第五讲 抽样分布与参数估计.

1、1 第五讲第五讲 抽样分布与参数估计抽样分布与参数估计 2【教学目的和要点【教学目的和要点】 通过本讲学习，学生应该掌握构通过本讲学习，学生应该掌握构建样本平均数和样本比例的抽样分建样本平均数和样本比例的抽样分布以及掌握如何根据样本的信息推布以及掌握如何根据样本的信息推断总体的信息。断总体的信息。3本讲内容本讲内容有关概念有关概念抽样分布抽样分布参数估计参数估计 单一总体均值估计单一总体均值估计 单一总体比率估计单一总体比率估计 两个总体均值之差估计两个总体均值之差估计确定样本容量确定样本容量4有关概念有关概念v参数与统计量参数与统计量v统计误差统计误差5参数与统计量参数与统计量v参数：反应总

2、体分布特征的指标统称为参数：反应总体分布特征的指标统称为总体参数，简称参数。常用的有总体参数，简称参数。常用的有v统计量：反应样本分布特征的指标统称统计量：反应样本分布特征的指标统称为样本统计量，简称统计量。常用为样本统计量，简称统计量。常用2, 和pssx,26总体参数总体参数 样本统计量样本统计量NX平均数平均数方差方差nxxNXX22)()(NN1nnp11)()(22nxxxs比率比率7统计误差统计误差统计误差统计误差非抽样误差非抽样误差抽样误差：抽样误差：登记性误差登记性误差非随机性误差非随机性误差随机性误差随机性误差可以度量和控制可以度量和控制8抽样分布v样本统计量的概率分布称为抽

3、样分布。用以描述抽样误差的规律性，是统计推断的理论基础。9样本平均数的概率分布的引出10EAI公司的抽样问题vEAI公司的人事主管正在制定一项公司25000名人员的简报。其中包括中层管理人员的人均年薪和公司中已完成管理培训项目的管理人员所占的比率。v想知道的指标为：参数：v实际可以得到的数据为统计量30n )0.63(19/30 51814pX ,111213有关统计量的抽样分布有关统计量的抽样分布单一样本均值的抽样分布单一样本均值的抽样分布两个样本均值之差的抽样分布两个样本均值之差的抽样分布样本比率的抽样分布样本比率的抽样分布14 的抽样分布的抽样分布v单一样本均值的抽样分布单一样本均值的抽

4、样分布正态分布再生定理正态分布再生定理中心极限定理中心极限定理v两样本均值差异的抽样分布两样本均值差异的抽样分布X15正态分布再生定理正态分布再生定理 当总体服从正态分布时当总体服从正态分布时(分布规律全部知分布规律全部知道道)，从中抽取样本容量为，从中抽取样本容量为n的样本，样本均的样本，样本均值一定服从正态分布。值一定服从正态分布。 样本均值的期望值和方差？它们与总体的样本均值的期望值和方差？它们与总体的期望值和方差有何关系期望值和方差有何关系样本均值的期望值等于总体均值样本均值的期望值等于总体均值方差（有退还抽样、无退还抽样方差（有退还抽样、无退还抽样),(nNX)1,(NnNnNX（退

5、还抽样）（退还抽样）（不退还抽样）（不退还抽样）16中心极限定理中心极限定理 设某总体的元素总量为设某总体的元素总量为N，期望值为，期望值为 ，标，标准差为准差为 ；若从该总体中随机抽取样本容量为；若从该总体中随机抽取样本容量为n的样本，当的样本，当n很大（很大（n30)时，则样本平均数时，则样本平均数 的抽样分布近似为正态分布，即：的抽样分布近似为正态分布，即：x),(nNX)1,(NnNnNX（退还抽样）（退还抽样）（不退还抽样）（不退还抽样）17两个样本均值之差的抽样分布两个样本均值之差的抽样分布v从两个总体中分别独立的抽取样本容量从两个总体中分别独立的抽取样本容量分别为分别为n1和和n

6、2的两个样本，在重复选取的两个样本，在重复选取容量为容量为n1和和n2的样本时，由两个样本均的样本时，由两个样本均值之差的所有可能形式的相对频数构成值之差的所有可能形式的相对频数构成它们分布形态，也称为两个样本均值之它们分布形态，也称为两个样本均值之差的抽样分布差的抽样分布.18两个样本均值之差的抽样分布两个样本均值之差的抽样分布（大样本）（大样本）v两个总体均值之差，即两个总体均值之差，即v其分布的方差为各自的方差之和，即其分布的方差为各自的方差之和，即v从而从而1212()E xx122221212XXnn),(2221212121nnXX19二项分布概率函数v如果 X 是一个随机变量服从

