第6章 万有引力定律

1、上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第六章第六章 万有引力定律万有引力定律6.1 开普勒定律开普勒定律第六章第六章 万有引力定律万有引力定律 上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第六章第六章 万有引力定律万有引力定律1.发展史发展史 6.1 开普勒定律开普勒定律第六章第六章 万有引力定律万有引力定律 2.行星运动的开普勒定律行星运动的开普勒定律 (1)轨道定律轨道定律 每个行星都各在以太阳为焦点的一个椭每个行星都各在以太阳为焦点的一个椭圆轨道上运动圆轨道上运动.(2)面积定律面积定律 由太阳到行星的矢径由太阳到行星的矢径,在相等的时间内扫在相等的时间内扫过相等的面积过相等的面积.太阳太

2、阳近日点近日点 远日点远日点 上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第六章第六章 万有引力定律万有引力定律上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第六章第六章 万有引力定律万有引力定律这一常量对所有行星均相同这一常量对所有行星均相同(严格说应略有差异严格说应略有差异)仅与仅与太阳性质有关太阳性质有关,称开普勒常数称开普勒常数.常量常量 23Ta(3)周期定律周期定律 行星绕太阳运动的椭圆轨道半长轴行星绕太阳运动的椭圆轨道半长轴 a 的的立方与周期立方与周期 T 的平方之比为常量的平方之比为常量. 上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第六章第六章 万有引力定律万有引力定律第一定律可由求轨道

3、方程直接证明；第一定律可由求轨道方程直接证明； 开普勒定律所描述的运动是相对于日心开普勒定律所描述的运动是相对于日心恒星参考系的恒星参考系的. 第二定律则是角动量守恒的直接结果；第二定律则是角动量守恒的直接结果； 第三定律可由轨道方程和角动量定理得到证明第三定律可由轨道方程和角动量定理得到证明. 上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第六章第六章 万有引力定律万有引力定律6.2 万有引力定律万有引力定律 引力质量与惯性质量引力质量与惯性质量6.2.1 万有引力定律万有引力定律 6.2.2 引力质量与惯性质量引力质量与惯性质量 6.2.3 引力常数的测量引力常数的测量 6.2.4 地球自转对重

4、量的影响地球自转对重量的影响 6.2.5 牛顿万有引力定律的适用范围牛顿万有引力定律的适用范围 上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第六章第六章 万有引力定律万有引力定律6.2 万有引力定律万有引力定律 引力质量与惯性质量引力质量与惯性质量6.2.1万有引力定律万有引力定律 1.引力思想的发展引力思想的发展 是什么原因使行星在各自的轨道上绕日运动是什么原因使行星在各自的轨道上绕日运动? 经过前人的努力，万有引力定律的思想准备经过前人的努力，万有引力定律的思想准备 已经基本成熟，是牛顿建立了万有引力定律已经基本成熟，是牛顿建立了万有引力定律.上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第六章第六

5、章 万有引力定律万有引力定律2.万有引力定律万有引力定律 设行星绕太阳作匀速圆周运动，从开普勒定律和设行星绕太阳作匀速圆周运动，从开普勒定律和牛顿运动定律出发论证万有引力定律牛顿运动定律出发论证万有引力定律.由开普勒第三定律由开普勒第三定律 213024 RCRRC RTRa22n2 行星向心加速行星向心加速302RCT 0214CC 仅与施力物体仅与施力物体(太阳太阳)性质有关性质有关. 上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第六章第六章 万有引力定律万有引力定律设月球绕地心运动，地球上物体和月球的向心加速度设月球绕地心运动，地球上物体和月球的向心加速度 22nRCa C2仅与施力物体仅与

6、施力物体(地球地球)性质有关性质有关. 2RCF 设设an是由相互作用力引起并是由相互作用力引起并与该力成正比，则有与该力成正比，则有 由牛顿第三定律施力是相互的。所以由牛顿第三定律施力是相互的。所以C 应与两物应与两物体性质有关。用体性质有关。用m1 和和m2 分别表征各物体有引力作分别表征各物体有引力作 用的性质，称引力质量用的性质，称引力质量.所以所以221 rmmF 上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第六章第六章 万有引力定律万有引力定律221rmmGF 引入比例常数引入比例常数G .称称万万有有引引力力常常量量G.TML213 量量纲纲为为万有引力定律万有引力定律 任何两物体间

7、均存在任何两物体间均存在相互吸引力相互吸引力. 若物体可视作若物体可视作质点，则二质点的相互引质点，则二质点的相互引力力F 沿二质点的连线作用沿二质点的连线作用. 万有引力定律本来是对质点而言的，但可证明，万有引力定律本来是对质点而言的，但可证明，对于两个质量均匀分布的球体，它们之间的万有引力对于两个质量均匀分布的球体，它们之间的万有引力也可用此定律计算也可用此定律计算.12Fm1m212re21F上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第六章第六章 万有引力定律万有引力定律 若物体的线度与它们间的距离可相比拟时，这时若物体的线度与它们间的距离可相比拟时，这时物体不能视作质点，需将物体分成许多

