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江苏
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江苏省
高考
数学试卷
2007
2020
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江苏省高考数学试卷2007-2020年,江苏省,高考,数学试卷,2007,2020
- 内容简介：
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考点卡片1并集及其运算【知识点的认识】由所有属于集合A或属于集合B的元素的组成的集合叫做A与B的并集，记作AB符号语言：ABx|xA或xB图形语言：AB实际理解为：x仅是A中元素；x仅是B中的元素；x是A且是B中的元素运算形状：ABBAAAAAAABA，ABBABBABAB，两个集合都是空集A（UA）UU（AB）（CUA）（CUB）【解题方法点拨】解答并集问题，需要注意并集中：“或”与“所有”的理解不能把“或”与“且”混用；注意并集中元素的互异性不能重复【命题方向】掌握并集的表示法，会求两个集合的并集，命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数的定义域，值域联合命题2函数零点的判定定理【知识点的知识】1、函数零点存在性定理： 一般地，如果函数yf（x）在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）f（b）0，那么函数yf（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c（a，b），使得f（c）O，这个c也就是f（x）0的根特别提醒：（1）根据该定理，能确定f（x）在（a，b）内有零点，但零点不一定唯一（2）并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在（a，b）上没有零点，例如，函数f（x）x23x+2有f（0）f（3）0，但函数f（x）在区间（0，3）上有两个零点（3）若f（x）在a，b上的图象是连续不断的，且是单调函数，f（a）f（b）0，则f（x）在（a，b）上有唯一的零点2、函数零点个数的判断方法：（1）几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数yf（x）的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点特别提醒：“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x22x+10在0，2上有两个等根，而函数f（x）x22x+1在0，2上只有一个零点；函数的零点是实数而不是数轴上的点（2）代数法：求方程f（x）0的实数根3函数的零点与方程根的关系【函数的零点与方程根的关系】 函数的零点表示的是函数与x轴的交点，方程的根表示的是方程的解，他们的含义是不一样的但是，他们的解法其实质是一样的【解法】 求方程的根就是解方程，把所有的解求出来，一般要求的是二次函数或者方程组，这里不多讲了我们重点来探讨一下函数零点的求法（配方法）例题：求函数f（x）x4+5x327x2101x70的零点解：f（x）x4+5x327x2101x70（x5）（x+7）（x+2）（x+1）函数f（x）x4+5x327x2101x70的零点是：5、7、2、1 通过这个题，我们发现求函数的零点常用的方法就是配方法，把他配成若干个一次函数的乘积或者是二次函数的乘积，最后把它转化为求基本函数的零点或者说求基本函数等于0时的解即可【考查趋势】 考的比较少，了解相关的概念和基本的求法即可4函数与方程的综合运用【知识点的知识】 函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的笛卡尔的方程思想是：实际问题数学问题代数问题方程问题宇宙世界，充斥着等式和不等式5利用导数研究函数的单调性【知识点的知识】1、导数和函数的单调性的关系：（1）若f（x）0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f（x）0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；（2）若f（x）0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f（x）0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：（1）确定f（x）的定义域；（2）计算导数f（x）；（3）求出f（x）0的根；（4）用f（x）0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f（x）0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f（x）0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间【典型例题分析】题型一：导数和函数单调性的关系典例1：已知函数f（x）的定义域为R，f（1）2，对任意xR，f（x）2，则f（x）2x+4的解集为（）A（1，1）B（1，+） C（，1）D（，+）解：设g（x）f（x）2x4，则g（x）f（x）2，对任意xR，f（x）2，对任意xR，g（x）0，即函数g（x）单调递增，f（1）2，g（1）f（1）+24440，则由g（x）g（1）0得x1，即f（x）2x+4的解集为（1，+），