7、二项分布，样本容量为 n，事件发生的概率为 p，则其中x=0, 1, 2, , n。xnxppxnxnxXP)1()!)(!(!)(20二项分布的均值和标准差v如果X是一个服从二项分布的随机变量，样本容量为n，成功概率为p，则其均值、方差和标准差分别为：)1 (2pnpXXnp)1 (pnpX21二项分布的均值和标准差v我们有时更加关心出现成功的比率x/n nnxEnnxEpE11/ nnnxVnnxVpV111122 npV122比率的抽样分布比率的抽样分布设某二项分布总体，总体比率为设某二项分布总体，总体比率为 ，若从该总体，若从该总体中随机抽取样本容量为中随机抽取样本容量为n的样本，当样

8、本容量足够的样本，当样本容量足够大（大（ ）时，）时， 样本比率样本比率p的抽样的抽样分布近似为正态分布，即：分布近似为正态分布，即：5)1 (, 5nn)1 (,(nNp)1)1 (,(NnNnNp（退还抽样）（退还抽样）（不退还抽样）（不退还抽样）23样本均值抽样分布总结总体分布总体分布正态分布正态分布非正态分布非正态分布大样本大样本小样本小样本大样本大样本小样本小样本正态分布正态分布非正态分布非正态分布24参数估计参数估计v估计方法估计方法点估计点估计区间估计区间估计v单一总体均值估计单一总体均值估计v单一总体比率估计单一总体比率估计v两个总体均值之差估计两个总体均值之差估计25参数估计

9、的统计过程总体均值=？从总体中选取几项组成一个简单随机样本对样本数据的汇总提供了样本均值 的值用 的值对 值 进行推断 XX26参数估计案例1EAI公司的参数估计问题vEAI公司的人事主管正在制定一项公司25000名人员的简报。其中包括中层管理人员的人均年薪和公司中已完成管理培训项目的管理人员所占的比率。v想知道的指标为：参数：v实际可以得到的数据为统计量30n )0.63(19/30 51814pX ,27参数估计案例2-哈佛大学哈佛大学哈佛大学每年收到哈佛大学每年收到7,000个优秀学生的入学申请，个优秀学生的入学申请，申请表中包含了大量申请人的信息。包括个人申请表中包含了大量申请人的信息

10、。包括个人学术能力测试学术能力测试(SAT)成绩和是否是本州居民。成绩和是否是本州居民。入学主管需要知道下面一些信息：入学主管需要知道下面一些信息：q平均平均SAT成绩成绩q本州居民比例本州居民比例28简单随机抽样的数据简单随机抽样的数据n No. Applicant SAT Score In-Staten1 Bonnie Reight 1025Yesn2Willie Neilson 950Yesn3Fannie Lennox 1090 Non4Derek Clapton 1120Yesn5Winona Driver 1015Yesn. . .n. . .n 50Kevin Costmore

11、965 Non Total 49,850 34 Yes29统计量99750850,4950ixx68.5034p30参数估计案例3：郑州市大瓶装纯水市场郑州市大瓶装纯水市场估计 v1. 估计当前的市场容量估计当前的市场容量v2. 预测未来市场的潜力预测未来市场的潜力v3. 计算各纯水品牌的知名度计算各纯水品牌的知名度v4. 估计各纯水品牌的覆盖率估计各纯水品牌的覆盖率v5. 估计各纯水品牌的市场占有率估计各纯水品牌的市场占有率v6. 估计各纯水品牌的满意度估计各纯水品牌的满意度v7. 中美纯水价格定位中美纯水价格定位31参数估计案例4：都市研究公司v该公司是一家消费者研究组织,它设计调查对消费

12、者所使用的大量的产品和服务进行评估。在某一项调研中，该公司调查消费者对A城市某一主要制造商生产的汽车的性能的满意度感兴趣。分发给制造商所生产的一种最大型号小汽车用户的调查表表明，许多人抱怨该车的变速箱过早出现问题。为了更好地了解变速箱的缺陷问题，该公司采用由A城市一家变速箱维修公司所提供的变速箱维修的样本数据32数据(失效前的平均里程)85092.00 59465.00 32534.00 32464.00 39323.0094219.00 92857.00 65605.00 64342.00 67998.00101769.0 121352.0 74276.00 40001.00 25066.0

13、069922.00 74425.00 118444.0 79294.00 86813.0037831.00 73341.00 138114.0 85586.00 77539.0032609.00 77437.00 64090.00 59902.00 89641.00116803.0 63436.00 85861.00 61978.00 59817.0095774.00 69568.00 66998.00 72069.00 77098.0035662.00 67202.00 53500.00 64544.00 116269.089341.00 85288.00 53402.00 82256.00

