专题16 存在性-菱形（解析版）

1、中考数学压轴题-二次函数-存在性问题第16节 菱形的存在性方法点拨菱形ABCD，M为对角线AC与BD的交点，则M的坐标为（）或者（）解题方法：（在平行四边形的基础上增加对角线垂直或者邻边相等）（1）选一定点，再将这一定点与另外点的连线作为对角线，分类讨论；（2）利用中点坐标公式列方程：；（3）对角线垂直： 例题演练1如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线yx2+x+2与x轴相交于A，B两点，与y轴交于点C（1）求B、C两点的坐标；（2）点P为直线BC上方抛物线上的任意一点，过P作PFx轴交直线BC于点F，过P作PEy轴交直线BC于点E，求线段EF的最大值及此时P点坐标；（3）将该抛物线沿着射线A

2、C方向平移个单位得到新抛物线y，N是新抛物线对称轴上一点，在平面直角坐标系中是否存在点Q，使以点B、C、Q、N为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点Q点的坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）令x0，则2，解得点C坐标为（0，2），令y0，即，解得：x4或1，点B坐标为（4，0）（2）设直线BC解析式为ykx+b，代入点B、点C坐标，得：，解得：直线BC解析式为yx+2设P坐标为（m，），则E坐标为（m，m+2），其中0m4设点F横坐标为xF，纵坐标yF，令xF+2，解得：xFm23mPE（m+2），PFm（m23m）m2+4mEF，则当m2时，EF有最大值，此时点P坐标为（2，3）

3、（3）存在点Q，使以点B、C、Q、N为顶点的四边形为菱形点Q坐标为（2，6）或（2，2）或（6，4）或（6，4），理由如下：OA1，OC2，AC又，抛物线沿着射线AC方向平移个单位，实际上等同于将该抛物线向右移动个单位，向上移动1个单位原抛物线对称轴方程为x，新抛物线对称轴方程为x+2设点N坐标为（2，n）、点Q坐标为（a，b）当BC为菱形的边时：以点B为圆心，BC为半径画圆交对称轴x2于点N1、N2.如图1此时，BCBN1BN22，即，解得：MN14故点N1坐标为（2，4），同理可得点N2坐标为（2，4）由菱形对角线性质和中点坐标公式可得：，即，解得：；或，解得：点Q1坐标为（2，6），Q2

4、（2，2）以点C为圆心，CB为半径画圆交对称轴x2于点N3、N4，作N3Py轴于点P，如图2此时CBCN3CN4，PN32，PC4，故点N3坐标为（2，6），同理可得N4坐标为（2，2）由菱形对角线性质和中点坐标公式可得：，即，解得：；或，解得：点Q3坐标为（6，4），Q4（6，4）当BC为菱形的对角线时，则NQ为另一对角线，BC垂直平分NQ，此时BC中点坐标为（2，1），又N（2，n）且NCNB，则N点必与BC中点重合，此时不存在点Q，则不能构成菱形综上所述，点Q坐标为（2，6）或（2，2）或（6，4）或（6，4）2如图，抛物线y与x轴交于A，B两点（点A在点B右侧），与y轴交于点C，点D是

5、抛物线的顶点（1）如图1，连接AC，BC，判断ABC的形状，说明理由；（2）如图2，若点P是直线AC上方抛物线上一动点，过点P作PEBC交AC于点E，作PQy轴交AC于点Q，求CE+AQ的最小值及此时E点坐标；（3）将该抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线ya1x2+b1x+c1（a10），平移后的抛物线与原抛物线相交于点P，点Q为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点M，使以点A，P，Q，M为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）ABC为直角三角形，理由如下：当x0时，y2，当y0时，0，解得x12，x26，A（6，0），B（2

6、，0），C（0，2），BC2OB2+OC216，AC2OA2+OC248，AB28264，BC2+AC2AB2，ABC是直角三角形；（2）由（1）得，tanBCO，故BCO30°，A（6，0），C（0，2），直线AC的解析式为yx+2，CE+AQACEQ，当EQ最大时，CE+AQ最小，PEBC，POy轴，BCOQPE30°，EQPQ，设P点的坐标为（m，m2+m+2），则Q点的坐标为（m，m+2），EQPQm2+m+2（m+2）m2+m（m3）2+，当m3时，EQ最大，最大值为，此时P（3，），PEBC，PEAC，设直线PE的解析式为yx+b，把P点代入可得b，即直线PE的

