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江苏
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江苏省
高考
数学试卷
2007
2020
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江苏省高考数学试卷2007-2020年,江苏省,高考,数学试卷,2007,2020
- 内容简介：
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考点卡片1交集及其运算【知识点的认识】由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集，记作AB符号语言：ABx|xA，且xBAB实际理解为：x是A且是B中的相同的所有元素当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集运算形状：ABBAAAAAABA，ABBABAABAB，两个集合没有相同元素A（UA）U（AB）（UA）（UB）【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解不能把“或”与“且”混用；求交集的方法是：有限集找相同；无限集用数轴、韦恩图【命题方向】掌握交集的表示法，会求两个集合的交集命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数的定义域，值域，函数的单调性、复合函数的单调性等联合命题2函数的零点与方程根的关系【函数的零点与方程根的关系】 函数的零点表示的是函数与x轴的交点，方程的根表示的是方程的解，他们的含义是不一样的但是，他们的解法其实质是一样的【解法】 求方程的根就是解方程，把所有的解求出来，一般要求的是二次函数或者方程组，这里不多讲了我们重点来探讨一下函数零点的求法（配方法）例题：求函数f（x）x4+5x327x2101x70的零点解：f（x）x4+5x327x2101x70（x5）（x+7）（x+2）（x+1）函数f（x）x4+5x327x2101x70的零点是：5、7、2、1 通过这个题，我们发现求函数的零点常用的方法就是配方法，把他配成若干个一次函数的乘积或者是二次函数的乘积，最后把它转化为求基本函数的零点或者说求基本函数等于0时的解即可【考查趋势】 考的比较少，了解相关的概念和基本的求法即可3利用导数研究函数的单调性【知识点的知识】1、导数和函数的单调性的关系：（1）若f（x）0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f（x）0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；（2）若f（x）0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f（x）0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：（1）确定f（x）的定义域；（2）计算导数f（x）；（3）求出f（x）0的根；（4）用f（x）0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f（x）0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f（x）0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间【典型例题分析】题型一：导数和函数单调性的关系典例1：已知函数f（x）的定义域为R，f（1）2，对任意xR，f（x）2，则f（x）2x+4的解集为（）A（1，1）B（1，+） C（，1）D（，+）解：设g（x）f（x）2x4，则g（x）f（x）2，对任意xR，f（x）2，对任意xR，g（x）0，即函数g（x）单调递增，f（1）2，g（1）f（1）+24440，则由g（x）g（1）0得x1，即f（x）2x+4的解集为（1，+），故选：B题型二：导数和函数单调性的综合应用典例2：已知函数f（x）alnxax3（aR）（）求函数f（x）的单调区间；（）若函数yf（x）的图象在点（2，f（2）处的切线的倾斜角为45，对于任意的t1，2，函数g(x)=x3+x2f(x)+m2在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围；（）求证：ln22ln33ln44lnnn1n(n2，nN*)解：（）f(x)=a(1-x)x(x0)（2分）当a0时，f（x）的单调增区间为（0，1，减区间为1，+）；当a0时，f（x）的单调增区间为1，+），减区间为（0，1；当a0时，f（x）不是单调函数（4分）（）f(2)=-a2=1得a2，f（x）2lnx+2x3g(x)=x3+(m2+2)x2-2x，g（x）3x2+（m+4）x2（6分）g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g（0）2g(t)0g(3)0(8分)由题意知：对于任意的t1，2，g（t）0恒成立，所以有：g(1)0g(2)0g(3)0，-373m-9（10分）（）令a1此时f（x）lnx+x3，所以f（1）2，由（）知f（x）lnx+x3在（1，+）上单调递增，当x（1，+）时f（x）f（1），即lnx+x10，lnxx1对一切x（1，+）成立，（12分）n2，nN*，则有0lnnn1，0lnnnn-1nln22ln33ln44lnnn122334n-1n=1n(n2，nN*)【解题方法点拨】 