实二次型及其标准型

1、返回返回返回一、二次型及其矩阵一、二次型及其矩阵 ninjjiijnxxaxxxf1121),.,(nnxxaxxaxa1121122111 nnxxaxaxxa2222221221 22211nnnnnnnxaxxaxxa 称为称为 n 元二次型元二次型.返回 ninjjiijnxxaxxxf1121),.,( 若若aij 为实数，则称为为实数，则称为实二次型实二次型. 若若aij 为复数，则称为为复数，则称为复二次型复二次型.,21222211121121,jiijnnnnnnnaaaaaaaaaaaAxxxX 设设 则则 f (x1, , xn) = X TAX. A T = A A:

2、二次型二次型 f (x1, , xn) 的矩阵的矩阵.返回 例例1 f (x1, x2 , x3) = 2x12 3x22 + 4x32 - 2 x1x2 + 3x2 x3AXXxxxxxxT T32132142302331012),( A: f (x1, x2 , x3) 的矩阵的矩阵 若令若令,430031012 则有则有 f (x1, x2 , x3) = XTBX 但但 BT B, 故故 B 不是不是f (x1, x2 , x3) 的矩阵的矩阵返回 ninjjiijnxxaxxxf1121),.,(二次型二次型 也记为也记为 f (X) = X TAX. (AT = A)二次型二次型

3、f (X)的秩的秩：A 的秩的秩.在例在例1 中，中， f (x1, x2 , x3) 的矩阵的矩阵 42302331012AR(A) = 3 ,故故 f (x1, x2 , x3) 的秩为的秩为 3 .返回二、合同变换二、合同变换1. 矩阵合同矩阵合同 定义定义 对对n阶矩阵阶矩阵A, B, 若存在可逆矩阵若存在可逆矩阵C, 使使C TAC = B, 则称则称 A与与 B合同合同. 矩阵合同具有以下性质：矩阵合同具有以下性质： (1) 反身性：矩阵反身性：矩阵A与自身合同；与自身合同； (2) 对称性：若对称性：若A与与B合同，则合同，则B与与A合同；合同； (3) 传递性：若传递性：若A与

4、与B合同，且合同，且B与与C合同合同, 则则A与与C合合同同. 返回 A与与B等价：等价：PAQ = B, P, Q 可逆；可逆； A与与B相似：相似：P -1AP = B , P 可逆；可逆； 请思考请思考：矩阵合同与等价、相似有何关系？：矩阵合同与等价、相似有何关系？2. 合同变换合同变换 ninjjiijnxxaxxxf1121),.,( )1(22112222121212121111nnnnnnnnnnycycycxycycycxycycycx(1)式称为从式称为从 y1, , yn 到到 x1, , xn 的线性变换的线性变换.返回令令 nnnnnncccccccccC2122221

5、11211 nnyyyYxxxX2121,则则(1)式可记为式可记为 X = C Y (2)若若C 为可逆矩阵，则为可逆矩阵，则(2)式称为式称为可逆变换可逆变换，若若C 为正交矩阵，则为正交矩阵，则(2)式称为式称为正交变换正交变换.当当C 可逆时，可逆时，(2)式又可记为式又可记为 Y = C -1 X (3)返回对于二次型对于二次型 f (X) = X TAX，若令若令X = CY (C可逆可逆),则则 f (X) = (CY)TA(CY) = YT (CTAC)Y.记记 B = CTAC , 则则 B T = B, 且且 f (X) = YTBY = g(Y).二次型二次型 f (X)

6、与与 g(Y) 的矩阵的矩阵 A与与B合同合同.也称二次型也称二次型 f (X)与与 g(Y) 合同合同.称称X = CY (C可逆可逆)为为合同变换合同变换.返回三、用配方法化二次型为标准形三、用配方法化二次型为标准形 只含平方项的二次型只含平方项的二次型 d1 y12 + d2 y22 + +dr yr2 (di 0)称为称为标准形标准形. 定理定理1 任一实二次型任一实二次型f (X) = X TAX 都可用配方法化都可用配方法化为标准形为标准形.返回 f (x1, x2 , x3) = x12 + 2x22 + 3x32 + 2 x1x2 + 6x2 x3 +2 x1x3=(x12+2