7、解析式为yx，联立直线AC、PE的解析式解得，E点坐标为（，），CE+AQ最小值为CE+EQACEQ4；（3）存在，由题知平移后的解析式为y（x2）2+（x2）+2x2+，与原解析式联立解得，P点的坐标为（1，），原抛物线对称轴为x2，设Q点的坐标为（2，n），当AP2AQ2时，52+（）242+n2，解得n±，则Q点的坐标为（2，）或（2，），M点的坐标为（3，）或（3，），当AP2PQ2时，52+（）212+（n）2，解得n，则Q点的坐标为（2，）或（2，），M点的坐标为（7，）或（7，），当QA2PQ2时，42+n212+（n）2，解得n，则Q点的坐标为（2，），M点的坐标为（

8、5，），综上，M点的坐标可能为（5，）或（7，）或（7，）或（3，）或（3，）3如图，抛物线yx22x+3与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴与点C，点D为该抛物线的顶点，连接AC（1）如图1，连接DA、DC，求点D的坐标和ACD的面积；（2）如图2，点P是直线AC上方的抛物线上一动点，过点P作PEy轴，交直线AC于点E，过点P作PFAC，垂足为F，当PEF周长最大时，在x轴上存在一点Q，使|QPQD|的值最大，请求出这个最大值以及点P的坐标；（3）当（2）题中|QPQD|取得最大值时，点M为直线x2上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点N，使得点D、Q、M、N为顶点的四边形为菱

9、形，若存在，请直接写出点N的坐标，若不存在，请说明理由【解答】解：（1）如图1中，连接OD抛物线yx22x+3（x+1）2+4，点D（1，4），令y0，得到x2+2x30，解得x3或1，A（3，0），B（1，0），令x0，得到y3，C（0，3），SADCSAOD+SCODSAOC×3×4+×3×1×3×32（2）如图2中，延长PE交OA于HOAOC3AOC90°，OACACO45°，PEy轴，AHE90°，AEHPEF45°，PFAC，AEF90°，PEF是等腰直角三角形，PE的值最大

10、时，PEF的周长最大，设P（m，m22m+3），直线AC的解析式为yx+3，E（m，m+3），PEm22m+3m3m23m（m+）2+，10，m时，PEF的周长最大，此时P（，），D（1，4），PD，|QPQD|PD，|QPQD|，|QPQD|的最大值为，此时P，D，Q共线，直线PD的解析式yx+，令y0，得到x9，Q（9，0）（3）如图3中，由（2）可知，Q（9，0），D（1，4），则DQ4当DQ是菱形的边时，DMDQ4，设M（2，t），则12+（4t）280，解得t4±，M1（2，4+），M2（2，4），DN与MQ互相平分，N1（10，），N2（10，），当DQ是菱形的对角线时，

11、设M（2，n），MQMD，72+n212+（4n）2，n5，M3（2，5），DQ与MN互相平分，N3（8，9），综上所述，满足条件的点N的坐标为（10，）或（10，）或（8，9）4如图，在平面直角坐标系中，抛物线C1：yx2+bx+c的图象与坐标轴交于A、B、C三点，其中点A的坐标为（0，8），点B的坐标为（4，0），点D的坐标为（0，4）（1）求该二次函数的表达式及点C的坐标；（2）若点F为该抛物线在第一象限内的一动点，求FCD面积的最大值；（3）如图2，将抛物线C1向右平移2个单位，向下平移5个单位得到抛物线C2，M为抛物线C2上一动点，N为平面内一动点，问是否存在这样的点M、N，使得四边

12、形DMCN为菱形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）把A（0，8）、B（4，0）代入yx2+bx+c，得，解得，该二次函数的表达式为yx2+x+8；当y0时，由x2+x+80，得x14，x28，C（8，0）（2）如图1，作FGx轴于点G，交CD于点E.设直线CD的函数表达式为ykx+4，则8k+40，解得k，yx+4设F（x，x2+x+8）（0x8），则E（x，x+4），EFx2+x+8+x4x2+x+4，SFCDOGEF+CGEFOCEF，SFCD×8（x2+x+4）x2+6x+16（x3）2+25，当x3时，FCD面积的最大值为25（3）存在由题

