第五节极限运算法则课件

1、1三、复合函数的极限运算法则三、复合函数的极限运算法则 二、极限的四则运算法则二、极限的四则运算法则 一、无穷小运算法则一、无穷小运算法则 第五节 极限运算法则2时时, 有有12min,一、一、 无穷小运算法则无穷小运算法则定理定理1 有限个无穷小的和还是无穷小有限个无穷小的和还是无穷小 .证证: 设设0lim0,xx0lim0.xx0,10,当当010 xx时时 , 有有2.20,当当020 xx时时 , 有有2取取则当则当00 xx22因此因此0lim ()0.xx当当0 xx时时,为无穷小量为无穷小量 .证明两个无证明两个无穷穷 小小 的的 和和3注注: 无限个无穷小之和不一定是无穷小无

2、限个无穷小之和不一定是无穷小 !如如:1211lim222nnnnnn14定理定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小 . 证证: 设设01(,),xU x .uM又设又设0lim0,xx即即0,20,当当02(,)xU x时时, 有有M取取12min,则当则当0(,)xU x时时 , 就有就有uuMM故故0lim0,xxu即即u是是0 xx时的无穷小时的无穷小 .推论推论 1 常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小 .推论推论 2 有限个无穷小的乘积是无穷小有限个无穷小的乘积是无穷小 .5例例1 求求.sinlimxxx解解 1sinx01limxx

3、利用有界函数乘以无穷小仍为无穷小，可知利用有界函数乘以无穷小仍为无穷小，可知.0sinlimxxx说明说明 : y = 0 是是xxysin的渐近线的渐近线 .Oxyxxysin6二、二、 极限的四则运算法则极限的四则运算法则lim( ), lim ( ),f xAg xB则有则有lim ( )( )f xg xlim( )lim ( )f xg x证证 因因lim( )f xA( )f xA(其中其中, 为无穷小为无穷小) ( )( )()()f xg xAB()()AB无穷小无穷小AB定理定理 3 若若( )g xBlim ( )g xBlim ( )( )f xg x AB所以所以说明说

4、明: 定理定理 3 可推广到有限个函数相加、减的情形可推广到有限个函数相加、减的情形 .7推论推论: 若若lim( ), lim ( ),f xAg xB且且( )( ),f xg x则则.AB( )( )( )xf xg x利用保号性定理证明利用保号性定理证明 .提示提示: 令令定理定理 4 若若lim ( ),lim ( ),f xAg xB则有则有lim ( ) ( )f x g x lim( ) lim ( )f xg x提示提示: 利用极限与无穷小关系定理及本节定理利用极限与无穷小关系定理及本节定理2 证明证明 .说明说明: 定理定理 4 可推广到有限个函数相乘的情形可推广到有限个函

5、数相乘的情形 .推论推论 1 lim( )lim ( )C f xCf x( C 为常数为常数 )推论推论 2 lim ( )lim ( )nnf xf x( n 为正整数为正整数 )AB8例例2 设设 n 次多项式次多项式01( ),nnnP xaa xa x试证试证00lim( )().nnxxP xP x证证:0lim( )nxxP x01limxxax0limnnxxax0()nP x0a001lim ()nnxxaa xa x01 00nnaa xa x直直 接接代入代入 法法9为无穷小为无穷小(详见书详见书P44)B2B1)(1xg)(0 xUx定理定理 5 若若lim( ), l

6、im ( ),f xAg xB且且 B0 , 则有则有( )lim( )f xg xlim( )lim ( )f xg x证证: 因因lim( )f xA( )f xA其中其中,设设( )( )f xAg xBAABB1()B B()BAAB由极限与无穷小关系定理由极限与无穷小关系定理 , 得得( )lim( )f xAg xBlim( )lim ( )f xg x( )( )f xAg xB因此因此 为无穷小为无穷小, lim ( )g xB( )g xB有界有界无穷小无穷小10 x = 3 时分母为时分母为 0 !31lim3xxx例例3 22343lim9xxxx3(3)(1)lim(3