14、 88798.0033问题v用适当的描述统计方法分析变速箱数据用适当的描述统计方法分析变速箱数据v建立变速箱失效汽车总体的在变速箱失效之前建立变速箱失效汽车总体的在变速箱失效之前行使的平均里程的行使的平均里程的95的置信区间。并给出这的置信区间。并给出这个区间估计的管理解释。个区间估计的管理解释。v根据一些经历过变速箱失效的车主们的意见来根据一些经历过变速箱失效的车主们的意见来讨论你的统计结果的含义？讨论你的统计结果的含义？v如果该公司想在误差为如果该公司想在误差为5000英里，估计变速箱英里，估计变速箱失效汽车总体在变速箱失效时所行使的均值里失效汽车总体在变速箱失效时所行使的均值里程的程的9

15、5的置信区间，则应该抽取多少条维修的置信区间，则应该抽取多少条维修记录？记录？v为了更充分地评价变速箱失效问题，你还需要为了更充分地评价变速箱失效问题，你还需要收集哪些信息？收集哪些信息？ 34点估计点估计区间估计区间估计 参数估计的参数估计的方法方法35点估计点估计v定义：以实际抽样得到的某一估计量的定义：以实际抽样得到的某一估计量的单一值作为相应总体参数的估计值的估单一值作为相应总体参数的估计值的估计称为点估计计称为点估计v估计量优良性的标准估计量优良性的标准v无偏性无偏性: v有效性有效性:v一致性一致性: 当样本量增加当样本量增加,估计精度提高估计精度提高E2136常用的优良估计量我们

16、用 来点估计总体均值 .s 来点估计总体标准差 . p 来点估计总体比例.X37调查数据调查数据 家庭用户家庭用户 单位用单位用户户样本容量样本容量 800 151用水单位用水单位 66 51用水单位占样本容量的比重用水单位占样本容量的比重 8.3% 33.8%样本平均月用水量样本平均月用水量 3.26桶桶 43.4桶桶样本用水量的标准差样本用水量的标准差 2.94 7.29 38郑州市大瓶装纯水市场容量的估计郑州市大瓶装纯水市场容量的估计(点估计点估计)市场容量估计市场容量估计（点估计，（点估计，297,319）家庭用水总量家庭用水总量88,565单位用水总量单位用水总量208,754用水家

17、庭数占所有用水家庭数占所有家庭户数的比重家庭户数的比重估计值估计值=8.3%平均月用水总量平均月用水总量估计值估计值=3.26用水单位数占所有用水单位数占所有单位的比重单位的比重估计值估计值=33.8%平均月用水总量平均月用水总量估计值估计值=43.4用水户数估计值用水户数估计值8.3%327314户户=27167户户 用水单位数量的估计用水单位数量的估计1423033.8%=481039区间估计区间估计区间估计的定义区间估计的定义区间估计的原理区间估计的原理区间估计的程序区间估计的程序单一总体平均数的区间估计单一总体平均数的区间估计单一总体比率的区间估计单一总体比率的区间估计两个总体均值之差

18、的区间估计两个总体均值之差的区间估计40区间估计的定义区间估计的定义 区间估计是在一定的置信系数区间估计是在一定的置信系数的保证下，根据统计量得到的一的保证下，根据统计量得到的一个取值范围去估计总体的参数。个取值范围去估计总体的参数。41如果有如果有 那么有那么有有有95.44%的把握估计区间的把握估计区间9544. 0)22(9544. 022nXnXpnXpXXXX22,包含总体均值包含总体均值区间估计的基本原理区间估计的基本原理),(nNXznX42区间估计的几个关键概念区间估计的几个关键概念v置信系数置信系数 使人相信区间包含总体均值的使人相信区间包含总体均值的概率概率,一般取一般取

19、0.90,0.95,0.99.它的大小说明估计的它的大小说明估计的把握性的大小把握性的大小(Z=1.65 1.96 2.58).v置信区间置信区间:在一定概率的保证下在一定概率的保证下,包含总体均值的区包含总体均值的区间间,区间的宽窄说明估计精度的大小区间的宽窄说明估计精度的大小.区间越宽区间越宽,估计估计的精度就小的精度就小;否则就大否则就大.v临界值临界值:置信区间的上限和下限置信区间的上限和下限v注意置信系数和注意置信系数和 区间宽窄的关系区间宽窄的关系143区间估计的程序区间估计的程序 选定置信系数选定置信系数 抽取一个样本容量为抽取一个样本容量为n的样本的样本 计算相应的统计量计算相

20、应的统计量 确定统计量的概率分布确定统计量的概率分布 得到置信区间的临界值得到置信区间的临界值 得到参数的置信区间得到参数的置信区间44单一总体平均数的区间估计单一总体平均数的区间估计v当当已知时已知时的置信区间的置信区间v当当未知时未知时的置信区间的置信区间大样本大样本小样本小样本45当当 已知时计算已知时计算的置信区间的步骤的置信区间的步骤选定置信系数抽取一个样本容量为n的样本计算确定 统计量的概率分布求置信区间的临界值单一总体平均数的置信区间的临界值为XXzX1X46当当 未知时的单一总体平均数的区未知时的单一总体平均数的区间估计（大样本）间估计（大样本）由于由于 未知，一般情况下用未知