13、意可知，点M、N在线段CD的垂直平分线上.抛物线C1：yx2+x+8（x2）2+9，平移后得抛物线C2：y（x4）2+4x2+2x如图2，设CD的中点为Q，则Q（4，2），过点Q作CD的垂线交抛物线C2于点M，交x轴于点HCQHCOD90°，OD4，CO8，CD4，CQCD2，CH5，OH853，H（3，0），设直线QH的函数表达式为ymx+n，则，解得，y2x6由，得，M1（，），M2（，），点N与点M关于点Q（4，2）成中心对称，N1（8+2，10+4），N2（82，104）5如图，抛物线yx2+bx+c的图象经过点C（0，2），交x轴于点A（1，0）和B，连接BC，直线ykx+

14、1与y轴交于点D，与BC上方的抛物线交于点E，与BC交于点F（1）求抛物线的表达式及点B的坐标；（2）求的最大值及此时点E的坐标；（3）在（2）的条件下，若点M为直线DE上一点，点N为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点B、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）设B（xB，yB），将A（1，0），C（0，2）代入yx2+bx+c中，得：，解得：，抛物线的表达式为：yx2+x+2，点B在x轴上，yB0，将yB0代入yx2+x+2中，得：xB2+xB+20，解得：xB14，xB21（不符合题意，舍去），B（4，0）；（

15、2）由题意知，点E位于y轴右侧，作EGy轴交BC于点G，CDEG，直线ykx+1与y轴交于点D，D（0，1），CD211，EG，设直线BC的解析式为ymx+n（m0），将B（4，0），C（0，2）代入，得：，解得：，直线BC的解析式为yx+2，设点E（t，t2+t+2），则G（t，t+2），且0t4，EG（t2+t+2）（t+2）t2+2t（t2）2+2，（t2）2+2，0，当t2时，的值最大，最大值为2，此时点E的坐标为（2，3）；（3）存在点M和点N，使得以点B、D、M、N为顶点的四边形是菱形设直线DE的解析式为ykx+b，将D（0，1），E（2，3）代入，得：，解得：，直线DE的解析式为

16、yx+1，设M（n，n+1），B（4，0），D（0，1），BM2（4n）2+（0n1）22n26n+17，DM2（0n）2+（1n1）22n2，BD242+1217，以点B、D、M、N为顶点的四边形是菱形，分两种情况：BD为边时或BD为对角线，当BD为边时，MNDMBD（如图2）或MNBMBD（如图3），DM2BD217或BM2BD217，即2n217或2n26n+1717，解得：n±或n0（舍去）或n3，M（，）或M（，）或M（3，4），如图4，当BD为对角线时，设BD的中点为Q，则Q（2，），四边形BMDN是菱形，MNBD，QBQDBD，QD2+QM2DM2，（20）2+（1）2

17、+（n2）2+（n+1）22n2，解得：n，M（，），综上所述，点M的坐标为（，）或（，）或（3，4）或（，）6在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接AC，BC（1）求A，B两点坐标及直线BC的解析式；（2）点P是直线BC下方抛物线上一点，当BPC面积最大时，在x轴下方找一点Q，使得AQ+BQ+2PQ最小，记这个最小值是d，请直接写出此时点P的坐标及d2（3）在（2）的条件下，连接AP交y轴于点R，将抛物线沿射线PA平移，平移后的抛物线记为y'，当y'经过点A时，将抛物线y'位于x轴下方部分沿x轴翻折，翻折后所得的曲线记为N，点D&

18、#39;为曲线N的顶点，将AOP沿直线AP平移，得到A'O'P'，在平面内是否存在点T，使以点D'，R'，O'，T为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出O'的横坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）在二次函数yx2x2中，令x0，则y2，令y0，则x1或3，故点A、B、C的坐标分别为（1，0）、（3，0）、（0，2），设直线BC的表达式为：ykx+b，代入B（3，0）、C（0，2）得：，解得：，直线BC的解析式为：yx2；（2）如图1，设点P（m，m2m2），过点P作PEy轴交BC于点E，则点E（m，m2），SPBC×O

