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江苏省高考数学试卷2007-2020年

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江苏省 高考 数学试卷 2007 2020
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江苏省高考数学试卷2007-2020年,江苏省,高考,数学试卷,2007,2020
内容简介:
考点卡片1交集及其运算【知识点的认识】由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集,记作AB符号语言:ABx|xA,且xBAB实际理解为:x是A且是B中的相同的所有元素当两个集合没有公共元素时,两个集合的交集是空集,而不能说两个集合没有交集运算形状:ABBAAAAAABA,ABBABAABAB,两个集合没有相同元素A(UA)U(AB)(UA)(UB)【解题方法点拨】解答交集问题,需要注意交集中:“且”与“所有”的理解不能把“或”与“且”混用;求交集的方法是:有限集找相同;无限集用数轴、韦恩图【命题方向】掌握交集的表示法,会求两个集合的交集命题通常以选择题、填空题为主,也可以与函数的定义域,值域,函数的单调性、复合函数的单调性等联合命题2分段函数的解析式求法及其图象的作法【知识点的认识】分段函数是定义在不同区间上解析式也不相同的函数若函数在定义域的不同子集上的对应法则不同,可用几个式子来表示函数,这种形式的函数叫分段函数已知一个分段函数在某一区间上的解析式,求此函数在另一区间上的解析式,这是分段函数中最常见的问题【解题方法点拨】求解函数解析式的几种常用方法主要有1、待定系数法,如果已知函数解析式的构造时,用待定系数法;2、换元法或配凑法,已知复合函数fg(x)的表达式可用换元法,当表达式较简单时也可用配凑法;3、消参法,若已知抽象的函数表达式,则用解方程组消参的方法求解f(x);另外,在解题过程中经常用到分类讨论、等价转化等数学思想方法分段函数是一类重要的函数模型解决分段函数问题,关键抓住在不同的段内研究问题【命题方向】分段函数是今后高考的热点题型常考题型为函数值的求解,不等式有关问题,函数的图形相联系的简单问题3函数奇偶性的性质与判断【知识点的认识】如果函数f(x)的定义域关于原点对称,且定义域内任意一个x,都有f(x)f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数,其图象特点是关于(0,0)对称如果函数f(x)的定义域关于原点对称,且定义域内任意一个x,都有f(x)f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数,其图象特点是关于y轴对称【解题方法点拨】奇函数:如果函数定义域包括原点,那么运用f(0)0解相关的未知量;奇函数:若定义域不包括原点,那么运用f(x)f(x)解相关参数;偶函数:在定义域内一般是用f(x)f(x)这个去求解;对于奇函数,定义域关于原点对称的部分其单调性一致,而偶函数的单调性相反例题:函数yx|x|+px,xR是() A偶函数 B奇函数 C非奇非偶 D与p有关解:由题设知f(x)的定义域为R,关于原点对称因为f(x)x|x|pxx|x|pxf(x),所以f(x)是奇函数故选B 【命题方向】函数奇偶性的应用 本知识点是高考的高频率考点,大家要熟悉就函数的性质,最好是结合其图象一起分析,确保答题的正确率4利用导数研究函数的单调性【知识点的知识】1、导数和函数的单调性的关系:(1)若f(x)0在(a,b)上恒成立,则f(x)在(a,b)上是增函数,f(x)0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间;(2)若f(x)0在(a,b)上恒成立,则f(x)在(a,b)上是减函数,f(x)0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤:(1)确定f(x)的定义域;(2)计算导数f(x);(3)求出f(x)0的根;(4)用f(x)0的根将f(x)的定义域分成若干个区间,列表考察这若干个区间内f(x)的符号,进而确定f(x)的单调区间:f(x)0,则f(x)在对应区间上是增函数,对应区间为增区间;f(x)0,则f(x)在对应区间上是减函数,对应区间为减区间【典型例题分析】题型一:导数和函数单调性的关系典例1:已知函数f(x)的定义域为R,f(1)2,对任意xR,f(x)2,则f(x)2x+4的解集为()A(1,1)B(1,+) C(,1)D(,+)解:设g(x)f(x)2x4,则g(x)f(x)2,对任意xR,f(x)2,对任意xR,g(x)0,即函数g(x)单调递增,f(1)2,g(1)f(1)+24440,则由g(x)g(1)0得x1,即f(x)2x+4的解集为(1,+),故选:B题型二:导数和函数单调性的综合应用典例2:已知函数f(x)alnxax3(aR)()求函数f(x)的单调区间;()若函数yf(x)的图象在点(2,f(2)处的切线的倾斜角为45,对于任意的t1,2,函数g(x)=x3+x2f(x)+m2在区间(t,3)上总不是单调函数,求m的取值范围;()求证:ln22ln33ln44lnnn1n(n2,nN*)解:()f(x)=a(1-x)x(x0)(2分)当a0时,f(x)的单调增区间为(0,1,减区间为1,+);当a0时,f(x)的单调增区间为1,+),减区间为(0,1;当a0时,f(x)不是单调函数(4分)()f(2)=-a2=1得a2,f(x)2lnx+2x3g(x)=x3+(m2+2)x2-2x,g(x)3x2+(m+4)x2(6分)g(x)在区间(t,3)上总不是单调函数,且g(0)2g(t)0g(3)0(8分)由题意知:对于任意的t1,2,g(t)0恒成立,所以有:g(1)0g(2)0g(3)0,-373m-9(10分)()令a1此时f(x)lnx+x3,所以f(1)2,由()知f(x)lnx+x3在(1,+)上单调递增,当x(1,+)时f(x)f(1),即lnx+x10,lnxx1对一切x(1,+)成立,(12分)n2,nN*,则有0lnnn1,0lnnnn-1nln22ln33ln44lnnn122334n-1n=1n(n2,nN*)【解题方法点拨】 