8、小部分，使每物体不能视作质点，需将物体分成许多小部分，使每一部分都能视作质点，利用上式求出物体一部分都能视作质点，利用上式求出物体1各小部分各小部分与物体与物体2各小部分之间的引力，每个物体所受的引力各小部分之间的引力，每个物体所受的引力等于其各部分所受引力的矢量和等于其各部分所受引力的矢量和.1m 3m 2m 1m3m2m用用“分割分割”方法计算两物体间的万有引力方法计算两物体间的万有引力. 上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第六章第六章 万有引力定律万有引力定律月球在轨道受万有引力应约为月球在轨道受万有引力应约为 gmFRmmG月月地地月月地地 2设月球在地球表面，受万有引力设月球在

9、地球表面，受万有引力 .6012F232nm/s107 . 2601 ga万有引力定律最初在地球万有引力定律最初在地球月球系统得到检验月球系统得到检验. 地地月轨道月轨道Rr60 月球在轨道上因受地球引力得到的加速度为月球在轨道上因受地球引力得到的加速度为 也是月球环绕地球的向心加速度也是月球环绕地球的向心加速度. 上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第六章第六章 万有引力定律万有引力定律23222nm/s107 . 24 TRRva 应用万有引力定律取得成功的例子应用万有引力定律取得成功的例子. 解释天解释天体现象如哈雷彗星、地球的扁形，预测海王星、体现象如哈雷彗星、地球的扁形，预测海王

10、星、冥王星等冥王星等. 又由牛顿定律又由牛顿定律 与引力推算结果一致与引力推算结果一致 . 上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第六章第六章 万有引力定律万有引力定律6.2.2 引力质量与惯性质量引力质量与惯性质量 引力质量引力质量引力大小的量度引力大小的量度. 引力质量和作为惯性大小量度的惯性质量含义引力质量和作为惯性大小量度的惯性质量含义并不相同并不相同. 最简单的实验是在地面同一地点测定各最简单的实验是在地面同一地点测定各种物体的重力加速度种物体的重力加速度.引力质量为引力质量为m1的物体受地球的引力为的物体受地球的引力为 211RmmGF引引地地 二者之间的关系？二者之间的关系？

11、上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第六章第六章 万有引力定律万有引力定律引力质量为引力质量为m2的物体受地球的引力为的物体受地球的引力为 222RmmGF引引地地 在同一地点，二质自由下落加速度分别为在同一地点，二质自由下落加速度分别为g g1 1和和g g2 2 由牛顿第二定律有由牛顿第二定律有 1121gmRmmG惯惯引引地地 2222gmRmmG惯惯引引地地 实验表明实验表明, ,同一地点各种物体的重力加速度相等同一地点各种物体的重力加速度相等, ,即即ggg 21代入上式得代入上式得 上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第六章第六章 万有引力定律万有引力定律更精确的实验证明是

12、厄缶实验及以后的改进实验更精确的实验证明是厄缶实验及以后的改进实验. gRGmmmmm22211地地惯惯引引惯惯引引 惯惯引引mm 选适当选适当G值可使值可使 惯惯引引mm 关键是同一地点各种物体的重力加速度是否相等？关键是同一地点各种物体的重力加速度是否相等？牛顿单摆实验牛顿单摆实验 310 惯惯引引惯惯惯惯mmmmm即惯性质量与引力质量等价即惯性质量与引力质量等价. 上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第六章第六章 万有引力定律万有引力定律6.2.3 引力常数的测量引力常数的测量 英国卡文迪什英国卡文迪什(H.Cavendish)(H.Cavendish)利用扭称测得利用扭称测得221

13、1kgmN 1012. 051. 6 ）（G21311skgm 10754. 6 G1991年舒尔年舒尔(J.Schurr)报道为报道为 1999年华中科技大学罗俊领导的引力实验室利年华中科技大学罗俊领导的引力实验室利用扭摆测得用扭摆测得21311skgm 100.00079 669. 6 G上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第六章第六章 万有引力定律万有引力定律6.2.4 地球自转对重量的影响地球自转对重量的影响 若将地球视为惯性系，物体重力即是地球与物若将地球视为惯性系，物体重力即是地球与物体的万有引力体的万有引力. 地球不是严格的惯性系，物体重力是地球万有地球不是严格的惯性系，物体

