多自由度系统振动之一动力学方程

1、主讲：周利东太原科技大学机械工程学院2010-10-26kcm建模方法建模方法1：将车、人等全部作为一个质量考虑，并考虑弹性和阻尼将车、人等全部作为一个质量考虑，并考虑弹性和阻尼要求：对轿车的上下振动进行动力学建模要求：对轿车的上下振动进行动力学建模例子：轿车行驶在路面上会产生上下振动例子：轿车行驶在路面上会产生上下振动缺点：模型粗糙，没有考虑人与车、车与车轮、车轮与地面之缺点：模型粗糙，没有考虑人与车、车与车轮、车轮与地面之间的相互影响间的相互影响优点：模型简单优点：模型简单分析：人与车、车与车轮、车轮与地面之间的运动存在耦合分析：人与车、车与车轮、车轮与地面之间的运动存在耦合多自由度系统振

2、动多自由度系统振动k2c2m车车m人人k1c1建模方法建模方法2：车、人的质量分别考虑，并考虑各自的车、人的质量分别考虑，并考虑各自的弹性和阻尼弹性和阻尼优点：模型较为精确，考虑了人与车之间的耦合优点：模型较为精确，考虑了人与车之间的耦合缺点：没有考虑车与车轮、车轮与地面之间的相互影响缺点：没有考虑车与车轮、车轮与地面之间的相互影响多自由度系统振动多自由度系统振动m人人k1c1k2c2mk3c3k2c2k3c3m车车m轮轮m轮轮建模方法建模方法3：车、人、车轮的质量分别考虑，车、人、车轮的质量分别考虑，并考虑各自的弹性和阻尼并考虑各自的弹性和阻尼优点：分别考虑了人与车、车与优点：分别考虑了人与

3、车、车与车轮、车轮与地面之间的车轮、车轮与地面之间的相互耦合，模型较为精确相互耦合，模型较为精确问题：如何描述各个质量之间的相互耦合效应？问题：如何描述各个质量之间的相互耦合效应？多自由度系统振动多自由度系统振动多自由度系统振动多自由度系统振动多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程 作用力方程先看几个例子先看几个例子 例例1：双质量弹簧系统，两质量分别受到激振力：双质量弹簧系统，两质量分别受到激振力不计摩擦和其他形式的阻尼不计摩擦和其他形式的阻尼试建立系统的运动微分方程试建立系统的运动微分方程m1m2k3k1k2x1x2P1(t)P2(t)多自由

4、度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程解：解：,1x2x21,mm的原点分别取在的原点分别取在 的静平衡位置的静平衡位置 建立坐标：建立坐标：设某一瞬时：设某一瞬时：21mm、1x2x上分别有位移上分别有位移21xx 、加速度加速度受力分析：受力分析：P1(t)k1x1k2(x1-x2)11xm m1P2(t)k2(x1-x2)22xm m2k3x2m1m2k3k1k2x1x2P1(t)P2(t)多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程建立方程：建立方程：1 11 1212122212322()( )()(

5、 )m xk xkxxP tm xkxxk xP t矩阵形式：矩阵形式： )()(0021213222212121tPtPxxkkkkkkxxmm 力量纲力量纲坐标间的耦合项坐标间的耦合项 P1(t)k1x1k2(x1-x2)11xm m1P2(t)k2(x1-x2)22xm m2k3x2多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程例例2：转动运动：转动运动两圆盘两圆盘转动惯量转动惯量 21,II轴的三个段的扭转刚度轴的三个段的扭转刚度 321,kkk试建立系统的运动微分方程试建立系统的运动微分方程 1k1I22I2k3k)(1tM)(2tM1)(),

6、(21tMtM外力矩外力矩 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程解：解：建立坐标：建立坐标：角位移角位移21,设某一瞬时：设某一瞬时：角加速度角加速度21, 受力分析：受力分析：1k1I22I2k3k)(1tM)(2tM111k11 I)(1tM)(212k22 I)(2tM33k)(122k多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程建立方程：建立方程：)()()()(2332222121211111tMkkItMkkI 矩阵形式：矩阵形式：)()(0021213222212121tMtMkkkkkk