故选：B题型二：导数和函数单调性的综合应用典例2：已知函数f（x）alnxax3（aR）（）求函数f（x）的单调区间；（）若函数yf（x）的图象在点（2，f（2）处的切线的倾斜角为45，对于任意的t1，2，函数g(x)=x3+x2f(x)+m2在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围；（）求证：ln22ln33ln44lnnn1n(n2，nN*)解：（）f(x)=a(1-x)x(x0)（2分）当a0时，f（x）的单调增区间为（0，1，减区间为1，+）；当a0时，f（x）的单调增区间为1，+），减区间为（0，1；当a0时，f（x）不是单调函数（4分）（）f(2)=-a2=1得a2，f（x）2lnx+2x3g(x)=x3+(m2+2)x2-2x，g（x）3x2+（m+4）x2（6分）g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g（0）2g(t)0g(3)0(8分)由题意知：对于任意的t1，2，g（t）0恒成立，所以有：g(1)0g(2)0g(3)0，-373m-9（10分）（）令a1此时f（x）lnx+x3，所以f（1）2，由（）知f（x）lnx+x3在（1，+）上单调递增，当x（1，+）时f（x）f（1），即lnx+x10，lnxx1对一切x（1，+）成立，（12分）n2，nN*，则有0lnnn1，0lnnnn-1nln22ln33ln44lnnn122334n-1n=1n(n2，nN*)【解题方法点拨】 若在某区间上有有限个点使f（x）0，在其余的点恒有f（x）0，则f（x）仍为增函数（减函数的情形完全类似）即在区间内f（x）0是f（x）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件6指、对数不等式的解法【概述】 指、对数不等式的解法其实最主要的就是两点，第一点是判断指、对数的单调性，第二点就是学会指数和指数，对数和对数之间的运算，下面以例题为讲解【例题解析】例1：已知函数f（x）ex1（e是自然对数的底数）证明：对任意的实数x，不等式f（x）x恒成立 解：（I）设h（x）f（x）xex1xh（x）ex11，当x1时，h（x）0，h（x）为增，当x1时，h（x）0，h（x）为减，当x1时，h（x）取最小值h（1）0h（x）h（1）0，即f（x）x 这里面是一个综合题，解题的思路主要还是判断函数的单调性，尤其是指数函数的单调性，考查的重点其实是大家的计算能力例2：已知函数f（x）loga（x1），g（x）loga（3x）（a0且a1），利用对数函数的单调性，讨论不等式f（x）g（x）中x的取值范围 解：不等式f（x）g（x），即 loga（x1）loga（3x），当a1时，有x-13-x1x3，解得 2x3当1a0时，有x-13-x1x3，解得 1x2综上可得，当a1时，不等式f（x）g（x）中x的取值范围为（2，3）；当1a0时，不等式f（x）g（x）中x的取值范围为（1，2） 这个题考查的就是对数函数不等式的求解，可以看出主要还是求单调性，当然也可以右边移到左边，然后变成一个对数函数来求解也可以【考点点评】 本考点其实主要是学会判断各函数的单调性，然后重点考察学生的运算能力，也是一个比较重要的考点，希望大家好好学习7等比数列的性质【等比数列】（又名几何数列），是一种特殊数列如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列，因为第二项与第一项的比和第三项与第二项的比相等，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（q0） 注：q1 时，an为常数列 等比数列和等差数列一样，也有一些通项公式：第n项的通项公式，ana1qn1，这里a1为首项，q为公比，我们发现这个通项公式其实就是指数函数上孤立的点求和公式，Sn=a1(1-qn)1-q，表示的是前面n项的和若m+nq+p，且都为正整数，那么有amanapaq例：2，x，y，z，18成等比数列，则y解：由2，x，y，z，18成等比数列，设其公比为q，则182q4，解得q23，y2q2236故答案为：6 本题的解法主要是运用了等比数列第n项的通项公式，这也是一个常用的方法，即知道某两项的值然后求出公比，继而可以以已知项为首项，求出其余的项关键是对公式的掌握，方法就是待定系数法【等比数列的性质】（1）通项公式的推广：anamqnm，（n，mN*） （2）若an为等比数列，且k+lm+n，（k，l，m，nN*），则 akalaman（3）若an，bn（项数相同）是等比数列，则an（0），a，anbn，仍是等比数列（4）单调性：a10q1或a100q1an是递增数列；a100q1或a10q1an是递减数列；q1an是常数列；q0an是摆动数列8数列的求和【知识点的知识】 就是求出这个数列所有项的和，一般来说要求的数列为等差数列、等比数列、等差等比数列等等，常用的方法包括：（1）公式法：等差数列前n项和公式：Snna1+12n（n1）d或Sn=n(a1+an)2等比数列前n项和公式：几个常用数列的求和公式：（2）错位相减法：适用于求数列anbn的前n项和，其中anbn分别是等差数列和等比数列（3）裂项相消法：适用于求数列1anan+1的前n项和，其中an为各项不为0的等差数列，即1anan+1=1d（1an-1an+1）（4）倒序相加法： 推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个（a1+an） （5）分组求和法： 有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可 