数列的应用-数列2019高考一轮数学精品ppt课件

1、laomiaotan400315 一、等差、等比数列的性质一、等差、等比数列的性质 1.假设假设an,bn皆为等差数列，那么皆为等差数列，那么kan+b,an+bn分别是分别是 和和 数数列列. 2.假设假设an为等差数列，为等差数列，m,n,p,qN*，且，且m+n=p+q，则，则ap+aq am+an;若若2m=p+q,则则2am ap+aq.等差等差 等差等差 = = 3.假设假设an为等差数列，公差为为等差数列，公差为d，则，则am,am+n,am+2n,am+3n,为为 数列，公差为数列，公差为 . 4.假设假设an为等差数列，为等差数列，Sn,S2n,S3n为其前为其前n项，项，2

2、n项，项，3n项的和，则项的和，则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n为为 数列数列. 5.假设假设an, bn为等比数列，那么为等比数列，那么 ， an ,bn , kan (k0)都为都为 数列数列. 6.假设假设an为等比数列，为等比数列，m,n,p,qN*，且，且m+n=p+q，则则aman apaq,若若2m=p+q，那么，那么 apaq. 7.假设假设an为等比数列公比为等比数列公比q-1），），Sn为其前为其前n项和，项和，则则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n为为 数列数列. 等差等差 nd 2 2m ma an na a1 1等差等差 等比等比 = = 等比等比 二、数列综合应

3、用题的解题步骤二、数列综合应用题的解题步骤 1.审题审题弄清题意弄清题意,分析涉及哪些数学内容分析涉及哪些数学内容,在每在每个数学内容中个数学内容中,各是什么问题各是什么问题. 2.分解分解把整个大题分解成几个小题或几个把整个大题分解成几个小题或几个“步步骤骤”，每个小题或每个小，每个小题或每个小“步骤分别是数列问题、函步骤分别是数列问题、函数问题、解析几何问题、不等式问题等数问题、解析几何问题、不等式问题等. 3.求解求解分别求解这些小题或这些小分别求解这些小题或这些小“步骤步骤”，从而得到整个问题的解答从而得到整个问题的解答. 8.假设假设an为等比数列，则为等比数列，则am,am+t,a

4、m+2t,am+3t,为为 数列数列.等比等比 具体解题步骤如下框图具体解题步骤如下框图: 三、数列应用题常见模型 1.银行储蓄单利公式 利息按单利计算，本金为a元，每期利率为r，存期为x，则本利和y=a(1+xr). 2.银行储蓄复利公式 按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，存期为x,则本利和y=a(1+r)x. 3.产值模型 原来产值的基础数为N,平均增长率为p,对于时间x的总产值y=N(1+p)x. 4.分期付款模型 a为贷款总额,r为年利率,b为等额还款数,那么. .1 1- -r)r)(1(1a ar)r)r(1r(1b bn nn n+=知知an为等比数列，为等比数

5、列，a3=2,a2+a4= .求求an的通的通项公式项公式.3 32020q q2 2q qa a3 3=q q2 23 320203 31 13 31 13 31 1-1-1n n3 318189 92 29 92 2解法二：由解法二：由a3=2,得得a2a4=4,又又a2+a4= ,则则a2,a4为方程为方程x2- x+4=0的两根的两根, a2= a2=6 a4=6或或 a4= .当当a2= 时时,q=3,an=a3qn-3=23n-3.当当a2=6时时,q= ,a2=233-n.an=23n-3或或an=233-n.3 320203 320203 32 23 32 2解得解得3 32

6、23 31 1若两个等差数列若两个等差数列an和和bn的前的前n项和分别是项和分别是Sn,Tn,知知 求求 的值的值., ,3 3n n7n7nT TS Sn nn n+=5 55 5b ba a解法一解法一:解法二解法二: 可令可令Sn=7nkn=7kn2,Tn=kn(n+3),a5=S5-S4=7k52-7k42=63k,b5=T5-T4=k5(5+3)-k4(4+3)=12k,. .4 42 21 1T TS S) )( (b b2 29 9) )a a( (a a2 29 9b bb ba aa a2 2b b2 2a ab ba a9 99 99 91 19 91 19 91 19