7、II 坐标间的耦合项坐标间的耦合项 11k11 I)(1tM)(212k22 I)(2tM33k)(122k多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程)()(0021213222212121tPtPxxkkkkkkxxmm )()(0021213222212121tMtMkkkkkkII 多自由度系统的角振动与直线振动在数学描述上相同多自由度系统的角振动与直线振动在数学描述上相同 如同在单自由度系统中做过的那样，在多自由度系统中如同在单自由度系统中做过的那样，在多自由度系统中也将质量、刚度、位移、加速度及力都理解为广义的。也将质量、刚度、位移、加速度

8、及力都理解为广义的。m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)1k1I2I2k3k)(1tM)(2tM多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程小结：小结：)()(0021213222212121tPtPxxkkkkkkxxmm )()(0021213222212121tMtMkkkkkkII 可统一表示为：可统一表示为： )(tPXKXM 例例1：例例2：作用力方程作用力方程位移向量位移向量加速度向量加速度向量质量矩阵质量矩阵刚度矩阵刚度矩阵激励力向量激励力向量若系统有若系统有 n 个自由度，则各项皆为个自由度，则各项皆为 n 维维 多自由度系统振动

9、多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程 刚度矩阵和质量矩阵当当 M、K 确定后，系统动力方程可完全确定确定后，系统动力方程可完全确定M、K 该如何确定？该如何确定？ )(tPKXXM 作用力方程：作用力方程：nRX先讨论先讨论 K加速度为零加速度为零0X )(tKPX 则：则：假设外力是以准静态方式施加于系统假设外力是以准静态方式施加于系统多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程)(tPKXXM 作用力方程：作用力方程：nRX)(tPKX 假设作用于系统的是这样一组外力，它们使系统只在第假设作用于系统的是这样一组外力

10、，它们使系统只在第 j 个个坐标上产生单位位移，而在其他各个坐标上不产生位移坐标上产生单位位移，而在其他各个坐标上不产生位移 即即 ：TTnjjjxxxxx0,.,0 , 1 , 0,.,0,.,.,111 X njjjnnnjnnjnjnkkkkkkkkkkkktPtPtPt211222111112100100.)()()()(P代入，有代入，有 ：多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程 njjjnnnjnnjnjnkkkkkkkkkkkktPtPtPt211222111112100100.)()()()(P所施加的这组外力数值上正是刚度矩阵所

11、施加的这组外力数值上正是刚度矩阵 K 的第的第 j 列列 ijk（i=1n） ：在第在第 i 个坐标上施加的力个坐标上施加的力 结论：刚度矩阵结论：刚度矩阵 K 中的元素中的元素 kij 是使系统仅在第是使系统仅在第 j 个坐标上产生个坐标上产生单位位移而相应于第单位位移而相应于第 i 个坐标上所需施加的力个坐标上所需施加的力 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程)(tPKXXM 作用力方程：作用力方程：nR X讨论讨论 M假设系统受到外力作用的瞬时，只产生加速度而不产生任何位移假设系统受到外力作用的瞬时，只产生加速度而不产生任何位移 即：即：

12、 X = 0)(tPXM 则有：则有： njjjnnnjnnjnjnmmmmmmmmmmmmtPtPtPt211222111112100100.)()()()(P多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程njjjnnnjnnjnjnmmmmmmmmmmmmtPtPtPt211222111112100100.)()()()(P使系统只在第使系统只在第j个坐标上产生单位加速度，而在其他坐标上不产个坐标上产生单位加速度，而在其他坐标上不产生加速度所施加的一组外力，正是质量矩阵生加速度所施加的一组外力，正是质量矩阵M的第的第j列列 结论：质量矩阵结论：质量矩