若在某区间上有有限个点使f（x）0，在其余的点恒有f（x）0，则f（x）仍为增函数（减函数的情形完全类似）即在区间内f（x）0是f（x）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件4利用导数研究函数的极值【知识点的知识】1、极值的定义：（1）极大值：一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值f（x0），x0是极大值点； （2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值f（x0），x0是极小值点 2、极值的性质：（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小； （2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个； （3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值； （4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点3、判别f（x0）是极大、极小值的方法：若x0满足f（x0）0，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点，f（x0）是极值，并且如果f（x）在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果f（x）在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值 4、求函数f（x）的极值的步骤：（1）确定函数的定义区间，求导数f（x）； （2）求方程f（x）0的根； （3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值【解题方法点拨】在理解极值概念时要注意以下几点：（1）按定义，极值点x0是区间a，b内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可要注意极值必须在区间内的连续点取得一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小 （3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值（4）若函数f（x）在a，b上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在a，b上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在a，b内的极大值点、极小值点是交替出现的，（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点5二元一次不等式（组）与平面区域【知识点的知识】二元一次不等式（组）与简单线性规划问题1、二元一次不等式表示的平面区域一般地，直线l：ax+by+c0把直角坐标平面分成了三个部分：直线l上的点（x，y）的坐标满足ax+by+c0；直线l一侧的平面区域内的点（x，y）的坐标满足ax+by+c0；直线l另一侧的平面区域内的点（x，y）的坐标满足ax+by+c0所以，只需在直线l的某一侧的平面区域内，任取一特殊点（x0，y0），从ax0+by0+c值的正负，即可判断不等式表示的平面区域2、线性规划相关概念 名称 意义目标函数欲求最大值或最小值的函数约束条件目标函数中的变量所要满足的不等式组可行解满足约束条件的解（x，y）可行域由所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解，通常在可行域的顶点处取得二元线性规划问题如果两个变量满足一组一次不等式，求这两个变量的一次函数的最大值或最小值问题叫作二元线性规划问题3、线性规划（1）不等式组是一组对变量x、y的约束条件，由于这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件zAx+By是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，我们把它称为目标函数由于zAx+By又是关于x、y的一次解析式，所以又可叫做线性目标函数 另外注意：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示（2）一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题（3）那么，满足线性约束条件的解（x，y）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域其中可行解（x1，y1）和（x2，y2）分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解线性目标函数的最值常在可行域的顶点处取得；而求最优整数解必须首先要看它们是否在可行4、用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）设z0，画出直线l0观察、分析，平移直线l0，从而找到最优解最后求得目标函数的最大值及最小值 