复变函数2.1,2.2.

1、复习与回顾复习与回顾区域区域: 平面点集平面点集D满足以下条件满足以下条件, ,则称为区域则称为区域. .(1) D是一个是一个开集开集；(2) D是是连通的连通的, ,既既D中中任何两点都可以用完全任何两点都可以用完全属于属于D的的一条折线连结起来一条折线连结起来.单连通域与多连通域单连通域与多连通域有界域与无界域有界域与无界域极限计算的定理极限计算的定理定理定理.),(lim,),(lim )(lim , , ),(),()( 000000000000vyxvuyxuAzfiyxzivuAyxivyxuzfyyxxyyxxzz 的充要条件是的充要条件是那末那末设设 连续的连续的三要素三要素

2、:（1） f(z)在在z0处有定义处有定义 （2）f(z)在在z0处有极限处有极限 （3）f(z)在在z0处的极限值等于函处的极限值等于函数值数值由函数连续的定义由函数连续的定义:定理定理.) ,( ),( ),( : ),(),()( 00000处连续处连续在在和和连续的充要条件是连续的充要条件是在在函数函数yxyxvyxuiyxzyxivyxuzf 第二章第二章 解析函数解析函数一一 . . 复变函数的导数与微分复变函数的导数与微分 二二 . 解析函数概念解析函数概念 三三 . . 函数解析的充要条件函数解析的充要条件 6一、复变函数的导数与微分1.导数的定义导数的定义:, , , )(

3、00的范围的范围不出不出点点点点中的一中的一为为定义于区域定义于区域设函数设函数DzzDzDzfw , )( . )( 00的导数的导数在在这个极限值称为这个极限值称为可导可导在在那末就称那末就称zzfzzf.)()(limdd)(00000zzfzzfzwzfzzz 记作记作 , )()(lim 000存在存在如果极限如果极限zzfzzfz 等价定义等价定义000,z当时 000f zzf zfzz 恒有 f zD如果在区域 内处处可导， f zD则称在内可导。例例1 .)(2的导数的导数求求zzf zzfzzfzfz )()(lim)(0解解zzzzz 220)(lim)2(lim0zzz

4、 .2z zz2)(2 2f zzz 例证明：在 平面上处处不可导证：证： f zzf zzzzzzzz 0z 沿实轴当时， 0001zxyzxlimlimzx 0z 沿虚轴当时， 0001zyxzyilimlimzyi f zzz 在复平面上处处不可导，但在 平面上处处连续 0zxy02. 可导与连续的关系可导与连续的关系 00f zzf zz在 点可导在 点连续，反之，不成立。证明证明 0000 fz,z 存在，当时 000fzzfzfzz 000f zzf zzfzz 记 00zlimz 则有 000f zzf zfzzzz 0000zlim f zzf z,f zz 故即在 点连续反之

5、: 由例2可知 f zz 处处连续，但处处不可导。评论：评论：1. 与实函数的可导定义形式相同。与实函数的可导定义形式相同。2. 复杂性在于复杂性在于.)0(00的的方方式式是是任任意意的的即即 zzzz3. f(z) 在点可导则在点可导则f(z)在此点连续在此点连续, 反之不对反之不对.例例3 是否可导？是否可导？问问yixzf2)( zzfzzfzfzz )()(limlim00解解zyixiyyxxz 2)(2)(lim0yixyixz 2lim0 ，轴的直线趋向于轴的直线趋向于沿着平行于沿着平行于设设zxzz xyoz0 yxyoz0 yyixyixz 2lim0, 1lim0 xxx

6、 ，轴的直线趋向于轴的直线趋向于沿着平行于沿着平行于设设zyzz 0 xyixyixz 2lim0, 22lim0 yiyiy不存在不存在的导数的导数所以所以.2)(yixzf 求导法则求导法则:求导公式与法则求导公式与法则: . , 0)()1(为复常数为复常数其中其中cc .,)()2(1为正整数为正整数其中其中nnzznn ).()()()()3(zgzfzgzf ).()()()()()()4(zgzfzgzfzgzf )0)(.)()()()()()()()5(2 zgzgzgzfzgzfzgzf )( ).()()()6(zgwzgwfzgf 其中其中0)( ,)()( ,)(1)

7、()7( wwzzfwwzf 且且函数函数两个互为反函数的单值两个互为反函数的单值是是与与其中其中微分的概念微分的概念:. )( )( , )(, 0)(lim ,)()()()(,)( 000000线性部分线性部分的的的改变量的改变量是函数是函数小小的高阶无穷的高阶无穷是是式中式中则则可导可导在在设函数设函数wzfwzzfzzzzzzzzfzfzzfwzzfwz .)( , )( )(000zzfdwzzfwzzf 记作记作的微分的微分在点在点称为函数称为函数定义定义. )( , 00可微可微在在则称函数则称函数的微分存在的微分存在如果函数在如果函数在zzfz特别地特别地, , )( 时时当