19、B×PE（m2m2+m+2）（m）2+，0，当m时，SPBC有最大值，此时点P（，），在x轴下方任取点Q，连接PQ、BQ、AQ，将PQB绕点P顺时针旋转90°到PQB位置，连接QQ，BQBQ，QQPQ，AQ+BQ+PQAQ+BQ+QQ，AQ+BQ+PQ最小，则A、Q、Q、B在同一直线上，PQQ45°，此时B坐标为（，），d2（AQ+BQ+PQ）2（AB）2（1）2+（）246+20；（3）存在，设直线AP解析式为ymx+n，将A（1，0），P（，）代入得，解得：，直线AP解析式为yx，令x0，得y，R（0，），yx2x2（x1）2，抛物线y的顶点为（1，），分别过

20、A、P作AHx轴，PHy轴，则AH，PH，抛物线y沿射线PA平移且经过点A，即向左平移个单位，向上平移个单位；平移后的抛物线解析式为y（x+）2，顶点为（，），D（，），由题意，AOP沿直线AP平移，得到AOP，设平移后的点O（t，t），以点D、R、O、T为顶点的四边形为菱形，可以分三种情况：ODDR，（t+）2+（t）2（）2+（）2，解得：t1，t2，ORDR，t2+（t+）2（）2+（）2，解得：t3，t4，ODOR，（t+）2+（t）2t2+（t+）2，解得：t5，综上所述，O的横坐标为：或或或或7如图，抛物线yax26ax6与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接BC已知抛物线顶点

21、纵坐标为8（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，M为线段OB的中点，过点M作MNBC，交y轴与点N，P是抛物线上位于直线BC下方的一个动点，连接PM，交BC于点Q，连接PN，NQ当PNQ的面积最大时，求出此时点P的坐标及PNQ的面积最大值；（3）当点P满足（2）问的条件时，在直线BC上是否存在一点E，在平面内是否存在一点F，使得以点P，E，C，F为顶点的四边形为菱形？若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由【解答】解：（1）yax26ax6a（x3）29a6，抛物线顶点坐标为（3，9a6），抛物线顶点纵坐标为8，9a68，解得：a，抛物线解析式为：yx2x6；（2）在yx2x6中，令x0，

22、得：y6，C（0，6），令y0，得：x2x60，解得：x13，x29，A（3，0），B（9，0），M为线段OB的中点，OMBM，M（，0），MNBC，ONOC3，N（0，3），ON3，在RtMON中，MN，设直线MN的解析式为ykx+b，则：，解得：，直线MN的解析式为yx3，设P（m，m2m6），如图1，过点P作PKy轴交直线MN于点K，作PHMN于点H，过点B作BGMN于点G，连接BN，K（m，m3），PHKBGMMON90°，PKHMNO，BGPH，PKm3（m2m6）m2+2m+3，SPMNOMPK××（m2+2m+3）m2+m+，MNBC，SMNQSMN

23、B，OMBM，SMNBSMNOOMON××3，SMNQ，SPNQSPMNSMNQm2+m+（m）2+，0，当m时，SPNQ的最大值为，当m时，m2m6×（）2×6，点P的坐标为（，）；（3）P（，），C（0，6），PC；设直线BC的解析式为yk1x+b1，B（9，0），C（0，6），解得：，直线BC的解析式为yx6，设E（t，t6），则PE2（t）2+t6（）2，CE2（t0）2+t6（6）2，以点P，E，C，F为顶点的四边形为菱形，分三种情况：CPCE或CPPE或CEPE，当CPCE，以CP、CE为边时，如图2，CE2CP2，即：（t0）2+t6（6）