21、，一般情况下用S替代，替代，标准正态值）(ZnsX单一总体平均数的置信区间的临界值仍为单一总体平均数的置信区间的临界值仍为XzX30n当4730nX未知，服从正态分布，当tnsXZnsX (标准正态值）单一总体平均数的置信区间的临界值为单一总体平均数的置信区间的临界值为Xtsn48T分布（背景材料）分布（背景材料）t分布又称学生分布分布又称学生分布(STUDENT分布分布)由由英国统计学家威廉西利英国统计学家威廉西利.戈塞特于戈塞特于1908年年提出，他当时受雇于爱尔兰首都的一家提出，他当时受雇于爱尔兰首都的一家啤酒厂，由于该厂不允许雇员用自己的啤酒厂，由于该厂不允许雇员用自己的名字发表成果，

22、于是他采用了学生这个名字发表成果，于是他采用了学生这个笔名发表文章，阐述他发明的小样本理笔名发表文章，阐述他发明的小样本理论。论。49T分布（分布（ t分布的性质）分布的性质）1. t分布是对称的，即分布是对称的，即 E（t）=E（z）=0 当样本容量当样本容量n较小时，较小时，t分布分布 的标准差大于的标准差大于1， 当当 时时 其标准差就趋于其标准差就趋于1，t分布就近于分布就近于正态分布，正态分布， 因为因为 此时此时S和和 接近。接近。nSXtn3050 T分布（分布（ t分布的性质）分布的性质）2. t分布是一个分布族，不同的分布是一个分布族，不同的n（在（在 统计上也称自由度）对应

23、于不同的分统计上也称自由度）对应于不同的分布。但它们的均值都等于零。布。但它们的均值都等于零。3. 与标准正态分布相比。与标准正态分布相比。t分布的中分布的中心部位较低，两个尾部较高。心部位较低，两个尾部较高。51z 分布分布t 分布（分布（n=2）t分布分布n=15t分布与分布与z分布的比较图分布的比较图52单一总体平均数的区间估计举例1（ 已知，总体服从任意分布，大样本）vCJF有限公司的参数估计53CJF有限公司的参数估计v背景：CJF有限公司是一家专营体育设备和器材的邮购公司，公司努力为顾客提供尽可能好的服务。为了跟踪服务质量，CJF每个月选取顾客的邮购订单组成简单随机样本，公司与样本

24、中每一顾客取得联系并询问顾客对服务水平等一系列问题的评价。顾客的回答用于计算样本中每一顾客的满意得分，得分值从0（最差等级）到100（最好等级）。然后计算样本满意得分的均值。54v以往各月的调查显示，虽然每个月顾客满意得分的样本均值都在改变，但是满意得分的样本标准差趋于稳定在数值20附近，于是，我们假定总体标准差=20。v最近一次CJF对顾客满意程度调查提供了100名顾客的满意得分数据（n=100），满意得分的样本均值 =82。v问题问题vCJF希望估计最近一次所有顾客的满意得分的均值 v方法：点估计、区间估计X55CJF有限公司平均满意得分的估计v821.96*2v82 3.92v（78.0

25、8，85.92）v注意：如何确定 100名顾客的满意得分数据样本均值的概率分布56当当 已知时的区间估计的步骤已知时的区间估计的步骤选定置信系数确定统计量的概率分布抽取一个样本容量为n的样本计算求置信区间的临界值单一总体平均数的置信区间的临界值为XXzX157单一总体平均数的区间估计举例单一总体平均数的区间估计举例2：哈佛大学哈佛大学哈佛大学每年收到哈佛大学每年收到7,000个优秀学生的入学申请，个优秀学生的入学申请，申请表中包含了大量申请人的信息。包括个人申请表中包含了大量申请人的信息。包括个人学术能力测试学术能力测试(SAT)成绩和是否是本州居民。根成绩和是否是本州居民。根据以往的数据分析

26、，总体标准差的经验值为据以往的数据分析，总体标准差的经验值为76分。分。入学主管需要知道下面一些信息入学主管需要知道下面一些信息-平均平均SAT成成绩？绩？方法：简单随机样本一个，容量方法：简单随机样本一个，容量50人人数据处理结果，样本均值为数据处理结果，样本均值为997分。分。问题：估计问题：估计7,000个优秀学生的平均个优秀学生的平均SAT成绩成绩58时的时的单一总体平均数的区间估计举例，教材168页30nX服从正态分布，未知，当),(nstXnstX59 未知未知大大样本时的总体均值区间估计举例样本时的总体均值区间估计举例 v郑州市大瓶装纯水市场容量估计郑州市大瓶装纯水市场容量估计60时的单