数值分析(广东工业大学课件)

1、第二章 插值2.4 2.4 差分与等距节点的差分与等距节点的NewtonNewton插值插值.,4.3)( , : 4.2)( , : 4.1)( , : . ,)(), 1 , 0(1)(2121110向后和中心差分算子分别称为向前和中心差分向后差分向前差分为常数，称为步长这里函数值上的个等距节点在已知kkkkkkkkkiiifffffffffhfxfniihxxnxf定义3定义3上节讨论任意分布节点的插值公式，应用时常碰到等距节点的情形，此时插值公式可简化，为此先介绍差分一、差分及其性质一、差分及其性质)2()2(hxfhxffkkk .2 1212kkkkkkffffff阶差分利用一阶差

2、分可定义二 . ; 111111kmkmkmkmkmkmffffffm阶差分一般地可定义.: , , :21212121211kkkkkkkkkfffffffff二阶中心差分一阶中心差分12kkkfff处的二阶向前差分在为kxxf)(处的二阶向后差分在为kxxf)(阶向前差分处的在为mxxfk)(阶向后差分处的在为mxxfk)(.:)2()2( :212122121kkkkkkkkfffhxfhxffff二阶中心差分一阶中心差分.: ,1kkkkfEfEfIfI移位算子：引进不变算子. ,)(IEfIEIfEffkkkk可得到则. , 2/12/11EEEI同理，差分的基本性质差分的基本性质:

3、(4.4) ,) 1() 1()( (1)00 fjnfEjnfIEfnjjknjnjkjnjknkn如：差分可用函数值表示，(4.5) ,) 1( ) 1()(001 fjn fEjnfEIfnjnjkjnnjknjjnknkn为实数为整数幂不变算子和位移算子的aahxfxfEnIIkkan)()(）（如：函数值可用差分表示，6 . 4 .)( (2)00njkjknjjknknknfjn fjnfIfEf,2, , (3)22212121111hfxxxxfxxfxxxfhfxxffxxfkkkkkkkkkkkkkkkkk差商与差分关系，如：）（一般地，7 . 4 .!1, kmmmkkf

4、hmxxf）（ 8 . 4 .!1, kmmmkkfhmxxf）（以及9 . 4 ).,(),( )(nkknnknxxfhf6可以证明可以证明mkmkmff1kkff222kkff333kkff如1kkkfff21kkkfff 11kkkfff2221kkkfff 74433221100fxfxfxfxfxfxkk四阶差分三阶差分二阶差分一阶差分0f1f2f3f02f12f22f03f13f04f差分表差分表4f3f2f1f42f32f22f43f33f44fmkmkmff3 Newtons Interpolation牛顿公式Nn(x) f(x0) fx0,x1(x-x0). fx0,.,x

5、n(x-x0).(x-xn-1)牛顿前插公式 /* Newtons forward-difference formula */注：一般当 x 靠近 x0时用前插，靠近 xn时用后插，故两种公式亦称为表初公式和表末公式。牛顿后插公式 /* Newtons backward-difference formula */将节点顺序倒置：Nn(x) f(xn) fxn,xn-1(x-xn). fxn,.,x0(x-xn).(x-x1)3 Newtons Interpolation使用Newton前插或后插公式，先构造差分表如下:x0.40.50.60.7sinx0.389420.479430.56464

6、0.64422例 已知数值表如下，分别用向前、向后Newton插值公式求sin0.57891的近似值。解：作差分表3 Newtons Interpolation0.005632 0.47943 0.78910.08521 0.7891(0.78941)误差 0.54714若用向后插公式，则可取x0=0.6，x-1=0.5, x-2=0.4, x=x0+th,t=-0.2109,于是3 Newtons Interpolation使用向前插公式，取x0=0.5，x1=0.6, x2=0.7, x=x0+th, h=0.1,t=(x-x0)/h=0.7891,于是N2(0.57891) =3 New

7、tons Interpolation13Newton插值法的优点是计算较简单插值法的优点是计算较简单,尤其是增加节点时尤其是增加节点时,计算只要增加一项计算只要增加一项,这是这是Lagrange插值无法比的插值无法比的.2.5 2.5 埃尔米特（埃尔米特（Hermite)Hermite)插值插值.Hermite ,)插值问题)插值问题埃尔米特(埃尔米特( . .种插值问题称为这相等导数值甚至高阶导数值在某些节点上对应的的而且要求在节点上函数值相等不少插值问题不仅要求 ., 1 , 0 ,)()( ,)()( nifxfxHfxfxHiiiiii Lagrange插值公式所求得L(x)保证了节点

