简单的线性规划问题

1、简单的线性规划问题学习目标1了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念2了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题.理自主学习知识点一线性规划中的基本概念名称意义约束条件关于变量x,y的一次不等式(组)线性约束条件关于x,y的一次不等式(组)目标函数欲求最大值或最小值的关于变量x,y的函数解析式线性目标函数关于变量x,y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解(x,y)可行域由所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题知识点二线性规划问题1目标函数的最值azz线性目标

2、函数z=ax+by(b0)对应的斜截式直线方程是y=：x+：,在y轴上的截距是二,bbb当z变化时，方程表示一组互相平行的直线.当b0,截距最大时，z取得最大值，截距最小时,z取得最小值;当b1,则z=3x+y的最大值为()Xyw1,A.12B.11C.3D.1答案B解析首先画出可行域，建立在可行域的基础上，分析最值点，然后通过解方程组得最值点的坐标，代入即可如图中的阴影部分，即为约束条件对应的可行域，当直线y=3x+z经y=2，x=3，此时z=3x+y=11.尸2，过点A时，Z取得最大值.由:y=1x+y2w0，跟踪训练1(1)x，y满足约束条件x2y2w0，若z=yax取得最大值的最优解不

3、唯.2xy+20，一，则实数a的值为()11A.?或1B.2或C.2或1D.2或一1(2)若变量x，y满足约束条件1W0，x+2y8w0，则z=3x+y的最小值为x0，答案(1)D(2)1解析(1)如图，由y=ax+z知z的几何意义是直线在y轴上的截距,故当a0时，要使z=yax取得最大值的最优解不唯一，则a=2；当a0时，要使z=yax取得最大值的最优解不唯一，则a=1.(2)由题意，作出约束条件组成的可行域如图所示，当目标函数z=3x+y,即y=3x+z过点(0,1)时z取最小值1.题型二非线性目标函数的最值问题pxy20,例2设实数x,y满足约束条件x+2y40,求.2y30,跟踪训练2

4、已知x,y满足约束条件y0,则(x+3)2+y2的最小值为x+y1,答案10解析画出可行域(如图所示).(x+3)2+y2即点A(-3,0)与可行域内点(x,y)之间距离的平方.显然AC长度最小，AC2=(0+3)2+(1-0)2=10,即(x+3)2+y2的最小值为10.题型三线性规划的实际应用例3某公司生产甲、乙两种桶装产品已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克、B原料1千克.每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A,B原料都不超过12千克.通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中

5、，公司共可获得的最大利润是多少？x+2yW12,f2x+yw12,解设每天分别生产甲产品x桶，乙产品y桶，相应的利润为z元，于是有x0，y0,xN,yN,z=300x+400y,在坐标平面内画出该不等式组表示的平面区域及直线300x+400y=0,平移该直线，当平移到经过该平面区域内的点（4,4）时，相应直线在y轴上的截距达到最大，此时z=300x+400y取得最大值，最大值是z=300X4+400X4=2800,即该公司可获得的最大利润是2800元.反思与感悟线性规划解决实际问题的步骤：分析并根据已知数据列出表格；确定线性约束条件；确定线性目标函数；画出可行域；利用线性目标函数（直线）求出最

6、优解；实际问题需要整数解时，应适当调整，以确定最优解.跟踪训练3预算用2000元购买单价为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌子和椅子的总数尽可能的多，但椅子数不少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍，问桌子、椅子各买多少才行？解设桌子、椅子分别买x张、y把，目标函数z=x+y,把所给的条件表示成不等式组，即约束条件为.50x+20yw2000,yx,yw1.5x,x0,xN*,Ly0,yN*.20050x+20y=2000,x=x=解得200所以A点的坐标为饭0200由y=x,fx=25,50x+20y=2000,由解得75ly=1.5x，y=2，(75、所以B点的坐标为25,y.,200所以

7、满足条件的可行域是以A75，0(0,0)为顶点的三角形区域(如图).752，1.若直线y=2x上存在点(x,y)满足约束条件x+y3W0,x-2y3m,则实数m的最大值为()由图形可知，目标函数z=x+y在可行域内的最优解为B25,但注意到xN*,yN*,=25,故取7=忆故买桌子25张，椅子37把是最好的选择.自杳自纠r当堂检测3B.1.5x11y22,2x+3y9,2.某公司招收男职员x名，女职员y名，x和y需满足约束条件则z2x1,则z=x2+y2的最小值为1.课时精练、选择题若点（x,y）位于曲线y=|x|与y=2所围成的封闭区域，则2xy的最小值为（）B.2C.02.设变量y满足约束

8、条件x1,x+y4w0,.x3y+4w0,则目标函数z=3xy的最大值为（）B.04C.33.J_x1,实数x,y满足y0,.xy0,则z=口的取值范围是（）x1,0B.(8,0C.1,+m)D.1,1)xy0,若满足条件x+y2w0,的整点（x,y）（整点是指横、纵坐标都是整数的点）恰有9个,ya则整数a的值为（）B.2C.1x1,5已知x,y满足x+yw4,.x+by+c5,6.已知x,y满足约束条件xy+50,.x0）取得最小值的最优解有无数个,则a的值为（）A.3B.3C.1二、填空题产2,7.若x,y满足约束条件yw2,则z=x+2y的取值范围是.x+y2,8已知1wx+yw4且20