5、利用线性规划研究实际问题的解题思路：首先，应准确建立数学模型，即根据题意找出约束条件，确定线性目标函数然后，用图解法求得数学模型的解，即画出可行域，在可行域内求得使目标函数取得最值的解最后，还要根据实际意义将数学模型的解转化为实际问题的解，即结合实际情况求得最优解【典型例题分析】题型一：二元一次不等式（组）表示的平面区域典例1：若不等式组所表示的平面区域被直线ykx+43分为面积相等的两部分，则k的值是 （）A73 B37 C43 D34分析：画出平面区域，显然点（0，43）在已知的平面区域内，直线系过定点（0，43），结合图形寻找直线平分平面区域面积的条件即可解答：不等式组表示的平面区域如图所示由于直线ykx+43过定点（0，43）因此只有直线过AB中点时，直线ykx+43能平分平面区域因为A（1，1），B（0，4），所以AB中点D（12，52）当ykx+43过点（12，52）时，52=k2+43，所以k=73答案：A点评：二元一次不等式（组）表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域注意不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线测试点可以选一个，也可以选多个，若直线不过原点，则测试点常选取原点题型二：求线性目标函数的最值典例2：设x，y满足约束条件：，求zx+y的最大值与最小值分析：作可行域后，通过平移直线l0：x+y0来寻找最优解，求出目标函数的最值解答：先作可行域，如图所示中ABC的区域，且求得A（5，2）、B（1，1）、C（1，），作出直线l0：x+y0，再将直线l0平移，当l0的平行线l1过点B时，可使zx+y达到最小值；当l0的平行线l2过点A时，可使zx+y达到最大值故zmin2，zmax7点评：（1）线性目标函数的最大（小）值一般在可行域的顶点处取得，也可能在边界处取得（2）求线性目标函数的最优解，要注意分析线性目标函数所表示的几何意义，明确和直线的纵截距的关系题型三：实际生活中的线性规划问题典例3：某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表： 年产量/亩年种植成本/亩每吨售价黄瓜4吨1.2万元0.55万元韭菜6吨0.9万元0.3万元为使一年的种植总利润（总利润总销售收入总种植成本）最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积（单位：亩）分别为（）A50，0 B30，20 C20，30 D0，50分析：根据线性规划解决实际问题，要先用字母表示变量，找出各量的关系列出约束条件，设出目标函数，转化为线性规划问题解析设种植黄瓜x亩，韭菜y亩，则由题意可知x+y501.2x+0.9y54x，yN+求目标函数zx+0.9y的最大值，根据题意画可行域如图阴影所示当目标函数线l向右平移，移至点A（30，20）处时，目标函数取得最大值，即当黄瓜种植30亩，韭菜种植20亩时，种植总利润最大故答案为：B点评：线性规划的实际应用问题，需要通过审题理解题意，找出各量之间的关系，最好是列成表格，找出线性约束条件，写出所研究的目标函数，转化为简单的线性规划问题，再按如下步骤完成：（1）作图画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条l；（2）平移将l平行移动，以确定最优解的对应点A的位置；（3）求值解方程组求出A点坐标（即最优解），代入目标函数，即可求出最值题型四：求非线性目标函数的最值典例4：（1）设实数x，y满足，则的最大值为（2）已知O是坐标原点，点A（1，0），若点M（x，y）为平面区域上的一个动点，则|OA+OM|的最小值是分析：与二元一次不等式（组）表示的平面区域有关的非线性目标函数的最值问题的求解一般要结合给定代数式的几何意义来完成解答：（1）yx表示点（x，y）与原点（0，0）连线的斜率，在点（1，32）处取到最大值（2）依题意得，OA+OM=（x+1，y），|OA+OM|=(x+1)2+y2可视为点（x，y）与点（1，0）间的距离，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，结合图形可知，在该平面区域内的点中，由点（1，0）向直线x+y2引垂线的垂足位于该平面区域内，且与点（1，0）的距离最小，因此|OA+OM|的最小值是|-1+0-2|2=322故答案为：（1）32（2）322点评：常见代数式的几何意义有（1）x2+y2表示点（x，y）与原点（0，0）的距离；（2）(x-a)2+(y-b)2表示点（x，y）与点（a，b）之间的距离；（3）yx表示点（x，y）与原点（0，0）连线的斜率；（4）y-bx-a表示点（x，y）与点（a，b）连线的斜率【解题方法点拨】1画出平面区域避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化2在通过求直线的截距zb的最值间接求出z的最值时，要注意：当b0时，截距zb取最大值时，z也取最大值；截距zb取最小值时，z也取最小值；当b0时，截距zb取最大值时，z取最小值；截距zb取最小值时，z取最大值6基本不等式及其应用【概述】 