8、当zzf dzzzf )(0, z ,d)()(d00zzfzzfw 0dd)( 0zzzwzf 即即 .)(00可微是等价的可微是等价的可导与在可导与在在在函数函数zzzfw 二、解析函数的概念. )( , )(000解析解析在在那末称那末称导导的邻域内处处可的邻域内处处可及及在在如果函数如果函数zzfzzzf).( )( .)( ,)(全全纯纯函函数数或或正正则则函函数数个个解解析析函函数数内内的的一一区区域域是是或或称称内内解解析析区区域域在在则则称称内内每每一一点点解解析析区区域域在在如如果果函函数数DzfDzfDzf2. 奇点的定义奇点的定义.)( , )(00的奇点的奇点为为那末称

9、那末称不解析不解析在在如果函数如果函数zfzzzfu注解、“可微”有时也可以称为“单演”，而“解析”有时也称为“单值解析”、“全纯”、“正则”等；例如 f (z) = z2 在整个复平面上解析；2)(zzfw仅在原点可导，故在整个复平面上不解析；注意注意 001f zzf zz在 解析在 可导。 2f zD在区域 内解析 03fzz在解析反之，不成立。 fzD在区域 内可导。 00f zzNz 在 的某邻域内解析。定理定理 . )( )( )( )1(内内解解析析在在除除去去分分母母为为零零的的点点和和、差差、积积、商商的的与与内内解解析析的的两两个个函函数数在在区区域域DzgzfD. )(

10、, )( , . )( , )( )2(内解析内解析在在那末复合函数那末复合函数于于都属都属的对应值的对应值函数函数内的每一个点内的每一个点对对如果如果内解析内解析平面上的区域平面上的区域在在函数函数内解析内解析平面上的区域平面上的区域在在设函数设函数DzgfwGhzgzDGhhfwDzzgh 以上定理的证明以上定理的证明, 可利用求导法则可利用求导法则.根据定理可知根据定理可知:(1) 所有多项式在复平面内是处处解析的所有多项式在复平面内是处处解析的. , )()( )2(它的奇点它的奇点使分母为零的点是使分母为零的点是的的零的点的区域内是解析零的点的区域内是解析在不含分母为在不含分母为任何

11、一个有理分式函数任何一个有理分式函数zQzP例例 .)(2的解析性研究zzh , )( 2的解析性的解析性下面讨论下面讨论zzh zzhzzh )()(00zzzz 2020zzzzzzz 0000)(,00zzzzz , 0)1(0 z. 0)()(lim000 zzhzzhz, 0)2(0 z , 0 沿直线趋于令z zzyixyix xyixyi 11ikik 11 , 的任意性的任意性由于由于 k .11不趋于一个确定的值不趋于一个确定的值kikizz .)()(lim000不存在不存在zzhzzhz . , , 0 )( 2析析它它在在复复平平面面内内处处处处不不解解根根据据定定义义

12、不不可可导导而而在在其其他他点点都都处处可可导导仅仅在在因因此此 zzzh例例.1 的的解解析析性性研研究究函函数数zw 解解 , 0 1 处处可导处处可导在复平面内除在复平面内除因为因为 zzw ,1dd 2zzw 且且 , 0 外处处解析外处处解析在复平面内除在复平面内除所以所以 zw . 0 为它的奇点为它的奇点 z问题问题：对函数 f (z) = u(x,y) + iv(x,y)，如何判别其解析（可导）性？( ),f zu v的解析 可导 与的偏导数之间有什么关系？换句话说：偏导定义偏导定义.),(yxfw在点), (), (lim000yfyfx存在,xyxyxfw对在点),(),(

13、00的偏导数，记为),(00yx的某邻域内;),(00yxxfxx00 x则称此极限为函数极限设函数x; ),(00yxfx机动 目录 上页 下页 返回 结束 0),(dd0yyyxfy同样可定义对 y 的偏导数 lim0y),(00yxfy) ,(0 xf),(0 xfyyy00y全微分的定义全微分的定义 定义定义: 如果函数 w = f ( x, y )在定义域 D 的内点( x , y ),(),(yxfyyxxfw可表示成, )(oyBxAw其中 A , B 不依赖于 x , y , 与 x , y 有关，称为函数),(yxf在点 (x, y) 的全微分全微分, 记作yBxAfw dd

14、若函数在域 D 内各点都可微,22)()(yx则称函数 f ( x, y ) 在( x, y) 可微可微，处全增量则称此函数在在D 内可微内可微.yBxA),(),(yxfyyxxfz函数 f (x, y) 在点 (x, y) 可微函数在该点连续定理定理1 1(必要条件)若函数 w = f (x, y) 在点(x, y) 可可微微 ,则该函数在该点偏导数yfxf,yyfxxffd必存在,且有定理定理2 (充分条件)yzxz,若函数),(yxfz 的偏导数,),(连续在点yx则函数在该点可微分.解析函数的充要条件解析函数的充要条件yixyxivyxuyyxxivyyxxu ),(),(),(),

