第八章-相干变换与检测

1、第一节相干变换与检测的原理第二节相干信号的相位调制与检测第三节相干光外差检测原理与方法一、光学干涉和干涉测量二、干涉测量中的调制和解调相干探测又称为光外差探测相干探测又称为光外差探测，其探测原理与微波及无，其探测原理与微波及无线电外差探测原理相似。相干探测与直接探测比较，线电外差探测原理相似。相干探测与直接探测比较，它的灵敏度达到了量子噪声限，可探测单个光子，进它的灵敏度达到了量子噪声限，可探测单个光子，进行光子计数。相干探测在激光通信、雷达、测长、测行光子计数。相干探测在激光通信、雷达、测长、测速、测振、光谱学等方面应用广泛，显然，用相干探速、测振、光谱学等方面应用广泛，显然，用相干探测方式

2、探测目标或相干通信的作用距离比直接探测远测方式探测目标或相干通信的作用距离比直接探测远得多。而相干光源得多。而相干光源激光激光受大气湍流效应的影响严受大气湍流效应的影响严重，破坏了激光的相干性。因而目前远距离相干探测重，破坏了激光的相干性。因而目前远距离相干探测在大气中应用受到限制，但在外层空间特别是卫星之在大气中应用受到限制，但在外层空间特别是卫星之间，通信联系已达到实用阶段。间，通信联系已达到实用阶段。相干探测的原理相干探测的原理当偏振方向相同、传播方向平行且重合的两束光垂直入射到光混频器上时，假设一束是频率为 的本振光，另一束是频率为 的信号光，光混频器可在频率 、 和频 差频 处产生输

3、出。但在实际情况下，光频 、 和 极高，远远超出相干探测系统的响应频率范围。因此在光混频器的输出中只需考虑频率较低的差频项，亦即中频信号。这个中频（差频）信号包含了信号光所携带的全部信息。图855示出了相干探测的原理图。LfSfLSLSLSLSLS两个光电场的标量分别为 cosSSSSEtAt cosLLLLEtAt在光混频器光敏面上总的电场为 coscostSSSLLLE tAtAt由于光混频器的输出与入射的光强或光电场的平方成正比，所以光混频器输出的光电流为 22PtSLiEtEtEt写成等式并展开，则有 22222coscosPtSSSLLLiEtAtAtcoscosSLLSLSSLLS

4、LSA AtA At2cos22SLPSLLSLSPPiP Pt用平均信号光功率 和平均本振光功率 表示SPLP如果把信号的测量限制在差频的通带范围内，则可得到通过以为中心频率的带通滤波器的瞬时中频电流为2cosIFSLLSLSiA AtIF在中频滤波器输出端，瞬时中频电压为2cosIFSLLLSLSVA A Rt在中频滤波器输出端输出的有效中频功率就是瞬时中频功率在中频周期内的平均值，即222IFIFSLLLVePP P RRhv有效中频功率与信号光平均光功率和本振光信号平均光功率乘积有关。下面进一步考虑信号光场为调幅信号，即由光波振幅携带信息时，相干探测的输出信号。调幅光波表示为 011c

5、oscosSnnnSSnEtAmt 001coscos2nSSSnSnnm AAtt01cos2nSnSnnm At信号光的频率当调幅信号光与平面本振光相干后，其瞬时中频电流为0cosIFLLSLSiA At01cos2nLLSnLSnnm AAt01cos2nLLSnLSnnm AAt 光电探测器转换的信号点源正比于瞬时中频电流，的频谱如图857所示。LSLS相干探测的特点相干探测的特点从理论上讲，在探测能力方面相干探测与直接探测相比，有如下几个特点。1. 转换增益高转换增益高 相干探测时，光电探测器经单位电阻输出的信号功率为22IFSLePPPhv直接探测时，光电探测器经单位电阻输出的信号

6、功率为22PSeSPhv在同样信号光功率条件下，这两种探测方法所得到的信号功率比G（转换增益）为2IFPLSGPSPP2. 可获得全部信息可获得全部信息 在直接探测中，光探测器输出的光电流随信号光的振幅或强度的变化而变化，光探测器对信号光的频率或相位变化不响应。在相干探测中，光电探测器输出的中频光电流的振幅 、频率 和相位 都随信号光的振幅、频率和相位的变化而变化。3. 良好的滤波性能良好的滤波性能 在直接探测过程中，光探测器除接收信号光以外，杂散背景光也不可避免地同时入射到光探测器上。为了抑制杂散背景光的干扰，提高信号噪声比，一般都要在光探测器的前面加上孔径光阑和窄带滤光片。相干探测系统对背