基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数公式为：a+b2ab（a0，b0），变形为ab（a+b2）2或者a+b2ab常常用于求最值和值域【实例解析】例1：下列结论中，错用基本不等式做依据的是 A：a，b均为负数，则2ab+b2a2 B：x2+2x2+12 C：sinx+4sinx4 D：aR+，(3-a)(1-3a)0解：根据均值不等式解题必须满足三个基本条件：“一正，二定、三相等”可知A、B、D均满足条件对于C选项中sinx2，不满足“相等”的条件，再者sinx可以取到负值故选：C A选项告诉我们正数的要求是整个式子为正数，而不是式子当中的某一个组成元素；B分子其实可以写成x2+1+1，然后除以分母就可换成基本不等式这个例题告诉我们对于一个式子也是可以用基本不等式的，而且求最值也很方便例2：利用基本不等式求y=xx2+2的最值？当0x1时，如何求y=x+1x2+2的最大值 解：当x0时，y0，当x0时，y=xx2+2=1x+2x，用基本不等式若x0时，0y24，若x0时，-24y0，综上得，可以得出-24y24，y=xx2+2的最值是-24与24 这是基本不等式在函数中的应用，他的解题思路是首先判断元素是否大于0，没有明确表示的话就需要讨论；然后把他化成基本不等式的形式，也就是化成两个元素（函数）相加，而他们的特点是相乘后为常数；最后套用基本不等式定理直接求的结果【基本不等式的应用】1、求最值例1：求下列函数的值域2、利用基本不等式证明不等式3、基本不等式与恒成立问题4、均值定理在比较大小中的应用【解题方法点拨】技巧一：凑项点评：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值技巧二：凑系数例2：当0x4时，求yx（82x）的最大值解析：由0x4知，82x0，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值注意到2x+（82x）8为定值，故只需将yx（82x）凑上一个系数即可yx（82x）=122x（82x）12（2x+8-2x2）28当2x82x，即x2时取等号，当x2时，yx（8x2）的最大值为8评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值技巧三：分离例3：求y=x2+7x+10x+1(x-1)的值域解：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x+1）的项，再将其分离y=x2+7x+10x+1=(x+1)2+5(x+1)+4x+1=（x+1）+4x+1+5，当x1，即x+10时，y2(x+1)4x+1+59（当且仅当x1时取“”号）技巧四：换元对于上面例3，可先换元，令tx+1，化简原式在分离求最值技巧五：结合函数f（x）x+ax的单调性技巧六：整体代换点评：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错技巧七：取平方点评：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件总之，我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用基本不等式7等比数列的通项公式【知识点的认识】1等比数列的定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示（q0）从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的，公比q也是非零常数2等比数列的通项公式 设等比数列an的首项为a1，公比为q，则它的通项ana1qn13等比中项： 如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项G2ab （ab0）4等比数列的常用性质（1）通项公式的推广：anamqnm，（n，mN*）（2）若an为等比数列，且k+lm+n，（k，l，m，nN*），则akalaman（3）若an，bn（项数相同）是等比数列，则an（0），a，anbn，仍是等比数列（4）单调性：a10q1或a100q1an是递增数列；a100q1或a10q1an是递减数列；q1an是常数列；q0an是摆动数列8数列的应用【知识点的知识】1、数列与函数的综合2、等差数列与等比数列的综合3、数列的实际应用 数列与银行利率、产品利润、人口增长等实际问题的结合9平面向量数量积的性质及其运算【知识点的知识】1、平面向量数量积的重要性质：设a，b都是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，a与b和夹角为，则：（1）ae=ea=|a|cos；（2）abab=0；（判定两向量垂直的充要条件）（3）当a，b方向相同时，ab=|a|b|；当a，b方向相反时，ab=-|a|b|；特别地：aa=|a|2或|a|=aa（用于计算向量的模）（4）cos=ab|a|b|（用于计算向量的夹角，以及判断三角形的形状）（5）|ab|a|b|2、平面向量数量积的运算律（1）交换律：ab=ba；（2）数乘向量的结合律：（a）b=（ab）=a（b）；（3）分配律：（ab）ca（bc）【平面向量数量积的运算】 