高等几何64节

1、云云 南南 师师 范范 大大 学学1高等几何（第二版高等几何（第二版 朱德祥朱德祥 朱维宗编）朱维宗编）云南师范大学数学学院云南师范大学数学学院 第六章第六章 二次曲线的射影性质二次曲线的射影性质云云 南南 师师 范范 大大 学学2提提 纲纲一、本节主要内容一、本节主要内容二、极与极线的概念二、极与极线的概念三、极点、极线性质三、极点、极线性质四、极与极线的作图四、极与极线的作图五、极与极线的应用五、极与极线的应用云云 南南 师师 范范 大大 学学3 为进一步探讨二次曲线的射影性质以及二次曲线为进一步探讨二次曲线的射影性质以及二次曲线的射影分类，有必要介绍的射影分类，有必要介绍极极与与极线极线

2、的理论。在本节的理论。在本节中假设二次曲线是常态的，即其系数矩阵的秩为中假设二次曲线是常态的，即其系数矩阵的秩为3.3.一、本节主要内容一、本节主要内容 在本节中将由共轭点的定义（定义在本节中将由共轭点的定义（定义6.5）引出）引出极与极线的概念（二次曲线的切点与切线是极与极极与极线的概念（二次曲线的切点与切线是极与极线的特殊情形），在此基础上，探讨极与极线的性线的特殊情形），在此基础上，探讨极与极线的性质与作图，推导极与极线的方程。为了探讨二次曲质与作图，推导极与极线的方程。为了探讨二次曲线的射影分类，将给出线的射影分类，将给出自极三角形自极三角形的概念，取自极的概念，取自极三角形为坐标三角

3、形，是探讨二次曲线射影分类的三角形为坐标三角形，是探讨二次曲线射影分类的起点。起点。云云 南南 师师 范范 大大 学学4在射影坐标下，二次曲线在射影坐标下，二次曲线 的的方程为：方程为：3jiij1x x00 .ijijijijijaaaaRa， ，二、极与极线的概念二、极与极线的概念1.共轭点共轭点下面求不在下面求不在 上的两已知点上的两已知点y与与z的连线和的连线和 的交点。的交点。连线上任意一点可以写为：连线上任意一点可以写为：(1,2,3)iiixyzi若此点在若此点在 上，则其坐标上，则其坐标xi应满足应满足 的方程。的方程。云云 南南 师师 范范 大大 学学5即交点是二次方程：即交

4、点是二次方程：由此可得：由此可得：220.ijijijijijija z za y za y y 的根111222(1),:(1,2,3)iiiiiiyzyzPxyzPxyzi 当时，直线 与 必有两个交点（实的或虚的）.二、极与极线的概念二、极与极线的概念云云 南南 师师 范范 大大 学学6112122(2), ,y z P Pyz P P四 点的 交 比 为 （）112212(3)10,y zP P 特别的：若，即，则点关于成调和共轭。由此得： yz1P2P二、极与极线的概念二、极与极线的概念云云 南南 师师 范范 大大 学学7定义定义6.5 如果两点如果两点P、Q（P不在曲线上）的连线与

5、不在曲线上）的连线与二阶曲线二阶曲线交于两点交于两点M1、M2,且且(M1M2,PQ)= -1，则称则称P、Q关于二阶曲线关于二阶曲线成成共轭点共轭点。二、极与极线的概念二、极与极线的概念由此易证：由此易证：定理定理6.6 不在上的两点不在上的两点y,z关于二次曲线关于二次曲线0ijija x x 成共轭的条件是成共轭的条件是0.ijija y z （证明参看教材（证明参看教材P.116P.116）云云 南南 师师 范范 大大 学学8定理定理6.7 通过一已知点通过一已知点y引诸直线，这些直线与引诸直线，这些直线与的每一对交点有的每一对交点有y的一个调和共轭点，即的一个调和共轭点，即y关于关于

6、的的一个共轭点。这些共轭点的轨迹是一条直线，这条一个共轭点。这些共轭点的轨迹是一条直线，这条直线叫做点直线叫做点y的的极线极线，点，点y称为这直线的称为这直线的极极。证明：在定理证明：在定理6.6的共轭条件中，把的共轭条件中，把y看作定点的坐看作定点的坐标，而把标，而把z看作动点的坐标，显然看作动点的坐标，显然z点轨迹是一直线，点轨迹是一直线，方程为方程为二、极与极线的概念二、极与极线的概念2.极线与极极线与极0,ijija y z 230.ijji1111221331211222233311322333写出来（利用a =a ）即(a y +a y +a y )z(a y +a y +a y

