专题七 万有引力定律

1、 专题七专题七万有引力万有引力复习复习一、开普勒三大定一、开普勒三大定律：律：1、轨道定律。、轨道定律。2、面积速率定律。、面积速率定律。3、周期定律。、周期定律。二、万有引力定律二、万有引力定律1、发现过程、发现过程2、文字表述：、文字表述：3、计算公式：、计算公式：4、的测定：的测定：卡文迪许卡文迪许扭称实验扭称实验三、三、应用：应用：1、重力加速度、重力加速度g。2、物体随地球自转的向心加速度、物体随地球自转的向心加速度3、卫星绕地球作圆周运动的向心加速度。、卫星绕地球作圆周运动的向心加速度。4、测天体的、测天体的质量和密度质量和密度5、人造地球卫星、宇宙速度。、人造地球卫星、宇宙速度。

2、第一定律（第一定律（1609年）：所有行星分别在大小不年）：所有行星分别在大小不同的椭圆轨道上围绕太阳运动，太阳在这些同的椭圆轨道上围绕太阳运动，太阳在这些椭圆的一个焦点上。椭圆的一个焦点上。 第二定律（第二定律（1609年）年） ：太阳和行星的连线在相：太阳和行星的连线在相等的时间内扫过的面积相等。等的时间内扫过的面积相等。第三定律（第三定律（1619年）：所有行星椭圆轨道的半年）：所有行星椭圆轨道的半长轴的三次方与公转周期的平方的比值都相长轴的三次方与公转周期的平方的比值都相等。即：等。即：K是与太阳质量有关的恒量，与行星的质量是与太阳质量有关的恒量，与行星的质量无关。无关。32RkT第一

3、定律（第一定律（1609年）：所有行星分别在大小不同的椭圆轨道上围绕太阳运动，太年）：所有行星分别在大小不同的椭圆轨道上围绕太阳运动，太阳在这些椭圆的一个焦点上。阳在这些椭圆的一个焦点上。 第二定律（第二定律（1609年）年） ：太阳和行星的连线在相等的时间内扫过的面积相等。：太阳和行星的连线在相等的时间内扫过的面积相等。第三定律（第三定律（1619年）：所有行星椭圆轨道的半长轴的三次方与公转周期的平方的年）：所有行星椭圆轨道的半长轴的三次方与公转周期的平方的比值都相等。即：比值都相等。即：K是与太阳质量有关的恒量，与行星的质量无关。是与太阳质量有关的恒量，与行星的质量无关。32RkT注意：注

4、意： 行星的椭圆轨道都很接近圆，所以行星的椭圆轨道都很接近圆，所以在中学阶段分析和处理天体运动时，常把在中学阶段分析和处理天体运动时，常把椭圆轨道作为圆轨道来处理。椭圆轨道作为圆轨道来处理。 开普勒定律不仅适用于行星，也适开普勒定律不仅适用于行星，也适用于卫星，但这时用于卫星，但这时k k应与行星的质量有关。应与行星的质量有关。例例1.1.有两个人造地球卫星，有两个人造地球卫星，它们绕地球运转的轨道半它们绕地球运转的轨道半径之比是径之比是1 1：2 2，则它们绕，则它们绕地球运转的周期之比为地球运转的周期之比为 。22:1牛顿的推导和设想牛顿的推导和设想太阳提供行星运动需要的向心力：太阳提供行

5、星运动需要的向心力：rvmF2Trv22232)(4rmTrF推测：推测：引力引力F与行星的质量成正比，与行星的质量成正比，与行星到太阳的距离成反比。根与行星到太阳的距离成反比。根据牛顿第三定律，行星吸引太阳据牛顿第三定律，行星吸引太阳的引力与太阳吸引行星的力大小的引力与太阳吸引行星的力大小相等，那么这个引力也应与太阳相等，那么这个引力也应与太阳的质量成正比。的质量成正比。两次简化：两次简化： 行星运动的椭圆轨道简化成圆形轨道。行星运动的椭圆轨道简化成圆形轨道。 把天体看成质点。把天体看成质点。2,rmmF 2,rmmGF 自然界中任何两个物体都是相同吸引的，自然界中任何两个物体都是相同吸引的

6、，引力大小跟这两个物体的质量成正比，跟引力大小跟这两个物体的质量成正比，跟它们的距离平方成反比。它们的距离平方成反比。 万有引力定律万有引力定律122m mFGr2211/1067. 6kgmNG引力常量引力常量适用条件：适用条件： 万有引力只适用于万有引力只适用于质点间引力大小的计算，当两物引力大小的计算，当两物体间的距离远远大于每个物体的尺寸时，物体可看成质点，体间的距离远远大于每个物体的尺寸时，物体可看成质点，直接使用万有引力计算。直接使用万有引力计算。 当两物体是当两物体是质量分布均匀的球体时，它们间的引力的球体时，它们间的引力也可由公式直接计算，但式中的也可由公式直接计算，但式中的r