13、阵M中的元素中的元素 是使系统仅在第是使系统仅在第j个坐标上产生个坐标上产生单位加速度而相应于第单位加速度而相应于第i个坐标上所需施加的力个坐标上所需施加的力ijm、ijmijk 又分别称为又分别称为质量影响系数质量影响系数和和刚度影响系数刚度影响系数。根据它们的。根据它们的物理意义可以直接写出矩阵物理意义可以直接写出矩阵 M 和和 K，从而建立作用力方程，这，从而建立作用力方程，这种方法称为种方法称为影响系数方法影响系数方法 。质量影响法与刚度影响法所形成的质量影响法与刚度影响法所形成的力都是施加在不同物体上的。力都是施加在不同物体上的。多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动

14、力学方程多自由度系统的动力学方程例：写出例：写出 M 、 K 及及运动微分方程运动微分方程 m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)m3k4k5k6P3(t)解：解：先只考虑静态先只考虑静态 令令 T001 X 2111kkk221kk 031k 令令 T010 X212kk653222kkkkk332kk令令 T100 X013k323kk3334kkk刚度矩阵：刚度矩阵：12222356333400kkkkkkkkkkkkK多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程只考虑动态只考虑动态 令令 T001 X 111mm021m031m有：有：令令

15、T010 X 012 m222mm 032 m有：有：令令 T100 X 013 m023 m333mm 有：有：m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)m3k4k5k6P3(t)质量矩阵：质量矩阵：321000000mmmM多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程43336532222100kkkkkkkkkkkkK321000000mmmM )()()(00000000321321433365322221321321tPtPtPxxxkkkkkkkkkkkkxxxmmm 运动微分方程：运动微分方程： m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)m3

16、k4k5k6P3(t)(tPKXXM 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程例：例：21、求：求：以微小转角以微小转角为坐标，为坐标，写出微摆动的运动学方程写出微摆动的运动学方程 每杆质量每杆质量 m杆长度杆长度 l水平弹簧刚度水平弹簧刚度 k弹簧距离固定端弹簧距离固定端 a12kaO1O2多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程解：解：令：令：则需要在两杆上施加力矩则需要在两杆上施加力矩110211k21k分别对两杆分别对两杆 O1、O2 求矩：求矩：21121kamglk221kak令：令：则需要

17、在两杆上施加力矩则需要在两杆上施加力矩011212k22k分别对两杆分别对两杆 O1、O2 求矩：求矩：22221kamglk212kak 0112aO1O2mgmg1 ka12k22k1102aO1O2mgmg1 ka11k21k多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程21121kamglk221kak刚度矩阵：刚度矩阵：22221kamglk212kak 22222121kamglkakakamglK1102aO1O2mgmg1 ka11k21k0112aO1O2mgmg1 ka21k22k多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动

18、力学方程多自由度系统的动力学方程令：令：则需要在两杆上施加力矩则需要在两杆上施加力矩11 02 11m2111131mlIm 021m令：令：则需要在两杆上施加力矩则需要在两杆上施加力矩12m22m2222231mlIm 012 m01 12 质量矩阵：质量矩阵：22310031mlmlM21m11 02 aO1O2mgmg11m21mk01 12 aO1O2mgmg12m22mk多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程22222121kamglkakakamglK运动学方程：运动学方程：22310031mlmlM00212131003121222

19、22122kamglkakakamglmlml 12kaO1O2多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程例：两自由度系统例：两自由度系统摆长摆长 l，无质量，微摆动，无质量，微摆动求：运动微分方程求：运动微分方程xm1k12mk2多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程解：解：先求解刚度矩阵先求解刚度矩阵令：令：01x2121111)(kkkkk021k令：令：10 x00)(2112kkkglmlgmk2222sin m1k10gm2k21x11k21km1k11gm2k20 x12k22k多自由度系

20、统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2121111)(kkkkk021k00)(2112kkkglmlgmk2222sin刚度矩阵：刚度矩阵：glmkk22100K多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程求解质量矩阵求解质量矩阵注意注意 力偶只能与力偶平衡力偶只能与力偶平衡令：令：0 1x 212111)(mmxmmm lmlxmm2221)( 令：令：1 0 x lmlmm2212 222222lmlmIm m1k10 gm2k21x 11m21mxm 2惯性力惯性力m1k11 gm2k20 x 12m22