若在某区间上有有限个点使f(x)0,在其余的点恒有f(x)0,则f(x)仍为增函数(减函数的情形完全类似)即在区间内f(x)0是f(x)在此区间上为增函数的充分条件,而不是必要条件5利用导数研究函数的最值【利用导数求函数的最大值与最小值】1、函数的最大值和最小值观察图中一个定义在闭区间a,b上的函数f(x)的图象图中f(x1)与f(x3)是极小值,f(x2)是极大值函数f(x)在a,b上的最大值是f(b),最小值是f(x1)一般地,在闭区间a,b上连续的函数f(x)在a,b上必有最大值与最小值说明:(1)在开区间(a,b)内连续的函数f(x)不一定有最大值与最小值如函数f(x)=1x在(0,+)内连续,但没有最大值与最小值;(2)函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的;函数的极值是比较极值点附近函数值得出的(3)函数f(x)在闭区间a,b上连续,是f(x)在闭区间a,b上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件(4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个,而函数的极值可能不止一个,也可能没有一个 2、用导数求函数的最值步骤:由上面函数f(x)的图象可以看出,只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较,就可以得出函数的最值了设函数f(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导,则求f(x)在a,b上的最大值与最小值的步骤如下:(1)求f(x)在(a,b)内的极值;(2)将f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较得出函数f(x)在a,b上的最值【解题方法点拨】在理解极值概念时要注意以下几点:(1)按定义,极值点x0是区间a,b内部的点,不会是端点a,b(因为在端点不可导)(2)极值是一个局部性概念,只要在一个小领域内成立即可要注意极值必须在区间内的连续点取得一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值,在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值,也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系,即极大值不一定比极小值大,极小值不一定比极大值小 (3)若f(x)在(a,b)内有极值,那么f(x)在(a,b)内绝不是单调函数,即在区间上单调的函数没有极值(4)若函数f(x)在a,b上有极值且连续,则它的极值点的分布是有规律的,相邻两个极大值点之间必有一个极小值点,同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点,一般地,当函数f(x)在a,b上连续且有有限个极值点时,函数f(x)在a,b内的极大值点、极小值点是交替出现的,(5)可导函数的极值点必须是导数为0的点,但导数为0的点不一定是极值点,不可导的点也可能是极值点,也可能不是极值点6其他不等式的解法【知识点的知识】不等式的解法(1)整式不等式的解法(根轴法)步骤:正化,求根,标轴,穿线(偶重根打结),定解特例:一元一次不等式axb解的讨论;一元二次不等式ax2+bx+c0(a0)解的讨论(2)分式不等式的解法:先移项通分标准化,则(3)无理不等式:转化为有理不等式求解(4)指数不等式:转化为代数不等式(5)对数不等式:转化为代数不等式(6)含绝对值不等式应用分类讨论思想去绝对值; 应用数形思想;应用化归思想等价转化注:常用不等式的解法举例(x为正数):7基本不等式及其应用【概述】 基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式其可表述为:两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数公式为:a+b2ab(a0,b0),变形为ab(a+b2)2或者a+b2ab常常用于求最值和值域【实例解析】例1:下列结论中,错用基本不等式做依据的是 A:a,b均为负数,则2ab+b2a2 B:x2+2x2+12 C:sinx+4sinx4 D:aR+,(3-a)(1-3a)0解:根据均值不等式解题必须满足三个基本条件:“一正,二定、三相等”可知A、B、D均满足条件对于C选项中sinx2,不满足“相等”的条件,再者sinx可以取到负值故选:C A选项告诉我们正数的要求是整个式子为正数,而不是式子当中的某一个组成元素;B分子其实可以写成x2+1+1,然后除以分母就可换成基本不等式这个例题告诉我们对于一个式子也是可以用基本不等式的,而且求最值也很方便例2:利用基本不等式求y=xx2+2的最值?