8、处的函数值相等，也就是保证了函数的连续性，但埃尔米特插值又称为带导数的插值，这类插值要求在节点处的导数值也要相等，导数的阶数越高则光滑度越高。2.5.1 低次埃尔米特插值多项式1.二点三次埃尔米特(Hermite)插值多项式 )( ,)( )(,)( )( 110011003mxHmxHyxHyxHxH，使之满足插值条件求插值多项式01010101 ,( )( )x xxxxyyf xfxmm设给定区间两端点处的函数值与导数值如下表所示。由于给出了四个条件，故可以唯一定出一个三次多项式，不妨设 . )()()()()()()()()(1100110011003xxxxmxmxyxyxxH与，与

9、因此问题归结于构造 )( ,)( )(,)( )( 110011003mxHmxHyxHyxHxH，使之满足插值条件求插值多项式由于给出了四个条件，故可以唯一定出一个三次多项式，不妨设 . )()()()()()()()()(1100110011003xxxxmxmxyxyxxH与，与因此问题归结于构造采用基函数法应是三次多项式；，首先，插值基函数)()()()(1100 xxxx应满足条件，其次，由插值条件知) 1 , 0()()(ixxii)1 , 0,() 1 (01)(, 0)(0)(,01)(jijijixxxjijixijjijijiijji) 1 ()1 , 0,(01)(, 0

10、)(0)(,01)(jijijixxxjijixijjijijiijji采用基函数法),; 1 , 0,()()() 1 , 0()()(22jijixxxxxlixxjijiii，取，为了构造)()()()()()()()(122xlxxcxxlbxaxxxijxxxiiiiiiiiiiiij（的一重零点，故可令是的二重零点，是）知，由条件（上式显然是二次多项式满足知，这些系数。例如，由可确定，是待定常数。由条件知其中，0000001,0)(1)(1)(1)() 1 , 0(,baxxxxicbaiiiiii0)()21000000000 xlbxaabxa（0)()21000000000

11、xlbxaabxa（0100010212xxxbxxa解得21010100)(21 ()(xxxxxxxxx从而有20101011)(21 ()(xxxxxxxxx类似可求得210100000)()(, 1, 1)xxxxxxxcx从而有可得出（再由201011111)()(, 1, 1)xxxxxxxcx从而有可得出（再由)()()()(22xlxxcxxlbxaxiiiiiiii（1100110031100)()()()()( )()()()(mxmxyxyxxHxxxx代入到与，与将上述求得的埃尔米特插值多项式。这就是应用广泛的三次 .)()( 2121)(120101021010120

12、10101021010103mxxxxxxmxxxxxxyxxxxxxxxyxxxxxxxxxH1100110031100)()()()()( )()()()(mxmxyxyxxHxxxx代入到与，与将上述求得的2.5.2 2.5.2 一般埃尔米特（一般埃尔米特（Hermite)Hermite)插值多项式插值多项式(1) ., 1 , 0 ,)( ,)( )(12 , 1 , 0,)()()(1,)(12121210nimxHyxHxHnnimxfyxfbxxxaxnbaxfiiniinniiiini满足次的多项式一个次数不超过给定时，要求和导数值处函数值个节点上的在区间当函数),1 , 0)

13、()(nixxii，和数采用基函数法确定基函 12)()()2()()()()(10123次的多项式，且满足都是次数不超过与其中，可设仿照前面的nxxmxyxxHxHiiniiiniiin(3) ), 1 , 0,( )( , 0)( ; 0)( ,)( njixxxxijjijijiijji ),()()( 2xlbaxxii令 ).(1)(21)( 20 xlxxxxxinikkkiii ),()()( 2xlxxAxiii令 ).()()( 2xlxxxiii)2()()()(1012niiiniiinmxyxxH(3) ), 1 , 0,( )( , 0)( ; 0)( ,)( nji

