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文档简介

1、14 旋转曲面面积01( )lim( ),( )bniiTiabaf x dxfxf x dxQ定积分是和式的极限如果所研究的问题总可以按“分割、近似求和与取极限”三个步骤能归结为求这种和式的极限，那么，应用定积分就可以求出问题的结果。为了使定积分的应用问题能简便地回归到求定积分上来，我们往往采用以下介绍的方法微元法。何谓微元法？一个待求的量若要用定积分表示出来，它必须要具备两个特性：一、微元法21 , 2 , , ,( ),( ).(bbaaQxa bQa bQQQa bx xxQQf x dxdQQQdQf x dxQ ）、 是一个与其变量的变化区间有关的量；）、 对于具有代数的可加性，即

2、其中是的子区间所对应的部分量。如果的近似表达式是：则要计算的量只要把定积分计算出来，就是该问题所求的结果 所求量 的最终值）这种方法称为微元法，其特点是直观、简单、方便。在应用定积分解决实际Q问题时经常被使用。使用微元法的关键就是正确给出的近似表达式，即3( )( )(),( )()( )( )( )1Qf x dxdQQf xxoxQf xxoxQf xxQf xxxQf xx 若不能保证：，则就不能用作为近似表达式，否则用“微元法”将导致错误的结果。要严格检验：是否为的高阶无穷小，往往不是一件容易的事，因此对的合理性要特别小心。对于前面所学过的平面图形面积公式、立体体积公式和弧长公式都可以

3、用微元法得到。二、旋转曲面的面积）、设2( ), , ,( )02( ) 1( ).baCyf xxa bf xCxSf xfxdx平面光滑曲线 由直角坐标方程（不妨设）给出，则曲线 绕 轴旋转一周所得旋转曲面面积为：4.证明（如图，用微元法导出公式）yxbaSy=f(x)xxxo2( )( ), ,Cxx tyy tt ）、若平面光滑曲线 由参数方程：，52222( )02( )( )( ).3( ), , ( ,0,( )0 ),2( )sin( )( )y tCxSy tx ty tdtCrrrCSrrrd给出，且：，则曲线绕 轴旋转一周所得旋转曲面面积为：）、若平面光滑曲线 由极坐标方程：则曲线绕极轴旋转一周所得旋转曲面面积为：22212331,2cos,sinxyRx xR Rxxatyatx 例计算圆在上的弧段绕 轴旋转一周所得

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