十字相乘和分组分解法

1、十字相乘法十字相乘法(1)(1)(x+3)(x+4) (x+3)(x+4) (2)(2)(x+3)(x-4)(x+3)(x-4)(3) (x-3)(x+4) (3) (x-3)(x+4) (4) (x-3)(x-4)(4) (x-3)(x-4)整式乘法中，有整式乘法中，有(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab=x=x2 2+7x+12+7x+12=x=x2 2-x-12-x-12=x=x2 2+x-12+x-12=x=x2 2-7x+12-7x+12(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab两个一次二项式两个一次二项式相乘的积相乘的积一个二次三项式一个二次三项式整式的乘法反过来，得

2、x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)一个一个二次三项式二次三项式两个一次二项式两个一次二项式相乘的相乘的积积因式分解 如果二次三项式如果二次三项式x2+px+q中的中的常数项系数常数项系数q能分能分解成两个因数解成两个因数a、b的积，而且的积，而且一次项系数一次项系数p又恰好又恰好是是a+b，那么，那么x2+px+q就可以进行如上的因式分解。就可以进行如上的因式分解。)2)(1(xx解：原式分析 (+1) (+2)2 (+1)(+2)+3xx12试一试：把试一试：把x x2 2+3x+2+3x+2分解因式分解因式常数项一次项系数十字交叉线利用十字交叉线来分解利用十字交叉线来分解系数，

3、把二次三项式分系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字解因式的方法叫做十字相乘法。相乘法。(1)因式分解竖直写(2)交叉相乘验中项(3)横向写出两因式十字相乘法公式十字相乘法公式：)()(2bxaxabxbax请大家记住公式请大家记住公式将下列各数表示成两个整数的积的形式（1）6=（2）-6= （3）12=（4）-12=（5）24=（6）-24=23 或或 (-2)(-3)或或16或或(-1) (-6)1 (-6)或或-16或或2 (-3)或或3 (-2)1 12或(-1)(-12)或2 6或(-2) (-6) 或34 或(-3) (-4)1 (-12)或或(-1)12或或2(- 6)或或(-

4、2) 6或或3(-4) 或或(-3) 41 24或或(-1)(-24)或或2 12或或(-2) (-12) 或或38或或(-3) (-8)或或4 6或或(-4) (-6) 1(- 24)或或(-1)24或或2 (-12)或或(-2) 12或或3(-8)或或(-3) 8或或4(-6)或或(-4) 6(1)x2-7x+12 (2)x2-4x-12 (3)x2+8x+12(4)x2-11x-12 (5)x2+13x+12 (6)x2-x-12 对于对于x2+px+q（1）当）当q0时，时，a、b，且，且a、b的符号与的符号与p的符号的符号。（2）当）当q0时，时，a、b，且且与与p的符号相同。的符号

5、相同。=(x-3)(x-4)=(x-6)(x+2)=(x+2)(x+6)=(x-12)(x+1)=(x+12)(x+1)=(x-4)(x+3)同号相同异号a、b中绝对值较大的因数5x2+6xy-8y25xx(1)因式分解竖直写(2)交叉相乘验中项(3)横向写出两因式2y例24y-+解解:原式原式=(5x-4y)(x+2y)分组分解法例例1：因式分解：因式分解：ayaxyx22解:原式= 这个多项式的前这个多项式的前两项两项用平方差公式分解后用平方差公式分解后与后与后两项两项有公因式有公因式(x+y)可继续分解可继续分解,这也是分这也是分组分解法中常见的情形组分解法中常见的情形.)()(yxay

6、xyx)(ayxyx例例2：因式分解：因式分解：2222cbaba解:原式= 如果把一个多项式分组后各组都能分解因式,且在各组分解后,各组之间各组之间又能继续分解因式,那么,这个多项式就可以用分组分解法分解因式.22)(cba)(cbacba分组要尝试！分组要尝试！ 不行再分组！不行再分组！十字要画叉！十字要画叉！分解要彻底！分解要彻底！分组分解法口诀方法方法 分类分类 分组方法分组方法 特点特点 分组分解法分组分解法 四项四项 二项、二项二项、二项 按字母分组按系按字母分组按系数分组符合公式的数分组符合公式的两项分组两项分组三项、一项三项、一项 先完全平方公式后平先完全平方公式后平方差公式方

7、差公式 五项五项 三项、二项三项、二项 各组之间有公因式各组之间有公因式 六项六项 三项、三项三项、三项二项、二项、二项二项、二项、二项 各组之间有公因式各组之间有公因式 三项、二项、一项三项、二项、一项 可化为二次三项式可化为二次三项式 因式分解：因式分解：练一练：练一练：(1)2ax-10ay+5by-bx(1)2ax-10ay+5by-bx(2)a2 -ab+ac-bc解：解：2ax-10ay+5by-bx2ax-10ay+5by-bx=(=(2ax-10ay)+(5by-bx)2ax-10ay)+(5by-bx)=2a(=2a(x-5y)+y(5y-x)x-5y)+y(5y-x)=2a(=2a(x-5y)x-5y)- -y(x-5y)y(x-5y)= (= (x-5y)x-5y) (2a(2a-y)-y)解：解：a2 -ab+ac-bc=(a2 ab)+(ac-bc)=a(a b)+c(a-b)=(a b)(a+c)(3)2ab-a2-b2+c2(4)a4b+2a3b2-a2b-2ab2 解：解：2ab-a2-b2+c2=c2-(-2ab+a2+b2)=c2-(a-b)2=c+(a-b)c-(a-b)=(c+a