24、2（）2，解得：t或，点E的坐标为（，36）或（，36），点F的坐标为（+，3）或（+，3），当CPPE，以CP、PE为边时，如图3，PE2CP2，即：（t）2+t6（）2（）2，解得：t或t0（舍去），E（，），F（，），当CEPE，以CE、PE为边时，如图4，CE2PE2，即：（t）2+t6（）2（t0）2+t6（6）2，解得：t，E（，），F（，），综上所述，点F的坐标为（+，3）或（+，3）或（，）或（，）8在平面直角坐标系中，抛物线yax2+bx+c（a0）与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C（0，6），其中AB8，tanCAB3（1）求抛物线的表达式；（2）点P是直

25、线BC上方抛物线上一点，过点P作PDAC交x轴于点D，交BC于点E，求BE的最大值及点P的坐标（3）将该抛物线沿射线CA方向平移2个单位长度得到抛物线y1，平移后的抛物线与原抛物线相交于点F，点G为抛物线y1的顶点，点M为直线FG上一点，点N为平面上一点在（2）中，当BE的值最大时，是否存在以P、E、M、N为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）C（0，6），tanCAB3，AO2，A（2，0），B（6，0），解得，该抛物线的表达式为yx2+2x+6（2）如图1，作PHx轴于点H，交BC于点J，作EIPH于点I、EKx轴于点K设直线BC的函数表达

26、式为ykx+6，则6k+60，解得k1，yx+6；设直线AC的函数表达式为ypx+6，则2p+60，解得p3，y3x+6设P（m，m2+2m+6），由PDAC，设直线PD的函数表达式为y3x+n，则m2+2m+63m+n，解得nm2m+6，y3xm2m+6由，得，E（，）AC2，BC6，且PEICAO，BEKBCO，EI：PI：PEOA：OC：AC1：3：，EK：BK：BECO：BO：BC1：1：，PEEI，PE10EI10（m）mm2，BEBK，BE2BK2（6）12，BEmm2（12）m2+8m12（m4）2+4，当m4时，BE的最大值，最大值为4，此时P（4，6）（3）存在如图2，由（2

27、）得，AC2，将AOC沿射线CA方向平移2个单位，相当于将AOC向左平移2个单位，再向下平移6个单位，该抛物线也向左平移2个单位，再向下平移6个单位，原抛物线为yx2+2x+6（x2）2+8，y1x2+2，抛物线y1与坐标轴的交点分别为F（2，0）、D'（2，）、（0，2），且顶点为G（0，2），点F（2，0）为抛物线y1与原抛物线的交点P（4，6），C（0，6），且PDAC，D（2，0），点D'与点D重合设直线FG的函数表达式为yqx+2，则2q+20，解得q1，yx+2如图2，点M1在点P左侧，PE、EM1为菱形的邻边连接PC，则CGPC，可得BC垂直平分PG，设垂足为点Q

28、，则点N1与点E关于点Q对称；PCEBDE，PEDE，E（3，3），（2，4），N1（1，5）；如图3，PE为菱形的对角线，M2N2垂直平分PE，设垂足为点R，R为PE的中点，R（，），连接并延长BG交AC于点H，则BGOCAO，GBOACO，GBO+CAOACO+CAO90°，BHAC，BHM2N2；设直线BH的函数表达式为yrx+2，则6r+20，解得r，yx+2，设直线M2N2的函数表达式为yx+t，则×+t，解得t，yx+；由，得，M2（，），点N2与点M2（，）关于点R（，）对称，N2（，）；如图4，点M3在点P右侧，PE、PM3为菱形的邻边由EN3FG，设直线的

29、函数表达式为yx+s，则3+s3，解得s0，点N3在直线yx上，连接OE，则点O、E、N3在同一直线上 设N3（d，d），OE3，EN3PE，d×（3+）3+，N3（3+，3+）点M4在点P左侧，PE、PM4为菱形的邻边 设N4（e，e），则e×（3）3，N4（3，3）综上所述，点N的坐标为（1，5）或（，）或（3+，3+）或（3，3）故答案为：（1，5）或（，）或（3+，3+）或（3，3）9综合与探究：如图，抛物线yx2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，OA2，OC6，连接AC和BC（1）求抛物线的解析式；（2）点E是第四象限内抛物线上的动点，连接CE和BE

