(完整word版)实变函数期中考试试题预测

1、实变函数期中考试试题预测一、填空题1 点集 E 的外测度定义为m E.12若B R1 ，则B 的基数为.3若A N ，则称 A为.4 n 维欧几里得空间Rn 的基数为5设A, B 是两个非空点集，A, B 的距离定义为d(A,B)6点集E 的外测度定义为m E7 如果则称 E 是自密集，如果则称 E 是开集，如果E E 则称 E是， E E E 称为 E 的.8设集合G 可表示为一列开集Gi 之交集：GGi，则 G称为.i1若集合 F 可表示为一列闭集 Fi之并集：FFi ，则 F 称为.i19若B R1 ,则 B 的基数为10若A N ,则 A为11 点集 E 的聚点全体所成之集称为12 点

2、集 E 的外测度m* E =2. 下列集合的基数为C (连续基数)的是13 、 (CsA CsB) (A (A B) o14、设 E是 0,1 上有理点全体，则E'=, E=, E =.15、 设 E是 Rn 中点集， 如果对任一点集T 都有 ， 则称 E 是 L 可 测的1116、设An ,2, n 1,2, ，则 lim An 。nnnomSi i117、设P 为 Cantor 集，则 P ， mP ， P=18 、设Si 是一列可测集，则19 、设集合N M ，则 M (M N ) o20、设 P为 Cantor 集，则 P ， mP ， P =。21. 设 E是Rn中点集，如果

3、对任一点集T都有 ，则称 E是 L可测的122. 设 A2m 1(0,), A2m(0,m), m 1,2, 则 lim An _.mn23. 欲使自然数全体 正奇数全体，只须令映照(n) ，这里 n 为自然数。24. 设 E Rn ，则 E 是紧集 .025. 设 Q 是有理数集, E 0,1 Q ，则 E ， E ， E 126. 根据开集构造定理可知：R1 上任一非空开集可以唯一地表示成。027. 设 P 为 Cantor 集，则 P ， P ， mP _.28. 设 E Rn, L外测度定义为29. 设 E Rn 可测，则存在一个G 型集 G E ，使得 30. E f n ， E f

4、 a 1.n1n1n31 若A N ，则称 A为.32若 B R1 ，则B 的基数为.33点集 E 的极限点的全体所成之集称为.34点集 E 的外测度定义为m E.选择题1 下列集合基数为C （连续基数）的是D. 有理系数多项式全体A.有理数集Q B.正整数集NC. 区间 0,12 下列命题或表达式正确的是A. b b B. 22 C.对于任意集合A, B ,有A B或 B A D .3 下列命题不正确的是A.若点集B 是无界集,则 m* BB. 若点集 E 是有界集,则m* EC. 开集 ,闭集都是可测集D. 康托集 P 的测度为零5下列命题不正确的是A. 外测度为零的集是可测集B. F 型

5、集， G 型集都是可测集C. Borel集都是可测集D. 可测集都是Borel 集6下列命题不正确的是A若点集A是无界集，则m AC 可数点集的外测度为零7下列命题不正确的是A开集、闭集都是可测集C 外测度为零的集是可测集8下列集合基数为a （可数集）的是A康托集PB 若点集E 是有界集，则m ED康托集P 的测度为零B可测集都是Borel 集D F 型集， G 型集都是可测集B （0,1）C设 A Rn,A x (x1,x2, ,xn) | xi是整数，i 1,2, ,nD 区间 （0,1） 中的无理数全体E.有理数集F.正整数集G. 有理系数多项式全体9下列集合的基数为a（可数基数）的是

6、A. 区间（0， 1 ）B. 实数集R1C. R2中坐标为整数的点全体D. 正整数 N 的所有子集构成的集合10 下列命题不正确的是A. 开集、闭集都是可测集B. F 型集， G 型集都是可测集C. 可测集都是 Borel 集D. 外测度为零的集是可测集11 下列命题或表达式正确的是A. a a B. 22 C.D 对于任意集合A, B ,有 A B或 B A.12 . 下列各式正确的是()( A) lim AnAk ; ( B) lim AnAk ;nn 1k nnn 1k n( C) lim AnAk; ( D) lim AnAk;nn 1k nnn 1k n13 、设P 为 Cantor

7、 集，则下列各式不成立的是()'( A) P c (B) mP 0(C) P P (D) P P14 、下列说法不正确的是()(A) 凡外侧度为零的集合都可测(B)可测集的任何子集都可测(C) 开集和闭集都是波雷耳集( D )波雷耳集都可测15. 设M , N 是两集合，则M (M N ) = ()(A) M (B) N (C) M N (D)16. 下列说法不正确的是()(A) P0 的任一领域内都有E 中无穷多个点，则P0 是E 的聚点(B) P0的任一领域内至少有一个E 中异于P0的点，则P0是E的聚点(C) 存在 E 中点列Pn ，使PnP0 ，则P0 是 E 的聚点(D) 内