21、m Ilm 2惯性力惯性力多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程212111)(mmxmmm lmlxmm2221)( lmm212222222lmlmIm 质量矩阵：质量矩阵：222221lmlmlmmmMxm1k12mk2刚度矩阵：刚度矩阵：glmkk22100K运动微分方程：运动微分方程：0000221222221xglmkkxlmlmlmmm 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程 位移方程和柔度矩阵对于静定结构，有时通过对于静定结构，有时通过柔度矩阵柔度矩阵建立建立位移方程位移方程比通过比

22、通过刚度矩阵刚度矩阵建立建立作用力方程作用力方程来得更方便些。来得更方便些。 柔度柔度定义为弹性体在单位力作用下产生的变形定义为弹性体在单位力作用下产生的变形物理意义及量纲与刚度恰好相反物理意义及量纲与刚度恰好相反 以一个例子说明位移方程的建立以一个例子说明位移方程的建立 x1m1x2m2P1P2无质量弹性梁，有若干集中质量无质量弹性梁，有若干集中质量（质量连续分布的弹性梁的简化（质量连续分布的弹性梁的简化 ）假设假设21PP、是常力是常力 以准静态方式作用在梁上以准静态方式作用在梁上 梁只产生位移（即挠度），不产生加速度梁只产生位移（即挠度），不产生加速度 21mm、21xx、取质量取质量的

23、静平衡位置为坐标的静平衡位置为坐标的原点的原点 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程111fx m1 位移：位移：212fx m2 位移：位移：0121 PP、时时（1）1021 PP、时时（2）121fx m1 位移：位移：222fx m2 位移：位移：21PP、 同时作用同时作用（3）2121111PfPfx m1 位移：位移：2221212PfPfx m2 位移：位移：f11f21P1=1f12f22P2=1x1m1x2m2P1P2多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程21PP、 同时作用时

24、：同时作用时：2121111PfPfx 2221212PfPfx 矩阵形式：矩阵形式：FPX 21xxX 22211211ffffF 21PPP其中：其中：柔度矩阵柔度矩阵物理意义：物理意义：系统仅在第系统仅在第 j 个坐标受到个坐标受到单位力作用时相应于第单位力作用时相应于第 i 个坐标上产生的位移个坐标上产生的位移 ijf柔度影响系数柔度影响系数 f11f21P1=1f12f22P2=1x1m1x2m2P1P2多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程FPX 21xxX 22211211ffffF 21PPP21PP、当当 是动载荷时是动载荷时集

25、中质量上有惯性力存在集中质量上有惯性力存在 2221112221121121)()(xmtPxmtPffffxx 212121222112112100)()(xxmmtPtPffffxx )(XMPFX 位移方程位移方程x1m1x2m2P1P211xm 22xm m1m2P1(t)P2(t)多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程)(XMPFX 位移方程：位移方程：FPXXFM 又可：又可：作用力方程：作用力方程： PKXXM XMPKX )(1XMPKX 若若K非奇异非奇异柔度矩阵与刚度矩阵的关系：柔度矩阵与刚度矩阵的关系：1 KFIFK 或：或

26、：多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程对于允许刚体运动产生的系统（即具有刚体自由度的系统），对于允许刚体运动产生的系统（即具有刚体自由度的系统），柔度矩阵不存在柔度矩阵不存在应当注意：应当注意：1I2Ikm1m2k1k2m3原因：原因：在任意一个坐标上施加单位力，系统将产生刚体运动在任意一个坐标上施加单位力，系统将产生刚体运动而无法计算各个坐标上的位移而无法计算各个坐标上的位移刚度矩阵刚度矩阵 K 奇异奇异多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程例：例： 求图示两自由度简支梁横向振动的位移方程求图示