7、91 15 55 55 55 5=+=+=b b, ,3 3n n7n7nT TS Sn nn n+=4 42 21 11 12 2k k6 63 3k kb ba a5 55 5=. .4 47 7T TS Sb ba a1 11 11 11 1=, ,3 3n n7n7nT TS Sn nn n+=4 47 75 51414T TS Sd d2b2bd d2a2ab bb ba aa a2 22 22 21 11 11 12 21 12 21 1=+=+, ,2 27 7T TS Sd db bd da ad d2 22 23 33 3b bd d3 32 23 33 3a ab bb b

8、b ba aa aa a3 33 32 21 11 11 12 21 11 11 13 32 21 13 32 21 1=+=+=+又又7 74 47 72 2. .4 42 21 1a a7 72 24 4a a7 74 42 2a a4 4a a4 4d db b4 4d da ab ba a1 11 11 11 12 21 11 11 15 55 5=+=+=设数列设数列an，bn满足满足a1=b1=6，a2=b2=4，a3=b3=3，且数列且数列an+1-an（nN*）是等差数列，）是等差数列，bn-2是等是等比比数列，求数列，求an和和bn的通项公式的通项公式.2 21 1) )n

9、n( (n n +an= (n2-7n+18)(n2).当当n=1时，也适合上式时，也适合上式.an= （n2-7n+18）.又又b1-2=4，b2-2=2，q= .bn-2=4( ) n-1.bn=2+ (nN*).2 21 12 21 12 21 12 21 1n n2 28 82 21 1一个等差数列一个等差数列an（公差（公差d不为零不为零)中的部分项构成公中的部分项构成公比为比为q的等比数列的等比数列 ,已知已知k1=2,k2=4,k3=12.(1)求数列求数列kn的通项公式的通项公式;(2)求数列求数列kn的前的前n项和项和Sn.n nk ka a(1) 解法一解法一: 是数列是数

10、列an的第的第kn项项,又是又是 的第的第n项项, =a1+(kn-1)d= qn-1=a2qn-1.kn+1-kn是以是以k2-k1为首项为首项,公比为公比为4的等比数列的等比数列,kn+1-kn=(k2-k1)4n-1=24n-1.递推可得递推可得kn-kn-1=24n-2,k2-k1=240,上述上述n-1个等式累加可得个等式累加可得kn= 4n-1+ .n nk ka an nk ka an nk ka a1 1k ka a1 12 22 23 3- -1 1n n2 2n n2 2n n2 21 1n n2 2n nk k1 1n nk k1 1n nk k2 2n nk ka ak

11、 k- -a ak ka ak k- -a ak kq qq q. .q qa a- -q qa aq qa a- -q qa aa a- -a aa a- -a a=+4 4k k- -k kk k- -k k1 1) )d d- -( (k ka a- -1 1) )d d- -( (k ka a1 1) )d d- -( (k ka a- -1 1) )d d- -( (k ka a1 12 22 23 31 11 12 21 12 21 13 31 1=+=3 32 23 34 4解法二解法二:由由a2,a4,a12成等比数列成等比数列,得得 =a2a12,即即(a1+3d)2=(a1

12、+d)(a1+11d).6a1d+2d2=0.d=0或或d=-3a1.由由d=-3a1知知 =q=4.下同解法一下同解法一.(2)由由kn= 4n-1+ ,可得可得Sn= .2 24 4a a2 24 4a aa a3 32 23 34 49 92 2- -1 12 2n n2 24 4n n+已知已知fx）=logax(a0，且，且a1),设设fa1），），fa2），），fan）（）（nN*）是首项为）是首项为4，公差为，公差为2的等差数列的等差数列.（1若若a为常数，求证：为常数，求证：an成等比数列；成等比数列；（2设设bn =an fan） ，假设，假设bn的前的前n项和是项和是Sn

