关于微分几何中曲面曲线教学的一些探讨――_曲面曲线的基本公式及其系数的几何意义_的教学设计

1、年月第卷第期内蒙古师范大学学报（教育科学版）（），关于微分几何中曲面曲线教学的一些探讨“曲面曲线的基本公式及其系数的几何意义”的教学设计。苏雅拉图，额尔敦巴雅尔（内蒙古师范大学数学科学学院；内蒙古师范大学附属中学，内蒙古呼和浩特）内容摘要：大多数微分几何教材在介绍曲面论的内容时，给出法曲率、测地曲率、曲率线、渐近线、测地线和测地挠率之后才出现曲面曲线的基本公式。本文在曲面曲线特有的基本三棱形的框架下，首先推导出曲面曲线的基本公式，并利用基本公式中的系数定义法曲率、测地曲率、测地挠率、曲率线、渐近线和测地线，进而讨论法曲率、测地曲率和测地挠率的几何意义及其相似之处和不同之处。这样处理后，教学内容

2、紧紧围绕曲面曲线的基本公式而展开，不仅体现了内容的系统性，而且体现了基本公式中系数的优越性和系数所包含的几何意义。关键词：微分几何；曲面曲线基本公式；法曲率；测地曲率；测地挠率；教学设计中图分类号：文献标识码：文章编号：（）一、基本公式的推导空间曲线论的基本公式就是伏雷内（）公式，即，卢一，一卢，它是基于空间曲线的基本三棱形口，而建立起来的重要公式。对于曲面三上的曲线，：，（）而言，如果把曲线厂看作空间曲线（从曲面上分离开来），则对曲线，有一个基于它的基本三棱形口，卢，而建立起来的伏雷内公式；如果把曲线，看作曲面三上的曲线，则曲面曲线，有一个曲面曲线所特有的另一个基本三棱形口，（除基本三棱形口

3、，外）存在，因此基于这基本三棱形口，可建立类似伏雷内公式的一个重要公式，我们称之为曲面曲线的基本公式。设曲面三的方程为三：，（，秽），为三上一点，它的一曲线在点的切向量为，。，一曲线在点的切向量为，并设，。×，于是，×上告就是曲面三在点的单位法向量。设。口，：，（）（为自然参数）为三上的一条曲线，则口（）是曲线，的单位切向量，卢（），（）分别为曲线，的主法向量和副法向量。令以×口，则口，是两两垂直的三个单位向量，并且构成右手系，它们所构成的三棱形口，是曲面互上曲线的（除基本三棱形口，卢，外）一种随点沿曲线移动而改变的活动三棱形（见图）。设口，（）套，口，（）口。（

4、）因口，露满足口口露疗口露口矗奢量一矗所以等式（），（），（）两边分别点乘口，得口，口，。在等式刀口厅两边求导，得五，一杏，五一口，吾矗一五。在等式（）两边分别点乘，得收稿日期：作者简介：苏雅拉图（一），男，蒙古族，内蒙古师范大学数学科学学院教授。苏雅拉图，额尔敦巴雅尔关于微分几何中曲面曲线教学的一些探讨仨磊率向量在曲面的单位法向量上的投影，这就是法曲率的几何意义。口和以所确定的平面与曲面三的交线厂称为曲面三的法截线（它的曲率设为），对于法截线，卢±（即或仃），当（此时法截线朝露的方向弯曲）时，。，即法曲率就是法截线的曲率（见图），这就是为什么把。称为法曲，“率的原因；当仃（此时法截

5、线朝一的反方向弯、个，曲）时，。一公式（唪）就是曲面曲线的基本公式。下面利用公式（木）的系数来定义法曲率、测地曲率、测地挠率、曲率线、渐近线和测地线。称为曲面三在点沿，方向的法曲率、称为曲线，在点的测地曲率、称。为曲面三在点沿方向的测地挠率、。的曲线称为曲面三上的渐近曲线、。的曲线称为曲面三上的测地线、，的曲线称为曲面三上的曲率线。图下面推导公式下，口。由图可知，露口，厣一一口，所以，（一口下）一一下卢口口一口口一（一）一（）一一下一一一（口），此等式两边点乘一可得，一五（），于是，（）。二、法曲率、测地曲率和测地挠率的几何意义（一）法曲率设（，），贝。五，卢露，口（为曲线厂：，（）的曲率），