当0x1时,如何求y=x+1x2+2的最大值 解:当x0时,y0,当x0时,y=xx2+2=1x+2x,用基本不等式若x0时,0y24,若x0时,-24y0,综上得,可以得出-24y24,y=xx2+2的最值是-24与24 这是基本不等式在函数中的应用,他的解题思路是首先判断元素是否大于0,没有明确表示的话就需要讨论;然后把他化成基本不等式的形式,也就是化成两个元素(函数)相加,而他们的特点是相乘后为常数;最后套用基本不等式定理直接求的结果【基本不等式的应用】1、求最值例1:求下列函数的值域2、利用基本不等式证明不等式3、基本不等式与恒成立问题4、均值定理在比较大小中的应用【解题方法点拨】技巧一:凑项点评:本题需要调整项的符号,又要配凑项的系数,使其积为定值技巧二:凑系数例2:当0x4时,求yx(82x)的最大值解析:由0x4知,82x0,利用基本不等式求最值,必须和为定值或积为定值,此题为两个式子积的形式,但其和不是定值注意到2x+(82x)8为定值,故只需将yx(82x)凑上一个系数即可yx(82x)=122x(82x)12(2x+8-2x2)28当2x82x,即x2时取等号,当x2时,yx(8x2)的最大值为8评注:本题无法直接运用基本不等式求解,但凑系数后可得到和为定值,从而可利用基本不等式求最大值技巧三:分离例3:求y=x2+7x+10x+1(x-1)的值域解:本题看似无法运用基本不等式,不妨将分子配方凑出含有(x+1)的项,再将其分离y=x2+7x+10x+1=(x+1)2+5(x+1)+4x+1=(x+1)+4x+1+5,当x1,即x+10时,y2(x+1)4x+1+59(当且仅当x1时取“”号)技巧四:换元对于上面例3,可先换元,令tx+1,化简原式在分离求最值技巧五:结合函数f(x)x+ax的单调性技巧六:整体代换点评:多次连用最值定理求最值时,要注意取等号的条件的一致性,否则就会出错技巧七:取平方点评:本题将解析式两边平方构造出“和为定值”,为利用基本不等式创造了条件总之,我们利用基本不等式求最值时,一定要注意“一正二定三相等”,同时还要注意一些变形技巧,积极创造条件利用基本不等式8等差数列的性质【等差数列】如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,这个数列就叫做等差数列这个常数叫做等差数列的公差,公差常用字母d表示等差数列的通项公式为:ana1+(n1)d;前n项和公式为:Snna1+d2n(n1)或Sn=n(a1+an)2 (nN+),另一重要特征是若p+q2m,则有2amap+aq(p,q,m都为自然数)例:已知等差数列an中,a1a2a3an且a3,a6为方程x210x+160的两个实根(1)求此数列an的通项公式;(2)268是不是此数列中的项?若是,是第多少项?若不是,说明理由 解:(1)由已知条件得a32,a68又an为等差数列,设首项为a1,公差为d,a1+2d2,a1+5d8,解得a12,d2an2+(n1)22n4(nN*)数列an的通项公式为an2n4(2)令2682n4(nN*),解得n136268是此数列的第136项 这是一个很典型的等差数列题,第一问告诉你第几项和第几项是多少,然后套用等差数列的通项公式ana1+(n1)d,求出首项和公差d,这样等差数列就求出来了第二问判断某个数是不是等差数列的某一项,其实就是要你检验看符不符合通项公式,带进去检验一下就是的【等差数列的性质】(1)若公差d0,则为递增等差数列;若公差d0,则为递减等差数列;若公差d0,则为常数列; (2)有穷等差数列中,与首末两端“等距离”的两项和相等,并且等于首末两项之和; (3)m,nN+,则aman+(mn)d;(4)若s,t,p,qN*,且s+tp+q,则as+atap+aq,其中as,at,ap,aq是数列中的项,特别地,当s+t2p时,有as+at2ap; (5)若数列an,bn均是等差数列,则数列man+kbn仍为等差数列,其中m,k均为常数(6)an,an1,an2,a2,a1仍为等差数列,公差为d(7)从第二项开始起,每一项是与它相邻两项的等差中项,也是与它等距离的前后两项的等差中项,即2an+1an+an+2,2ananm+an+m,(nm+1,n,mN+) (8)am,am+k,am+2k,am+3k,仍为等差数列,公差为kd(首项不一定选a1)9平面向量数量积的性质及其运算【知识点的知识】1、平面向量数量积的重要性质:设a,b都是非零向量,e是与b方向相同的单位向量,a与b和夹角为,则:(1)ae=ea=|a|cos;(2)abab=0;(判定两向量垂直的充要条件)(3)当a,b方向相同时,ab=|a|b|;当a,b方向相反时,ab=-|a|b|;特别地:aa=|a|2或|a|=aa(用于计算向量的模)(4)cos=ab|a|b|(用于计算向量的夹角,以及判断三角形的形状)(5)|ab|a|b|2、平面向量数量积的运算律(1)交换律:ab=ba;(2)数乘向量的结合律:(a)b=(ab)=a(b);(3)分配律:(ab)ca(bc)【平面向量数量积的运算】 平面向量数量积运算的一般定理为(ab)2=a22ab+b2(a-b)(a+b)=a2-b2a(bc)(ab)c,从这里可以看出它的运算法则和数的运算法则有些是相同的,有些不一样【例题解析】例:由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则:“mnnm”类比得到“ab=ba”“(m+n)tmt+nt”类比得到“(a+b)c=ac+bc”;“t0,mtntmn”类比得到“c0,ac=bca=c”;“|mn|m|n|”类比得到“|ab|a|b|”;“(mn)tm(nt)”类比得到“(ab)c=a(bc)”;“acbc=ab”类比得到acbc=ba以上的式子中,类比得到的结论正确的是 