13、，当当 a= ，求，求Sn.2 22 22n2n2 22n2n2 2-1)-1)2(n2(n2 22n2n-1-1n nn na aa aa aa aa aa aa a=+（2bn=anfan）=a2n+2logaa2n+2=(2n+2)a2n+2.当当a= 时，时，bn=（2n+2）（）（ ）2n+2=（n+12n+2.Sn=223+324+425+（n+1）2n+2， 2Sn=224+325+426+n2n+2+（n+1）2n+3. -得得-Sn=223+24+25+2n+2-(n+1)2n+3=16+ =16+2n+3-24-n2n+3-2n+3=-n2n+3.Sn=n2n+3.2 22

14、 23 3n n- -1 1n n4 42 2) )1 1( (n n- -2 2- -1 1) )2 2- -( (1 12 2+已知二次函数已知二次函数fx）=x2-210-3nx+9n2-61n+100，其中其中nN*.（1设函数设函数f(x)的图象的顶点的横坐标构成数列的图象的顶点的横坐标构成数列an， 求证数列求证数列an为等差数列为等差数列.（2设函数设函数f(x)的图象的顶点的横坐标构成数列的图象的顶点的横坐标构成数列 dn，求数列，求数列dn前前n项的和项的和Sn.（3对于对于1中的数列中的数列an ， 求数列求数列cn中的最大项与最小项中的最大项与最小项.n nn na a2

15、 22 25 5- -4 4n n1 11 1c c+= (2)二次函数二次函数f(x)=x2-2(10-3n)x+9n2-61n+100(nN*)的图象的顶点到的图象的顶点到y轴的距离为轴的距离为|10-3n|, dn=|10-3n|(nN*),数列数列dn的前的前3项为一个首项项为一个首项为为7，公差为，公差为-3的等差数列的等差数列,第第4项开始为一个首项为项开始为一个首项为2，公，公差为差为3的等差数列的等差数列,数列数列dn前前n项的和项的和 7n+ (-3)，n3, 12+2(n-3)+ ,n4 , ，n3, ,n4.2 21)1)- -n(nn(n2 2 4 4) )- -3 3

16、) )( (n n- -3 3( (n n Sn= 2 21 17 7n n3 3n n- -2 2+2 24 48 81 17 7n n- -3 3n n2 2+ 即即Sn= (3)cn= ，数列，数列cn的图象是的图象是以（以（ ，1为中心，以为中心，以x= 、y=1为渐近线的双曲线为渐近线的双曲线上的一些点上的一些点.显然，显然，n=2时时cn的值最小，其值的值最小，其值c2=-1；n=3时时cn的值最大，其值的值最大，其值c3=3.2 25 5- -n n1 11 13 3n n- -1 10 02 22 25 5- -4 4n n1 11 1+=+2 25 52 25 5若若,是方程

17、是方程x2- x+m2=0(m0)的两实根，而且的两实根，而且,-,成等比数列成等比数列.（1求求m的值；的值；（2数列数列an的通项公式为的通项公式为an= ，且，且Sn是是它它的前的前n项和，求证：项和，求证：log2mSn logm2.10101 1) )n n( (n n1 1+2 21 1101010102 210102 21 10 010102 2（2证明：证明：Sn=a1+a2+an= m= ,log2m=log2 = , logm2= =1.要证要证log2mSn logm2,只要证只要证 Sn1即可即可.nN*,0 .- - 0. 1- 1.故故 Sn2 21 1a a1 1

18、已知点已知点M(1,2),An(2,an),Bn( )为直角坐标平面为直角坐标平面上的点上的点(nN*).(1)若点若点M,An,Bn在同一直线上在同一直线上,求数列求数列an的通项公式的通项公式;(2)设设dn= ,Dn为为dn的前的前n项和项和,求求证证: Dn .n n3 3, ,n n1 1- -n n1 1n nn na aa a1 1 +3 31 1 2 21 1 n nM MB Bn nM MA Ak kk k =1 1- -n n1 1- -n n2 2- -n n3 31 1- -2 22 2- -a an n=) ), ,1 12 2k k1 1- -1 1- -2 2k