6、由于印是与曲线厂：，（）的曲率有关的向量，我们称为曲线：，（）的曲率向量，于是法曲率。就是曲（）由。可看出，法曲率。的符号取决于曲面的单位法向量露的选择。（），。五露可导出法曲率。与曲面三的第一和二基本形式和之间的关系，即，。州孑。了。哆图（二）测地曲率测地曲率的几何意义：测地曲率的绝对值等于曲线在切平面上正投影曲线的曲率。事实上，把曲线，投影于切平面仃的投影柱面设为三，于是投影曲线是投影柱面三和切平面仃的交线，在点的切平面是口和所确定的平面。因，在点的切线既在三的切平面上，又在厂所在的平面上，而口和刀所确定的平面和切平面仃的交线恰好是厂的切线，这说明，和，在点有相同的切线。现把厂和厂都看作投

7、影柱面三上的曲线，它们都经过点且在点有相同的切线，对于投影柱面三而言是法截线，因此的曲率（即正投影曲线的曲率）等于投影柱面三沿曲线厂方向的法曲率的绝对值，即曲率向量，卢在上投影的绝对值，于是卢，。（）由。矗，卢卢（口）（卢），（珏可看出，法曲率，的符号取决于曲面的单位法向量的选择，并且，（±）（）由。五可导出测地曲率，与曲面三的第一基本形式和投影柱面三的第二基本形式苏雅拉图，额尔敦巴雅尔关于微分几何中曲面曲线教学的一些探讨之问的关系，即一，一旷吖叩孑叩可。（三）测地挠率测地挠率的几何意义：若曲面三上的测地线不是直线，则沿，方向的测地挠率等于，的挠率。事实上，设曲线，：，（）为曲面三上

8、的测地线，则由，可知，±，于是±五，这时曲线厂的挠率口（口，口，卢）（±而，口，±）（口，五），且丁。叠一，一（×口），（，元），故三、关于法曲率、测地曲率和测地挠率的讨论（一）。，。，丁。的相似之处（），。，。都是曲面曲线的基本方程的系数，其值可以是等于零，大于或小于零；（）当。时，都能对应到曲面上的一个特殊曲线；（）。，。，；都具有鲜明的几何意义；（），。，。的符号取决于曲面的单位法向量的选择；（），。，的绝对值分别等于是某种特殊曲线的曲率，丁。等于某种特殊曲线的挠率；（），。，。分别是曲率向量在不同的单位向量（这两个不同的单位向量都垂直于

9、切方向）上的投影或投影的绝对值。（二），。，。，。的不同之处（），。（或，。）是曲率，而丁。是挠率；（），（。等于，和的乘积，。等于，和±的乘积，。等于，和的和。参考文献：，王幼宇，刘继志微分几何讲义北京师范大学出版社，（梅向明，黄敬之微分几何高等教育出版社，姜国英，陈维恒微分几何高等教育出版社，陈省身，陈维恒微分几何北京大学出版社，吴大仁微分几何人民教育出版社，苏步青，胡和生，沈纯理，等微分几何人民教育出版社，责任编辑陈汉忠（上接第页）目的在于减少人为因素，使教学质量更趋于真实。要以教研室为单位，组织教师根据中国古代史课程的教学大纲进行命题，输入计算机，建立试题库。考试时从计算机试

10、题库中随机调用。学生考完后，要实行集体流水阅卷。此外，还要注意定期改进和更新试题库的内容，以保证试题内容与知识更新速度一致。实行教考分离有利于教师按照教学大纲的要求进行授课，形成良好的教风，提高教学水平，检查教学效果，保证教学质量；有利于激发学生学习的积极性和主动性，端正学风，注重平时的努力学习，避免考前突击性复习，更好地巩固所学知识，培养学生的自学能力和创新精神；有利于完善教学环节，规范教学文件，改善教学工作，加强教学管理，督促教学目标的实现。总之，中国古代史课程考试改革只有紧紧围绕培养学生的创新意识、开拓学生的创新思维、提高学生的创新能力这一核心问题开展工作，才能取得符合时代要求的积极效果

11、。参考文献：王跃改革现行考试制度，适应素质教育松辽学刊，（）惠泱河开展考试改革，构建综合性全程考试新模式中国高等教育，（）曾名勇构建多样化的考试模式培养高素质创新人才中国大学教学，（）丁兰改革高等学校考试形式的探讨高等教育研究，（）张继红对高校考试改革的几点思考中国高教研究，（）责任编辑石俊梅 关于微分几何中曲面曲线教学的一些探讨"曲面曲线的基本公式及其系数的几何意义"的教学设计作者：苏雅拉图， 额尔敦巴雅尔作者单位：苏雅拉图(内蒙古师范大学,数学科学学院， 额尔敦巴雅尔(内蒙古师范大学,附属中学,内蒙古,呼和浩特,010022刊名：内蒙古师范大学学报（教育科学版）英文刊名：JOURNAL OF INNER MONGOLIA NORMAL UNIVERSITY(EDUCATION SCIENCE年，卷(期：2008,21(1参考文献(7条1. M P do Carm