7、是是两球心间的距离。 当研究物体不能看成质点时，可假想把物体当研究物体不能看成质点时，可假想把物体分割成无数个质点，求出一个物体上每个质点与另一物体上每一，求出一个物体上每个质点与另一物体上每一个质点的万有引力然后求合力。个质点的万有引力然后求合力。122m mFGr例例2 2. .设地球的质量为设地球的质量为M M，赤道半，赤道半径径R R，自转周期，自转周期T T，则地球赤道上，则地球赤道上质量为质量为m m的物体所受重力的大小的物体所受重力的大小为？（式中为？（式中G G为万有引力恒量）为万有引力恒量）GMm/RGMm/R2 2-4-4 2 2mR/TmR/T2 2三、应用：三、应用：1

8、、重力加速度、重力加速度g。2、物体、物体随地球自转随地球自转的向心加速度。的向心加速度。3、卫星、卫星绕地球作圆周运动绕地球作圆周运动的向心加速度。的向心加速度。4、测天体的质量和密度、测天体的质量和密度5、人造地球卫星、宇宙速度。、人造地球卫星、宇宙速度。天体的重力加速度天体的重力加速度gmhRGMmg2)/( MRhF引引m物体在天体表面上方只受天物体在天体表面上方只受天体的引力作用，自由下落时体的引力作用，自由下落时的加速度就是天体的重力加的加速度就是天体的重力加速度速度g 。2hRGM)( 讨论：讨论：1、天体的重力加速度并非恒量。随着距地表高度的、天体的重力加速度并非恒量。随着距地

9、表高度的增大，重力加速度值会减小增大，重力加速度值会减小 2、如果、如果hR , 或或h=0， 则则 ： 即为天体表面（即为天体表面（h=0）的重力加速度）的重力加速度.22RGMhRGMg )(重力重力mg万有引力：万有引力：R2RmMGF物地r=Rcos纬度越高，纬度越高，f向向越小，越小，因此重力越大。因此重力越大。同一纬度处，离地面同一纬度处，离地面越高，越高，a自自越大。越大。a自自= r2 f向向 = m物物r2ra自自= r 2a向向F引引MmF引引=m a向向r2rGMa 向天体的重力加速度天体的重力加速度gmhRGMmg2)/( MRhF引引m2hRGM)( 卫星绕地球作圆周

10、运动卫星绕地球作圆周运动的向心加速度的向心加速度2GMgR黄代换：金2Mma=mmFGr222v2=mr=mrrT一条龙：(2)“(2)“天上天上”：万有引力提供向心：万有引力提供向心力力（1 1）“人间人间”：万有引力近似等于重：万有引力近似等于重力力1、利用圆周运动求中心天体的质量、利用圆周运动求中心天体的质量F引引Mmr2T2mr)( 232GTr4M 22mrrMmG 2、利用星球表面的重力加速度求其质量、利用星球表面的重力加速度求其质量22RGMhRGMg )(GgRM2 在星球表面：在星球表面：人造地球卫星、宇宙速度。人造地球卫星、宇宙速度。1、运行轨道运行轨道的中心必须是地球的球

11、心的中心必须是地球的球心，才能保证提供的万有引力和卫星作才能保证提供的万有引力和卫星作圆周圆周运动需要的向心力相等。运动需要的向心力相等。2、运行速度、加速度、周期、角速度。、运行速度、加速度、周期、角速度。3、同步卫星。、同步卫星。4、 三个宇宙速度三个宇宙速度5、卫星中的失重。、卫星中的失重。绕地球运行的卫星绕地球运行的卫星中的物体处于完全中的物体处于完全失重状态失重状态赤道轨道赤道轨道极地轨道极地轨道倾斜倾斜轨道轨道同步同步轨道轨道自转轴自转轴a向向F引引Mmr思路：万有引力提供卫星思路：万有引力提供卫星作匀速圆周运动的向心力作匀速圆周运动的向心力rvmrMmG 22 22T2mrmr)

12、( rGMv GMr232T 3rGMrv 22rGMrva 能不能发射一颗周期为能不能发射一颗周期为83分钟的地球卫星？分钟的地球卫星？22T2mRRMmG)min( 地球卫星的最小周期为地球卫星的最小周期为Tmin ，则：，则：分）(.)(.)(.min984s5094108951067610637014322T241133GMR3 1、“同步同步”的含义的含义在地球的上空相对地球静止，与地球自转在地球的上空相对地球静止，与地球自转同步同步2、同步卫星的用途：、同步卫星的用途：主要用于通信，转播电视、电话等信号主要用于通信，转播电视、电话等信号3、同步卫星的特点、同步卫星的特点（1）同步卫

13、星与地面相对静止，与地球自转）同步卫星与地面相对静止，与地球自转同步，周期为同步，周期为24h。（2）同步卫星的运行方向与地球自转方向相）同步卫星的运行方向与地球自转方向相同。同。（3）同步卫星定点在赤道正上方，即轨道平）同步卫星定点在赤道正上方，即轨道平面和赤道共面，离地高度、运行速率是唯面和赤道共面，离地高度、运行速率是唯一确定的。一确定的。（4）定线速度大小（即）定线速度大小（即V=3.1 103m/s）同步卫星同步卫星的高度的高度22T2hRmhRMmG)()( R4GMTh322 ：则如利用地面重力加速度2RGMg h h引力引力mR4gTRh3222 可见：同步卫星的离地高度可见：