【典型例题分析】典例1：已知等差数列an满足：a37，a5+a726，an的前n项和为Sn（）求an及Sn；（）令bn=1an2-1（nN*），求数列bn的前n项和Tn分析：形如1等差等差的求和，可使用裂项相消法如：113+135+157+199100=12(1-13)+(13-15)+(15-17)+(199-1100)=99200解：（）设等差数列an的公差为d，a37，a5+a726，a1+2d=72a1+10d=26，解得a13，d2，an3+2（n1）2n+1；Sn=3n+n(n-1)22=n2+2n（）由（）知an2n+1，bn=1an2-1=1(2n+1)2-1=141n(n+1)=14(1n-1n+1)，Tn=14(1-12+12-13+1n-1n+1)=14(1-1n+1)=n4(n+1)，即数列bn的前n项和Tn=n4(n+1)点评：该题的第二问用的关键方法就是裂项求和法，这也是数列求和当中常用的方法，就像友情提示那样，两个等差数列相乘并作为分母的一般就可以用裂项求和【解题方法点拨】 数列求和基本上是必考点，大家要学会上面所列的几种最基本的方法，即便是放缩也要往这里面考9数列递推式【知识点的知识】1、递推公式定义：如果已知数列an的第1项（或前几项），且任一项an与它的前一项an1（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式2、数列前n项和Sn与通项an的关系式：an=sn-sn-1;n2s1;n=1在数列an中，前n项和Sn与通项公式an的关系，是本讲内容一个重点，要认真掌握注意：（1）用anSnSn1求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（n2，当n1时，a1S1）；若a1适合由an的表达式，则an不必表达成分段形式，可化统一为一个式子（2）一般地当已知条件中含有an与Sn的混合关系时，常需运用关系式anSnSn1，先将已知条件转化为只含an或Sn的关系式，然后再求解3、数列的通项的求法：（1）公式法：等差数列通项公式；等比数列通项公式（2）已知Sn（即a1+a2+anf（n）求an，用作差法：an=sn-sn-1;n2s1;n=1一般地当已知条件中含有an与Sn的混合关系时，常需运用关系式，先将已知条件转化为只含 或 的关系式，然后再求解（3）已知a1a2anf（n）求an，用作商法：an，=f(1);n=1f(n)f(n-1);n2（4）若an+1anf（n）求an，用累加法：an（anan1）+（an1an2）+（a2a1）+a1（n2）（5）已知an+1an=f（n）求an，用累乘法：an=anan-1an-1an-2a2a1a1（n2）（6）已知递推关系求an，有时也可以用构造法（构造等差、等比数列）特别地有，形如ankan1+b、ankan1+bn（k，b为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列后，再求an形如an=an-1kan-1+b的递推数列都可以用倒数法求通项（7）求通项公式，也可以由数列的前几项进行归纳猜想，再利用数学归纳法进行证明10平面向量的基本定理【知识点的知识】1、平面向量基本定理内容： 如果e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内任一a，有且仅有一对实数1、2，使a=1e1+2e22、基底：不共线的e1、e2叫做平面内表示所有向量的一组基底3、说明：（1）基底向量肯定是非零向量，且基底并不唯一，只要不共线就行（2）由定理可将任一向量按基底方向分解且分解形成唯一11平面向量数量积的性质及其运算【知识点的知识】1、平面向量数量积的重要性质：设a，b都是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，a与b和夹角为，则：（1）ae=ea=|a|cos；（2）abab=0；（判定两向量垂直的充要条件）（3）当a，b方向相同时，ab=|a|b|；当a，b方向相反时，ab=-|a|b|；特别地：aa=|a|2或|a|=aa（用于计算向量的模）（4）cos=ab|a|b|（用于计算向量的夹角，以及判断三角形的形状）（5）|ab|a|b|2、平面向量数量积的运算律（1）交换律：ab=ba；（2）数乘向量的结合律：（a）b=（ab）=a（b）；（3）分配律：（ab）ca（bc）【平面向量数量积的运算】 平面向量数量积运算的一般定理为（ab）2=a22ab+b2（a-b）（a+b）=a2-b2a（bc）（ab）c，从这里可以看出它的运算法则和数的运算法则有些是相同的，有些不一样【例题解析】例：由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：“mnnm”类比得到“ab=ba”“（m+n）tmt+nt”类比得到“（a+b）c=ac+bc”；“t0，mtntmn”类比得到“c0，ac=bca=c”；“|mn|m|n|”类比得到“|ab|a|b|”；“（mn）tm（nt）”类比得到“（ab）c=a(bc)”；“acbc=ab”类比得到acbc=ba以上的式子中，类比得到的结论正确的是 