9、,11设实数x,y满足不等式组2xy50,三、解答题j-x4yw3,12.已知x,y满足约束条件3x+5yw25,目标函数z=2xy,求z的最大值和最小值.x1,px+y110,表示的平面区域为D若指数函数y=a的图象上存在区域13.设不等式组3xy+30,5x3y+9w0D上的点，求a的取值范围.14某家具厂有方木料90m3,五合板600m2,准备加工成书桌和书橱出售已知生产每张书桌需要方木料0.1m3,五合板2m2,生产每个书橱需要方木料0.2m3,五合板1m2,出售一张方桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元.(1) 如果只安排生产书桌，可获利润多少？(2) 如果只安排生产书橱，

10、可获利润多少？(3) 怎样安排生产可使所得利润最大？当堂检测答案1答案B解析如图，当y=2x经过且只经过x+y-3=0和x=m的交点时，m取到最大值，此时，即（m,2m）在直线x+y-3=0上，贝Um=1.2. 答案C解析解析该不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分由于x,yN*，计算区域内与112，9最近的点为（5,4）,故当x=5,y=4时，z取得最大值为90.13.答案2解析实数x,y满足的可行域如图中阴影部分所示，则z的最小值为原点到直线AB的距离的平方,故Zmin=12课时精练答案、选择题1答案A解析画出可行域，如图所示，解得A(-2,2),设z=2xy,把z=2xy变形为y=2

11、xz,则直线经过点A时z取得最小值;所以Zmin=2X(2)2=6，故选A.2.答案D解析作出可行域，如图所示.x+y4=0,=2,联立解得x3y+4=0,y=2.当目标函数z=3xy移到(2,2)时，z=3xy有最大值4.3. 答案D解析作出可行域，如图所示，y1的几何意义是点(x,y)与点(0,1)连线l的斜率，当直线I过B(1,0)时k|最小，最小为1.又x直线I不能与直线xy=0平行，kv1综上，k1,1).4. 答案C解析-工不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示，当a=0时，只有4个整点(1,1),(0,0),(1,0),(2,0).当a=1时，正好增加(一1,-1),(0,1)

12、,(1,1),(2,1),(3,1)5个整点.故选C.5答案D解析由题意知，直线x+by+c=0经过直线2x+y=7与直线x+y=4的交点，且经过直线2x+y=1和直线x=1的交点，即经过点(3,1)和点(1,1),3+b+c=0,b=1,解得丿1b+c=0,c=2.6.答案D解析如图，作出可行域，作直线I：x+ay=0,要使目标函数z=x+aa0)取得最小值的最优解有无数个，则将I向右上方平移后与直线x+y=5重合，故a=1,选D.二、填空题7.答案2,6解析如图，作出可行域,yX2O1=2作直线I:x+2y=0,将I向右上方平移，过点A(2,0)时，有最小值2，过点B(2,2)时，有最大值

13、6，故z的取值范围为2,6.&答案3,8解析作出不等式组1wx+yw4,表示的可行域，如图中阴影部分所示.20,y0,x-yw2x0,yv0,x+yw2xv0,y0,xyw2xv0,yv0,作出可行域为如图正方形内部容易得到整点个数为13个.10. 答案21解析作出可行域(如图)，即ABC所围区域(包括边界)，其顶点为A(1,3),B(7,9),C(3,1)方法一T可行域内的点都在直线x+2y4=0上方，x+2y40,则目标函数等价于z=x+2y4,易得当直线z=x+2y4在点B(7,9)处，目标函数取得最大值Zmax=21.方法二z=|x+2y4|=|x+2y415,令P(x,y)为可行域内

14、一动点，定直线x+2y4=0,则z=5d，其中d为P(x,y)到直线x+2y4=0的距离.由图可知，区域内的点B与直线的距离最大，故目标函数zmax=215=21.三、解答题故d的最大值为|7+2X9-4|21V5不解z=2x-y可化为y=2xz,z的几何意义是直线在y轴上的截距的相反数，故当z取得最大值和最小值时，应是直线在y轴上分别取得最小和最大截距的时候作一组与I。：2xy=0平行的直线系I,经上下平移，可得：当I移动到h,即经过点A(5,2)时，Zmax=2X52=8.当I移动到12,即过点C(1,4.4)时，Zmin=2X14.4=2.4.13.解A(2,9),9=a2,a=3.a1

15、,1va3.14解由题意可画表格如下:方木料(m)五合板(m2)利润(元)书桌(张)0.1280书橱(个)0.21120设只生产书桌x张，可获得利润z元,O.lxW90,xw900,2x0x0所以当x=300时，Zmax=80X300=24000（元）,即如果只安排生产书桌，最多可生产300张书桌，获得利润24000元.(1) 设只生产书橱y个，可获得利润z元,yw450,yw600,.y00wyw450.0.2yw90,1yw600,则z=120y,y0所以当y=450时，Zmax=120X450=54000(元),即如果只安排生产书橱，最多可生产450个书橱，获得利润54000元.(2) 设生产书桌x张，书橱y个，利润总额为z元，了0.1x+0.2yw90,了x+2yw900,2x+yw600,2x+yw600,则？x0,x0,y0y0.z=80x+120y.在平面直角坐标系内作出上