7、景光的滤波性能比直接探测系统要高。因为相干接受是要求信号光和本地振荡光空间方向严格调准，而背景光的入射方向是杂乱的，不能满足空间调准要求，于是就不能得到输出。SLA ALSLS举例：举例：如果取差频信号宽度 为探测器后面放大器的通频带 ，即 ，那么只有与本地振荡光束混频后相干信号落在此频带内所对应的杂光才可以进入系统，其它杂光所形成的噪声均被放大器滤掉。因此，相干探测系统中不加光谱滤光片其效果仍比加滤光片的直接探测系统好得多。例如，目标沿光束方向的运动速度 ，对于10.6 的CO2激光，经目标反射后回波的多普勒频率 为()/2SLf()/2SLSLfff 0 15m/sv mSf21SLffc

8、则信号光束与本地振荡光束的差频为222SLLLLcfffcc可以求得63 10 HzSLff 如果直接探测加光谱滤光片，滤波片带宽为1.0nm,所对应的带宽为2192121 223 10 Hzccfff 滤若取放大器的带宽 为最大频移，则3MHzf相两种情况带宽之比310ff滤相可见，相干探测对背景光谱有很好的抑制作用可见，相干探测对背景光谱有很好的抑制作用f相4. 有利于微弱光信号的探测有利于微弱光信号的探测 在直接探测中光探测器输出的光电流正比于信号光的平均光功率，即光探测器输出的电功率正比于信号光平均光功率的平方。在相干探测中光混频器输出的中频信号功率正比于信号光和本振光平均光功率的乘积

9、。假定光混频器具有内部增益G，光混频器的中频输出功率为222IFSLLePG P P Rhv在光外差探测系统中遇到的噪声与直接探测系统中的噪声基本相同，存在多种可能的噪声源。在此只考虑不可能消除或难以抑制的散粒噪声和热噪声两种。在带宽为 的带通滤波器输出端，电噪声功率为224PSLBDIFLIFeNG ePPPIf RkT fhvIFf中频滤波器输出端的信号噪声（功率）比为2222SLLIFIFPIFSLBDLIFeGP P RPShveNNG e fPPPIRkT fhv当本振光功率 足够大时，上式分母中由本振光引起的散粒噪声远远大于所有其它噪声，则上式简化为LPSI FI FPSNh vf

10、这是光外差探测系统所能达到的最大信噪比，一般把这种情况称为光外差探测的量子探测极限或量子噪声限。对于热噪声为主要噪声源的系统来说，要实现量子噪声限探测，必须满足22LIFLIFePfRkTfhv由此得到22LLk T h vPeR若令 ，则可求得相干探测的噪声等效功率NEP值为1IFSNIFh vfN E P相干探测的的空间条件和频率条件相干探测的的空间条件和频率条件影响相干探测灵敏度的因素很多，诸如本振场的频率稳定度、噪声；信号光波和本振光波的空间调准及场匹配、光源的模式；传输通道的干扰以及电子噪声等都影响探测灵敏度。在这一小节我们只考虑相干探测的空间条件和频率条件。1、相干探测的空间条件相

11、干探测的空间条件 在相干探测原理一节中，曾假定信号光束和本振光束重合并垂直入射到光混频器表面上，亦即信号光和本振光的波前在光混频器表面上保持相同的相位关系，据此导出了通过带通滤波器的瞬时中频电流。这就要求信号光和本振光的波前必须重合，也就是说，必须保持信号光和本振光在空间上的角准直必须保持信号光和本振光在空间上的角准直。 图8-58 相干探测的空间关系为了研究两光束波前不重合对相干探测的影响，假设信号光和本振光都是平面波，信号光波前和本振光波前之间有一夹角，如图858所示。为简化分析，假定光混频器的光敏面是边长为d的正方形。在分析中，假定本振光沿垂直于光混频器表面的方向入射，因此，令本振光电场

