平面一般力系

1、1第四章第四章 平面一般（任意）力系平面一般（任意）力系平面一般力系：平面一般力系：各力的作用线在同一平面内，既不汇交为一点各力的作用线在同一平面内，既不汇交为一点 又不完全相互平行的力系叫平面一般力系又不完全相互平行的力系叫平面一般力系。F1F2F3F4FnFAyFAxFFN23研究方法：研究方法：平面任意力系平面任意力系平面力偶系平面力偶系平面汇交力系平面汇交力系合成合成平衡平衡合成合成平衡平衡FR= FiM= Mi Mi =0 Fx=0 Fy =044-1 4-1 力线平移定理力线平移定理：F证证）F，F（F 偶 力 力F力力F,F,F 力系力系但必须同时附加一个力偶。这个力偶的力偶矩等

2、于原来的力但必须同时附加一个力偶。这个力偶的力偶矩等于原来的力F作用在作用在刚体刚体上点上点A的力的力 ， 可以平行移到刚体上任一点可以平行移到刚体上任一点B，对新作用点对新作用点B的矩。的矩。MM56力平移的条件是附加一个力偶力平移的条件是附加一个力偶M，且，且M与与d有关，有关，M=Fd 力线平移定理揭示了力与力偶的关系：力线平移定理揭示了力与力偶的关系：力力力力+力偶力偶 力线平移定理的逆定理成立：力线平移定理的逆定理成立：力力+力偶力偶力（平面内）力（平面内）v力线平移定理是力系简化的理论基础。力线平移定理是力系简化的理论基础。v依据力线平移定理可将平面任意力系转化为平面汇交力系和依据

3、力线平移定理可将平面任意力系转化为平面汇交力系和平面力偶系进行研究。平面力偶系进行研究。说明说明：74-2 4-2 平面任意力系的简化平面任意力系的简化 平面任意力系的简化分两步：平面任意力系的简化分两步：（1 1）平面任意力系向作用面内一点简化）平面任意力系向作用面内一点简化（2 2）简化结果的进一步分析）简化结果的进一步分析8 力系的主矢：力系的主矢：力系中各力的矢量和。力系中各力的矢量和。的主矢为：力系 ,321nFFFFxRxFFyRyFF2 2 RyRxRFFF1F2F3FnFiRFF 22)()(yxFFRyRRxRFFjFFFiF),cos(,),cos( niinRFFFFFF

4、13219平面平面力系的主矩：力系的主矩：力系中各力对平面内任一点矩的代数和。力系中各力对平面内任一点矩的代数和。 nFFFF,321力系力系选定矩心选定矩心O点，点，则该力系对则该力系对O点的主矩为：点的主矩为：)(iOOFMM10M1M2M31111()OFF MMF2222()OFFMMF()nnnOnFFMMFv（1）平面任意力系向作用面内一点简化）平面任意力系向作用面内一点简化11平面任意力系平面任意力系平面力偶系平面力偶系平面汇交力系平面汇交力系合力合力合力偶合力偶(作用在简化中心)(作用在该平面上)FR M1M2M312RF主矢合力iFFFFF321R :321 MMMMO合力偶

5、矩：2222)()(yxRyRxRFFFFF大小大小：方向方向：简化中心简化中心 (与简化中心位置无关) 因主矢等于各力的矢量和点主矩对O)()()( 21iOOOFMFMFMRyRRxRFFjFFFiF),cos(,),cos(13 主矩主矩MO )(iOOFMM 固定端（插入端）约束固定端（插入端）约束雨 搭车 刀大小大小：方向方向： 方向规定方向规定 + 简化中心简化中心： (与简化中心有关) （因主矩等于各力对简化中心取矩的代数和）14固定端（插入端）约束的约束反力：固定端（插入端）约束的约束反力：15平面固定端约束平面固定端约束=16v（2 2） 简化结果分析简化结果分析 合力矩定理