解:向量的数量积满足交换律,“mnnm”类比得到“ab=ba”,即正确;向量的数量积满足分配律,“(m+n)tmt+nt”类比得到“(a+b)c=ac+bc”,即正确;向量的数量积不满足消元律,“t0,mtntmn”不能类比得到“c0,ac=bca=c”,即错误;|ab|a|b|,“|mn|m|n|”不能类比得到“|ab|a|b|”;即错误;向量的数量积不满足结合律,“(mn)tm(nt)”不能类比得到“(ab)c=a(bc)”,即错误;向量的数量积不满足消元律,acbc=ab”不能类比得到acbc=ba,即错误故答案为:向量的数量积满足交换律,由“mnnm”类比得到“ab=ba”;向量的数量积满足分配律,故“(m+n)tmt+nt”类比得到“(a+b)c=ac+bc”;向量的数量积不满足消元律,故“t0,mtntmn”不能类比得到“c0,ac=bca=c”;|ab|a|b|,故“|mn|m|n|”不能类比得到“|ab|a|b|”;向量的数量积不满足结合律,故“(mn)tm(nt)”不能类比得到“(ab)c=a(bc)”;向量的数量积不满足消元律,故acbc=ab”不能类比得到acbc=ba【考点分析】 本知识点应该所有考生都要掌握,这个知识点和三角函数联系比较多,也是一个常考点,题目相对来说也不难,所以是拿分的考点,希望大家都掌握10数量积表示两个向量的夹角【知识点的知识】 我们知道向量是有方向的,也知道向量是可以平行的或者共线的,那么,当两条向量a与b不平行时,那么它们就会有一个夹角,并且还有这样的公式:cos=ab|a|b|通过这公式,我们就可以求出两向量之间的夹角了【典型例题分析】例:复数z=3+i与它的共轭复数z对应的两个向量的夹角为60解:zz=3+i3-i=(3+i)2(3-i)(3+i)=2+23i4=12+32i=cos60+isin60复数z=3+i与它的共轭复数z对应的两个向量的夹角为60故答案为:60点评:这是个向量与复数相结合的题,本题其实可以换成是用向量(3,1)与向量(3,1)的夹角【考点点评】 这是向量里面非常重要的一个公式,也是一个常考点,出题方式一般喜欢与其他的考点结合起来,比方说复数、三角函数等,希望大家认真掌握11复数的运算复数的加、减、乘、除运算法则12复数的模【知识点的知识】1复数的概念:形如a+bi(a,bR)的数叫复数,其中a,b分别是它的实部和虚部若b0,则a+bi为实数;若b0,则a+bi为虚数;若a0,b0,则a+bi为纯虚数2、复数相等:a+bic+diac,bd(a,b,c,dR)3、共轭复数:a+bi与c+di共轭ac,b+d0(a,b,c,dR)4、复数的模:OZ的长度叫做复数za+bi的模,记作|z|或|a+bi|,即|z|a+bi|=a2+b213频率分布直方图【知识点的认识】1频率分布直方图:在直角坐标系中,横轴表示样本数据,纵轴表示频率与组距的比值,将频率分布表中的各组频率的大小用相应矩形面积的大小来表示,由此画成的统计图叫做频率分布直方图2频率分布直方图的特征图中各个长方形的面积等于相应各组的频率的数值,所有小矩形面积和为1从频率分布直方图可以清楚地看出数据分布的总体趋势从频率分布直方图得不出原始的数据内容,把数据表示成直方图后,原有的具体数据信息被抹掉3频率分布直方图求数据众数:频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标平均数:频率分布直方图各个小矩形的面积乘底边中点的横坐标之和中位数:把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于y轴的直线横坐标【解题方法点拨】绘制频率分布直方图的步骤:14相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式【知识点的认识】1相互独立事件:事件A(或B)是否发生,对事件B(或A)发生的概率没有影响,这样两个事件叫做相互独立事件2相互独立事件同时发生的概率公式: 将事件A和事件B同时发生的事件即为AB,若两个相互独立事件A、B同时发生,则事件AB发生的概率为: P(AB)P(A)P(B)推广:一般地,如果事件A1,A2,An相互独立,那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率之积,即: P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An)3区分互斥事件和相互独立事件是两个不同的概念:(1)互斥事件:两个事件不可能同时发生;(2)相互独立事件:一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响15古典概型及其概率计算公式【考点归纳】1定义:如果一个试验具有下列特征:(1)有限性:每次试验可能出现的结果(即基本事件)只有有限个;(2)等可能性:每次试验中,各基本事件的发生都是等可能的则称这种随机试验的概率模型为古典概型*古典概型由于满足基本事件的有限性和基本事件发生的等可能性这两个重要特征,所以求事件的概率就可以不通过大量的重复试验,而只要通过对一次试验中可能出现的结果进行分析和计算即可2古典概率的计算公式如果一次试验中可能出现的结果有n个,而且所有结果出现的可能性都相等,那么每一个基本事件的概率都是1n;如果某个事件A包含的结果有m个,那么事件A的概率为P(A)=mn=A中所含的基本事件数基本事件总数【解题技巧】1注意要点:解决古典概型的问题的关键是:分清基本事件个数n与事件A中所包含的基本事件数因此要注意清楚以下三个方面:(1)本试验是否具有等可能性;(2)本试验的基本事件有多少个;(3)事件A是什么2解题实现步骤:(1)仔细阅读题目,弄清题目的背景材料,加深理解题意;(2)判断本试验的结果是否为等可能事件,设出所求事件A;(3)分别求出基本事件的个数n与所求事件A中所包含的基本事件个数m;(4)利用公式P(A)=mn求出事件A的概率3解题方法技巧:(1)利用对立事件、加法公式求古典概型的概率(2)利用分析法求解古典概型16离散型随机变量及其分布列【考点归纳】1、相关概念;(1)随机变量:如果随机试验的结果可以用一个变量来表示,那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母、等表示(2)离散型随机变量:对于随机变量可能取的值,可以按一定次序一一列出,这样的随机变量叫做离散型随机变量若是随机变量,a+b,其中a、b是常数,则也是随机变量(3)连续型随机变量:对于随机变量可能取的值,可以取某一区间内的一切值,这样的变量就叫做连续型随机变量 (4)离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系:离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果;但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出,而连续性随机变量的结果不可以一一列出2、离散型随机变量(1)随机变量:在随机试验中,试验可能出现的结果可以用一个变量X来表示,并且X是随着试验结果的不同而变化的,这样的变量X叫做一个随机变量随机变量常用大写字母X,Y,表示,也可以用希腊字母,表示(2)离散型随机变量:如果随机变量X的所有可能的取值都能一一列举出来,则称X为离散型随机变量3、离散型随机变量的分布列(1)定义:一般地,设离散型随机变量X的所有可能值为x1,x2,xn;X取每一个对应值的概率分别为p1,p2,pn,则得下表: X x1 x2 xi xn P p1 p2 pi pn该表为随机变量X的概率分布,或称为离散型随机变量X的分布列(2)性质:pi0,i1,2,3,n;p1+p2+pn117程序框图【知识点的知识】1程序框图(1)程序框图的概念:程序框图又称流程图,是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形;(2)构成程序框的图形符号及其作用程序框名称功能起止框表示一个算法的起始和结束,是任何算法程序框图不可缺少的输入、输出框表示一个算法输入和输出的信息,可用在算法中任何需要输入、输出的位置处理框赋值、计算算法中处理数据需要的算式、公式等,它们分别写在不同的用以处理数据的处理框内判断框判断某一条件是否成立,成立时在出口处标明“是”或“Y”;不成立时在出口处标明则标明“否”或“N”流程线算法进行的前进方向以及先后顺序连结点连接另一页或另一部分的框图注释框帮助编者或阅读者理解框图(3)程序框图的构成一个程序框图包括以下几部分:实现不同算法功能的相对应的程序框;带箭头的流程线;程序框内必要的说明文字18归纳推理【知识点的认识】1归纳推理:由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或由个别事实概括出一般结论的推理 推理形式:设SA1,A2,A3,An, A1具有属性pA2具有属性pAn具有属性pS类事物中的每一个对象都可能具有属性p2特点:(1)归纳推理的前提是几个已知的特殊现象,归纳得出的结论是尚属未知的一般现象,该结论超越了前提所包容的范围;(2)归纳推理得到的结论具有猜测性质,结论是否真实,需要通过逻辑证明和实践检验,不能作为数学证明的工具;(3)归纳推理是一种具有创造性的推理,通过归纳推理得到的猜想,可以作为进一步研究的起点,帮助人们发现问题和提出问题3作用:(1)获取新知,发现真理;(2)说明和论证问题【解题技巧点拨】归纳推理一般步骤:(1)对有限的资料进行观察、分析、归纳、整理;(2)提出带有规律性的结论,即猜想;(3)检验猜想【命题方向】归纳推理主要以填空、选择题的形式出现,比较基础,考查对归纳推理的理解,会运用归纳推理得出一般性结论(1)考查对归纳推理理解掌握归纳推理的定义与特点,注意区分与类比推理、演绎推理的不同例1:下列表述正确的是()归纳推理是由部分到整体的推理;归纳推理是由一般到一般的推理;演绎推理是由一般到特殊的推理;类比推理是由特殊到一般的推理;类比推理是由特殊到特殊的推理ABCD分析:本题考查的知识点是归纳推理、类比推理和演绎推理的定义,根据定义对5个命题逐一判断即可得到答案解答:归纳推理是由部分到整体的推理,演绎推理是由一般到特殊的推理,类比推理是由特殊到特殊的推理故是正确的故选D点评:判断一个推理过程是否是归纳推理关键是看他是否符合归纳推理的定义,即是否是由特殊到一般的推理过程判断一个推理过程是否是类比推理关键是看他是否符合类比推理的定义,即是否是由特殊到与它类似的另一个特殊的推理过程判断一个推理过程是否是演绎推理关键是看他是否符合演绎推理的定义,即是否是由一般到特殊的推理过程例2:下列推理是归纳推理的是()AA,B为定点,动点P满足|PA|PB|2a|AB|(a0),则动点P的轨迹是以A,B为焦点的双曲线B由a12,an3n1求出S1,S2,S3,猜想出数列an的前n项和Sn的表达式C由圆x2+y2r2的面积Sr2,猜想出椭圆x2a2+y2b2=1的面积SabD科学家利用鱼的沉浮原理制造潜水艇分析:根据归纳推理的定义,对各个选项进行判断解答:A选项用的双曲线的定义进行推理,不符合要求B选项根据前3个S1,S2,S3的值,猜想出Sn的表达式,属于归纳推理,符合要求C选项由圆x2+y2r2的面积Sr2,猜想出椭圆x2a2+y2b2=1的面积Sab,用的是类比推理,不符合要求D选项用的是演绎推理,不符合要求故选B点评:本题主要考查归纳推理的定义,归纳推理、类比推理、演绎推理的区别联系,属于基础题(2)考查归纳推理的运用做题的关键是读懂题意例:对大于或等于2的自然数的正整数幂运算有如下分解方式:221+3 321+3+5 421+3+5+7233+5 337+9+11 4313+15+17+19根据上述分解规律,若m21+3+5+11,n3的分解中最小的正整数是21,则m+n()A10 