27、两自由度简支梁横向振动的位移方程 已知梁的抗弯刚度矩阵为已知梁的抗弯刚度矩阵为EJx1x2l/3l/3l/3m1m2P1(t)P2(t)多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程由材料力学知，由材料力学知， 当当B点作用有单位力时，点作用有单位力时，A点的挠度为：点的挠度为： )(6222balEJlabfAB柔度影响系数：柔度影响系数：fff82211fff71221EJlf4863 ffff8778F21212121008778xxmmPPffffxx 柔度矩阵：柔度矩阵：位移方程：位移方程：x1x2l/3l/3l/3m1m2P1(t)P2(t)

28、labABP=1多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程例：例： 教材教材 P72 例例4.1-2，求柔度阵，求柔度阵 33332222100kkkkkkkkkK（1）在坐标）在坐标 x1 上对质量上对质量 m1 作用单位力作用单位力系统在坐标系统在坐标 x1、x2、x3 上产生位移为上产生位移为: 13121111kfff m1m2k1k2m3k3x1x2x3解：解：（2）在坐标）在坐标 x2 上对质量上对质量 m2 作用单位力作用单位力212211kkf1121kf213211kkf（3）在坐标）在坐标 x3 上对质量上对质量 m3 作用单位力

29、作用单位力1131kf212311kkf32133111kkkf多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程1111kf1211kf1311kf212211kkf1121kf213211kkf1131kf212311kkf32133111kkkf 3212112121111111111111111111kkkkkkkkkkkkkkF因此：因此：可以验证，有：可以验证，有：IFK m1m2k1k2m3k3x1x2x3 33332222100kkkkkkkkkK多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程 质量矩阵

30、和刚度矩阵的正定性质n 阶方阵阶方阵 A 正定正定并且等号仅在并且等号仅在0y 时才成立时才成立 0AyyT是指对于任意的是指对于任意的 n 维列向量维列向量 y，总有，总有 成立成立如果如果0y 时，等号也成立，那么称矩阵时，等号也成立，那么称矩阵 A 是是半正定半正定的的 根据分析力学的结论，对于定常约束系统：根据分析力学的结论，对于定常约束系统： 动能：动能：XMXTT21 KXXTV21 势能：势能：多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程 质量矩阵和刚度矩阵的正定性质n 阶方阵阶方阵 A 正定正定并且等号仅在并且等号仅在0y 时才成立时才

31、成立 0AyyT是指对于任意的是指对于任意的 n 维列向量维列向量 y，总有，总有 成立成立如果如果0y 时，等号也成立，那么称矩阵时，等号也成立，那么称矩阵 A 是是半正定半正定的的 动能：动能：XMXTT21 0T)1(0nixi 除非除非所以，所以，M正定正定0M即：即：多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程 质量矩阵和刚度矩阵的正定性质n 阶方阵阶方阵 A 正定正定并且等号仅在并且等号仅在0y 时才成立时才成立 0AyyT是指对于任意的是指对于任意的 n 维列向量维列向量 y，总有，总有 成立成立如果如果0y 时，等号也成立，那么称矩阵时

32、，等号也成立，那么称矩阵 A 是是半正定半正定的的 KXXTV21 势能：势能：对于仅具有稳定平衡位置的系统，势能在平衡位置上取极小值对于仅具有稳定平衡位置的系统，势能在平衡位置上取极小值 V 0 当各个位移当各个位移)1(nixi不全为零时，不全为零时， K 正定正定K 0对于具有随遇平衡位置的系统，存在刚体位移对于具有随遇平衡位置的系统，存在刚体位移对于不全为零的位移对于不全为零的位移 存在存在 V 0 )1(nixiK 半正定半正定0K多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程振动问题中主要讨论振动问题中主要讨论 K 阵正定的系统及阵正定的系统

33、及 K 阵半正定阵半正定的系统，前者称为的系统，前者称为正定振动系统正定振动系统，后者称为，后者称为半正定半正定振动系统振动系统 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程 耦合与坐标变换矩阵中非零的非对角元元素称为矩阵中非零的非对角元元素称为耦合项耦合项质量矩阵中出现耦合项称为质量矩阵中出现耦合项称为惯性耦合惯性耦合刚度矩阵或柔度矩阵中出现耦合项称为刚度矩阵或柔度矩阵中出现耦合项称为弹性耦合弹性耦合以两自由度系统为例以两自由度系统为例221100mmM不存在惯性耦合不存在惯性耦合22211211mmmmM 22211211kkkkK22211211