12、为 cosLLLLEtA由于信号光与本振光波前有一失配角 ，所以信号光斜入射到光混频器表面，在光混频器接收面上沿x方向各点的相位是不同的，可将信号光电场写为 2sincosSSSSSEtAtx12sinS令 则 1cosSSSSEtAtx入射到光混频器表面的总电场为 tSLEtEtEt于是光混频器输出的瞬时光电流为 2/2/2/2/22 sincoscosddPSSSLLLddSitAtxAdxdy经中频滤波器后输出端瞬时中频电流为 /2/2/2/22 sincosddIFSLLSLSddSitA Atx dxdy 积分上式得211cossin22IFSLLSLSddid A At由于 ，所以

13、瞬时中频电流的大小与失配角有关。显然 时瞬时中频电流达到最大值，此时要求 亦即要求失配角 。即要求失配角 ， 由于实际原因， 角很难调整到零，为了得到尽可能大的中频输出，总是希望因子 尽可能接近于1，要满足这一条件，只有12sinS11sin122dd102d011sin22dd112d即sinSd失配角与信号波长成正比，与光混频器的尺寸成反比。相干探测的空间准直要求是非常严格的。在红外波段光外差探测比在可见光波段有利的多。2、相干探测的频率条件、相干探测的频率条件 为了获得高灵敏度的相干探测，还要求信号光和本振光具有高度的单色性和频率稳定度单色性和频率稳定度。从物理光学的观点来看，相干探测是

14、两束光波叠加后产生干涉的结果。显然，这种干涉取决于信号光束和本振光束的单色性。所谓光的单色性是指这种光只包含一种频率或光谱线极窄的光。激光的重要特点之一就是具有高度的单色性。 信号光和本振光的频率漂移如不能限制在一定范围内，则相干探测系统的性能就会变坏。这是因为，如果信号光和本振光的频率相对漂移很大，两者频率之差就有可能大大超过中频滤波器带宽，因此，光混频器之后的前置放大和中频放大电路对中频信号不能正常地加以放大。所以，在光相干探测中，需要采用专门措施稳定信号光和本振光的频率，这也是使相干探测方法比直接探测方法更为复杂的一个原因。二、干涉测量中的调制和解调图8-2干涉仪的等效框图一、相位调制的

15、干涉系统二、干涉条纹的检测方法三、二次相位调制与干涉图分析一、相位调制的干涉系统图8-3典型光学干涉仪原理示意图a)迈克尔逊干涉仪b)吉曼干涉仪c)马赫-泽德干涉仪d)萨古纳克干涉仪e)法布里-珀罗干涉仪二、干涉条纹的检测方法(一)条纹光强检测法(二)干涉条纹比较法(三)干涉条纹跟踪法二、干涉条纹的检测方法图8-4条纹光强检测a)原理示意图b)波形图(二)干涉条纹比较法图8-7条纹跟踪法干涉系统示意图(二)干涉条纹比较法图8-8条纹扫描干涉法二次相位调制a)原理图b)方框图30相干光学信息处理采用的方法多为频域调制，即对输入光信号的频谱进行复空间滤波，得到所需要的输出 相干光学信息处理系统的结

16、构是根据具体的图像处理要求而定的，这里只介绍最基本的一种。由于相干处理是在频域进行调制，通常采用三透镜系统 输出平面上将得到输入图像与滤波器逆变换的卷积 u 3= F-1T(fx，fy)F(fx，fy) = F-1T(fx，fy) * F-1F(fx，fy) = t(x，y)* f(x，y) 式中 f（x，y）= F-1F（fx，fy） 31利用正交光栅调制输入图像的频谱，可以得到多重像的输出 正交朗奇光栅的频谱形成一个Sinc函数的阵列，可近似看成是函数阵列，物函数与之卷积的结果是在P3平面上构成输入图形的多重像32将两个需相减操作的图像A、B对称地置于输入面上，中心分别在x0+ l处；频谱