8、点必是聚点17. 下列断言()是正确的。( A)任意个开集的交是开集；(B) 任意个闭集的交是闭集；(C) 任意个闭集的并是闭集；(D) 以上都不对；18. 下列断言中()是错误的。( A)零测集是可测集；( B)可数个零测集的并是零测集；( C )任意个零测集的并是零测集；(D )零测集的任意子集是可测集；119、 An1 ,2 ( 1)n, n 1,2,，则()n(A) lim An0, 1( B) lim An (0, 1nn(C) lim An(0, 3( D) lim An(0, 3)nn20、 E 是 0,1 上有理点全体，则下列各式不成立的是()o'( A)E 0,1(B

9、) E(C) E =0， 1(D) mE 121、 、下列说法不正确的是()(A) 若 A B ，则 m* A m* B ( B)有限个或可数个零测度集之和集仍为零测度集(C) 可测集的任何子集都可测( D )凡开集、闭集皆可测22、 En 是一列可测集，E1E2En，且mE1，则有()lim mEn nm En lim mEn (B) mEnC)n1nn1m En lim mEn ;( D)以上都不对、 n1n23、 P 为 Cantor 集，则A) P 0(B) mP 1(C) P P (D) P P24、 下列说法不正确的是()(A) P0 的任一领域内都有E 中无穷多个点，则P0 是E

10、 的聚点(B) P0的任一领域内至少有一个E 中异于P0的点，则P0是E的聚点(C) 存在 E 中点列Pn ，使PnP0 ，则P0 是E 的聚点 (D) 内点必是聚点25、 设 f (x) 在 E 上 L 可积 ,则下面不成立的是(A) f (x) 在E 上可测(B) f (x) 在 E 上a.e.有限(C) f (x) 在E 上有界(D) f(x)在 E 上L可积26、 设 En 是一列可测集，E1 E2En ，则有()。A)mlim mEn (B) nnlim mEC) m Elim mEn ;( D)以上都不对三、判断题(判断正确、错误，请在括号中填“”或“×” )1 .设 E

11、n= 2, 则集合 E= (x1,x2,L ,xn,L )|xi ? Ei,i 1,2,L 是可数集合.2 .Cantor 集是 0,1 中稠密的完备集合.3 .设 E 是可测集，若对任何有理数r, x? E | f (x) r可测，则f 在 E 上可测 .4 .若 E ì ? p+q 是可测集，则对任何x? ? p, Ex是 ? q上的可测集合.四、下列命题是否成立?若成立,则证明之;若不成立,则举反例说明.1 若(A B) (B A) ，则一定有A B 吗？为什么？2无穷多个闭集的并集一定是闭集吗？为什么？3若m A 0，那么对任意的点集B 一定有 m (A B) m B 吗？为

12、什么？4若mE 0，则一定有mE 0吗？为什么？5若A是无界集，则一定有m A 0吗？为什么？6无穷多个开集的交集一定是开集吗？为什么？7、若mE 0，则 E 一定是可数集.8、由于0,10,10,1 ，故不存在使0,1 和0，1 之间 1 1 对应的映射。9、可数个零测度集之和集仍为零测度集。10 . 设 0, 开集 G E, 使 m* (GE) ，则 E 是可测集。11 、任意多个开集之交集仍为开集。12、若 mE 0，则 E 一定是可数集.13. 设 f (x) 是 (,) 上的实值连续函数，则对任意常数c， E x | f (x) c 是一开集 .五、证明题一、 ( 15 分)设 A,

13、 B Rn ， A是可测集，且m B ，证明 m (A B) m A m B m (A B)二、证明康托集P 的测度为零.三、设 E R ，证明 E 为可测集的充要条件是：对任意的0 ，存在开集G 与闭集 F ，满足F E G ，且 m(G F)四、证明：R1 中的可数点集的外测度为零。22xy五、设 f (x, y) 22 2 定义在 E (0,1) (0,1) 上，证明f (x, y) 在 E 上不可积。(总分 10 分)(x2y2)2六、证明0,1 上的全体无理数作成的集其势为c .7、 ( 6 分)试证(0,1) 0,18、 Bernstein 关于两集合对等的定理.9、 1 中开集的构造定理.十、证明：Rn 中任意闭集都可以表示成可数个开集的交。十一、设S1 , S2 , , Sn 是 Rq 中一些互不相交的可测集，而EiSi (i 1,2, ,n )，nn应用卡氏定义证明: