力4.功和能(2015)

1、1 第四章第四章 功和能功和能（Work and Energy） 4.1 功功 4.2 动能定理动能定理4.3-4.4 势能势能 引力势能引力势能4.5由势能求保守力由势能求保守力4.6 机械能守恒定律机械能守恒定律4.7 守恒定律的意义守恒定律的意义 4.8 碰撞碰撞4.9 两体问题两体问题前言前言 2前前 言言机械能守恒定律。机械能守恒定律。 功的计算是否依赖参考系？功的计算是否依赖参考系？ 势能是否与参考系的选择有关？势能是否与参考系的选择有关？ 机械能守恒是否与惯性系的选择有关？机械能守恒是否与惯性系的选择有关？ 摩擦生热是否与参考系选择有关？摩擦生热是否与参考系选择有关？本章讨论力本

2、章讨论力对空间的积累效应对空间的积累效应 功、功、动能、动能、势能、势能、动能定理、动能定理、要求：要求：1.深入理解以上概念，深入理解以上概念，搞清它们是属于质点、搞清它们是属于质点、还是属于系统？还是属于系统？与参考系的选择有无关系？与参考系的选择有无关系？2.搞清规律的内容、搞清规律的内容、 来源、来源、 对象、对象、适用条件、适用条件、与参考系的关系等。与参考系的关系等。如：如：3 4.1 功功（work）功：功：力和力所作用的质点（或质元）的位移的力和力所作用的质点（或质元）的位移的 Fdrm 12L )2()1()2()1(12ddrFWW 功依赖于参考系；功依赖于参考系； 功是标

3、量，功是标量，rFdcos)2()1( 标量积。标量积。有正、负之分。有正、负之分。4当质点同时受到几个力的作用时，合力的功等当质点同时受到几个力的作用时，合力的功等于各分力沿同一路径所做的功的代数和。于各分力沿同一路径所做的功的代数和。rdFFFrdFWBABANAB21BANBABArdFrdFrdF21NABABABWWW21功的国际单位：焦耳（功的国际单位：焦耳（J）非国际单位：尔格（非国际单位：尔格（erg），电子伏（），电子伏（eV）5例例1：弹簧弹力所做的功。：弹簧弹力所做的功。omx0 = 0 xAB例例2：摩擦力的功。：摩擦力的功。例例3：滑雪运动员的质量为：滑雪运动员的质量

4、为m，沿滑雪道下滑，沿滑雪道下滑了高度了高度h，忽略他所受的摩擦力，求在这一过，忽略他所受的摩擦力，求在这一过程中他受的合外力做的功。程中他受的合外力做的功。注意注意：分析不同种类的力的做功特点。：分析不同种类的力的做功特点。6 4.2 动能定理动能定理（kinetic energy theorem）BAtBABArABrdamrdFrdFW一、质点的动能定理一、质点的动能定理222121ABvvBAmvmvdvvmvdtdtdvmBA定义动能：定义动能：质点的动能定理质点的动能定理221vmEk kAkBABEEW（对惯性系）（对惯性系）由牛顿第二定律由牛顿第二定律7例例4：利用动能定理，重

5、解此题，求线摆下：利用动能定理，重解此题，求线摆下 角角时珠子的速率。时珠子的速率。mgTo 8二、质点系的动能定理二、质点系的动能定理对质点对质点i，由动能定理：，由动能定理：iiiiBABAiiiirdfrdF222121iAiiBivmvm对质点系的所有质点求和：对质点系的所有质点求和：12kkEEWW 内内外外注意：注意：内力虽成对出现，内力虽成对出现， 但内力功的和不一定但内力功的和不一定为零为零（各质点位移不一定相同）。各质点位移不一定相同）。质点系的动能定理质点系的动能定理（对惯性系）（对惯性系）9三三. 克尼希定理克尼希定理（Konig theorem）S（惯性系）：（惯性系）

6、：， 221iikmEv2)(21CikCmEv S （质心系）：（质心系）：0 0 iiCm vv 21 2iikmEvCiivvv ) () (21212CiCiiiikmmEvvvvv 22)(21) (21CiCiiiimmmvvvv kCkkEEE 克尼希定理克尼希定理10 一对力的功一对力的功一一. 一对力一对力作用力与反作用力，作用力与反作用力，2211dddrfrfW 对对)d(d122rrf )d(122rrf 21dr：m2相对相对m1 的的212drf 分别作用在两个物体上的大小相等、方向分别作用在两个物体上的大小相等、方向 一对力通常是一对力通常是但也可不是。但也可不是

7、。元位移。元位移。称之为称之为 “一对力一对力”。 yB2xB1 A1z A2o m1m2 r2r1相反的力，相反的力，二二. 一对力的功一对力的功 f1 f2r21dr1dr211(1)表示初位形，即表示初位形，即 m1在在A1，m2在在A2；)d(d)2()1(121)2()1(21212 rfrfW对对 (2)表示末位形，即表示末位形，即 m1在在B1，m2在在B2 。况下，况下，1.W对对 与参考系选取无关。与参考系选取无关。说明：说明：2.一对滑动摩擦力的功恒小于零。一对滑动摩擦力的功恒小于零。（摩擦生热是（摩擦生热是一对一对滑动摩擦力作功的结果）滑动摩擦力作功的结果）3.在无相对位

8、移或相对位移与一对力垂直的情在无相对位移或相对位移与一对力垂直的情一对力的功必为零。一对力的功必为零。12NNv1Mv12光滑光滑m21v21v 不不垂垂直直于于N0 NW2v 不不垂垂直直于于N 0 NW1212d,rNN v 即即0 NNWWW对对 例如：例如： 13 保守力保守力（conservative force） 一一. 定义定义这样的力称为这样的力称为保守力。保守力。(2)(1)L2L1r f m2d rL=L1+L2 m1 )2()1()2()1(ddrfrfL1L2 )2()1()1()2(ddrfrfL1L20d Lrf若若 为保守力，为保守力，f如果如果一对力的功与相对移

9、动的路径无关，一对力的功与相对移动的路径无关，而只决定于相互作用物体的始末相对位置，而只决定于相互作用物体的始末相对位置，则：则：14二二. 几种保守力几种保守力1.万有引力：万有引力： rerGMmrd2)2()1( rrGMmrrd212 12rGMmrGMm 任何有心力任何有心力 都是保守力。都是保守力。rerf)(mrM f )2()1(12drfW对对d r(2)(1)r2r1rererrdd 152.弹力：弹力：ikxf 一维运动时一维运动时x 对自然长度的增加量，对自然长度的增加量，k 弹簧的弹簧的劲度劲度(stiffness)。3.重力：重力：gmp 三三. 非保守力非保守力

10、作功与路径有关的力作功与路径有关的力称为称为非保守力。非保守力。 例如：例如： 摩擦力（耗散力）：摩擦力（耗散力）： 一对滑动摩擦力作功恒为负；一对滑动摩擦力作功恒为负； 爆炸力：爆炸力：作功为正。作功为正。16 4.3-4.4势能势能 引力势能引力势能（potential energy） 利用保守力的功与路径无关的特点，可引入利用保守力的功与路径无关的特点，可引入一一. 系统的势能系统的势能 Ep1221保保WEEEppp 其势能的减少其势能的减少(增量的负值增量的负值)等于保守内力的功。等于保守内力的功。若规定系统在位形（若规定系统在位形（0）的势能为零，）的势能为零， 则：则： )0()

11、1(1drfEp保保“势能势能” 的概念。的概念。定义：定义：系统由位形系统由位形(1)变到位形变到位形(2)的过程中，的过程中，17说明：说明：零点的选择与参考系的选择相混淆。零点的选择与参考系的选择相混淆。二二. 几种势能几种势能1.万有引力势能万有引力势能CrGMmrEp )(令令 ， 0)( pE rGMmrEp )(有有则则 C = 0，1.势能属于相互作用的系统；势能属于相互作用的系统；2.势能不依赖于参考系的选择，势能不依赖于参考系的选择，不要将势能不要将势能182.重力势能重力势能CmghhEp )(令令， 0)0( pEmghhEp )( 3.弹性势能弹性势能 CkxxEp

12、221)( 221)(kxxEp 令令 ，0)0( pE有有有有194.5 由势能求保守力由势能求保守力一一. 由势能函数求保守力由势能函数求保守力dl f保保 ml f保保l =f保保 cos pElfdd 保保plElfdd 保保lEfpldd 保保 ，例如弹性势能例如弹性势能221kxEp 所以有：所以有：kxkxxfx )21(dd2 则可得弹性力则可得弹性力20通常通常 EP 可以是几个坐标的函数，可以是几个坐标的函数，lEfpl 保保，保保xEfpx ， ),(zyxEEpp 若若则有：则有：）（保保kzEjyEixEfppp pE grad EP 的的梯度梯度（gradient）

13、zEfpz 保保，保保yEfpy pE grad此时有：此时有：21zkyjxi 引引入入算算符符pEf 保保二二 . 由势能曲线求保守力由势能曲线求保守力rEp r0Or斜率斜率 = 0斜率斜率 0斜率斜率 0例：双原子分子势能曲线例：双原子分子势能曲线是引力。是引力。是斥力。是斥力。则有则有斜率斜率 0， r 0 ， fr r0 ：斜率斜率 = 0 ， fr = 0。r = r0 ：224.6 功能原理，机械能守恒定律功能原理，机械能守恒定律 一一. 功能原理功能原理（work-energy theorem）对质点系有：对质点系有：12kkEEWW 内内外外内非内非内保内保内内WWW ）（

14、）（内非内非外外1122pkpkEEEEWW 引入系统的引入系统的机械能：机械能：pkEEE 功能功能原理原理12EEWW 内内非非外外（积分形式）（积分形式）EWWddd 内内非非外外（微分形式）（微分形式）内内非非WEEpp )(1223二二. 机械能守恒定律机械能守恒定律 （ law of conservation of mechanical energy）在只有保守内力作功时，系统的机械能不变。在只有保守内力作功时，系统的机械能不变。常常量量，则则且且若若内内非非外外 EWW 0d0d即即 机械能守恒定律机械能守恒定律显然，显然，孤立的保守系统机械能守恒。孤立的保守系统机械能守恒。内内

15、保保时时，当当WEEEpk 0W保内保内 0（对惯性系）（对惯性系）24三三. 普遍的能量守恒定律普遍的能量守恒定律 如果考虑各种物理现象，计及各种能量，如果考虑各种物理现象，计及各种能量，则则 一个孤立系统不管经历何种变化，一个孤立系统不管经历何种变化， 系统所有能量的总和保持不变。系统所有能量的总和保持不变。 普遍的能量守恒定律普遍的能量守恒定律 机械运动范围内的体现。机械运动范围内的体现。机械能守恒定律是普遍的能量守恒定律在机械能守恒定律是普遍的能量守恒定律在25四四. 质心参考系下的功能关系质心参考系下的功能关系假定保守系统。假定保守系统。BAijBAiijiirdfrdF对质点对质点

16、i，在系统从初态，在系统从初态A到到末状态末状态B的过程中，由动能定理给出：的过程中，由动能定理给出：222121iAiiBivmvm对所有质点求和：对所有质点求和：iijBAiijiBAiirdfrdFiiAiiiBivmvm22212126由伽利略位移变换关系和柯尼希定理，有：由伽利略位移变换关系和柯尼希定理，有：CBAiijijiBAiiBACirdfrdFrdF iiijBAijrdfiiBiiiBivmvm222121222121CACBmvmv0PBPAiiijBAijEErdf pAAkpBBkextEEEEWint,int,27内能：系统的内动能和系统内各质点间的势能内能：系统

17、的内动能和系统内各质点间的势能的总和称为系统的内能。的总和称为系统的内能。pkEEEint,intABextEEWint,int,质心参考系下的功能质心参考系下的功能关系。关系。此结论和质心系是否为惯性系无关。此结论和质心系是否为惯性系无关。质心系中的质心系中的功能原理功能原理 d d dEWW 内非内非外外 EWW 内内非非外外对于非保守系统对于非保守系统：28四四.守恒定律联合应用举例守恒定律联合应用举例 例例1已知：已知：m = 0.2kg， M=2kg， v = 4.9m/s 。求：求：hmax = ? 解：解： m + M + 地球：地球： W外外= 0，W内非内非 = 0 , 故机

18、械能守恒。故机械能守恒。当当 h= h max 时，时，M 与与 m有相同的水平速度有相同的水平速度 。V取地面取地面 Ep = 0，有：，有：)1()(2121max22mghEVMmEmpMpM vm + M： 水平方向水平方向F外外= 0，故水平方向动量守恒，故水平方向动量守恒 mv =（m+M）V (2)mvM光滑光滑 光滑光滑 hmax29gMmh211max2v 分析结果的合理性：分析结果的合理性： 单位对。单位对。gh22maxv 代入数据：代入数据：m11. 18 . 929 . 422 . 0112max h， 0Mm正确。正确。，2max21vmmgh 由由(1)、(2)

19、得：得：30例例2：用一个轻弹簧把一个金属盘悬挂起来，这：用一个轻弹簧把一个金属盘悬挂起来，这时弹簧伸长了时弹簧伸长了l1=10cm。一个质量和盘相同的泥。一个质量和盘相同的泥球，从高于盘球，从高于盘h=30cm处由静止下落到盘上。求处由静止下落到盘上。求此盘向下运动的最大距离此盘向下运动的最大距离l2。31l2 m O l 1v3v 4 l 5例例3分析荡秋千原理：分析荡秋千原理：m表示人的质心表示人的质心 12：人迅速蹲下，使有效人迅速蹲下，使有效 摆长摆长 由由 变为变为l ；Oml 23：对对（人（人+地球）系统，地球）系统，)cos1(212 mglmv（1）角动量守恒：角动量守恒：

20、 34：人人对对O，0 外外M，lmlmvv （2） 45：对对（人（人+地球）系统，地球）系统，机械能守恒：机械能守恒： ) cos1(212 vlmgm（3）只有重力作功，机械能守恒：只有重力作功，机械能守恒：32（1）、（）、（2）、（）、（3）联立解得：）联立解得：1cos1cos133 ll v 4 m O l 1v3 l 5l2， coscos 。 人越摆越高，能量从哪儿来？人越摆越高，能量从哪儿来？334.7 守恒定律的意义守恒定律的意义 物理学特别注意对守恒量和守恒定律的研究，物理学特别注意对守恒量和守恒定律的研究，这是因为：这是因为： 第一，从方法论上看：第一，从方法论上看：

21、自然界中许多物理量自然界中许多物理量如动量、如动量、 角动量、角动量、 机械能、机械能、电荷、电荷、质量等等，质量等等， 都具有相应的守恒定律。都具有相应的守恒定律。利用守恒定律研究问题，利用守恒定律研究问题，低速均适用。低速均适用。而对系统始、末态下结论而对系统始、末态下结论可避开过程的细节，可避开过程的细节，（特点、优点）。（特点、优点）。第二，从适用性来看：第二，从适用性来看：守恒定律适用范围广，守恒定律适用范围广，宏观、宏观、微观、微观、高速、高速、34 第三，从认识世界来看：第三，从认识世界来看： 守恒定律是认识世界的很有力的武器。守恒定律是认识世界的很有力的武器。 在新现象研究中，

22、若发现某守恒定律不成立，在新现象研究中，若发现某守恒定律不成立， 则往往作以下考虑：则往往作以下考虑： （1）寻找被忽略的因素，从而使守恒定律成立，）寻找被忽略的因素，从而使守恒定律成立， 如中微子的发现。如中微子的发现。 （2）引入新概念，使守恒定律更普遍化）引入新概念，使守恒定律更普遍化(补救补救)。 （3）当无法补救时，则宣布该守恒定律不成立，）当无法补救时，则宣布该守恒定律不成立， 如弱相互作用如弱相互作用宇称宇称（parity）不守恒。不守恒。35 不论哪种情况，都是对自然界的认识上了新不论哪种情况，都是对自然界的认识上了新都能对人类认识自然起到巨大的推动作用。都能对人类认识自然起到

23、巨大的推动作用。 第四，从本质上看：第四，从本质上看： 守恒定律揭示了自然界普遍的属性守恒定律揭示了自然界普遍的属性对称性。对称性。对称对称 在某种在某种“变换变换”下的不变性。下的不变性。 每一个守恒定律都相应于一种对称性：每一个守恒定律都相应于一种对称性： 动量守恒动量守恒相应于相应于空间平移的对称性；空间平移的对称性； 能量守恒能量守恒相应于相应于时间平移的对称性；时间平移的对称性； 角动量守恒角动量守恒相应于相应于空间转动的对称性；空间转动的对称性； 台阶。台阶。 因此守恒定律的发现、因此守恒定律的发现、推广、推广、 甚至否定，甚至否定，36 4.8 碰撞碰撞（Collision）（书

24、（书4.11节）节）三种碰撞：三种碰撞：完全弹性碰撞完全弹性碰撞完全非弹性碰撞完全非弹性碰撞非完全弹性碰撞非完全弹性碰撞弹弓效应弹弓效应374.9 两体问题两体问题两物体在相互作用下的运动问题称两物体在相互作用下的运动问题称两体问题两体问题，这类问题可简化为单体问题处理。这类问题可简化为单体问题处理。如：如： 粒子被原子核散射，粒子被原子核散射，m2m1 f1 f2r2r1Or惯性系中的固定点惯性系中的固定点设质点间的作用力为中心力，设质点间的作用力为中心力，rerftrm)(dd2121 （1）rerftrm)(dd2222 （2）:)2()1(12 mm行星绕太阳运动等。行星绕太阳运动等。

25、38rerfmmtrrmm)()(d)(d21221221 m2m1 f1 f2r2r1Or惯性系中的固定点惯性系中的固定点rerftr)(dd22 （3） 这里固结于这里固结于 m2 的平动参考系虽然不是惯性系，的平动参考系虽然不是惯性系， 但只要将但只要将m1用用 代替，则代替，则牛顿第二定律就适用。牛顿第二定律就适用。在中心力作用下质点在中心力作用下质点 m1 相对于相对于 m2 的运动，的运动， 和一个质量为和一个质量为 受同样力作用的质点在固结于受同样力作用的质点在固结于m2的平动参考系的平动参考系 （以（以m2为原点）中的运动相同。为原点）中的运动相同。39 在两体问题中，在两体问

26、题中，故动量和能量的定理也都适用。故动量和能量的定理也都适用。由于把另一质点的质量改为约化质量由于把另一质点的质量改为约化质量参考系来说，参考系来说，对固结于其中一个质点的平动对固结于其中一个质点的平动时牛顿定律成立，时牛顿定律成立，40ermpmpe例例k为常量。为常量。已知：已知：质子间相互作用电势能为质子间相互作用电势能为， rek2求：求：二者能达到的最近距离二者能达到的最近距离 rmin分别以速率分别以速率v0 和和 2v0 相向运动。相向运动。两个质子从相距很远处两个质子从相距很远处解：解： 两体化单体问题。两体化单体问题。选其中的一个质子为原点，选其中的一个质子为原点， 则能量守

27、恒关系为则能量守恒关系为min220)3(21rek v 41HomeworkHomework地质习题：地质习题： 4.2 4.5 4.11 4.15 4.20 第四章结束第四章结束材料习题：材料习题： 4.2 4.3 4.5 4.1642讨论题讨论题第第1题：题： Fvmv = const.皮带皮带M f驱动力驱动力m砖块砖块 f （1）f 对对M的功的功 = -（ f 对对m的功）的功） 的动过程中，应该有：的动过程中，应该有：m：vm=0vm=v答：答：错。错。（ m与与M间有相对位移）间有相对位移）答：答：错。错。（2）F 的功的功 + f 的功的功 = m获得的动能获得的动能 （ F

28、与与 f 是作用在是作用在M上上而非而非m上的）上的）43（3）F 的功的功 + f 的功的功 = 0对。对。答：答：（M匀速，动能不变）匀速，动能不变）（4）F 的功的功 = m获得的动能获得的动能 错。错。答：答：（ F是作用在是作用在M上的）上的）的动过程中，的动过程中， F 的功的功 =？ vm=0vm=v问：问：解：解：vm=0 F = f = fv = const. fm f vm=vmAAv = const. SS SfSf )(SSFWF 221vm 地面上看地面上看 皮带上看皮带上看SS （动能定理）（动能定理）221vm 44指导指导1.4 三三 . 1第第2题：题：在在

29、S 和和 S 中中（小球（小球+地球）地球）的机械能是否的机械能是否守恒？守恒？S O.const VmS只讨论：只讨论：S ：只有保守内力作功，机械能守恒。只有保守内力作功，机械能守恒。S：TV vv )(0 TWW外外机械能不守恒。机械能不守恒。mOVTv vV45指导指导1.4 三三 . 2第第3题：题：判断下列说法的正误。判断下列说法的正误。（1）不受外力作用的系统，其动量和动能）不受外力作用的系统，其动量和动能必然同时守恒。必然同时守恒。错。错。答：答：（若（若W内内 0，则，则 Ek 不守恒）不守恒）（2）内力都是保守力的系统，当它所受的合外）内力都是保守力的系统，当它所受的合外力

30、为零时，它的机械能必然守恒。力为零时，它的机械能必然守恒。错。错。答：答：（外力功的和不一定为零）（外力功的和不一定为零）（3）只有保守内力的系统，它的动量和机械能）只有保守内力的系统，它的动量和机械能必然都守恒。必然都守恒。答：答： 对。对。 （只有（只有F保内保内 W外外 = 0，W内非内非 = 0）46已知：已知：一劲度系数为一劲度系数为 k 的弹簧，的弹簧，一端与质量为一端与质量为M的水平薄板相连接，的水平薄板相连接，另一端与地面固定。另一端与地面固定。 求：求：泥球与平板一起向下运泥球与平板一起向下运动的最大位移动的最大位移 h。 第第4题：题： 指导指导1.4 四四 . 3m HhMk 一质量为一质量为 m 的泥球自板上方的泥球自板上方高高H处自由下落到板上。处自由下落到板上。如图示，如图示，47mM Hx0h过程过程1初态初态过程过程1末态末态过程过程2（碰撞）（碰撞）初、末态初、末态过程过程3初态初态过程过程3末态末态弹簧自弹簧自由长度由长度kxo解：解： 所研究的过程应分为三段分别讨论：所研究的过程应分为三段分别讨论：过程过程1：泥