解：向量的数量积满足交换律，“mnnm”类比得到“ab=ba”，即正确；向量的数量积满足分配律，“（m+n）tmt+nt”类比得到“（a+b）c=ac+bc”，即正确；向量的数量积不满足消元律，“t0，mtntmn”不能类比得到“c0，ac=bca=c”，即错误；|ab|a|b|，“|mn|m|n|”不能类比得到“|ab|a|b|”；即错误；向量的数量积不满足结合律，“（mn）tm（nt）”不能类比得到“（ab）c=a(bc)”，即错误；向量的数量积不满足消元律，acbc=ab”不能类比得到acbc=ba，即错误故答案为：向量的数量积满足交换律，由“mnnm”类比得到“ab=ba”；向量的数量积满足分配律，故“（m+n）tmt+nt”类比得到“（a+b）c=ac+bc”；向量的数量积不满足消元律，故“t0，mtntmn”不能类比得到“c0，ac=bca=c”；|ab|a|b|，故“|mn|m|n|”不能类比得到“|ab|a|b|”；向量的数量积不满足结合律，故“（mn）tm（nt）”不能类比得到“（ab）c=a(bc)”；向量的数量积不满足消元律，故acbc=ab”不能类比得到acbc=ba【考点分析】 本知识点应该所有考生都要掌握，这个知识点和三角函数联系比较多，也是一个常考点，题目相对来说也不难，所以是拿分的考点，希望大家都掌握12复数的模【知识点的知识】1复数的概念：形如a+bi（a，bR）的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部若b0，则a+bi为实数；若b0，则a+bi为虚数；若a0，b0，则a+bi为纯虚数2、复数相等：a+bic+diac，bd（a，b，c，dR）3、共轭复数：a+bi与c+di共轭ac，b+d0（a，b，c，dR）4、复数的模：OZ的长度叫做复数za+bi的模，记作|z|或|a+bi|，即|z|a+bi|=a2+b213众数、中位数、平均数【知识点的认识】1众数、中位数、平均数 众数、中位数、平均数都是描述一组数据的集中趋势的特征数，只是描述的角度不同，其中以平均数的应用最为广泛（1）众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数； （2）中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数；（3）平均数：一组数据的算术平均数，即x=1n(x1+x2+xn)2众数、中位数、平均数的优缺点【解题方法点拨】众数、中位数、平均数的选取：（1）平均数能较好地反映一组数据的总体情况；（2）中位数不受极端值影响，有时用它代表全体数据的中等水平（或一般水平）；（3）众数能反映一组数据的集中情况（即多数水平）根据频率分布直方图估算众数、中位数、平均数：（1）众数：在频率分布直方图中，最高矩形的中点的横坐标就是众数 （2）中位数：在样本中，有50%的个体小于或等于中位数，也有50%的个体大于或等于中位数，因此，在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，由此可以估计中位数的值（3）平均数：是频率分布直方图的“重心”，是直方图的平衡点平均数等于频率分布直方图中每个小矩形的面积（即落在该组中的频率）乘以小矩形底边中点的横坐标（组中值）之和14列举法计算基本事件数及事件发生的概率【知识点的知识】1、等可能条件下概率的意义：一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为P（A）=mn 等可能条件下概率的特征：（1）对于每一次试验中所有可能出现的结果都是有限的； （2）每一个结果出现的可能性相等 2、概率的计算方法：（1）列举法（列表或画树状图），（2）公式法； 列表法或树状图这两种举例法，都可以帮助我们不重不漏的列出所以可能的结果 列表法 （1）定义：用列出表格的方法来分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法 （2）列表法的应用场合 当一次试验要设计两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法 树状图法 （1）定义：通过列树状图列出某事件的所有可能的结果，求出其概率的方法叫做树状图法 （2）运用树状图法求概率的条件 当一次试验要设计三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法求概率【典型例题分析】典例1：将一颗骰子投掷两次，第一次出现的点数记为a，第二次出现的点数记为b，设任意投掷两次使两条不重合直线l1：ax+by2，l2：x+2y2平行的概率为P1，相交的概率为P2，若点（P1，P2）在圆（xm）2+y2=137144的内部，则实数m的取值范围是（）A（-518，+） B（，718） C（-718，518） D（-518，718）解析：对于a与b各有6中情形，故总数为36种设两条直线l1：ax+by2，l2：x+2y2平行的情形有a2，b4，或a3，b6，故概率为P=236=118设两条直线l1：ax+by2，l2：x+2y2相交的情形除平行与重合即可，当直线l1、l2相交时b2a，图中满足b2a的有（1，2）、（2，4）、（3，6）共三种，满足b2a的有36333种，直线l1、l2相交的概率P=3336=1112，点（P1，P2）在圆（xm）2+y2=137144的内部，（118-m）2+（1112）2137144，解得-518m718故选：D典例2：某种零件按质量标准分为1，2，3，4，5五个等级，现从一批该零件巾随机抽取20个，对其等级进行统计分析，得到频率分布表如下等级12345频率0.05m0.150.35n（1）在抽取的20个零件中，等级为5的恰有2个，求m，n；（2）在（1）的条件下，从等级为3和5的所有零件中，任意抽取2个，求抽取的2个零件等级恰好相同的概率解析：（1）由频率分布表得 0.05+m+0.15+0.35+n1，即 m+n0.45（2分）由抽取的20个零件中，等级为5的恰有2个，得 