第3讲　因式分解

1、第3讲因式分解第3讲因式分解 1因式分解 把一个多项式化成几个_整式_积的形式，叫做因式分解，因式分解与_整式乘法_是互逆运算 2基本方法 (1)提取公因式法： mambmc_m(abc)_ (2)公式法： 运用平方差公式：a2b2_(ab)(ab)_； 运用完全平方公式：a22abb2_(ab)2_ 3因式分解的一般步骤(1)如果多项式的各项有公因式，那么必须先提取公因式；(2)如果各项没有公因式，那么尽可能尝试用公式法来分解；(3)分解因式必须分解到不能再分解为止，每个因式的内部不再有括号，且同类项合并完毕，若有相同因式写成幂的形式，这样才算分解彻底；(4)注意因式分解中的范围，如x44(

2、x22)(x22)，在实数范围内分解因式，x44(x22)(x)(x)，题目不作说明的，表明是在有理数范围内因式分解 分解彻底作为结果的代数式的最后运算必须是乘法；要分解到每个因式都不能再分解为止，每个因式的内部不再有括号，并且同类项合并完毕，若有重因式应写成幂的形式这些统称分解彻底思考步骤多项式的因式分解有许多方法，但对于一个具体的多项式，有些方法是根本不适用的因此，拿到一道题目，先试试这个方法，再试试那个办法解题时思考过程建议如下：(1)提取公因式；(2)看有几项；(3)分解彻底在分解出的每个因式化简整理后，把它作为一个新的多项式，再重复以上过程进行思考，试探分解的可能性，直至不可能分解为

3、止变形技巧当n为奇数时，(ab)n(ba)n；当n为偶数时，(ab)n(ba)n. 1(2014温州)因式分解：a23aa(a3)2(2014台州)因式分解：a34aa(a2)(a2)3(2013嘉兴)因式分解：ab2aa(b1)(b1)4(2012绍兴)分解因式：a3aa(a1)(a1) 5(2014义乌)把代数式2x218分解因式，结果正确的是( C )A2(x29)B2(x3)2C2(x3)(x3) D2(x9)(x9)6(2012温州)把多项式a24a分解因式，结果正确的是( A )Aa(a4) B(a2)(a2)Ca(a2)(a2) D(a2)24 【例1】(2014泉州)分解因式x

4、2yy3结果正确的是( D )Ay(xy)2By(xy)2Cy(x2y2) Dy(xy)(xy)【点评】因式分解是将一个多项式化成几个整式积的形式的恒等变形，若结果不是积的形式，则不是因式分解，还要注意分解要彻底 因式分解的意义 【例1】(2014泉州)分解因式x2yy3结果正确的是( D )Ay(xy)2By(xy)2Cy(x2y2) Dy(xy)(xy)【点评点评】因式分解是将一个多项式化成几个整式积的因式分解是将一个多项式化成几个整式积的形式的恒等变形形式的恒等变形，若结果不是积的形式若结果不是积的形式，则不是因式分则不是因式分解解，还要注意分解要彻底还要注意分解要彻底 1(2014安徽

5、)下列四个多项式中，能因式分解的是( B )Aa21 Ba26a9Cx25y Dx25y提取公因式法分解因式 【例2】阅读下列文字与例题：将一个多项式分组后，可提取公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法例如：(1)amanbmbn(ambm)(anbn)m(ab)n(ab)(ab)(mn)；(2)x2y22y1x2(y22y1)x2(y1)2(xy1)(xy1)试用上述方法分解因式：a22abacbcb2_(ab)(abc)_ 【点评】(1)首项系数为负数时，一般公因式的系数取负数，使括号内首项系数为正；(2)当某项正好是公因式时，提取公因式后，该项应为1，不可漏掉；(3)公因式也可以是多

6、项式 2(1)多项式ax24a与多项式x24x4的公因式是_x2_(2)把多项式(m1)(m1)(m1)提取公因式(m1)后，余下的部分是( D )Am1B2mC2Dm2(3)分解因式：(xy)23(xy)解：(xy)23(xy)(xy)(xy3) 运用公式法分解因式 【例3】(1)(2014东营)3x2y27y_3y(x3)(x3)_；(2014邵阳)将多项式m2n2mnn因式分解的结果是_n(m1)2_(2)分解因式：(2014黄冈)(2a1)2a2_(3a1)(a1)_；(2014淄博)8(a21)16a_8(a1)2_【点评】(1)用平方差公式分解因式，其关键是将多项式转化为a2b2的