6、合力矩定理简化结果：简化结果： 主矢主矢 ，主矩，主矩 MO ，是否为零分别讨论，是否为零分别讨论。RF0RF0OM合力，作用线过简化中心合力，作用线过简化中心170RF0OM合力偶合力偶与简化中心的位置无关与简化中心的位置无关若向若向 点简化，结果如何点简化，结果如何? ?1O18合力，作用线距简化中心合力，作用线距简化中心RFMO0RF0OMRFMdOdFMORFFFRR19)(niiOOFMM1)()(主主矩矩ORROMdFFM)()(niiOROFMFM1 合力矩定理合力矩定理：由于主矩由于主矩而合力对而合力对O点的矩点的矩平面力系可以合成为一个合力时，其合力对作用平面力系可以合成为一

7、个合力时，其合力对作用面内任一点之矩等于力系中各分力对于同一点之矩的代数和。面内任一点之矩等于力系中各分力对于同一点之矩的代数和。200RF0OM平衡平衡21平面任意力系平衡的充要条件为平面任意力系平衡的充要条件为： 0)()(22 yxRFFF0)(iOOFMM =0， MO =0，力系平衡，力系平衡 RF 0 xF0 yF0)(iOFM =0 =0 平面汇交力系平衡平面汇交力系平衡 MO =0 =0 平面力偶系平衡平面力偶系平衡RF 力系的主矢力系的主矢 和主矩和主矩 MO 都等于零都等于零RF 22平面任意力系的平衡方程另两种形式平面任意力系的平衡方程另两种形式000BAxMMF二矩式二

8、矩式两个取矩点连线，不得与投影轴垂直两个取矩点连线，不得与投影轴垂直000CBAMMM三矩式三矩式三个取矩点，不得共线三个取矩点，不得共线230 xF0)(iAFM0)(iBFM二矩式二矩式条件：条件：x 轴不轴不垂直垂直于于AB连线连线0)(iAFM0)(iBFM0)(iCFM三矩式三矩式条件：条件：A,B,C不在不在 同一直线上同一直线上 投影轴和矩心是任意选取的，一般先取矩。投影轴和矩心是任意选取的，一般先取矩。矩心选矩心选择在多个未知力的交点上；投影轴尽量与未知力垂择在多个未知力的交点上；投影轴尽量与未知力垂直或平行。直或平行。0 xF0 yF0)(iOFM 基本式（一矩式）基本式（一

9、矩式）24 解解:已知：如图已知：如图 q、l, 求：合力的大小和作用线位置。求：合力的大小和作用线位置。 ldxqQ0 xClABqQCxdxqdx32202qldxxlqxqllC 32lxC xdxqQxQMlCA0)( lxdxlq02qlQ 25 解解:已知：如图已知：如图 q、l, 求：合力的大小和作用线位置。求：合力的大小和作用线位置。xqdxQxQMlCA0)(xClABqQ=qlCxdxqdx22qlqlxC 2lxC 26 例例 已知：已知：q， a , P=qa, M=Pa，求：求：A、B两点的支座反力？两点的支座反力？解：解： 选选AB梁为研究对象。梁为研究对象。0)(

10、iAFM0322aFMaaqaPB0 xF0 AxF0 yF34 , 02qaFqaPFFAyAyB 画受力图画受力图 列平衡方程，求未知量。列平衡方程，求未知量。FAxFAyFBq2aaMPABBA35qaFB qMP其中其中113302FqlkN 0 xF0AM 0yF060cosFPFAy0360sin60cos1lFlFlFMMA316.4kNAxFkN300AyFmkN1188AM060sin1FFFAx已知：已知：m1,kN400,mkN20,mkN20,kN100lFqMP求：求： 固定端固定端 处约束力处约束力. .A解：解：取取 型刚架，画受力图型刚架，画受力图. .T280

