(完整版)祖暅原理与球的体积

1、延边大学研究生教案（案例教学）周次第周，第次课H-+-章节名称祖暅原理与球的体积教学目的要求 让学生了解“实验数学”的含义，经历“实验、猜测、论证”等有意义的学习数学过程； 帮助学生理解运用祖暅原理解决问题的过程； 让学生从直观上把握相关几何体体积之间的关系。教学重点难点重点：理解运用祖暅原理解决问题难点：把握相关几何体体积之间的关系教学方法讲授法（V）谈话法（）讨论法（）演示法（V）实验法（V）练习法（）读书指导法（V）教学策略事实性（案例）教学策略（V）直观（活动、情景剧）教学策略（V）联系实际（体验、诊断）教学策略（V）情感态度（感悟）教学策略（）教学组织形式课堂教学（V）团队学习（）专

2、题研讨（）现场教学（V）案例分析（V）教育调查（）学生学习模式科学探究模式（V）自主学习模式（）合作学习模式（）“读读、议议、讲讲、练练”的模式（V）案例讨论的课前准备阶段本教案米用“自测”、“猜想”、“实验”、“证明”等环节的设计方法，旨在让学生对“做数学”的过程有一个完整的认识。本设计的一个主要特点是引入实验。许多数学发现都源于实验一一观察、试验、猜测、验证。正如弗赖登塔尔所说：“从事创造性数学的人都知道，在与数学相关的任何问题中直觉比严密的逻辑过程起着更为重要的作用”。而在数学教学中适当引入实验，对思维过程及数学思想的培养都十分有利。它体现出“数学是做出来的一一作为活动，数学是动态的可创

3、造的，结论或操作程序未知的。”而学生的数学学习过程是一种“再创造”。事实上，通过“细沙实验”，学生不但可以对球的体积公式较容易理解，而且可以加深公式的记忆。提出问题V球二？为了计算半径为R的球的体积，可以先计算半球的体积。让学生自测圆柱、半球、圆锥散着体积的大小，得V圆柱V半球V圆锥1由于V圆柱二很,V圆锥二3兀R3是已知的，便得兀R3>V半1案例球3兀R3，可以先引导学生猜想V半球二？（其中，可将兀R3的系数1331兀改写为3，得3兀R3>V半球3R3。请学生将此实验结果用式子表达出来:兀R3V半球二V圆柱-V圆锥二兀R3-34厂兀R3于是V球二3且V圆柱：V半球：V圆锥=3:2

4、:1下面验证这个实验结果，即证明图5-2左边充满细沙的半球与右边充满细沙的几何体是等体积的，而右边的几何体体积是已知的兀R3V=兀R33如果能证明它又符合祖暅原理中的“条件”，我们就可以将它作为半球的“参照体”了。为了运用祖暅原理，引入的几何体必须符合两个条件：一是计算公式是已知的；二是符合祖暅原理的条件，即该几何体与原几何体要夹在两个平行平面之间，且用平行于这两个平面的任意一个平面截得的截面面积总相等。符合以上两个条件的几何体可叫做原几何体的参照体，在前面推导柱、锥的体积时已多次引用此术语。图5-2中两几何体同高（R），故可夹在两个平行平面之间，剩下的问题是证明两个等距截面的面积相等。用与底

5、面平行的任一平面去截图5-2的两个几何体，截面分别是圆面和圆环面（图5-3）。如果截面和平面的距离为l，那么圆面的半径工八R2-12，圆环面的大圆半径为R,小圆半径为l,因此图5-3S圆二兀丫2二兀（R212）S圆环二驱2-叫2=兀（人2-12）所以S圆二S圆环根据祖暅原理，这两个几何体的体积相等，即兀R3兀R3=兀R3V半球二334-兀R3故V球二3到此，“猜想”得到证明，可写成：定理如果球的半径是R，那么它的体积是-厂兀R3V球二3（4）怎么记忆这个结论呢？让学生给出。事实上：根据“细沙实验”，兀R3v半球二V圆柱-V圆锥"R3-34厂兀R3于是V球-3只要记住V圆柱：V半球：V

6、圆锥=3:2:1即可采用拟柱体体积公式可得14厂兀R3V球二62R(0+4兀R2+0)=3还有其他的记忆方法吗？比如，将球体分割成许多小的椎体，球心是这些小锥体的顶点，锥得底面是球面的一小部分(曲面)(图5-4)。0图5-4于是，等于许多小锥体体积之和，而这些小锥体的高可视为球半径R。又因为所有小锥体底面积之和=球面积=4兀R2，从而-兀R3V球二3(S+S+)h=34兀R2R2=312虽然这不能作为球体积公式的证明，但是拟柱体、小锥体和球体的这种“默契”，给人们以和谐的感觉。(5)请同学们自己解答下面的问题：有一种空心钢球，重142g,测得外径等于5.0m，求它的内径(钢的密度是7.9g/cm3)这是课本上的例题，可以请位同学板演。(6)教师：今天这堂课的关键是构造个球的参照体，而“细沙实验”帮助我们解决了这个问题。你能离开实验，经过分析直接构造这个参照体吗？案例讨论的问题案例中引入实验如何设计更能吸引孩子的注意力课堂讨论1本课的教学重心应该放在培养学生经历“实验、猜测