7、x1x2+2x1 x3)+ 2x22 + 3x32 + 6x2 x3=(x1+x2+ x3 )2+ (x22 + 4x2 x3) + 2x32=(x1+x2+ x3 )2+ (x2 + 2 x3)2 - 2x32 3332232112xyxxyxxxy令令则则 f (x1, x2 , x3) = y12 + y22 2y32 例例2 用配方法化二次型为标准形用配方法化二次型为标准形返回)1(2333223211 xyxxyxxxy令令即即)2(2333223211 yxyyxyyyx(1): 从从x1, x2, x3到到 y1, y2 , y3的线性变换的线性变换. (2): 从从y1, y2

8、 , y3到到 x1, x2, x3 的线性变换的线性变换. (1)与与(2)所表达的所表达的x1, x2, x3与与 y1, y2 , y3 的关系是相同的的关系是相同的. 返回例例3 f (x1, x2 , x3) = 2 x1x2 +2 x1x3 - 6x2 x3令令 33212211yxyyxyyx则则, f (x1, x2 , x3)=2y12 2y22 4y1y3 + 8y2 y3= 2(y12 2y1y3 ) - 2 y22 + 8y2 y3= 2(y1 y3)2 - 2(y22 - 4y2 y3 )- 2 y32 = 2(y1 y3)2 - 2(y2 - 2y3)2 + 6y3

9、2 = 2z12 2 z22 + 6z32 返回上式最后一步使用的变换是上式最后一步使用的变换是 333223112yzyyzyyz则则, f = 2z12 2z22 + 6z32 = t12 + t22 - t32 233211262ztztzt若再令若再令返回 将实二次型将实二次型 f (X) = X TAX 经合同变换化为标准经合同变换化为标准形后，将正项集中在前，负项集中在后：形后，将正项集中在前，负项集中在后： d1 y12 + + dp yp2 - dp +1yp+12 - - dr yr2 ), 2 , 1(riydziii 令令得得 f (X) = X TAX 的另一种形式为的

10、另一种形式为 z12 + + zp2 zp+12 - - zr2 称为称为规范形规范形.返回定理定理2 任何一个实二次型的规范形都是惟一的任何一个实二次型的规范形都是惟一的. p: 正惯性指数正惯性指数； r - p: 负正惯性指数负正惯性指数； |r - 2p|: 符号差符号差. z12 + + zp2 zp+12 - - zr2 返回四、用正交变换化二次型为标准形四、用正交变换化二次型为标准形 定理定理3 任一任一 n 元实二次型元实二次型 f (X) = X TAX 都可用都可用正交变换正交变换 X = CY 化为标准形化为标准形 1 y12 + 2 y22 + + n yn2其中其中

11、1 ， 2 ， n是是A 的特征值的特征值. 证证因因A 为为n 阶实对称矩阵，阶实对称矩阵，所以存在正交矩阵所以存在正交矩阵C , 使使CTAC = C-1AC = diag ( 1 ， 2 ， n)令令 X = CY , 则则f (X) = YT CTACY = 1 y12 + 2 y22 + + n yn2返回例例4 用正交变换化二次型为标准形用正交变换化二次型为标准形 f (x1, x2 , x3) = x12 - 2x22 - 2x32 - 4 x1x2 + 4x1x3 + 8x2 x3解解 f (x1, x2 , x3)的矩阵的矩阵242422221A)()(|722424222212AI特征值：特征值： 1= 2（二重特征值），（二重特征值）， 2 = -7，返回求求 1= 2 的特征向量：的特征向量： 4424422211AI 000000221 x1 + 2x2 - 2x3 = 0特征向量：特征向量： 1 = (-2, 1, 0)T , 2 = (2, 0, 1)T将将 1, 2 正交化：正交化： 1 = 1 = (-2, 1, 0)T ,T T),(542511111222),(),(返回求求 1= -7 的特征向量：的特征向量： 5424522282AI 0001102101 ,213231xxxx 3 = (1, 2, 2)T ,将将 1, 2