正态近似

3、。221lim()( )2txnnnpPxedtxnpq 则三、二项分布的正态近似计算三、二项分布的正态近似计算(2)在应用二项分布的正态近似时,我们是用一个连续随机变量的分布来近似一个离散随机变量的分布.对于含端点的区间要进行修正：()110.50.522nnp abbnpanpp abnpqnpq 说明：说明：n(1)P() = ( )=n 1n 2n3n yyyyyy用正态近似计算二项分布问题时，所用的重要关系式为，其中有三个参量： 、 、不外乎解决三类问题： 、已知、 求、已知 、求、已知、求,对上式应用积分中值定理 有221.2k npnpqen11k-npp(=k)npqnpqnp

4、q30.50.50.50.5nnpkp kkknpknpnpqnpq （ ）用正态分布的密度函数可求二项分布中单点概率值。20.520.512knptdtnpqknpnpqe4 4 4,95%1/60.01,?例 . . 任掷一颗均匀的骰子 为了至少有的把握使六点向上的频率与概率之差落在的范围之内问需要抛掷多少次1:0.010.956npnn解 问题是求满足不等式中的5().:36nnDnpq显见由切比雪夫不等式得22150.0111636(0.01)0.01nnDnpnn ,27778.n 解上述不等式 我们求得1610.01610.016()nnnn27778195%n60.01意味着当时

5、，频率以大于的把握落在的半径为的邻域内。0.95,4.4.2y利用定理估计，属于已知、求 n,(4.10):q 15解:我们有p=由式得661110.010.010.01666nnppnnn110.010.0166665n5n66nnnn 20.012 51n 10.010.95,6npn欲20.012 510.95,n 只要0.012 50.975,n即:0.012 51.96,n 查表得5.336n 从而4 45,例 . .某工厂生产了一批螺丝钉 这批螺丝钉大约有5%是次品,如果检查了1000只螺丝钉,问下列事件的概率是多少?(1)40;恰有只次品(2)次品数不少于40只;(3)次品数在4

6、0只至60只之间;1000(1)40p解：140 1000 0.051000 0.05 0.951000 0.05 0.951.4516.89210000.1392:400.0202,6.892p查表得ny属于已知、求1000100040400.5400.5400.5 1000 0.05400.5 1000 0.051000 0.05 0.951000 0.05 0.950.0202p 也可用1000100040401000pp(2)1110001000*0.05401000*0.05221000*0.05*0.951000*0.05*0.95 137.9141.52411.5241.524

7、1000:400.936p查表得10004060p（）11601000*0.05401000*0.05221000*0.05*0.951000*0.05*0.95 21.5241 1000:40600.872p查表得4 6150例. . 一个车间有台机床相互独立地工作,每台机床工作时需要电力都是5千瓦,因为换料.检修等原因,60%,每台机床平均只有的时间工作 试问要供给这个车间多少电才能以99.87%的概率保证这个车间的用电?150150(5)05HpHp解：11150*0.6150*0.6522150*0.6*0.4150*0.6*0.4H 447.515.08330H 447.50.998

8、730H 447.5:3,537.530HH查表得得ny属于已知 、求538要供给这个车间千瓦电力才能以99.87%的概率保证这个车间正常工作。四、独立不同分布下的中心极限定理四、独立不同分布下的中心极限定理1n11,.,.Y,.nniinXXXXX独立不同分布 即各随机变量的取值互不影响但取值的规律不一样研究的分布，要求序列中不能有个别项起主导的关键作用，也即要求所有各项都“均匀的起着微不足道的不同的作用”。下面我们寻求一个数学表达式来描述这个要求：21iiiin1,.EXDXYnniiXXX设且令*211iinni11n2i1XY( B)BnniinniiniiiX将其进行标准化变换*ii

9、nnXY0,B要求中各项都“均匀的小”，即对事件iiiiinnXAXBB发生的概率趋于零。iinn1 i nlim Pma |X| B0 x 即niiniin1 i ni=1Pma |X| BP|X| Bx 因为iiniini|X| B11P|X| BP( ) nniix dx i(X假设为连续型）iin2iii22|X| B1n1(X) P( ) Bnix dx iinn2iii22|X| Bn1nY10,lim(X) P( ) 0Bnix dx *因此，就找到了保证中各项“均匀的小”的条件：对有此为林德贝格条件。2nt2in1n4.4.3X 11lime( )B2nxiixXxdtx 定理

10、（林德贝格中心极限定理）若满足林德贝格条件则对，（）1、对于独立同分布、方差有限的随机变量序列，显然满足、对于独立同分布、方差有限的随机变量序列，显然满足 林德贝格条件，可见，定理林德贝格条件，可见，定理4.4.1 是定理是定理4.4.3 的特例。的特例。说明说明2、林德贝格条件虽然很一般，但比较难验证。此定理的证、林德贝格条件虽然很一般，但比较难验证。此定理的证 明略去。下面的李亚普诺夫条件易验证，且应用方便。明略去。下面的李亚普诺夫条件易验证，且应用方便。22+ni2+n1nt2in1n4.4.41X ,0,lim(|)0B11lime( )B2niinxiiXxXxdtx 定理（李亚普诺

11、夫中心极限定理）设随机变量序列若存在有则对，（）证明略证明略例例4.4.7 一份考卷有一份考卷有99个题目组成，个题目组成， 并按由易到难得顺序排并按由易到难得顺序排 列，某学生答对第一道题的概率为列，某学生答对第一道题的概率为0.99，答对第二道题的，答对第二道题的 概率为概率为0.98，答对第三道题的概率为，答对第三道题的概率为0.97，.假如该学假如该学 生回答各题目是独立的，并且要求回答其中生回答各题目是独立的，并且要求回答其中60个题目以上个题目以上 （含（含60）才算通过考试。计算该学生通过考试的概率）才算通过考试。计算该学生通过考试的概率? i1iXi1 2 .990i该学生答对第 道题解：设，该学生答错第 道题199i, ,X01Pi/1001 i/100XX显 然相 互 独 立 ， 且991P(60)=iiX我们要求的是？10099XX=1设想从以后的随机变量与同分布，且独立。取nnii11B =D =P(1 P)nniiiX 333iiiiiiiiE(|Xp | )P(1 P)P (1 P)P(1 P)n2+1i2+11/21nii111(|)0BP(1 P)niniiX 于是nX 即满足李亚普