7、)z(a y +a y +a y )z云云 南南 师师 范范 大大 学学9命题：命题：二次曲线的一组平行弦的调和共轭点二次曲线的一组平行弦的调和共轭点的轨迹是弦的垂直平分线。换言之，若极的轨迹是弦的垂直平分线。换言之，若极为无穷远点，则对应的极线是平行弦的垂为无穷远点，则对应的极线是平行弦的垂直平分线。直平分线。【注【注】若若为中心二次曲线，则此极线是为中心二次曲线，则此极线是的主直径。的主直径。三、极点、极线性质三、极点、极线性质云云 南南 师师 范范 大大 学学10三、极点、极线性质三、极点、极线性质6.8.yzzy定理（）点 的极线过点的原则极线过配极zylzl证明：由假设，点证明：由假

8、设，点y的极线通过点的极线通过点z ，即，即点点z是点是点y的诸共轭的诸共轭点之一，因而倒转来，点之一，因而倒转来，点点y也是点也是点z的诸共的诸共轭点之一。所以点轭点之一。所以点z的极线通过点的极线通过点y.云云 南南 师师 范范 大大 学学111z2zyl1zl2zl3zl3z定理定理6.9（这是定理（这是定理6.8的推论）设点的推论）设点z 在点在点y的极的极线上移动，那么点线上移动，那么点z的极线绕点的极线绕点y而转动。即是说而转动。即是说在极与极线的对应中，点与直线对应，点列与直在极与极线的对应中，点与直线对应，点列与直线束对应。线束对应。三、极点、极线性质三、极点、极线性质云云 南

9、南 师师 范范 大大 学学12 pqyzyzyzyzqqq定理定理6.10 若一点若一点z在它自身的极线上（即在它自身的极线上（即y是自是自共轭点），则共轭点），则y在二次曲线上，反之也成立。在二次曲线上，反之也成立。三、极点、极线性质三、极点、极线性质证明参看教材证明参看教材P.117P.117云云 南南 师师 范范 大大 学学136.110.ijijyyya y x 定理若点，则点 关于之极线恰为在 处的切线，其方程为121122200.,(1,2,3),ijijijijiii iiiiya y yya yzyzP PPxyzPxyz i证明：由假设点 在 上，所以，现在以z表示 关于 的

10、许多共轭点中的一个，则有再求点 和点的联线与 的两个交点 ， ，这样的点可写作 ：三、极点、极线性质三、极点、极线性质云云 南南 师师 范范 大大 学学141222122000ij ijijijijijij ija z za yza y ya z z其中 ， 是方程的根，在现在条件下，这方程变为，故三、极点、极线性质三、极点、极线性质即是说任何一点与即是说任何一点与y共轭共轭时，它和点时，它和点y的连线跟的连线跟相交于两个重合点，而相交于两个重合点，而此点即此点即y本身（图本身（图6.8）。）。可见可见y的一切共轭点在以的一切共轭点在以点点y为切点的切线上。为切点的切线上。P1yP2z图图6.

11、86.8云云 南南 师师 范范 大大 学学1500.ijijijija x xa y xy推论1：设y为 ：上一点，则 在这点的切线方程为推论2： 上一点y,与 在点 的切线上任一点z对于成共轭。三、极点、极线性质三、极点、极线性质定理定理6.11表明：表明：二次曲线的切点与切线的关系，正二次曲线的切点与切线的关系，正好是极与极线关系的特殊情况。好是极与极线关系的特殊情况。注：注：这些结论适用于一切射影坐标，因此也适用于这些结论适用于一切射影坐标，因此也适用于射影坐标的特例笛氏坐标。射影坐标的特例笛氏坐标。云云 南南 师师 范范 大大 学学16四、极与极线的作图四、极与极线的作图以下考虑极与极

12、线的作图问题以下考虑极与极线的作图问题.1.求作一已知点的极线求作一已知点的极线 以以P表示已知点，表示已知点，p表所求极线表所求极线. 若若P在在上，上，只要作只要作在在P P点的切线就得到极线点的切线就得到极线p p，这作法见下，这作法见下面两个图的作图过程。面两个图的作图过程。 若若P不在不在上，通过上，通过 P点任引两直线使与点任引两直线使与分分别交于别交于A,B及及C,D（图（图6.9）.设设Q=ACBD,R=ADBC,那么那么QR就是所求的极线就是所求的极线p.云云 南南 师师 范范 大大 学学17四、极与极线的作图四、极与极线的作图1.求作一已知点的极线求作一已知点的极线 因为设