14、xxxxijjijijiijji 2)()(），得代入式（与将上述求得的xxii. )()()(1)( 21 m)(y)()(00i2200ii12niniiiiinikkkiiniiinmxlxxyxlxxxxxxxH .唯一性，. ),(5.6) ),()!22()()()()( ),(22),()(2)22(12)22(1xbaxnfxHxfxRxfnbaxfnnnn且依赖于其中插值余项为则阶导数内有在插值区间若尔米特插值多项式：时，应用广泛的三次埃当1n .)()( 2121)(12010102101012010101021010103mxxxxxxmxxxxxxyxxxxxxxxyx

15、xxxxxxxxH. )()()(1)( 21 m)(y)()(00i2200ii12niniiiiinikkkiiniiinmxlxxyxlxxxxxxxH ).,( ,)()(! 4)( )()()( 102120)4(33xxxxxxfxHxfxR余项为2.5.3 2.5.3 利用重节点的差商构造埃尔米特利用重节点的差商构造埃尔米特（Hermite)Hermite)插值多项式插值多项式书上P36 例2.63( ),0(0)= 1(0)=21(1)=0(1)=10H xxHHxHH例：求一个 次插值多项式使时，；而当时，并写出插值余项的表达式。问：这种方法和前面方法得到的插值多项式是否相同

16、？2.三点三次带一个导数值的插值多项式 P342.6 2.6 分段低次插值法分段低次插值法一、高次插值的病态性质一、高次插值的病态性质龙格(Runge)现象.二、分段线性插值二、分段线性插值所谓分段线性插值就是用通过插值点的折线段逼近f(x).)(,)( (3) , 1 , 0,)( (2) ,)( (1) )(,max , ,11010分段线性函数分段线性函数xIxxxInkfxIbaCxIxIhhxxhffbxxxahkkhkkhhhkkkkknn则称上是线性函数在每个小区间满足求折线函数记上的函数值已知节点）（上在每个小区间由定义知6.1 , ,)( ,111111kkkkkkkkkkh

17、kkxxxfxxxxfxxxxxIxx(6.3) ., , 0),(,),0( ,)( ), 1 , 0,( ,)( (6.2) , )()( ,11111110jjjjjjjjjjjjjjkkjnjjjhxxxnjxxxxxxxjxxxxxxxxlnkjxlxlfxIba略去略去表示为其中上则在整个区间若用插值基函数表示）（或，得到误差估计时，记当6.4 .8| )()(|max , | )( |max2| )()(|max | )(|max,)(22122211hMxIxfxxxxMxIxfxfMbaCxfhbxakkxxxhxxxbxakkkk 0.)()()()()( |)(| )(|

18、)(| )( |)()()()()(| )()(| ,)(111111hhhxlxlfxfxlfxfxlxlfxlfxlxlxfxIxfbaCxfkkkkkkkkkkkkkkh时，另一方面，当).(| )()(| |,)()(hxfxfhxxxxbaxfh ，就有只要上的连续模，即对任意在是其中二、分段三次埃尔米特插值二、分段三次埃尔米特插值分段线性插值函数导数间断，若已知节点上函数值和导数，可构造一个导数连续的插值函数Ih(x)，满足.,)( (3) , 1 , 0,)(,)( (2) ,)( (1) 11上是一个三次多项式在每个小区间kkhkkhkkhhxxxInkfxIfxIbaCxI(

19、6.5) .)()( 21 21)(1211211121112111kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkhfxxxxxxfxxxxxxfxxxxxxxxfxxxxxxxxxI(6.6) , )()()( )(), 1 , 0( )()(,0njjjjjhhjjxfxfxIxInjxxba可表示为则及值基函数上定义一组分段三次插若在整个区间(6.7) ., , 0),(,21),0( ,21)( 111211112111jjjjjjjjjjjjjjjjjjjxxxnjxxxxxxxxxxxjxxxxxxxxxxxx略去略去其中(6.13) . 0| )(| max2735| )()(

20、| max xfhxIxfbxahbxa(6.8) ., , 0),(,)(),0( ,)()( 1112111211jjjjjjjjjjjjjjjxxxnjxxxxxxxxxjxxxxxxxxxx略去略去|),|(|(4/27) |)(| )(|)(| )( |)()( )()()()()(| )()(| 11111111kkkkkkkkkkkkkkkkkhffhfxfxfxfxxfxfxfxfxxxfxIxf分段低次插值只能保证各段曲线在节点上的连续性，而不能保证整条曲线在节点上的充分光滑性（即一阶二阶导数存在）。2.7 2.7 样条插值样条插值.,)(, 2);3, ) 1:)( 101