n=220=0.1（4分）所以m0.450.10.35（5分）（2）：由（1）得，等级为3的零件有3个，记作x1，x2，x3；等级为5的零件有2个，记作y1，y2从x1，x2，x3，y1，y2中任意抽取2个零件，所有可能的结果为：（x1，x2），（x1，x3），（x1，y1），（x1，y2），（x2，x3），（x2，y1），（x2，y2），（x3，y1），（x3，y2），（y1，y2）共计10种（9分）记事件A为“从零件x1，x2，x3，y1，y2中任取2件，其等级相等”则A包含的基本事件为（x1，x2），（x1，x3），（x2，x3），（y1，y2）共4个（11分）故所求概率为 P(A)=410=0.4（13分）15伪代码（算法语句）【知识点的认识】1伪代码：一种介于自然语言和计算机语言之间的文字和符号2基本算法语句：（1）输入语句：实现算法的输入信息功能 INPUT“提示内容”；变量 或 INPUY“提示内容1，提示内容2，提示内容3，”；变量1，变量2，变量3， 说明：“提示内容”提示用户输入什么样的信息，变量是指程序在运行时其值是可以变化的量输入语句要求输入的值只能是具体的常数，不能是函数、变量或表达式提示内容与变量之间用分号“；”隔开，若输入多个变量，变量与变量之间用逗号“，”隔开（2）输出语句：实现算法的输出结果功能 PRINT“提示内容”；表达式 说明：“提示内容”提示用户输入什么样的信息，表达式是指程序要输出的数据输出语句可以输出常量、变量或表达式的值及字符（3）赋值语句：表明赋给某个变量一个具体的确定值的语句 变量表达式（其中“”为赋值号） 说明：先计算赋值号右边的表达式的值，再把求得的值赋值给左边的变量，使该变量的值等于表达式的值赋值号左边只能是变量名字，不能是表达式，且赋值号左右不能对换注意赋值号“”与数学中等号意义不同，不能用于进行代数式的演算（4）条件语句：处理条件分支逻辑结构的算法语句 （IFTHENELSE格式） （IFTHEN格式） IF 条件 THEN IF 条件 THEN 语句1 语句 ELSE ENDIF 语句2 ENDIF 说明：IFTHENELSE：执行时，先对IF后的条件进行判断，若条件符合，执行语句1，否则执行语句2IFTHEN：执行时，先对IF后的条件进行判断，若条件符合，执行THEN后的语句，否则结束条件语句， 执行其他语句（5）循环语句：实现算法中的循环结构，分WHILE（当型）和UNTIL（直到型）两种语句 （WHILE语句） （UNTIL语句） WHILE 条件 DO 循环体 循环体 WEND LOOPUNTIL 条件 说明：WHILE语句：前测试型循环先判断真假，若条件符合执行循环体，再判断条件真假，若仍符合， 再次执行，如此反复，直到某次条件不符合为止，跳出循环体，执行WEND之后的语句UNTIL语句：先执行，再判断条件是否符合，若不符合，再次执行，再判断，如此反复，直到条件符合 为止，跳出循环体，执行循环体外的语句【命题方向】伪代码知识点的考查常以选择、填空题形式出现，难度不大，属于基础题掌握各种基本算法语句的定义，了解它们的格式和作用，是正确理解伪代码的关键，也是解此类题的关键（1）程序运行计算例：根据下列算法语句，当输入x为60时，输出y的值为（）A.25 B.30 C.31 D.61分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出分段函数y=0.5x，x5025+0.6(x-50)，x50的函数值解答：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出分段函数y=0.5x，x5025+0.6(x-50)，x50的函数值当x60时，则y25+0.6（6050）31，故选C点评：算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：分支的条件循环的条件变量的赋值变量的输出其中前两点考试的概率更大此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误（2）程序填空例：阅读如下程序，若输出的结果为6364，则在程序中横线？处应填入语句为（）Ai6 Bi7 Ci7 Di8分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出变量S的值，要确定进入循环的条件，可模拟程序的运行，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到题目要求的结果解答：程序运行过程中，各变量值如下表所示： S n i 是否继续循环 循环前0 2 1/第一圈12 4 2 是 第二圈12+14 8 3 是 第三圈12+14+18 16 4 是 第四圈12+14+18+116 32 5 是 第五圈12+14+18+116+132 64 6 是 第6圈12+14+18+116+132+164=6364 128 7 是 第7圈 否即i7时退出循环故继续循环的条件应为：i7故选B点评：算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：分支的条件循环的条件变量的赋值变量的输出其中前两点考试的概率更大此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误16两角和与差的三角函数【知识点的认识】（1）C（）：cos （）coscos+sinsin；（2）C（+）：cos（+）coscossinsin；（3）S（+）：sin（+）sincos+cossin；（4）S（）：sin（）sincoscossin；（5）T（+）：tan（+）=tan+tan1-tantan（6）T（）：tan（）=tan-tan1+tantan17二倍角的三角函数【二倍角的三角函数】二倍角的正弦其实属于正弦函数和差化积里面的一个特例，即的一种特例，其公式为：sin22sincos；其可拓展为1+sin2（sin+cos）2二倍角的余弦其实属于余弦函数和差化积里面的一个特例，即的一种特例，其公式为：cos2cos2sin22cos2112sin2二倍角的正切其实属于正切函数和差化积里面的一个特例，即的一种特例，其公式为：tan2=2tan1-tan2对于这个公式要求是能够正确的运用其求值化简即可【例题解析】例：ysin2x+2sinxcosx的周期是 