7、)(3)xxxxx13例例4 2123lim.54xxxx解解 x = 1 时时,2154lim23xxxx0215 142 1 3 2123lim54xxxx 分母分母 = 0 , 分子分子0 ,但因但因11定理定理6 若若lim, lim,nnnnxAyB则有则有(1) lim ()nnnxy(2) limn nnx y(3)00,nyB且limnnnxAyBABAB提示提示: 因为数列是一种特殊的函数因为数列是一种特殊的函数 , 故此定理可由故此定理可由定理定理3 , 4 , 5 直接得出结论直接得出结论 .12例例5 求求.125934lim22xxxxx解解 2211439lim11

8、52xxxxx 分子分母同除以分子分母同除以,2x则则54“ 抓大头抓大头”原式原式x 时，时， 分子分子 分母分母 13一般有如下结果：一般有如下结果：为非负常数为非负常数 )nmba,0(00mn 当( 如如 P47 例例5 )( 如如 P47 例例6 )( 如如 P47 例例7 )mmmxaxaxa110limnnnbxbxb110,00ba,0,mn 当mn 当mmmxaxaxa110limnmxxbxa00lim“ 抓大头抓大头”nnnbxbxb1101412312lim44xxxx例例6 （1）4432limxxx32（2）310ln(10025)limln(231)xxxxx31

9、0ln(100)limln(2)xxxln100 lnlimln 2 lnxxx3103103 lnlim10 lnxxx 10 3153)11(lim2baxxxx例例7 已知已知，求常数，求常数a,b3)11(lim2baxxxx31)1 ()()1 (lim2xbxabxax通分通分01a3ab1a4b1612limarctan .1xxxx例例8 求求x12 limarctan1xxx2212 limarctan1xxx() x( 2) ()212limarctan1xxxx0 x 当当时，时，注注：111,arctan,arccot,xexxx需求左右极限需求左右极限17重要结论：重

10、要结论：xxln当当时，时，以下各函数趋于以下各函数趋于速度速度xxnnnnalim0nnnln!lim)0(x) 1( aax18三、三、 复合函数的极限运算法则复合函数的极限运算法则定理定理7 设设,)(lim0axxx且且 x 满足满足100 xx时时,)(ax 又又,)(limAufau则有则有 )(lim0 xfxxAufau)(lim 说明说明: 若定理中若定理中,)(lim0 xxx则类似可得则类似可得 )(lim0 xfxxAufu)(lim19例例9 求求解解 令令.93lim23xxx932xxuux3lim6131lim3xx 原式原式 =uu61lim6166 当00

11、x 00lim.xxxx时时,20例例10 求求解解 方法方法 1.11lim1xxx,xu 则则, 1lim1ux令令11112uuxx1 u 原式原式) 1(lim1uu2方法方法 211lim1xxx1) 1)(1(lim1xxxx) 1(lim1xx2211. 极限运算法则极限运算法则(1) 无穷小运算法则无穷小运算法则(2) 极限四则运算法则极限四则运算法则(3) 复合函数极限运算法则复合函数极限运算法则注意使用条件注意使用条件2. 求函数极限的方法求函数极限的方法(1) 分式函数极限求法分式函数极限求法0) 1xx 时时, 用代入法用代入法( 要求分母不为要求分母不为 0 )0)2

12、xx 时时, 对对00型型 , 约去公因子约去公因子x)3时时 , 分子分母同除最高次幂分子分母同除最高次幂“ 抓大头抓大头”(2) 复合函数极限求法复合函数极限求法设中间变量设中间变量内容小结内容小结22思考及练习思考及练习1.若若)(limxf)()(limxgxf是否存在是否存在 ? 为什么为什么 ?答答: 不存在不存在 .反证法反证法.)()()()(xfxgxfxg)(limxg存在存在 ,与已知条件与已知条件矛盾矛盾.?321lim2222nnnnnn解解:原式原式22) 1(limnnnn)11(21limnn212.问问存在，存在，)(limxg不存在，不存在，233. 求求. )1(lim2xxxx解法解法 1 原式原式 =xxxx1lim21111lim2xx21解法解法 2 令令,1xt tttt1111lim2021则则原式原式 =22011limttt111lim20tt0t时，时，244. 试确定常数试确定常数 a 使使. 0)1(lim33xaxx解解 令令,1xt 则则tatt33011lim001atatt3301lim01lim330att故故1a25 练习题练习题4231222 xxxlim.x412222 xxlim.x35123322 xxxxlim.x34324223 xx