11、 yF0)(iOFM 一矩式一矩式v 平面平行力系中各力在平面平行力系中各力在x 轴上轴上的投影恒等于零，即：的投影恒等于零，即：0 xFq 平面平行力系只有两个独立方程，只能求解两个独立的未知数。平面平行力系只有两个独立方程，只能求解两个独立的未知数。0)(iAFM0)(iBFM 二矩式二矩式条件：条件：AB连线不能平行连线不能平行 于力的作用线于力的作用线条件：条件：y 轴不轴不垂直于垂直于力作用线力作用线4-4 4-4 平面平行力系的平衡方程平面平行力系的平衡方程29例例 已知：塔式起重机已知：塔式起重机 P=700kN, W=200kN (最大起重最大起重量量)，尺寸如图。，尺寸如图。

12、求：保证满载和空载时不致求：保证满载和空载时不致翻倒，平衡块翻倒，平衡块Q=？ 当当Q=180kN时，求满载时，求满载时轨道时轨道A、B给起重机轮子的反给起重机轮子的反力？力？分析：分析：Q过大，空载时有向左倾翻的趋势。过大，空载时有向左倾翻的趋势。Q过小，满载时有向右倾翻的趋势。过小，满载时有向右倾翻的趋势。AB300)(FMB0) 22() 212(2) 26( AFWPQ0 AFkN 75Q限制条件：限制条件：解：解： 首先考虑满载时，起首先考虑满载时，起重机不向右翻倒的最小重机不向右翻倒的最小Q为：为：空载时，空载时，W=0由由0)(FMA0) 22(2) 26( BFPQ限制条件：限

13、制条件：0 BF解得：解得：kN 350Q因此保证空、满载均不倒因此保证空、满载均不倒Q应满足如下关系应满足如下关系：kN 350kN 75Q解得：解得：FAFB3104) 212(2) 26( BFWPQ0)(FMA, 0 yF0 BAFFWPQkN 870,kN 210 BAFF解得：解得：由平面平行力系的平衡方程可得：由平面平行力系的平衡方程可得：FAFB324-5 4-5 静定与静不定问题静定与静不定问题 物体系统的平衡物体系统的平衡一、静定与静不定问题的概念一、静定与静不定问题的概念 00yxFF平面汇交力系平面汇交力系 两个独立方程，只能求两个独立未知数。两个独立方程，只能求两个独

14、立未知数。 0iM平面力偶系平面力偶系 一个独立方程，只能求一个独立未知数。一个独立方程，只能求一个独立未知数。平面平行力系平面平行力系 两个独立方程，只能求两个独立未知数。两个独立方程，只能求两个独立未知数。 00ioyFMF平面任意力系平面任意力系 三个独立方程，只能求三个独立未知数。三个独立方程，只能求三个独立未知数。 000FMFFoxx 3334 独立方程数目独立方程数目 未知数数目时，是静不定问题（超静定问题）未知数数目时，是静不定问题（超静定问题） 静定（未知数三个）静定（未知数三个） 独立方程数目独立方程数目= =未知数数目时，是静定问题（可求解）未知数数目时，是静定问题（可求

15、解）静不定（未知数四个）静不定（未知数四个） 静不定问题在材料力学静不定问题在材料力学, ,结构力学结构力学, ,弹性力学中弹性力学中用变形协调条件来求解用变形协调条件来求解。FAxFAyFByFBxFAxFAyFB35二、物体系统的平衡问题二、物体系统的平衡问题物体系统（物系物系）：由若干个物体通过约束所组成的系统由若干个物体通过约束所组成的系统。物系平衡问题的特点：物系平衡问题的特点： 物体系统平衡，物系中每个单体也是平衡的。物体系统平衡，物系中每个单体也是平衡的。 每个单体可列每个单体可列3 3个（平面任意力系）平衡方程，整个系统个（平面任意力系）平衡方程，整个系统可列可列3 3n个方程