解：ysin2x+2sinxcosx=1-cos2x2+sin2xsin2x-12cos2x+12=52sin（2x+）+12，（tan=-12）其周期T=22=故答案为： 这个简单的例题的第二个式子就是一个二倍角的转换，转换过后又使用了和差化积的相关定理，这也可以看得出三角函数的题一般都涉及到几个公式，而且公式之间具有一定的相似性，所以大家要熟记各种公式【考点点评】 本考点也是一个很重要的考点，在高考中考查的也比较多，这里面需要各位同学多加练习，熟记各种公式18余弦定理【知识点的知识】1正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容asinA=bsinB=csinC=2R （ R是ABC外接圆半径）a2b2+c22bccos A，b2a2+c22accos_B，c2a2+b22abcos_C变形形式a2Rsin A，b2Rsin_B，c2Rsin_C；sin A=a2R，sin B=b2R，sin C=c2R；a：b：csinA：sinB：sinC；asin Bbsin A，bsin Ccsin B，asin Ccsin Acos A=b2+c2-a22bc，cos B=a2+c2-b22ac，cos C=a2+b2-c22ab解决三角形的问题已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角已知三边，求各角；已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角【正余弦定理的应用】1、解直角三角形的基本元素2、判断三角形的形状3、解决与面积有关的问题4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决解题关键在于明确：测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题（2）测量高度问题：解题思路：测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角19圆的标准方程【知识点的认识】1圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）叫做圆定点叫做圆心，定长就是半径2圆的标准方程： （xa）2+（yb）2r2（r0）， 其中圆心C（a，b），半径为r 特别地，当圆心为坐标原点时，半径为r的圆的方程为： x2+y2r2其中，圆心（a，b）是圆的定位条件，半径r是圆的定形条件【解题思路点拨】已知圆心坐标和半径，可以直接带入方程写出，在所给条件不是特别直接的情况下，关键是求出a，b，r的值再代入一般求圆的标准方程主要使用待定系数法步骤如下：（1）根据题意设出圆的标准方程为（xa）2+（yb）2r2；（2）根据已知条件，列出关于a，b，r的方程组；（3）求出a，b，r的值，代入所设方程中即可另外，通过对圆的一般方程进行配方，也可以化为标准方程【命题方向】可以是以单独考点进行考查，一般以选择、填空题形式出现，a，b，r值的求解可能和直线与圆的位置关系、圆锥曲线、对称等内容相结合，以增加解题难度在解答题中，圆的标准方程作为基础考点往往出现在关于圆的综合问题的第一问中，难度不大，关键是读懂题目，找出a，b，r的值或解得圆的一般方程再进行转化例1：圆心为（3，2），且经过点（1，3）的圆的标准方程是（x3）2+（y+2）25分析：设出圆的标准方程，代入点的坐标，求出半径，求出圆的标准方程解答：设圆的标准方程为（x3）2+（y+2）2R2，由圆M经过点（1，3）得R25，从而所求方程为（x3）2+（y+2）25，故答案为（x3）2+（y+2）25点评：本题主要考查圆的标准方程，利用了待定系数法，关键是确定圆的半径例2：若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x3y0和x轴都相切，则该圆的标准方程是（）A（x2）2+（y1）21B（x2）2+（y+1）21C（x+2）2+（y1）21D（x3）2+（y1）21分析：要求圆的标准方程，半径已知，只需找出圆心坐标，设出圆心坐标为（a，b），由已知圆与直线4x3y0相切，可得圆心到直线的距离等于圆的半径，可列出关于a与b的关系式，又圆与x轴相切，可知圆心纵坐标的绝对值等于圆的半径即|b|等于半径1，由圆心在第一象限可知b等于圆的半径，确定出b的值，把b的值代入求出的a与b的关系式中，求出a的值，从而确定出圆心坐标，根据圆心坐标和圆的半径写出圆的标准方程即可解答：设圆心坐标为（a，b）（a0，b0），由圆与直线4x3y0相切，可得圆心到直线的距离d=|4a-3b|5=r1，化简得：|4a3b|5，又圆与x轴相切，可得|b|r1，解得b1或b1（舍去），把b1代入得：4a35或4a35，解得a2或a=-12（舍去），圆心坐标为（2，1），则圆的标准方程为：（x2）2+（y1）21故选：A点评：此题考查了直线与圆的位置关系，以及圆的标准方程，若直线与圆相切时，圆心到直线的距离d等于圆的半径r，要求学生灵活运用点到直线的距离公式，以及会根据圆心坐标和半径写出圆的标准方程例3：圆x2+y2+2y1的半径为（）A1 B2 C2 D4分析：把圆的方程化为标准形式，即可求出圆的半径解答：圆x2+y2+2y1化为标准方程为 