34、mmmmM存在惯性耦合存在惯性耦合多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程如果系统仅在第一个坐标上产生加速度如果系统仅在第一个坐标上产生加速度22211211mmmmM221100mmM0, 021xx 000011112211xmxmm 1211111222112110 xmxmxmmmm 可见，不出现惯性耦合时，一个坐标上产生的加速度只在该坐可见，不出现惯性耦合时，一个坐标上产生的加速度只在该坐标上引起惯性力；而出现惯性耦合时，一个坐标上产生的加速标上引起惯性力；而出现惯性耦合时，一个坐标上产生的加速度还会在别的坐标上引起惯性力度还会在别的坐标

35、上引起惯性力同样道理，不出现弹性耦合时，一个坐标上产生的位移只在该同样道理，不出现弹性耦合时，一个坐标上产生的位移只在该坐标上引起弹性恢复力；而出现弹性耦合时，一个坐标上产生坐标上引起弹性恢复力；而出现弹性耦合时，一个坐标上产生的位移还会在别的坐标上引起弹性恢复力的位移还会在别的坐标上引起弹性恢复力多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程例：例：研究汽车上研究汽车上下振动和俯仰振动下振动和俯仰振动的力学模型的力学模型表示车体的刚性杆表示车体的刚性杆AB的质量为的质量为m，杆，杆绕质心绕质心C的转动惯的转动惯量为量为Ic悬挂弹簧和前后轮胎的弹性用刚度

36、为悬挂弹簧和前后轮胎的弹性用刚度为 k1 和和 k2 的两个弹簧来表示的两个弹簧来表示写出车体微振动的微分方程写出车体微振动的微分方程选取选取D点的垂直位移点的垂直位移 和绕和绕D点的角位移点的角位移 为坐标为坐标DDxABCDa1a2el1l2lk1k2多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程ABCDa1a2el1l2lk1k2ABCDa1a2el1l2lk1k2简化形式简化形式多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程ABCDa1a2el1l2lk1k2ABCDDxCxD)(11DDaxk )(22D

37、Daxk DPDM车体所受外力可以向车体所受外力可以向D点简点简化为合力化为合力 PD 和合力矩和合力矩 MD由于微振动，杆质心的垂直由于微振动，杆质心的垂直位移、杆绕质心的角位移：位移、杆绕质心的角位移：DDCexx DC 首先采用拉格朗日方程建首先采用拉格朗日方程建立系统的运动微分方程立系统的运动微分方程系统的动能：系统的动能：222121CcCIxmT 2221)(21DcDDIexm 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程ABCDa1a2el1l2lk1k2ABCDDxCxD)(11DDaxk )(22DDaxk DPDMDDCexx D

38、C 系统的动能：系统的动能：2221)(21DcDDIexmT 系统的势能：系统的势能：222211)(21 )(21DDDDaxkaxkV 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2221)(21DcDDIexmT 222211)(21)(21DDDDaxkaxkV )1(niQqLqLdtdiii n 自由度系统的拉格朗日方程：自由度系统的拉格朗日方程：iq：广义坐标：广义坐标：拉格朗日函数：拉格朗日函数LVTL iQ：对应于有势力以外的其它非有势力的广义力：对应于有势力以外的其它非有势力的广义力计算广义力计算广义力 Q1 和和 Q2设在坐标设

39、在坐标xD上有虚位移上有虚位移Dx非有势力做功非有势力做功DDxPW 因此因此DPQ 1非有势力做功非有势力做功 DDMW 因此因此 DMQ 2设在坐标设在坐标 上有虚位移上有虚位移 DDABCDDxCxD)(11DDaxk )(22DDaxk DPDM多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程代入拉格朗日方程，得：代入拉格朗日方程，得：矩阵形式：矩阵形式：DDDDDPakakxkkmexm )()(112221 DDDDCDMakakxkkmeIxme )()()(222211212 DDDDDDCMPxakakakakakakkkxmeImeme