21、10三次样条函数三次样条函数定义4定义4上的是节点则称直到二阶的连续导数在每一个内节点上具有次的多项式是一个次数不超过在每个小区间满足函数，若存在对于给定节点njjnxxxxsxxxsbxxxa一、样条插值的概念一、样条插值的概念.)(7.1 , 0,)( )3), 0()(三次样条插值函数三次样条插值函数是则称）（并满足若在节点上给定函数值xsnjyxsnjyxfjjjj 注：三次样条与分段Hermite 插值的根本区插值的根本区别在于别在于S(x)自身光滑，不需要知道自身光滑，不需要知道f 的导数的导数值（除了在值（除了在2个端点可能需要）；而个端点可能需要）；而Hermite插值依赖于插

22、值依赖于f 在所有插值点的导数值。在所有插值点的导数值。:)(的确定三次样条插值函数xs.),(,),()(1101nnnxxxxsxxxxsxs.44,1个参数个待定系数，共上要确定在每个nxxjj）（上满足连续性条件内节点因二阶导数连续，故在7.2 ) 1, 1( ).0()0( ),0()0(),0()0( njxsxsxsxsxsxsxjjjjjjj.24个条件再加上插值条件，共n.2边界条件边界条件点加上个条件，通常在两个端还需:常见三种边界条件.)(,)(:00nnyxsyxs第一种边界条件.)(,)(:00nnyxsyxs 第二种边界条件. 0)(, 0)(:,0 nxsxs自然

23、边界条件特别地.)0()0( ,).0()0( ),0()0( :0000已经成立故注意：因插值条件边界条件）第三种边界条件（周期 nnnnxsxsyyxsxsxsxs二、三次样条插值函数的建立二、三次样条插值函数的建立.用三弯矩法和三转角法求三次样条插值函数常(7.6) ,)()()( 0njjjjjxmxfxs.,数，得到三次样条插值函对角方程组，求出的三，可得关于连续性条件和边界条件由插值条件jjmm埃尔米特插值多项式，根据分段三次三转角法：假定 , ), 0()(njmxsjj. , 0,)( 1jjjjjxxhnjMxs 三弯矩法：令）（则7 . 7 ., ,)( 111 jjjjj

24、jjjxxxMhxxMhxxxs ,2)(2)()(11221cMhxxMhxxxsjjjjjj ,6)(6)()(211331cxcMhxxMhxxxsjjjjjj,61)( ,61)(1211121212jjjjjjjjjjycxcMhxsycxcMhxs. )(61),(6111112111jjjjjjjjjjjjjjjjMxMxhhxyxycMMhhyyc)8 . 7( ,)6()6( 6)(6)()(211121331jjjjjjjjjjjjjjjjhxxhMyhxxhMyMhxxMhxxxsjjjjjjjjjjjjhMMhyyMhxxMhxxxs62)(2)()( 111221)0

25、()0(: , 0jjnxsxsMM要用导数连续条件为了求,63) 0( 11jjjjjjjjhyyMhMhxs,36)0( 111jjjjjjjjhyyMhMhxs, 1, 1 ,6361111111njhyyhyyMhMhhMhjjjjjjjjjjjjj.36)0( 11111jjjjjjjjhyyMhMhxs.,6, , 1, 1 ,2 1111111jjjjjjjjjjjjjjjjjjxxxfdhhhhhhnjdMMM其中00001010000110000:)(6263) 0(dfhyyhMMfhyyMhMhxsnnnnnnnndhyyfhMM:)(62 1111在第一边界条件下：)13. 7( ,2122121101101111nnnnnnddddMMMM.,00nnfMfM 在第二边界条件下：)13. 7( ,222211220111221122221 nnnnnnnnnfdddfdMMMM.,6,2 110100111100 xxxfdhhhhhhdMMMMMxxnnnnnnnnnnnnnnn其中，并且，就有意在第三边界条件下：注)16. 7( ,22221