x2+（y+1）22，故半径等于2，故选B点评：本题考查圆的标准方程的形式及各量的几何意义，把圆的方程化为标准形式，是解题的关键20圆的切线方程【知识点的认识】 圆的切线方程一般是指与圆相切的直线方程，特点是与圆只有一个交点，且过圆心与切点的直线垂直切线圆的切线方程的类型：（1）过圆上一点的切线方程：对于这种情况我们可以通过圆心与切点的连线垂直切线求出切线的斜率，继而求出直线方程（2）过圆外一点的切线方程这种情况可以先设直线的方程，然后联立方程求出他们只有一个解（交点）时斜率的值，进而求出直线方程【实例解析】 例1：已知圆：（x1）2+y22，则过点（2，1）作该圆的切线方程为 解：圆：（x1）2+y22，的圆心为C（1，0），半径r=2当直线l经过点P（2，1）与x轴垂直时，方程为x2，圆心到直线x2的距离等于12，直线l与圆不相切，即x2不符合题意；当直线l经过点P（2，1）与x轴不垂直时，设方程为y1k（x2），即kxy+12k0直线l与圆：（x1）2+y22相切，圆心到直线l的距离等于半径，即d=|k+1-2k|k2+1=2，解之得k1，因此直线l的方程为y1（x2），化简得x+y30综上所述，可得所求切线方程为x+y30 这里讨论第一种情况是因为k不一定存在，所以单独讨论，用的解题思想就是我上面所说，大家可以对照着看就是 例2：从点P（4，5）向圆（x2）2+y24引切线，则圆的切线方程为解：由圆（x2）2+y24，得到圆心坐标为（2，0），半径r2，当过P的切线斜率不存在时，直线x4满足题意；当过P的切线斜率存在时，设为k，由P坐标为（4，5），可得切线方程为y5k（x4），即kxy+54k0，圆心到切线的距离dr，即|5-2k|k2+1=2，解得：k=2120，此时切线的方程为y5=2120（x4），即21x20y+160，综上，圆的切线方程为x4或21x20y+160 这个例题用的方法也是前面所说，但告诉我们一个基本性质，即圆外的点是可以做两条切线的，所以以后解题只求出一条的时候就要想是不是少写了一种【考点分析】 本考点也是比较重要的一个知识点，但解题方法很死板，希望大家都能准确的掌握，确保不丢分21椭圆的标准方程【知识点的认识】椭圆标准方程的两种形式：（1）x2a2+y2b2=1（ab0），焦点在x轴上，焦点坐标为F（c，0），焦距|F1F2|2c；（2）y2a2+x2b2=1（ab0），焦点在y轴上，焦点坐标为F（0，c），焦距|F1F2|2c两种形式相同点：形状、大小相同；都有ab0；a2b2+c2两种形式不同点：位置不同；焦点坐标不同标准方程x2a2+y2b2=1（ab0）中心在原点，焦点在x轴上y2a2+x2b2=1（ab0）中心在原点，焦点在y轴上图形 顶点A（a，0），A（a，0）B（0，b），B（0，b）A（b，0），A（b，0）B（0，a），B（0，a）对称轴 x轴、y轴，长轴长2a，短轴长2b焦点在长轴长上x轴、y轴，长轴长2a，短轴长2b焦点在长轴长上 焦点 F1（c，0），F2（c，0） F1（0，c），F2（0，c） 焦距|F1F2|2c（c0）c2a2b2 |F1F2|2c（c0）c2a2b2 离心率e=ca（0e1） e=ca（0e1）准线xa2c ya2c 22双曲线的性质【知识点的知识】双曲线的标准方程及几何性质标准方程x2a2-y2b2=1（a0，b0）y2a2-x2b2=1（a0，b0）图形 性 质焦点F1（c，0），F2（ c，0）F1（0，c），F2（0，c） 焦距|F1F2|2ca2+b2c2范围|x|a，yR|y|a，xR对称关于x轴，y轴和原点对称顶点（a，0）（a，0）（0，a）（0，a）轴实轴长2a，虚轴长2b离心率e=ca（e1）准线xa2cya2c渐近线xayb=0xbya=023直线与圆锥曲线的综合【概述】直线与圆锥曲线的综合问题是高考的必考点，比方说求封闭面积，求距离，求他们的关系等等，常用的方法就是联立方程求出交点的横坐标或者纵坐标的关系，通过这两个关系的变形去求解【实例解析】例：已知圆锥曲线C上任意一点到两定点F1（1，0）、F2（1，0）的距离之和为常数，曲线C的离心率e=12（1）求圆锥曲线C的方程；（2）设经过点F2的任意一条直线与圆锥曲线C相交于A、B，试证明在x轴上存在一个定点P，使PAPB的值是常数 解：（1）依题意，设曲线C的方程为x2a2+y2b2=1（ab0），c1，e=ca=12，a2，b=a2-c2=3，所求方程为x24+y23=1（2）当直线AB不与x轴垂直时，设其方程为yk（x1），由x24+y23=1y=k(x-1)，得（3+4k2）x28k2x+4（k23）0，从而xA+xB=8k23+4k2，xAxB=4(k2-3)3+4k2，设P（t，0），则PAPB=(xA-t)(xB-t)+yAyB=(k2+1)xAxB-(t+k2)(xA+xB)+(k2+t2)=3t2-12+(-5-8t+4t2)k23+4k2 当3t2-123=-5-8t+4t24，解得t=118此时对kR，PAPB=-13564；当ABx轴时，直线AB的方程为x1，xAxB1，yA(yB)=32，对t=118，PAPB=(xA-t)(xB-t)+yAyB=964-94=-13564，即存在x轴上的点P(118，0)，使PAPB的值为常数-13564 这是一道符合高考命题思维的题型，一般命题思路都是第一问叫你求曲线的表达式；第二问在求证某种特殊的关系，像本题求证是个常数这是高考中非常喜欢考的一种形式我们看看解答思路，第一问就是求a、b、c中的两个值即可；第二问先是联立方程，然后把我们要证的这个关系转化为根与系数的关系，这也是常用的方法【考点分析】 