B11 C12 D13分析:根据m21+3+5+11,n3的分解中最小的正整数是21,利用所给的分解规律,求出m、n,即可求得m+n的值解答:m21+3+5+11=1+1126=36,m6233+5,337+9+11,4313+15+17+19,5321+23+25+27+29,n3的分解中最小的数是21,n353,n5m+n6+511故选B点评:本题考查归纳推理,考查学生的阅读能力,确定m、n的值是解题的关键19三角函数的恒等变换及化简求值【概述】 三角函数的恒等变化主要是指自变量x数值比较大时,如何转化成我们常见的数值比较小的而且相等的三角函数,主要的方法就是运用它们的周期性【公式】正弦函数有ysin(2k+x)sinx,sin(2+x)sin(2-x)cosx余弦函数有ycos(2k+x)cosx,cos(2-x)sinx正切函数有ytan(k+x)tanx,tan(2-x)cotx,余切函数有ycot(2-x)tanx,cot(k+x)cotx【例题解析】例:sin60cos(45)sin(420)cos(570)的值等于解:sin60=32,cos(-45)=cos45=22,sin(-420)=sin(-1360-60)=-sin60=-32,cos(-570)=cos(-1360-210)=cos210=cos(180+30)=-cos30=-32,原式=3222-(-32)(-32)=6-34 先利用诱导公式把sin(420)和cos(570)转化成sin60和cos30,利用特殊角的三角函数值求得问题的答案这其实也就是一个化简求值的问题,解题时的基本要求一定要是恒等变换【考点点评】 本考点是三角函数的基础知识,三角函数在高考中占的比重是相当大的,所有有必要认真掌握三角函数的每一个知识点,而且三角函数的难度相对于其他模块来说应该是比较简单的20正切函数的图象【知识点的知识】正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质函数ysin xycos xytan x图象定义域RRkZ值域1,11,1R单调性递增区间:2k-2,2k+2(kZ);递减区间:2k+2,2k+32(kZ)递增区间:2k,2k(kZ);递减区间:2k,2k+(kZ)递增区间:(kZ)最值x2k+(kZ)时,ymax1;x2k(kZ)时,ymin1x2k(kZ)时,ymax1;x2k+(kZ) 时,ymin1无最值奇偶性奇函数偶函数奇函数对称性对称中心:(k,0)(kZ)对称轴:xk+2,kZ对称中心:(k+2,0)(kZ)对称轴:xk,kZ对称中心:(k2,0)(kZ)无对称轴周期2221正弦定理【知识点的知识】1正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容asinA=bsinB=csinC=2R ( R是ABC外接圆半径)a2b2+c22bccosA,b2a2+c22accosB,c2a2+b22abcosC变形形式a2RsinA,b2RsinB,c2RsinC;sinA=a2R,sinB=b2R,sinC=c2R;a:b:csinA:sinB:sinC;asinBbsinA,bsinCcsinB,asinCcsinAcosA=b2+c2-a22bc,cosB=a2+c2-b22ac,cosC=a2+b2-c22ab解决三角形的问题已知两角和任一边,求另一角和其他两条边;已知两边和其中一边的对角,求另一边和其他两角已知三边,求各角;已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两角在ABC中,已知a,b和角A时,解的情况 A为锐角A为钝角或直角图形关系式absinAbsinAababab解的个数一解两解一解一解由上表可知,当A为锐角时,absinA,无解当A为钝角或直角时,ab,无解2、三角形常用面积公式1S=12aha(ha表示边a上的高);2S=12absinC=12acsinB=12bcsinA3S=12r(a+b+c)(r为内切圆半径)【正余弦定理的应用】1、解直角三角形的基本元素2、判断三角形的形状3、解决与面积有关的问题4、利用正余弦定理解斜三角形,在实际应用中有着广泛的应用,如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识(1)测距离问题:测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题,用正弦定理就可解决解题关键在于明确:测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题,一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题,再运用正弦定理解决;测量两个不可到达的点之间的距离问题,首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题,然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题(2)测量高度问题:解题思路:测量底部不可到达的建筑物的高度问题,由于底部不可到达,因此不能直接用解直角三角形的方法解决,但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离,然后转化为解直角三角形的问题对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题,我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁,然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形,在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可点拨:在测量高度时,要理解仰角、俯角的概念仰角和俯角都是在同一铅锤面内,视线与水平线的夹角当视线在水平线之上时,成为仰角;当视线在水平线之下时,称为俯角22余弦定理【知识点的知识】1正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容asinA=bsinB=csinC=2R ( R是ABC外接圆半径)a2b2+c22bccos A,b2a2+c22accos_B,c2a2+b22abcos_C变形形式a2Rsin A,b2Rsin_B,c2Rsin_C;sin A=a2R,sin B=b2R,sin C=c2R;a:b:csinA:sinB:sinC;asin Bbsin A,bsin Ccsin B,asin Ccsin Acos A=b2+c2-a22bc,cos B=a2+c2-b22ac,cos C=a2+b2-c22ab解决三角形的问题已知两角和任一边,求另一角和其他两条边;已知两边和其中一边的对角,求另一边和其他两角已知三边,求各角;已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两角【正余弦定理的应用】1、解直角三角形的基本元素2、判断三角形的形状3、解决与面积有关的问题4、利用正余弦定理解斜三角形,在实际应用中有着广泛的应用,如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识(1)测距离问题:测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题,用正弦定理就可解决解题关键在于明确:测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题,一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题,再运用正弦定理解决;测量两个不可到达的点之间的距离问题,首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题,然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题(2)测量高度问题:解题思路:测量底部不可到达的建筑物的高度问题,由于底部不可到达,因此不能直接用解直角三角形的方法解决,但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离,然后转化为解直角三角形的问题对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题,我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁,然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形,在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可点拨:在测量高度时,要理解仰角、俯角的概念仰角和俯角都是在同一铅锤面内,视线与水平线的夹角当视线在水平线之上时,成为仰角;当视线在水平线之下时,称为俯角23解三角形【知识点的知识】1已知两角和一边(如A、B、C),由A+B+C求C,由正弦定理求a、b2已知两边和夹角(如a、b、c),应用余弦定理求c边;再应用正弦定理先求较短边所对的角,然后利用A+B+C,求另一角3已知两边和其中一边的对角(如a、b、A),应用正弦定理求B,由A+B+C求C,再由正弦定理或余弦定理求c边,要注意解可能有多种情况4已知三边a、b、c,应用余弦定理求A、B,再由A+B+C,求角C5方向角一般是指以观测者的位置为中心,将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角(一般指锐角),通常表达成正北或正南,北偏东度,北偏西度,南偏东度,南偏西度6俯角和仰角的概念: 在视线与水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫仰角,视线在水平线下方的角叫俯角如图中OD、OE是视线,是仰角,是俯角7关于三角形面积问题SABC=12aha=12bhb=12chc(ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高);SABC=12absinC=12bcsinA=12acsinB;SABC2R2sinAsinBsinC(R为外接圆半径)SABC=abc4R;SABC=s(s-a)(s-b)(s-c),(s=12(a+b+c);SABCrs,( r为ABC内切圆的半径)在解三角形时,常用定理及公式如下表:名称公式变形内角和定理A+B+CA2+B2=2-C2,2A+2B22C余弦定理a2b2+c22bccosAb2a2+c22accosBc2a2+b22abcosCcosA=b2+c2-a22bccosB=a2+c2-b22accosC=a2+b2-c22ab正弦定理asinA=bsinB=csinC=2RR为ABC的外接圆半径a2RsinA,b2RsinB,c2RsinCsinA=a2R,sinB=b2R,sinC=c2R射影定理acosB+bcosAcacosC+ccosAbbcosC+ccosBa 面积公式S=12aha=12bhb=12chcS=12absinC=12acsinB=12bcsinAS=abc4RS=s(s-a)(s-b)(s-c),(s=12(a+b+c);S=12(a+b+c)r(r为ABC内切圆半径)sinA=2SbcsinB2Sac