30、求BCE面积的最大值及此时点E的坐标；（3）若点M是y轴上的动点，在坐标平面内是否存在点N，使以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）OA2，OC6，A（2，0），C（0，6），将A（2，0），C（0，6），代入yx2+bx+c，得，解得：b1，c6，抛物线得解析式为：yx2x6（2）在函数yx2x6中，令y0得： x2x60，解得：x12，x23，B（3，0）如图1，连接OE，设点E（m，m2m6），SBCESOCE+SOBESOBC×6m+×3（m2+m+6）×3×6，根据二次函数的

31、图象及性质可知，当时，BCE的面积有最大值，此时点E的坐标为（3）存在；点N坐标为，（2，0），A（2，0），C（0，6），AC若AC为菱形的边长，如图2，则MNAC，且MNACN1（），N2（），N3（2，0）若AC为菱形的对角线，如图3，则AN4CM4，AN4CN4，设N4（2，n），则n，解得：nN4（2，）综上所述，点N坐标为，（2，0），10如图，已知抛物线yax2+bx4（a，b为常数，且a0）与x轴交于点A（，0），B（4，0），与y轴交于点C（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点P是射线CB上方抛物线上的一动点，过点P作PHx轴于点H，当线段PH长度最大时，求出线段PH的最大

32、值及此时点P的坐标；（3）若点D是OC的中点，将抛物线yax2+bx4沿射线AD方向平移个单位得到新抛物线y，C是抛物线y上与C对应的点，抛物线y的对称轴上有一动点N，在平面直角坐标系中是否存在一点S，使得C，N，B，S为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点S的坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）点A（，0），B（，0）在抛物线yax2+bx4上，解得：抛物线解析式为（2）如答图，过点P作PKy轴交BC于点KB（，0），OB当x0时，y4点C（0，4）OC4PHx轴，PHKOBCHPKBOC90°BOCHPK即PHPK设直线BC的解析式为ymx+n（m0）将点B（，0），C（

33、0，4）分别代入上式得：解得：所以直线BC的解析式为设点P（x，），则点K（x，）PKPHPKPH当x时，PH最大此时点P（，2）（3）存在如下图D（0，2），AD抛物线yx2+x4沿射线AD方向平移个单位实际是向左平移个单位，向下平移2个单位，C（，6）抛物线yx2+x4+，新抛物线的解析式为y新抛物线y的对称轴为直线设N（，t），则有，若BC'BN则有当时，当时，若NBNC则有t3，（与N点重合，舍去）若CNCB则有当时，当时，综上，点S的坐标为：或或或11如图，已知抛物线yax2+bx+c的顶点D的坐标为（2，9），抛物线与坐标轴分别交于A、B、C三点，且B的坐标为（0，5），连

34、接DB、DC，作直线BC（1）求抛物线的解析式；（2）P是x轴上的一点，过点P作x轴的垂线，与CD交于H，与CB交于G，若线段HG把CBD的面积分成相等的两部分，求P点的坐标；（3）若点M在直线CB上，点N在平面上，直线CB上是否存在点M，使以点C、点D、点M、点N为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）抛物线yax2+bx+c的顶点D的坐标为（2，9），可设ya（x+2）2+9，又抛物线过点B（0，5），代入得：54a+9，a1，y（x+2）2+9x24x+5，抛物线的解析式为yx24x+5；（2）抛物线yx24x+5与坐标轴分别交于A、B、

35、C三点，且B的坐标为（0，5），当y0时，x24x+50，解得x15，x21，A（1，0），C（5，0），又D（2，9），直线BC的解析式为yx+5；设直线CD的解析式为ykx+b，将C（5，0），D（2，9）代入，得：，解得：，直线CD的解析式为y3x+15设点P的坐标为（x，0），则G（x，x+5），H（x，3x+15）SCGHHG×CP（5+x）（3x+15x5）（5+x）（2x+10）（5+x）（x+5）（x+5）2，设抛物线的对称轴交直线BC于点K，如图：顶点D的坐标为（2，9），对称轴为直线x2，K（2，3），DK936，SBCDSDKC+SDKB×6×3+×6×215，若线段HG把CBD的面积分成相等的两部分，则（x+5）2×15，解得：x1，x2（舍），P（，0）；（3）如图，设点M的坐标为（