14、同步卫星的离地高度是唯一确定的，线速度大小是唯一确定的，线速度大小也唯一确定了。代入具体数也唯一确定了。代入具体数据可得：据可得：h=35800km宇宙速度宇宙速度1、第一宇宙速度（环绕速度）人造地球卫星在地面附近绕地球做匀速圆周运动所必须具有的速度，叫做第一宇宙速度第一宇宙速度。 也就是在地面上发射卫星，使卫星进入地也就是在地面上发射卫星，使卫星进入地面附近轨道需要的最小速度（相对于地心）。面附近轨道需要的最小速度（相对于地心）。sm1097v 3103761089510676RGM62411/. 地地练习：推导第一宇宙速度的练习：推导第一宇宙速度的另一表达式：另一表达式：地gRv 所以第一

15、宇宙速度又叫最小发射速度，最大环绕速所以第一宇宙速度又叫最小发射速度，最大环绕速度。度。如果在地球上发射卫星，使得星进入地面附近如果在地球上发射卫星，使得星进入地面附近轨道的速度轨道的速度等于或大于11.2km/s时，卫星就会脱离时，卫星就会脱离地球的吸引，不再绕地球运行，而绕太阳运行，成地球的吸引，不再绕地球运行，而绕太阳运行，成为为 “ “人造行星人造行星”，这个速度叫第二宇宙速度。，这个速度叫第二宇宙速度。2、第二宇宙速度、第二宇宙速度（脱离速度）（脱离速度）如果在地球上发射人造天体，使其进入地如果在地球上发射人造天体，使其进入地面附近轨道的速度面附近轨道的速度等于或大于16.7km/s

16、16.7km/s，物体，物体就能摆脱了太阳引力的束缚，飞到太阳系以外就能摆脱了太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的宇宙空间去，将成为的宇宙空间去，将成为“人造恒星人造恒星”，我们把，我们把这个速度叫第三宇宙速度。这个速度叫第三宇宙速度。3 3、第三宇宙速度、第三宇宙速度（逃逸速度）（逃逸速度）如果人造地球卫星进入地面附近轨道如果人造地球卫星进入地面附近轨道的速度为：的速度为：7.9km/sv11.2km/s，它绕，它绕地球运动的轨迹是椭圆。地球运动的轨迹是椭圆。V1=7.9km/s地球地球V2=11.2km/sV3=16.7km/s7.9km/sv11.2km/sF引引Mmr卫星中的失重卫星中的失

17、重22rGMaamrMmG 向向卫星卫星支持力支持力F卫星卫星对整个卫星，有：对整个卫星，有：对卫星中的物体对卫星中的物体m，有：，有：0FrGMmmaFrMmG22 向在天体运动中，将两颗彼此距离较近的在天体运动中，将两颗彼此距离较近的恒星称为双星。它们围绕两球连线上的某一恒星称为双星。它们围绕两球连线上的某一点作圆周运动。由于两星间的引力而使它们点作圆周运动。由于两星间的引力而使它们在运动中的距离保持不变。已知两星球心间在运动中的距离保持不变。已知两星球心间相距相距L，质量分别为，质量分别为M1和和M2，求它们的角速，求它们的角速度。度。 例：双星运动例：双星运动解答解：解：如图，设如图，

18、设M1的轨道半径为的轨道半径为r1，M2的轨道半径为的轨道半径为r2，由于两星绕，由于两星绕O点做匀速圆周运动的角速度相同，点做匀速圆周运动的角速度相同，设为设为，根据牛顿第二定律有：，根据牛顿第二定律有： 而而 以上三式联立解得：以上三式联立解得：12rrL121()G MMLL211221rMLMMG 222221rMLMMG 例题例题1、质量为、质量为100kg的物体在地球的赤道上，随地球一的物体在地球的赤道上，随地球一起自转。求：起自转。求：(1)、地球自转的角速度、地球自转的角速度。(2)、物体随地球自转的加速度、物体随地球自转的加速度a、线速度、线速度v、物体随、物体随地球自转所需

19、的向力地球自转所需的向力(3)、地球对物体的引力、地球对物体的引力F引引。(4)、地面对物体的支持力、地面对物体的支持力FN。(5)、如要使赤道上的物体完全失重，地球自转的角速、如要使赤道上的物体完全失重，地球自转的角速度度需为多大？这时一昼夜将变为多长？需为多大？这时一昼夜将变为多长？M 地地=5.8910-24kg R地地=6370km)/(.srad10277360024215 、)(.).()/(.)/(.).(N37310277106370100mRfsm46310277106370RVsm1037310277106370Ra2253253222532 向、F引FNR)()(.N9681063701001089510676RMmGF32324112 引、)(.N695443968maFFmaFF4NN 引引示，由牛顿定律得：、物体的受力分析如图202NmRRMmG0F5 ：即要求自转角速度满足、物体完全失重时，,)/(.srad10231RGM230 T0=510.6s=0.142