14、重力是地球万有引力与离心惯性力的矢量和引力与离心惯性力的矢量和.1. 重力偏离引力的角度重力偏离引力的角度 将质量为将质量为m的质点悬挂于线的末端且相对于地的质点悬挂于线的末端且相对于地球静止球静止.受力如下页图所示受力如下页图所示.平衡方程平衡方程 0*CT FFF重力重力 TFW 上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第六章第六章 万有引力定律万有引力定律*CFO FW TFRRmF2*C 离心惯性力离心惯性力 RmFW2 WF sinsin*C 如图由正弦定理如图由正弦定理 sincossinsin2*mgRmWFC地地 gR22sin2 地地 上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回

15、第六章第六章 万有引力定律万有引力定律.645 则则若若取取15rad 103 . 7 s m104 . 66 地地R 很小很小, 2sin1074. 1sin3 2. 重力与纬度的关系重力与纬度的关系）（）（ sin180sinsinFFW由正弦定理由正弦定理 1cos 1)sincot1( FW上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第六章第六章 万有引力定律万有引力定律）地地 22cos1( gRFW g22sinsin2 地地R 将将代入上式得代入上式得 122cos1( ）地地 gRFW括号内后一项是小量，所以括号内后一项是小量，所以 即重量随纬度变化的定量式即重量随纬度变化的定量式

16、 )(0 赤道赤道 maxW（两极）（两极）2 minWFW 且且上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第六章第六章 万有引力定律万有引力定律maxminWWW 一般一般但但W相差很小相差很小 ,45 如如）（00174. 01 FW所以引力是重力的主要成分所以引力是重力的主要成分.因引力与重力角度因引力与重力角度和大小都相差很小和大小都相差很小,因而因而WF 故可将地球视为惯性系故可将地球视为惯性系.上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第六章第六章 万有引力定律万有引力定律6.2.5 牛顿万有引力定律的适用范围牛顿万有引力定律的适用范围 牛顿引力定律不能解释水星轨道的旋进，需用广牛顿引

17、力定律不能解释水星轨道的旋进，需用广义相对论解释之义相对论解释之.近日点近日点太阳太阳水星水星由于旋进，火星由于旋进，火星绕日轨道不再封闭绕日轨道不再封闭 万有引力是超距作用，还万有引力是超距作用，还是通过引力场作用是通过引力场作用? 电磁场电磁场是以光子为媒介是以光子为媒介. 引力场呢？引力场呢？是以引力子为媒介？引力子是以引力子为媒介？引力子为何物？尚在探索为何物？尚在探索.上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第六章第六章 万有引力定律万有引力定律牛顿万有引力定律适用于牛顿万有引力定律适用于弱场低速弱场低速. c是光速，是光速， m是产生引力场球体质量是产生引力场球体质量. Rg是引力

18、半径是引力半径 用用R表示产生引力场球体半径，表示产生引力场球体半径，1 RRg若若可用牛顿万有引力定律可用牛顿万有引力定律 2/2cGmRg 数学式数学式 太阳太阳 白矮星白矮星 中子星中子星 610/ RRg431010/ RRg3/1/ RRg可用牛顿万有引力定律可用牛顿万有引力定律, 可用牛顿万有引力定律可用牛顿万有引力定律, 用广义相对论用广义相对论. 上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第六章第六章 万有引力定律万有引力定律6.3 引力势能引力势能6.3 1 引力势能引力势能 6.3.2 三种宇宙速度三种宇宙速度 上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第六章第六章 万有引力定

19、律万有引力定律万有引力的功万有引力的功 rrmmGArrd02 作功仅与起始位作功仅与起始位 置有关，是保守力置有关，是保守力. )11( 0rrmGm 6.3 引力势能引力势能设质点设质点m 在在m 的引力场中从的引力场中从r0 处运动到处运动到r 处，处， rmGmE/p 势能势能0)(p E6.3 1 引力势能引力势能 上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第六章第六章 万有引力定律万有引力定律第一宇宙速度第一宇宙速度物体可以环绕地球表面运行所需物体可以环绕地球表面运行所需的最小速度的最小速度(环绕速度环绕速度).km/s 91. 71 v地地地地地地RvmRmmG212 以下计算均不

20、计空气阻力等次要因素以下计算均不计空气阻力等次要因素. 6.3.2 三种宇宙速度三种宇宙速度 上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第六章第六章 万有引力定律万有引力定律第二宇宙速度第二宇宙速度逃脱地球引力所需要的从地面出逃脱地球引力所需要的从地面出发的最小速度发的最小速度(脱离速度脱离速度).02122 地地地地RmmGmvkm/s 2 .1122 地地地地RGmv第二宇宙速度与第一宇宙速度的关系是第二宇宙速度与第一宇宙速度的关系是 122vv 上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第六章第六章 万有引力定律万有引力定律第三宇宙速度第三宇宙速度是使物体脱离太阳系所需的最小是使物体脱离太阳