19、k1 1( (2 21 1a aa a1 11 1k kk k+=+3 31 12 21 12 21 1) )1 12 2n n1 1- -1 1- -2 2n n1 1( () )5 51 1- -3 31 1( () )3 31 1- -1 1( (+ 【评析】利用解析几何有关的性质、公式建立数列【评析】利用解析几何有关的性质、公式建立数列的递推关系或通项和的关系，然后利用数列的知识解决的递推关系或通项和的关系，然后利用数列的知识解决问题问题.已知曲线已知曲线C：y=x2x0）,过过C上的点上的点A11，1作曲作曲线线C的切线的切线l1交交x轴于点轴于点B1,再过点再过点B1作作y轴的平行

20、线交曲轴的平行线交曲线线C于点于点A2,再过点再过点A2作曲线作曲线C的切线的切线l2交交x轴于点轴于点B2,再再过点过点B2作作y轴的平行线交曲线轴的平行线交曲线C于点于点A3,依次作下去依次作下去,记记点点An的横坐标为的横坐标为an(nN*).(1)求数列求数列an的通项公式的通项公式;(2)设数列设数列an的前的前n项和为项和为Sn,求证求证:anSn1（1）曲线曲线C在点在点Anan， ）处的切线）处的切线ln的斜率是的斜率是2an，切线切线ln的方程是的方程是y- =2anx-an），），由于点由于点Bn的横坐标等于点的横坐标等于点An+1的横坐标的横坐标an+1，令令y=0，得，

21、得an+1= an，数列数列an是首项为是首项为1，公比为，公比为 的等比数列，的等比数列，an= .（2） Sn= ,anSn=4 ( ),令令t= ，则，则0t ,anSn=4t1-t）=-4(t- )2+1,当当t= ,即即n=1时时,-4(t- )2+1有最大值有最大值1,即即anSn1.2 2n na a2 2n na a2 21 12 21 1- -1 1n n2 21 1) )2 21 1- -2 2( (1 12 21 1- -1 12 21 1- -1 1n nn n=n n2 21 12 21 1n n2 21 1- -1 1n n2 21 12 21 12 21 12 2

22、1 1假设某市假设某市2019年新建住房年新建住房400万平方米万平方米,其中有其中有250万平万平方米是中低价房方米是中低价房,预计在今后的若干年内预计在今后的若干年内,该市每年新建该市每年新建住房面积平均比上一年增长住房面积平均比上一年增长8%.另外另外,每年新建住房中每年新建住房中,中低价房的面积均比上一年增加中低价房的面积均比上一年增加50万平方米万平方米.那么那么,到哪到哪一年底一年底,(1)该市历年所建中低价房的累计面积以该市历年所建中低价房的累计面积以2019年为累年为累计的第一年将首次不少于计的第一年将首次不少于4750万平方米？万平方米？(2)当年建造的中低房的面积占该年建造

23、住房面积的比当年建造的中低房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于例首次大于85%（参考数据：（参考数据：1.0841.36，1.0851.47，1.0861.59）？）？2 2 1 1) )- -n n( (n n2 2 1 1) )- -n n( (n n（2设新建住房面积形成数列设新建住房面积形成数列bn，由题意可知，由题意可知bn是等比数列，其中是等比数列，其中b1=400，q=1.08,那么那么bn=400（1.08n-1.由题意可知由题意可知an0.85bn,即即50n+200400（1.08n-10.85.当当n=5时，时，a50.85b5,当当n=6时，时，a60.85b6,满足上述不等式的最小正整数满足上述不等式的最小正整数n为为6.到到2019年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于住房面积的比例首次大于85%. 【评析】【评析】 解决此类问题的关键是如何把实际问题解决此类问题的关键是如何把实际问题转化为数学问题，通过反复读题，列出有关信息，转化转化为数学问题，通过反复读题，列出有关信息，转化 为数列的有关问题，这也是数学实际应用的具体体现为数列的有关问题，这也是数学实际应用的具体体现.某地区原有木材存量为某地区原有木材存量为a，且每年增长率为，且