16、（设物系中有个方程（设物系中有n个物体）。个物体）。36物系平衡研究对象选取原则：物系平衡研究对象选取原则： 先选取运用平衡方程能确定某些未知量的部分为研究对象。先选取运用平衡方程能确定某些未知量的部分为研究对象。 选择平衡方程时，应尽量避免解联立方程。选择平衡方程时，应尽量避免解联立方程。整体整体解物系问题的一般方法：解物系问题的一般方法：机构问题：机构问题：个体个体个体个体个体个体结构问题：结构问题：有固定端：有固定端：无固定端：无固定端：个体个体个体（整体）个体（整体）个体个体（不带固定端）（不带固定端）个体个体（组合体）（组合体） 个体（整体）个体（整体）（带固定端）（带固定端）37解

17、题步骤解题步骤 研究对象研究对象 受力图（受力分析）受力图（受力分析） 选坐标系、取矩点、选坐标系、取矩点、平衡方程。平衡方程。 方程求出未知数方程求出未知数坐标轴最好选在与未知力垂直或平行的投影轴上；坐标轴最好选在与未知力垂直或平行的投影轴上；矩心最好选在未知力的交叉点上；矩心最好选在未知力的交叉点上；注意判断二力杆；运用合力矩定理等。注意判断二力杆；运用合力矩定理等。先取矩，后投影，列一个平衡方程求一个未知力。先取矩，后投影，列一个平衡方程求一个未知力。解题技巧解题技巧解题步骤与技巧：解题步骤与技巧：38例例1 已知：已知：OA=R, AB= l , 当当OA水平时，冲压力为水平时，冲压力

18、为P时，时， 求：求：M=？ O点的约束反力？点的约束反力？ AB杆内力？杆内力？ 冲头给导轨的侧压力？冲头给导轨的侧压力？0 xF0sin BNFF0 yF0cos BFP cosPFB 解解：以以B为研究对象：为研究对象： nt aPFN FBFN390)(FMO0cos MRFA 0 xF0sin AoxFF0 yF0cos oyAFF PRM PFoy tan PFox 负号表示力的方向与图中所设方向相反负号表示力的方向与图中所设方向相反再以轮再以轮O为研究对象：为研究对象：FBFNFAFoxFoy40q例例2 已知：已知：M=10KNm, q= 2KN/m , 求：求：A、C 处的反

19、力。处的反力。0 xF01 qFFCBy0 yF0212qFC解解：以以BC为研究对象：为研究对象：KNFC5 . 0 q1mAB1m1m1mCMCBFBxFByFC0)(FMB0 BxFKNFBy5 . 1 41例例2 已知：已知：M=10kNm, q= 2kN/m , 求：求：A、C 处的反力。处的反力。0 xF01 qFFByAy0 yF05112AByMMqF.以以AB为研究对象：为研究对象：kNmMA4MAFAxFAyq1mAB1m1m1mCMqCBFBxFByFC0)(FMA0 BxAxFFkNFAy5 . 3BAFBxFByqM42例例3 已知：已知：M=40KNm,P=100K

20、N, q= 50KN/m , 求：求：A处的反力。处的反力。025 . 13 PFB以以BC为研究对象：为研究对象：kNFB7 .702500)(FMCFCxFCyFB解解：q1.5mABCM2mDE1m3mP1.5mBEPC43q1.5mABCM2mDE1m3mP1.5m以整体为研究对象：以整体为研究对象：FAxFAyMAFB0 xF0)(FMA0445cos qPFoAx04551455385ooBAPPMqFMcos.sin.KNmMA9 .227 045sin oByAyPFF0 yF0 AyFKNFAx3 .129 44例例4 已知：已知：P=2kN, B、D两轮半径均为两轮半径均为