17、面上置一正弦型振幅光栅，其线密度 0 （亦称空间频率）应满足关系式；0 = l /f，其中f为透镜焦距，为光源的波长。一定条件下在输出面的原点处可得到A、B图像相减的结果正弦型光栅的频谱包括三项：零级、正一级和负一级。使A的正一级像与B的负一级像在像面原点重叠 当两者位相相反时，得到相减的结果 当两者位相相同时，得到相加的结果通过改变调制光栅在频谱面的横向位置，控制两者的位相关系。当调制光栅的1/4周期处于原点位置时，可在像平面得到相减结果；而当调制光栅的零点处于原点时，可在像平面得到相加结果33 34所谓复合光栅，是指两套取向一致、但空间频率有微小差异的一维正弦光栅迭合在同一张底片上制成的光

18、栅，设两套光栅的空间频率分别为0和0-，由于莫尔效应，在复合光栅表面可见到粗大的条纹结构，称为“莫尔条纹”。将图像A、B对称置于输入面上坐标原点两侧，间距为x，并使它与x满足关系式 x = f 在频谱面后得到复合光栅透过率G与图像频谱的乘积 u 2= TG 式中T表示将A、B看成是同一幅图像时的频谱，P3 平面上的光扰动应为 u 3 = F -1T * F-1 G 因为G是两套光栅复合而成，因而它的傅里叶逆变换应包括六项，即每套光栅都各有一个零级，一个正一级和一个负一级衍射斑，出现六重图像 35当复合光栅相对坐标原点的位移量恰等于半个莫尔条纹时，两个正一级像的位相差等于，该处得到图像A、B的相

19、减结果；而当复合光栅恢复到坐标原点位置时，两个像的位相差为0，得到图像A、B的相加的结果 。36图像相减操作在许多方面已经得到应用：通过对卫星拍摄的照片的图像相减处理，可用于监测海洋面积的改变、陆地板块移动的速度用于对各种自然灾害灾情的监测，如森林大火、洪水等灾情的发展，地壳运动的变迁，如山脉的升高或降低对侦察卫星发回的照片进行相减操作，可提高监测敌方军事部署变化的敏感度和准确度又如对人体内部器官的检查，可通过不同时期的X 光片进行相减处理，及时发现病变的所在用于检测工件的加工，可通过与标准件图片的相减结果检查工件外形加工是否合格，并能显示出缺陷之所在 37光学微分的光路系统仍采用4f 系统，

20、待微分的图像置于输入面的原点位置，微分滤波器置于频谱面上设输入图像为t0(x0，y0)，它的傅里叶频谱为T(fx，fy)，输出图像是T(fx，fy)的逆变换，若想得到图像的微分输出，那么在P2平面后的光扰动必须满足 根据傅里叶变换微商定理 置于频谱面上的滤波器的振幅透过率应为 G（xf，yf）=j2 xf /f ) , (xyxtuF2( , )2,xxyt x yjf T ffxF38微分滤波器可用光学全息方法，也可用计算全息方法制作。光学全息方法制作全息微分滤波器实际上是作复合光栅，制作复合光栅的光路如下图示。第一次曝光时，干板对于两束光呈对称状态；第二次曝光前将平台转过一微小角度，曝光后

21、经处理便得到复合光栅，也就是微分滤波器。 39置于原点的物的频谱受一个复合光栅调制后，在输出面可得到六个衍射像：两个零级像在原点，两套正、负一级像对称分布于两侧。两个同级衍射像沿x方向只错开很小的距离。当复合光栅位置调节适当时，可使两个同级衍射像正好相差位相，相干迭加时重叠部分相消，只余下错开的部分，因而转换成强度时形成很细的亮线，构成了光学微分图形。40实际上，光学微分是用差分近似的结果，原理和图像相减是一回事。人的视觉对于轮廓十分敏感，轮廓也是物体的重要特征之一，只要能看到轮廓线，便可大体分辨出是何种物体。因而将模糊图片进行光学微分，得出轮廓来进行识别，可以大大压缩图象的信息量提取轮廓的其

22、它方法也由光学微分发展而来微分滤波用于位相物，也有应用价值。例如，用光学微分检测透明光学元件内部缺陷或折射率不均匀性，用于检测位相型光学元件的加工是否符合设计要求等等 41光学图像的特征加以识别，是图像处理的一个重要的应用方面这种识别大多体现在输出光信号出现较高的峰值，即其自相关出现较其它信号强得多的峰值进行光学图像的特征识别处理，采用4f 系统较为方便，下图是特征识别系统示意图 42特征识别的关键元件是匹配滤波器，用其产生自（互）相关信号匹配滤波器的振幅透过率F(fx，fy)与输入信号t0(x0，y0)的傅里叶变换T0(fx，fy)应相互共轭，数学表示为 F(fx，fy)= T0*(fx，f