13、因为设E=RQAB,F=RQCD,那么由完全四点形或完那么由完全四点形或完全四线形的调和性质，有全四线形的调和性质，有(PE,AB)=-1,(PF,CD)=-1.由共轭点由共轭点定义，定义，E和和F是是P的两个共轭点，从而直线的两个共轭点，从而直线EF（即（即QR）就是）就是P点的极线。点的极线。rpAEDQRpCBFqNDBQMpFCrPREAq图图6.96.9云云 南南 师师 范范 大大 学学18四、极与极线的作图四、极与极线的作图【注注】 从上得出两个重要结果：从上得出两个重要结果： 第一，若第一，若P P在在外部，外部，p p与与交于两点交于两点M M、N.N.这这两点在两点在p p上

14、，所以与上，所以与p p共轭。但共轭。但M M在在上，因而上，因而由定理由定理6.116.11，与，与M M共轭的共轭的P P点在点在M M点的切线上可点的切线上可见见PMPM是切线。同理是切线。同理PNPN也是切线。也是切线。 可见从一个外部点的极线的作图，立刻可见从一个外部点的极线的作图，立刻得出由该点向得出由该点向所引两条切线的作图。所引两条切线的作图。云云 南南 师师 范范 大大 学学19四、极与极线的作图四、极与极线的作图第二，观察三角形第二，观察三角形PQRPQR，已经知道，已经知道Q Q和和R R在在p p上，上，所以和所以和P P共轭。若将上面的作法解释为求共轭。若将上面的作法

15、解释为求Q Q点点的极线的作图，立见的极线的作图，立见PRPR就是就是Q Q点的极线点的极线q q，即，即Q Q和和R R也共轭，从而也共轭，从而R R点的极线点的极线r r就是就是R R点的两个点的两个共轭点共轭点P P、Q Q的连线。这个三角形的连线。这个三角形PQRPQR的每一个的每一个顶点和余二顶点共轭，从而每一顶点和它的顶点和余二顶点共轭，从而每一顶点和它的对边是极与极线的关系。这样的三角形称为对边是极与极线的关系。这样的三角形称为自极三角形自极三角形。云云 南南 师师 范范 大大 学学20四、极与极线的作图四、极与极线的作图2.求作一已知直线求作一已知直线p的极的极P. 在已知直线

16、在已知直线p上，任取两点上，任取两点Q和和R，按上述，按上述方法作其极线方法作其极线q和和r（图（图6.10），则），则P即为点即为点qr.因为这点既在因为这点既在q上又在上又在r上，所以既与上，所以既与Q共轭，也与共轭，也与R共轭。因而这点的极线是共轭。因而这点的极线是QR=p或者说点或者说点qr是是p的极。的极。qPrRpQ图图6.106.10云云 南南 师师 范范 大大 学学21四、极与极线的作图四、极与极线的作图由以上作图归纳出极与极线的四条性质：由以上作图归纳出极与极线的四条性质：1.1.对常态二次曲线，每个点有唯一确定的极对常态二次曲线，每个点有唯一确定的极线，每一直线有唯一确定的

17、极。线，每一直线有唯一确定的极。2.2.两点连线之极是这点极线的交点。两点连线之极是这点极线的交点。3.3.两直线交点的极线是此两直线极的连线。两直线交点的极线是此两直线极的连线。4.4.共线点的极线必共点，共点线的极必共线。共线点的极线必共点，共点线的极必共线。云云 南南 师师 范范 大大 学学22222123121 323(110):357450.pxxxx xx xx x1例 ：求点， ，关于二次曲线的极线五、极与极线的应用五、极与极线的应用云云 南南 师师 范范 大大 学学23p解：0302123210)252()25527()2273(321321332123211321xxxxxx

18、xyyyxyyyxyyyp即：化简得：的极线方程为：关于点云云 南南 师师 范范 大大 学学24五、极与极线的应用五、极与极线的应用例例2 利用帕斯卡定理证明布利安双定理利用帕斯卡定理证明布利安双定理A2A1A6A5A4A3B3B2B1B6B5B4证明：设证明：设A1A2A3A4A5A6为为二次曲线的外切六边形，二次曲线的外切六边形，各边的切点依次为各边的切点依次为B1B2B3, ,B6(图图6.11)，则，则B1B2B3B4B5B6为二次曲线为二次曲线的内接六点形，的内接六点形，图图6.116.11云云 南南 师师 范范 大大 学学25五、极与极线的应用五、极与极线的应用例例2 利用帕斯卡定理证明布利安双定理利用帕斯卡定理证明布利安双定理按帕斯卡定理，三点：按帕斯卡定理，三点：P=BP=B1 1B B2 2B B4 4B B5 5, ,Q=BQ=B2 2B B3 3B B4 4B B6, 6, R=BR=B3 3B B4 4B B6 6B B1 1共线。共线。注意到，注意到，A A1 1是直线是直线B B1 1B B2 2的极、的极、A A4 4是直线是直线B B4 4