21、R= 0.3m , 求：求：A、C 处的反力。处的反力。1m1m2mPACBDE451m1m2mPACBD例例4 已知：已知：P=2kN, B、D两轮半径均为两轮半径均为R= 0.3m , 求：求：A、C 处的反力。处的反力。以整体为研究对象：以整体为研究对象：解解：FAxFAyFCxFCy0)( FmA03 . 22 PFCxkNFCx3 . 20 xFkNFFCxAx3 . 2(1) 0 PFFCyAy0 yF46以以BC为研究对象：为研究对象：FCxFCy0)( FmB03 . 122 ECCxFyFFPFE kNFCy1(1) 0 PFFCyAy03 . 122 PFFCyCxkNFA

22、y11m1m2mPACBDEFECEBFBxFBy47例例5 已知：已知：m=30kNm,P=10kN, q= 5kN/m , 求：求：A、C 、E处的反力。处的反力。0 xF060sin oEDyPFF0 yF0160sin2 oEPF以以DE为研究对象：为研究对象：KNFE35 . 2 0)( FmDKNPFoDx560cos KNFDy35 . 2 q1mAB1m1m1mCm2m1m1mDE60o3mPEDFDxFDyFE60oP解解：480 xF01 DyByCFqFF0 yF05 . 0142 mqFFDyC以以BD为研究对象：为研究对象：KNFC25 0)( FmBKNFFDxBx

23、5 KNFBy67.15 q1mAB1m1m1mCm2m1m1mDE60o3mFBxFByCBFDxFDyqmDFCP490 xF01 qFFByAy0 yF05 . 1123 qFFMByBxA以以AB为研究对象：为研究对象：KNmMA9 0)( FmAKNFFBxAx5 KNFAy67.10 q1mAB1m1m1mCm2m1m1mDE60o3mAFBxFByqBFAxFAyMAP50例例5 已知：已知：m=30KNm,P=10KN, q= 5KN/m , 求：求：A、C 、E处的反力。处的反力。0160sin2 oEPF以以DE为研究对象：为研究对象：KNFE35 . 2 0)( FmDq

24、1mAB1m1m1mCm2m1m1mDE60o3mPEDFDxFDyFE60oP解解：5105 . 0160sin562 mqPFFoEC以以BDE为研究对象：为研究对象：KNFC25 0)( FmBq1mAB1m1m1mCm2m1m1mDE60o3mFBxFByCBqmFCEDFE60oPP52qm1mAB1m1m1mC2m1m1mDE60o3mP0 xF060sin2 oECAyPqFFF0 yF060cos360sin72284 ooECAPPmqFFM以整体为研究对象：以整体为研究对象：KNmMA9 0)( FmAKNPFoAx560cos KNFAy67.10 FAxFAyMAFCF

25、E桁架：一种由杆件彼此在两端用铰链连接而成的结构，桁架：一种由杆件彼此在两端用铰链连接而成的结构， 它在受力后几何形状不变。它在受力后几何形状不变。节点：桁架中杆件的铰链接头。节点：桁架中杆件的铰链接头。4-6 4-6 桁桁 架架1.1.各杆件为直杆，各杆件为直杆，各杆轴线位于同一平面内；各杆轴线位于同一平面内；2.2.杆件与杆件间均用光滑铰链连接；杆件与杆件间均用光滑铰链连接；3.3.载荷作用在节点上，载荷作用在节点上，且位于桁架几何平面内；且位于桁架几何平面内；4.4.各杆件自重不计或平均分布在节点上。各杆件自重不计或平均分布在节点上。桁架中每根杆件均为二力杆桁架中每根杆件均为二力杆关于平面桁架的几点假设：关于平面桁架的几点假设：理想桁架理想桁架总杆数总杆数mn总节点数总节点数32 nm32(3)mn32 nm平面复杂（超静定）桁架平面复杂（超静定）桁架32 nm平面简单（静定）桁架平面简单（静定）桁架32 nm非桁架（机构）非桁架（机构）节点法与截面法节点法与截面法1.1.节点法：节点法：为了求出