21、系所需的最小 速度速度(逃逸速度逃逸速度).设质点以第三宇宙速度抛出时，其动能为设质点以第三宇宙速度抛出时，其动能为 23k21mvE 21kkkEEE 这个动能包含两部分，即脱离地球引力所需的动这个动能包含两部分，即脱离地球引力所需的动能能Ek1 和脱离太阳系所需的动能和脱离太阳系所需的动能 Ek2 ：而而 22k211mvE 上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第六章第六章 万有引力定律万有引力定律地球公转动速率地球公转动速率 v = 29. 8 km/s，求脱离太阳系所需的动能求脱离太阳系所需的动能 Ek2. 由类比质点脱离太阳引力所需速率应该是由类比质点脱离太阳引力所需速率应该是

22、km/s 2 .42km/s8 .29222 vv设准备飞出太阳系的质点的发射方向与地球公设准备飞出太阳系的质点的发射方向与地球公转的方向相同，射出的质点在离开地球时相对转的方向相同，射出的质点在离开地球时相对地球速率为地球速率为km/s 4 .12km/s)8 .292 .42( v与此相对的动能为与此相对的动能为 2k212vmE 上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第六章第六章 万有引力定律万有引力定律既能摆脱地球引力又能摆脱太阳引力所需要的总能为既能摆脱地球引力又能摆脱太阳引力所需要的总能为 222kk23k21212121vmmvEEmvE 22223vvv 即即第三宇宙速度第三

23、宇宙速度 2223vvv km/s 7 .16km/s 4 .122 .1122 上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第六章第六章 万有引力定律万有引力定律抛体以不同速度抛出时不同类型的运动轨迹抛体以不同速度抛出时不同类型的运动轨迹. v = v1v v2动画演示动画演示上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第六章第六章 万有引力定律万有引力定律6.4 潮汐潮汐6.4.1 月球对海洋潮汐的影响月球对海洋潮汐的影响 6.4.2 太阳对海洋潮汐的影响太阳对海洋潮汐的影响 上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第六章第六章 万有引力定律万有引力定律潮汐潮汐是海水的周期性涨落现象是海水的周期性

24、涨落现象.“昼涨成潮，夜涨成昼涨成潮，夜涨成汐汐”. 6.4 潮汐潮汐这种现象牛顿首先给出了正确的说明，它是月亮、太这种现象牛顿首先给出了正确的说明，它是月亮、太阳对海水的引力以及地球公转和自转的结果阳对海水的引力以及地球公转和自转的结果.设海水覆盖整个地球表面设海水覆盖整个地球表面. 地月绕二者的共同质心地月绕二者的共同质心C 转，视转，视C为原点，建坐为原点，建坐标轴指向恒星的惯性坐标系标轴指向恒星的惯性坐标系Cxy，以地心，以地心C 为原点为原点建坐标系建坐标系C x y ， Cxy与与 C x y 各坐标轴保持平各坐标轴保持平行，行， 即即C 绕绕 C 平动平动. 设水相对设水相对C

25、静止静止.6.4.1 月球对海洋潮汐的影响月球对海洋潮汐的影响 上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第六章第六章 万有引力定律万有引力定律C为地月质心为地月质心 C 为地心为地心 C 绕绕C平动平动 因为平动，各单位因为平动，各单位质量水与地心处单质量水与地心处单位质量物体所受向位质量物体所受向心力相同心力相同. y C x yxCm月球月球 CFC Cm上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第六章第六章 万有引力定律万有引力定律单位质量物质在各处单位质量物质在各处所受月球的引力不同所受月球的引力不同. C CmF 正是月球引力的作用产生潮汐正是月球引力的作用产生潮汐. C CmFABD

26、EP单位质量物体单位质量物体受到的引潮力受到的引潮力上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第六章第六章 万有引力定律万有引力定律地面上单位质量物体受月球引潮力定义为地面上单位质量物体受月球引潮力定义为CFFF 和和引引力力分分别别表表示示引引潮潮力力向向心心力力和和FFFC ,FF CFP2dGmFC G、m 和和 d 分别表示万有引力常数、月球质量和分别表示万有引力常数、月球质量和地心月心距离地心月心距离.向心力向心力 上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第六章第六章 万有引力定律万有引力定律dl C mQ veHe考虑如图中考虑如图中Q点处单位体元物质所受引潮力点处单位体元物质所受引潮力. 将引潮力向将引潮力向Q处竖直方向投影，得处竖直方向投影，得 cos)cos(22cvvvdGmlGmFFF 处处竖竖直直方方向向为为地地面面 Qev处处水水平平方方向向为为地地面面 QeH上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第六章第六章 万有引力定律万有引力定律 sin)sin(22CHHHdGmlGmFFF 竖直力竖直力Fv使海水使海水“涨起、跌落涨起、跌落”；水平分量；水平分量FH造造成海水的成海水的“潮流潮流”.现考察两个特殊点：离月亮最近点现考