平面向量数量积运算的一般定理为（ab）2=a22ab+b2（a-b）（a+b）=a2-b2a（bc）（ab）c，从这里可以看出它的运算法则和数的运算法则有些是相同的，有些不一样【例题解析】例：由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：“mnnm”类比得到“ab=ba”“（m+n）tmt+nt”类比得到“（a+b）c=ac+bc”；“t0，mtntmn”类比得到“c0，ac=bca=c”；“|mn|m|n|”类比得到“|ab|a|b|”；“（mn）tm（nt）”类比得到“（ab）c=a(bc)”；“acbc=ab”类比得到acbc=ba以上的式子中，类比得到的结论正确的是 解：向量的数量积满足交换律，“mnnm”类比得到“ab=ba”，即正确；向量的数量积满足分配律，“（m+n）tmt+nt”类比得到“（a+b）c=ac+bc”，即正确；向量的数量积不满足消元律，“t0，mtntmn”不能类比得到“c0，ac=bca=c”，即错误；|ab|a|b|，“|mn|m|n|”不能类比得到“|ab|a|b|”；即错误；向量的数量积不满足结合律，“（mn）tm（nt）”不能类比得到“（ab）c=a(bc)”，即错误；向量的数量积不满足消元律，acbc=ab”不能类比得到acbc=ba，即错误故答案为：向量的数量积满足交换律，由“mnnm”类比得到“ab=ba”；向量的数量积满足分配律，故“（m+n）tmt+nt”类比得到“（a+b）c=ac+bc”；向量的数量积不满足消元律，故“t0，mtntmn”不能类比得到“c0，ac=bca=c”；|ab|a|b|，故“|mn|m|n|”不能类比得到“|ab|a|b|”；向量的数量积不满足结合律，故“（mn）tm（nt）”不能类比得到“（ab）c=a(bc)”；向量的数量积不满足消元律，故acbc=ab”不能类比得到acbc=ba【考点分析】 本知识点应该所有考生都要掌握，这个知识点和三角函数联系比较多，也是一个常考点，题目相对来说也不难，所以是拿分的考点，希望大家都掌握10复数的运算复数的加、减、乘、除运算法则11分层抽样方法【知识点的认识】1定义：当已知总体由差异明显的几部分组成时，为了使样本更客观地反映总体的情况，常将总体按不同的特点分成层次比较分明的几部分，然后按各部分在总体中所占的比例进行抽样，这种抽样叫做分层抽样，其中所分的各部分叫“层”2三种抽样方法比较类别共同点各自特点相互联系适用范围简单随机抽样抽样过程中每个个体被抽取的概率是相同的从总体中逐个抽取 总体中的个体数较少系统抽样将总体均匀分成几个部分，按事先确定的规则在各部分抽取在起始部分抽样时采用简单随机抽样总体中的个体数较多分层抽样将总体分成几层，分层进行抽取各层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样总体由差异明显的几部分组成【解题方法点拨】分层抽样方法操作步骤：（1）分层：将总体按某种特征分成若干部分；（2）确定比例：计算各层的个体数与总体的个体数的比；（3）确定各层应抽取的样本容量；（4）在每一层进行抽样（各层分别按简单随机抽样或系统抽样的方法抽取），综合每层抽样，组成样本【命题方向】（1）区分分层抽样方法例：某交高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的健康情况，从男生中任意抽取25人，从女生中任意抽取20人进行调查这种抽样方法是（）A简单随机抽样法 B抽签法 C随机数表法 D分层抽样法分析：若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样解答：总体由男生和女生组成，比例为500：4005：4，所抽取的比例也是5：4故选D点评：本小题主要考查抽样方法，属基本题（2）求抽取样本数例1：某校高三一班有学生54人，二班有学生42人，现在要用分层抽样的方法从两个班抽出16人参加军训表演，则一班和二班分别被抽取的人数是（）A.8，8 B.10，6 C.9，7 D.12，4分析：先计算每个个体被抽到的概率，再用每层的个体数乘以每个个体被抽到的概率，即得到该层应抽取的个体数解答：每个个体被抽到的概率等于1654+42=16，5416=9，4216=7故从一班抽出9人，从二班抽出7人，故选C点评：本题考查分层抽样的定义和方法，用每层的个体数乘以每个个体被抽到的概率等于该层应抽取的个体数例2：某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为7人，则样本容量为（）A.35 B.25 C.15 D.7分析：先计算青年职工所占的比例，再根据青年职工抽取的人数计算样本容量即可解答：青年职工、中年职工、老年职工三层之比为7：5：3，所以样本容量为7715=15故选C点评：本题考查分层抽样的定义和方法，求出每个个体被抽到的概率，用个体的总数乘以每个个体被抽到的概率，就得到样本容量n的值12几何概型【考点归纳】1定义：若一个试验具有下列特征：（1）每次试验的结果有无限多个，且全体结果可用一个有度量的几何区域来表示；（2）每次试验的各种结果是等可能的那么这样的试验称为几何概型2几何概率：设几何概型的基本事件空间可表示成可度量的区域，事件A所对应的区域用A表示（A），则P（A）=A的度量的度量称为事件A的几何概率13离散型随机变量的期望与方差【知识点的知识】1、离散型随机变量的期望数学期望：一般地，若离散型随机变量的概率分布为x1x2xnPp1p2pn则称Ex1p1+x2p2+xnpn+为的数学期望，简称期望数学期望的意义：数学期望离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平平均数与均值：一般地，在有限取值离散型随机变量的概率分布中，令p1p2pn，则有p1p2pn=1n，E（x1+x2+xn）1n，所以的数学期望又称为平均数、均值 期望的一个性质：若a+b，则E（a+b）aE+b 2、离散型随机变量的方差；方差：对于离散型随机变量，如果它所有可能取的值是x1，x2，xn，且取这些值的概率分别是p1，p2，pn，那么，称为随机变量的均方差，简称为方差，式中的ED是随机变量的期望标准差：D的算术平方根D叫做随机变量的标准差，记作方差的性质：方差的意义：（1）随机变量 的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；（2）随机变量 的方差、标准差也是随机变量 的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；（3）标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛14程序框图【知识点的知识】1程序框图（1）程序框图的概念：程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形；（2）构成程序框的图形符号及其作用程序框名称功能起止框表示一个算法的起始和结束，是任何算法程序框图不可缺少的输入、输出框表示一个算法输入和输出的信息，可用在算法中任何需要输入、输出的位置处理框赋值、计算算法中处理数据需要的算式、公式等，它们分别写在不同的用以处理数据的处理框内判断框判断某一条件是否成立，成立时在出口处标明“是”或“Y”；不成立时在出口处标明则标明“否”或“N”流程线算法进行的前进方向以及先后顺序连结点连接另一页或另一部分的框图注释框帮助编者或阅读者理解框图（3）程序框图的构成一个程序框图包括以下几部分：实现不同算法功能的相对应的程序框；带箭头的流程线；程序框内必要的说明文字15三角函数中的恒等变换应用【知识点的认识】1同角三角函数的基本关系（1）平方关系：sin2+cos21（2）商数关系：sincos=tan2诱导公式公式一：sin（+2k）sin ，cos（+2k）cos，tan（+2k）tan，其中kZ公式二：sin（+）sin，cos（+）cos，tan（+）tan 公式三：sin（）sin，cos（）cos，tan（）tan公式四：sin（）sin ，cos（）cos，tan（）tan公式五：sin（2-）cos，cos（2-）sin ，tan（2-）cot公式六：sin（2+）cos，cos（2+）sin，tan（2+）cot3两角和与差的正弦、余弦、正切公式（1）C（）：cos （）coscos+sinsin；（2）C（+）：cos（+）coscossinsin；（3）S（+）：sin（+）sincos+cossin；（4）S（）：sin（）sincoscossin；（5）T（+）：tan（+）=tan+tan1-tantan（6）T（）：tan（）=tan-tan1+tantan4二倍角的正弦、余弦、正切公式（1）S2：sin 22sincos；（2）C2：cos 2cos2sin22cos2112sin2；（3）T2：tan 2=2tan1-tan216两角和与差的三角函数【知识点的认识】（1）C（）：cos （）coscos+sinsin；（2）C（+）：cos（+）coscossinsin；（3）S（+）：sin（+）sincos+cossin；（4）S（）：sin（）sincoscossin；（5）T（+）：tan（+）=tan+tan1-tantan（6）T（）：tan（）=tan-tan1+tantan17双曲线的性质【知识点的知识】双曲线的标准方程及几何性质标准方程x2a2-y2b2=1（a0，b0）y2a2-x2b2=1（a0，b0）图形 性 质焦点F1（c，0），F2（ c，0）F1（0，c），F2（0，c） 焦距|F1F2|2ca2+b2c2范围|x|a，yR|y|a，xR对称关于x轴，y轴和原点对称顶点（a，0）（a，0）（0，a）（0，a）轴实轴长2a，虚轴长2b离心率e=ca（e1）准线xa2cya2c渐近线xayb=0xbya=018直线与椭圆的综合v19旋转体（圆柱、圆锥、圆台）【知识点的认识】旋转体的结构特征：一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面；该定直线叫做旋转体的轴；封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体1圆柱定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，将矩形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱 圆柱用轴字母表示，如下图圆柱可表示为圆柱OO认识圆柱圆柱的特征及性质圆柱1有两个底面互相平行，且形状、大小一样的圆2侧面为曲面，展开为矩形 圆柱与底面平行的截面是圆，与轴平行的截面是矩形圆柱的体积和表面积公式设圆柱底面的半径为r，高为h：V圆柱=r2hS圆柱=2r2+2rh=2r(r+h) 