7、形式，需注意对所给多项式要善于观察，并作适当变形，使之符合平方差公式的特点，公式中的“a”“b”也可以是多项式，可将这个多项式看作一个整体，分解后注意合并同类项；(2)用完全平方公式分解因式时，其关键是掌握公式的特征 3分解因式：(1)9x21；(2)25(xy)29(xy)2；(3)(2012临沂)a6ab9ab2；(4)(2013湖州)mx2my2.解：(1)9x21(3x1)(3x1)(2)25(xy)29(xy)25(xy)3(xy)5(xy)3(xy)(8x2y)(2x8y)4(4xy)(x4y)(3)a6ab9ab2a(16b9b2)a(13b)2(4)mx2my2m(x2y2)m

8、(xy)(xy) 综合运用多种方法分解因式 【点评】灵活运用多种方法分解因式，其一般顺序是：首先提取公因式，然后再考虑用公式，最后结果一定要分解到不能再分解为止 4(1)(2014武汉)分解因式：a3a_a(a1)(a1)_；(2)(2014黔东南州)分解因式：x35x26x_x(x3)(x2)_；(3)分解因式：(x2)(x4)x24；解：(x2)(x4)x24(x2)(x4)(x2)(x2)(x2)(x4x2)(x2)(2x2)2(x2)(x1)(4)在实数范围内分解因式：m49.解：m49(m23)(m23)(m23)(m)(m) 因式分解的应用 【例5】(1)(2014河北)计算：85

9、2152( D )A70B700C4900D7000(2)已知a2b26a10b340，求ab的值a2b26a10b340，a26a9b210b250，即(a3)2(b5)20，a30且b50，a3，b5，ab352【点评】(1)利用因式分解，将多项式分解之后整体代入求值；(2)一个问题有两个未知数，只有一个条件，根据已知式右边等于0，若将左边转化成两个完全平方式的和，而它们都是非负数，要使和为0，则每个完全平方式都等于0，从而使问题得以求解 试题如果a，b，c都是整数，且满足a23b23c22ab4b12c13，则a，b，c的值审题视角问题中只有一个不等量关系，未知字母有三个考虑到问题中的完

10、全平方式，应用非负数的性质来解决问题，把未知字母组成方程或方程组所有不小于0的实数称为非负数，学过的一些代数式的绝对值或它的平方式、它的算术平方根等，都是非负数关于非负数，有下面的结论：若干个非负数的和等于0，则这些非负数均为0；一个数和它的相反数同时不小于0或同时不大于0，那么这个数一定是0. 当已知若干个非负数的和为0时，常常可由此得出若干个代数式等于0的结果(含未知数的等式方程)，由它们组成的方程或方程组(未知数)的值为我们解决相应的问题开辟了途径规范答题解：a23b23c22ab4b12c13，将已知不等式变化为：a23b23c2132ab4b12c0，a22abb22b24b23c2

11、12c121，(a22abb2)2(b22b1)3(c24c4)1，(ab)22(b1)23(c2)21.a，b，c都是整数，不等号左边是三个非负整数之和，(ab)22(b1)23(c2)20，只能是(ab)22(b1)23(c2)20，根据非负数的性质，可得ab0，且b10，且c20，ab1，c2. 试题分解因式：(1)20m3n15m2n25m2n；(2)4x216y2；(3)m(ab)n(ba)；(4)3x218x27.错解(1)20m3n15m2n25m2n5m2n(4m3n)；(2)4x216y2(2x4y)(2x4y)；(3)m(ab)n(ba)(ab)(mn)；(4)3x218x273(x26x9) 剖析学习因式分解，若对分解因式的方法不熟练，理解不透彻，可能会出现各种各样的错误因式分解提取公因式后，括号内的项一定要与原来的项数一样多，错解主要是对分配律理解不深或粗心大意造成的，提取公因式还有符号方面的错误；分解因式时，应先观察是否有公因式可提，公因式包括系数，错解忽视提取系数的最大公约数；分解因式还要使分解后的每个因式都不能再分解 正解(1)20m3n15m2n25m2n5m2n(4m3n1)；(2)4x216