15、(则则可可导导在在点点设设函函数数,),(),()(iyxzyxivyxuzfw zzfzzf)()(xyxvyxxvixyxuyxxuxyxivyxuyxxivyxxuzzfzzfzfxxxz ),(),(lim),(),(lim ),(),(),(),(lim )()(lim)(0000)0( yzzz若若沿沿平平行行于于实实轴轴的的方方式式xvixu 偏导数的定义yiyxvyyxviyiyxuyyxuyiyxivyxuyyxivyyxuzzfzzfzfyyyz ),(),(lim),(),(lim),(),(),(),(lim)()(lim)(0000)0( xzzz若沿平行于虚轴的方式

16、若沿平行于虚轴的方式yuiyvyvyui 1 yuxvyvxuyuiyvxvixuzf )( 存存在在定义定义 方程方程称为称为Cauchy-Riemann方程方程(简称简称C-R方程方程).yuxvyvxu 定理定理 设设 f (z) = u (x, y) + iv(x, y)在在 D 内有定义，内有定义， 则则 f (z)在点在点 z=x+iy D处处可导的充要条件是可导的充要条件是 u(x, y) 和和 v(x, y) 在点在点 (x, y ) 可微，且满足可微，且满足 Cauchy-Riemann方程方程yuxvyvxu 上述条件满足时上述条件满足时,有有xyyyyxxxivviuvi

17、uuivuzf )( 设函数( )( , )( , )wf zu x yiv x y在D内解析，( ).fzaib即存在于是 wf zzf z(0,0)aibzzz 当12()()aibziz )()(21yixiyixiba yxybxa21 21ib xa yxy ,u x yi v x y 1221xyxyuux uy oa x b yxyvvx vy ob x a yxy xyxyuux uy oa x b yovvx vy ob x a yo ,.xyxyuvavub ( )( , )( , )wf zu x yiv x yD即在 内一点 x,y 解析u(x,y) 与 v(x,y)

18、在该点可微, 并且满足柯西-黎曼(Cauchy-Riemann)方程。( ).xxyyf zuivviu设 u(x,y) 与 v(x,y) 在点 (x,y) 可微, 于是1234xyxyuuxuyxyvvxvyxy （x,y0时,k0, (k=1,2,3,4)）()( )f zzf zu i v 21324()()xxxxC R uivxi viuyixiy 1324()()(),xxuivxi yixiy D并且满足柯西-黎曼(Cauchy-Riemann)方程。1324()()xxyyuivxuivyixiy 1324()( )()().xxf zzf zxyuiviizzz(1,1)xy

19、zz0()( )( )lim.zf zzf zuvfzizxx即函数 f (z)在点 z = x + iy 处可导. 由 z 的任意性可知：( )( , )( , )wf zu x yiv x y在D内解析. 内解析的充要条件内解析的充要条件函数在区域函数在区域 D. , ),( ),( : ),(),()( 程程并且满足柯西黎曼方并且满足柯西黎曼方内可微内可微在在与与内解析的充要条件是内解析的充要条件是域域在其定义在其定义函数函数定理二定理二DyxvyxuDyxivyxuzf 推论 ：,( , )u vx yCR若在处一阶偏导数连续且满足方程,( )f zuivzxiy则在处可导.例题1 ,

20、u v解析 可导可微且满足C-R方程 222f zxyi xyuivfz已知，求解： 2222xxfzuivxi yxiyz2222yyviuxiyxiyz使用时使用时: i) 判别判别 u(x, y)，v (x, y) 偏导数的连续性，偏导数的连续性， ii) 验证验证C-R条件条件.iii) 求导数求导数：yvyuixvixuzf 1)( A 前面我们常把复变函数看成是两个实函数拼成前面我们常把复变函数看成是两个实函数拼成的的, , 但是求复变函数的导数时要注意但是求复变函数的导数时要注意, , 并不是两个并不是两个实函数分别关于实函数分别关于x, ,y求导简单拼凑成的求导简单拼凑成的.

21、.例：u(x,y)、v(x,y)如下：000),(),(222222yxyxyxvyxuyxxy方程：满足，则在点令RCzyxivyxuzf0),(),()(0 0 xvyuyvxu.,0)()0 , 0(),(),(从而不可导不连续在函数不连续，所以复变在点、但zzfyxvyxu解析函数的判定方法解析函数的判定方法: :. )( , )( )1(内是解析的内是解析的在在解析函数的定义断定解析函数的定义断定则可根据则可根据内处处存在内处处存在的导数在区域的导数在区域数数导法则证实复变函导法则证实复变函如果能用求导公式与求如果能用求导公式与求DzfDzf. )( ,R C ) ),( , ( ,

22、 )( 2)(内解析内解析在在的充要条件可以断定的充要条件可以断定那么根据解析函数那么根据解析函数方程方程并满足并满足可微可微因而因而、连续、连续的各一阶偏导数都存在的各一阶偏导数都存在内内在在中中如果复变函数如果复变函数DzfyxvuDvuivuzf 二、典型例题例例1 判定下列函数在何处可导判定下列函数在何处可导, 在何处解析在何处解析:).Re()3();sin(cos)()2(;)1(zzwyiyezfzwx 解解,)1(zw ,yvxu . 1, 0, 0, 1 yvxvyuxu不满足柯西黎曼方程不满足柯西黎曼方程, . ,处处不解析处处不解析在复平面内处处不可导在复平面内处处不可导故故zw