必考题，也是难题，希望大家多总结，尽量去总结一下各种题型和方法，在考试的时候，如果运算量大可以适当的放到最后做24棱柱、棱锥、棱台的体积【知识点的知识】柱体、锥体、台体的体积公式：V柱sh，V锥=13Sh25直线与平面平行【知识点的知识】1、直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行 用符号表示为：若a，b，ab，则a 2、直线与平面平行的判定定理的实质是：对于平面外的一条直线，只需在平面内找到一条直线和这条直线平行，就可判定这条直线必和这个平面平行即由线线平行得到线面平行1、直线和平面平行的性质定理： 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行 用符号表示为：若a，a，b，则ab 2、直线和平面平行的性质定理的实质是： 已知线面平行，过已知直线作一平面和已知平面相交，其交线必和已知直线平行即由线面平行线线平行 由线面平行线线平行，并不意味着平面内的任意一条直线都与已知直线平行正确的结论是：a，若b，则b与a的关系是：异面或平行即平面内的直线分成两大类，一类与a平行有无数条，另一类与a异面，也有无数条26直线与平面垂直【知识点的认识】直线与平面垂直： 如果一条直线l和一个平面内的任意一条直线都垂直，那么就说直线l和平面互相垂直，记作l，其中l叫做平面的垂线，平面叫做直线l的垂面直线与平面垂直的判定：（1）定义法：对于直线l和平面，ll垂直于内的任一条直线（2）判定定理1：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面（3）判定定理2：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面直线与平面垂直的性质：定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行符号表示为：a，bab由定义可知：a，bab27二面角的平面角及求法【知识点的知识】1、二面角的定义： 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面棱为AB、面分别为、的二面角记作二面角AB有时为了方便，也可在、内（棱以外的半平面部分）分别取点P、Q，将这个二面角记作PABQ如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角l或PlQ2、二面角的平面角- 在二面角l的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的AOB叫做二面角的平面角二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度平面角是直角的二面角叫做直二面角二面角的平面角AOB的大小与点O的位置无关，也就是说，我们可以根据需要来选择棱l上的点O3、二面角的平面角求法：（1）定义；（2）三垂线定理及其逆定理；定理内容：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直三垂线定理（逆定理）法：由二面角的一个面上的斜线（或它的射影）与二面角的棱垂直，推得它位于二面角的另一的面上的射影（或斜线）也与二面角的棱垂直，从而确定二面角的平面角（3）找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角；（4）平移或延长（展）线（面）法；（5）射影公式；（6）化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角；（7）向量法：用空间向量求平面间夹角的方法：设平面和的法向量分别为u和v，若两个平面的夹角为，则（1）当0u，v2，=u，v，此时coscosu，v=uv|u|v|（2）当2u，v时，cos（-u，v）cosu，v=-=uv|u|v|28点、线、面间的距离计算【知识点的知识】29相似三角形的判定【知识点的知识】相似三角形的判定 定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形相似三角形对应边的比值叫做相似比（或相似系数）预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似 判定定理1：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似简述为：两角对应相等，两三角形相似 判定定理2：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似 判定定理3：对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似简述为：三边对应成比例，两三角形相似30特征值与特征向量的计算【知识点的知识】1、特征值与特征向量的概念设A是一个二阶矩阵，如果对于实数，存在一个非零向量，使得A，那么称为A的一个特征值，称为A的一个属于特征值的一个特征向量2、特征多项式设是二阶矩阵A的一个特征值，它的一个特征向量为，则A，即也即（*）定义：设A是一个二阶矩阵，R，我们把行列式f（）2（a+d）+adbc称为A的特征多项式（3）求特征值和特征向量的一般步骤：由|EA|0，求出所有特征值；求解线性方程组（EA）X0，即（为特征值），则所得非零解X比为特征向量【典型例题分析】典例1：设A=1141，则矩阵A的一个特征值和对应的一个特征向量a为（）解：矩阵A的一个特征多项式为f（）=-1-1-4-1=（1）24（3）（+1），令f（）0，求得3或1.(21) 当3时，由1141xy=3xy，求得得A属于特征值3的特征向量为a=12当1时，由1141xy=-1xy
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