40、m22221111221122212 存在惯性耦合存在惯性耦合存在弹性耦合存在弹性耦合2221)(21DcDDIexmT 222211)(21)(21DDDDaxkaxkV )1(niQqLqLdtdiii DPQ 1DMQ 2多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程采用振动力学方法求解采用振动力学方法求解首先求刚度矩阵首先求刚度矩阵令：令：对对D点取矩：点取矩：力平衡：力平衡：ABCDa1a2el1l2lk1k21 Dx0 D212111 11kkkkk 11 kDxCD12 k11k21k01122112221 11akakakakk 多自由度

41、系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程令：令：对对D点取矩：点取矩：力平衡：力平衡：ABCDa1a2el1l2lk1k20 Dx1 D2111kkk 112221akakk 11ak CD22ak22k12k1 D122212akakk 22221122akakk 刚度矩阵：刚度矩阵： 2222111122112221akakakakakakkk多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程求质量矩阵求质量矩阵令：令：1 Dx 0 D ABCDa1a2el1l2lk1k21 mDxCD11m21m0惯性力惯性力质心

42、质心C所受的惯性力：所受的惯性力：力平衡：力平衡：mmm 111meemm 121力矩平衡：力矩平衡：1 m多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程令：令：0 Dx 1 D ABCDa1a2el1l2lk1k2质心质心C所受的惯性力矩：所受的惯性力矩：力平衡：力平衡：mm 11mem 21对对D点取矩：点取矩：1 CI1 CIDxCD12m22m0惯性力矩惯性力矩惯性力惯性力emD ) 1( CD mem 12222 1meIemeImCC 质心质心C所受的惯性力：所受的惯性力：meemD 2meImememC质量矩阵：质量矩阵：多自由度系统振动多

43、自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程 2meImememC质量矩阵质量矩阵刚度矩刚度矩阵阵 2222111122112221akakakakakakkk运动微分方程运动微分方程DDDDDDCMPxakakakakakakkkxmeImemem22221111221122212 和前面采用拉格朗日方程建立的系统运动微分方程一致和前面采用拉格朗日方程建立的系统运动微分方程一致多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程如果如果D点选在这样一个点选在这样一个特殊位置，使得：特殊位置，使得： DDDDDDCMPxakakakak

44、akakkkxmeImemem22221111221122212 ABCDa1a2el1l2lk1k2DDDDDDCMPxakakkkxmeImemem22221121200 只存在惯性耦合，而不出现弹性耦合只存在惯性耦合，而不出现弹性耦合1221kkaa 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程如果如果D点选在质心点选在质心C： DDDDDDCMPxakakakakakakkkxmeImemem22221111221122212 ABCDa1a2el1l2lk1k2只存在弹性耦合，而不出现惯性耦合只存在弹性耦合，而不出现惯性耦合CCDDDDCMP

45、xakakakakakakkkxIm222211112211222100 0eCCMP 、：作用在质心上的外力合力和合力矩：作用在质心上的外力合力和合力矩多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程问：问：能否找到这样一种坐标使得系统的运动微分方程既不出能否找到这样一种坐标使得系统的运动微分方程既不出现惯性耦合，也不出现弹性耦合？现惯性耦合，也不出现弹性耦合？212122112122110000PPxxkkxxmm 即：即：若能够，则有：若能够，则有：1111111Pxkxm 2222222Pxkxm 方程解耦，变成了两个单自由度问题方程解耦，变成了两个单自由度问题使系统运动微分方程的全部耦合项全部解耦的坐标称为使系统运动微分方程的全部耦合项全部解耦的坐标称为主坐主坐标标多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程讨论：讨论：能对同一个系统选取两个不同的坐标，它们所描述的能对同一个系统选取两个不同的坐标，它们所