2圆锥定义：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥圆锥用轴字母表示，如下图圆锥可表示为圆锥SO认识圆锥圆锥的特征及性质圆锥1只有一个顶点，只有一个底面为圆2侧面为曲面，展开为扇形 与圆锥底面平行的截面是圆，过圆锥的顶点的截面是等腰三角形，两个腰都是母线母线长l与底面半径r和高h的关系：l2h2+r2圆锥的体积和表面积公式设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l：V圆锥=13r2hS圆锥表面积=r2+rl=r(r+l) 3圆台定义：以直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周而成的曲面所围成的几何体叫做圆台圆台用轴字母表示，如下图圆台可表示为圆台OO认识圆台圆台的特征及性质圆台1上下底面平行，为半径不等的圆2侧面展开图为一个扇环 平行于底面的截面是圆，轴截面是等腰梯形圆台的体积和表面积公式设圆台的上底面半径为r，下底面半径为R，高为h，母线长为l：V圆台=13h(r2+R2+Rr)S圆台表面积=r2+R2+rl+Rl=(r2+R2+rl+Rl)20棱柱、棱锥、棱台的体积【知识点的知识】柱体、锥体、台体的体积公式：V柱sh，V锥=13Sh21球的体积和表面积【知识点的认识】1球体：在空间中，到定点的距离等于或小于定长的点的集合称为球体，简称球其中到定点距离等于定长的点的集合为球面2球体的体积公式设球体的半径为R， V球体=43R33球体的表面积公式设球体的半径为R， S球体4R2【命题方向】考查球体的体积和表面积公式的运用，常见结合其他空间几何体进行考查，以增加试题难度，根据题目所给条件得出球体半径是解题关键22异面直线及其所成的角【知识点的知识】1、异面直线所成的角： 直线a，b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a，b，并使aa，bb我们把直线a和b所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角异面直线所成的角的范围：（0，2当90时，称两条异面直线互相垂直2、求异面直线所成的角的方法： 求异面直线的夹角关键在于平移直线，常用相似比，中位线，梯形两底，平行平面等手段来转移直线3、求异面直线所成的角的方法常用到的知识：23空间中直线与直线之间的位置关系【知识点的认识】空间两条直线的位置关系：位置关系共面情况公共点个数图示相交直线在同一平面内有且只有一个 平行直线在同一平面内无 异面直线不同时在任何一个平面内无 24直线与平面平行【知识点的知识】1、直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行 用符号表示为：若a，b，ab，则a 2、直线与平面平行的判定定理的实质是：对于平面外的一条直线，只需在平面内找到一条直线和这条直线平行，就可判定这条直线必和这个平面平行即由线线平行得到线面平行1、直线和平面平行的性质定理： 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行 用符号表示为：若a，a，b，则ab 2、直线和平面平行的性质定理的实质是： 已知线面平行，过已知直线作一平面和已知平面相交，其交线必和已知直线平行即由线面平行线线平行 由线面平行线线平行，并不意味着平面内的任意一条直线都与已知直线平行正确的结论是：a，若b，则b与a的关系是：异面或平行即平面内的直线分成两大类，一类与a平行有无数条，另一类与a异面，也有无数条25二面角的平面角及求法【知识点的知识】1、二面角的定义： 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面棱为AB、面分别为、的二面角记作二面角AB有时为了方便，也可在、内（棱以外的半平面部分）分别取点P、Q，将这个二面角记作PABQ如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角l或PlQ2、二面角的平面角- 在二面角l的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的AOB叫做二面角的平面角二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度平面角是直角的二面角叫做直二面角二面角的平面角AOB的大小与点O的位置无关，也就是说，我们可以根据需要来选择棱l上的点O3、二面角的平面角求法：（1）定义；（2）三垂线定理及其逆定理；定理内容：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直三垂线定理（逆定理）法：由二面角的一个面上的斜线（或它的射影）与二面角的棱垂直，推得它位于二面角的另一的面上的射影（或斜线）也与二面角的棱垂直，从而确定二面角的平面角（3）找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角；（4）平移或延长（展）线（面）法；（5）射影公式；（6）化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角；（7）向量法：用空间向量求平面间夹角的方法：设平面和的法向量分别为u和v，若两个平面
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