sinC=2Sab24轨迹方程【知识点的认识】1曲线的方程和方程的曲线在平面内建立直角坐标系以后,坐标平面内的动点都可以用有序实数对(x,y)表示,这就是动点的坐标当点按某种规律运动形成曲线时,动点坐标(x,y)中的变量x、y存在着某种制约关系,这种制约关系反映到代数中,就是含有变量x、y的方程一般地,在直角坐标系中,如果某曲线C(看做适合某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y)0的实数解建立了如下的关系:(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解;(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点那么这个方程就叫做曲线的方程,这条曲线就叫做方程的曲线2求曲线方程的一般步骤(直接法)(1)建系设点:建立适当的直角坐标系,用(x,y)表示曲线上任一点M的坐标;(2)列式:写出适合条件p的点M的集合M|p(M);(3)代入:用坐标表示出条件p(M),列出方程f(x,y)0;(4)化简:化方程f(x,y)0为最简形式;(5)证明:证明以化简后的方程的解为坐标的点都是在曲线上的点【常用解法】(1)直接法:根据题目条件,直译为关于动点的几何关系,再利用解析几何有关公式(如两点间的距离公式、点到直线的距离公式、夹角公式等)进行整理、化简这种求轨迹方程的过程不需要特殊的技巧(2)定义法:若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如椭圆、双曲线、抛物线、圆等),可用定义直接探求关键是条件的转化,即转化为某一基本轨迹的定义条件(3)相关点法:用所求动点P的坐标(x,y)表示已知动点M的坐标(x0,y0),即得到x0f(x,y),y0g(x,y),再将x0,y0代入M满足的条件F(x0,y0)0中,即得所求一般地,定比分点问题、对称问题可用相关点法求解,相关点法的一般步骤是:设点转换代入化简(4)待定系数法(5)参数法(6)交轨法25直线与圆的位置关系【知识点的认识】1直线与圆的位置关系2判断直线与圆的位置关系的方法直线Ax+By+C0与圆(xa)2+(yb)2r2(r0)的位置关系的判断方法:(1)几何方法:利用圆心到直线的d和半径r的关系判断 圆心到直线的距离d=|Aa+Bb+C|A2+B2相交:dr相切:dr相离:dr(2)代数方法:联立直线与圆的方程,转化为一元二次方程,用判别式判断 由Ax+By+C=0x2+y2+Dx+Ey+F=0消元,得到一元二次方程的判别式相交:0相切:0相离:026直线和圆的方程的应用【知识点的知识】1、直线方程的形式:2、圆的方程:(1)圆的标准方程:(xa)2+(yb)2r2(r0),其中圆心C(a,b),半径为r特别地,当圆心为坐标原点时,半径为r的圆的方程为:x2+y2r2其中,圆心(a,b)是圆的定位条件,半径r是圆的定形条件(2)圆的一般方程: x2+y2+Dx+Ey+F0(D2+E24F0) 其中圆心(-D2,-E2),半径r=12D2+E2-4F27抛物线的性质【知识点的知识】抛物线的简单性质:28双曲线的定义【定义】 双曲线(Hyperbola)是指与平面上到两个定点的距离之差的绝对值为定值的点的轨迹,也可以定义为到定点与定直线的距离之比是一个大于1的常数的点之轨迹双曲线是圆锥曲线的一种,即圆锥面与平面的交截线双曲线在一定的仿射变换下,也可以看成反比例函数两个定点F1,F2叫做双曲线的焦点(focus),定直线是双曲线的准线,常数e是双曲线的离心率【标准方程】x2a2-y2b2=1(a,b0),表示焦点在x轴上的双曲线;y2a2-x2b2=1(a,b0),表示焦点在y轴上的双曲线【性质】 这里的性质以x2a2-y2b2=1(a,b0)为例讲解:焦点为(c,0),其中c2a2+b2;准线方程为:xa2c;离心率e=ca1;渐近线:ybax;焦半径公式:左焦半径:r|ex+a|,右焦半径:r|exa|【实例解析】例1:双曲线x24-y216=1的渐近线方程为 解:由x24-y216=0可得y2x,即双曲线x24-y216=1的渐近线方程是y2x故答案为:y2x 这个小题主要考察了对渐近线的理解,如果实在记不住,可以把那个等号后面的1看成是0,然后因式分解得到的两个式子就是它的渐近线例2:已知双曲线的一条渐近线方程是x2y0,且过点P(4,3),求双曲线的标准方程 解:根据题意,双曲线的一条渐近线方程为x2y0,设双曲线方程为x24-y2(0),双曲线过点P(4,3),424-32,即5所求双曲线方程为x24-y25,即:y25-x220=1 一般来说,这是解答题的第一问,常常是根据一些性质求出函数的表达式来,关键是找到a、b、c三者中的两者,最后还要判断它的焦点在x轴还是y轴,知道这些参数后用待定系数法就可以直接写出函数的表达式了【考点点评】 这里面的两个例题是最基本的,必须要掌握,由于双曲线一般是在倒数第二个解答题出现,难度一般也是相当大的,在这里可以有所取舍,对于基础一般的同学来说,尽量的把这些基础的分拿到才是最重要的,对于还剩下的部分,尽量多写29双曲线的性质【知识点的知识】双曲线的标准方程及几何性质标准方程x2a2-y2b2=1(a0,b0)y2a2-x2b2=1(a0,b0)图形 性 质焦点F1(c,0),F2( c,0)F1(0,c),F2(0,c) 焦距|F1F2|2ca2+b
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本文标题:江苏省高考数学试卷2007-2020年
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