23、y)= F t0(x0，y0)*将匹配滤波器置于4f系统的P2 平面，P2 后的光场为： u2 = T0(fx，fy) T0*(fx，fy) 在P 3平面上得到 u3 = t0(x，y)* t0*(-x，-y)= t0(x，y)t0(x，y)这是物的自相关，呈现为一个亮点。若输入光信号t(x0，y0) t0(x0，y0)，则P3 平面得到 u3 = t(x，y)* t0*(-x，-y) = t(x，y)t0(x，y)是两个不同图像的互相关运算，在P3平面上呈现为弥散的亮斑。43匹配滤波器是物函数的傅里叶变换的复共轭，可用计算全息方法制作，也可用光学全息法制作光学全息制作的方法：先将与之匹配的目

24、标物t0（x0，y0）制成透明片，再用光学全息法制作它的傅里叶变换全息图（第5章5.4.4P139） 其振幅透过率函数为 F(fx，fy)= (T+R)(T+ R)* = T(fx，fy)2 + R02 + R0 T(fx，fy)exp(-j2 fx b) + R0 T *(fx，fy)exp(j2 fx b) 式中fx = x /f，fy = y /f 为空间频率，R是参考波，R是它的傅里叶变换，b是参考点源的位置参数，式中第四项内的T *（fx，fy）就是要求的匹配滤波器的振幅透过率由于第四项内的exp(j2fxb)在匹配滤波后,得到的相关亮点将位于- b处44光学图像识别的应用十分广泛：

25、指纹识别文字资料中特殊信息的提取智能机器人对目标图像的识别智能机械手对传送带上不合格零件的识别和剔除空中飞行物的识别用傅里叶变换匹配滤波手段进行图像的特征识别处理有其局限性，对被识别图像的尺寸缩放和方位旋转都极其敏感为了解决这一困难又发明了多种实现特征识别的变换手段：梅林变换解决物体空间尺寸改变的问题利用圆谐展开解决物体的转动问题利用哈夫变换实现坐标变换正在兴起的神经网络型光计算，在图像识别方面将更具应用前景 45 摄影中发生了移动，或由于云层或雾的干扰等都会引起照片的模糊。利用图像消模糊操作，可恢复清晰的图像 模糊图像可看成是一个理想图像和造成模糊的点扩展函数的卷积，表达为g模糊(x，y)=

26、 g理想(x，y)*(，) 将上式进行傅里叶变换，可得到各量频谱之间的简单乘积关系， G模糊(fx，fy)= G理想(fx，fy) H(fx，fy) 在4f系统的频谱平面放置一个逆滤波器H -1(fx，fy)，则在P2得到 u2(fx，fy) = G理想(fx，fy) H(fx，fy) H -1(fx，fy) = G理想(fx，fy)由于逆滤波器抵消了造成模糊的因素，在输出平面得到理想图像。 46H -1可用全息方法制作，但直接制作较为困难，可通过以下变换 用全息方法可分别制作H*和H-2 ，然后将两者对准迭合，便得到H-1H*可利用8.3.5中介绍的制作匹配滤波器的方法制作 ，而H-2可通过

27、控制照相底片处理过程中的条件实现。具体方法是将照相底片置于h（x，y）的频谱面上拍摄其频谱的全息图，化学处理时严格控制 值，使 = 2，这样便使底片透过率与H-2成正比 事先已知形成模糊的原因(例如位移速度或转动情况等)，可用数学方法得到h。而如果事先并不知道形成模糊的原因及有关数据，应设法用实验测量自适应光学图像消模糊的光学装置仍采用4f系统，g模糊置于输入面，逆滤波器H-1置于频谱面，在输出面上得到理想的消模糊图像 2211HHHHHHHHH47采用相干光源可以使光学系统实现许多复杂的光学图像的处理，但相干光对于系统中光学元件的缺陷、尘埃、污迹等都极其敏感,降低了它的处理能力非相干光源照明

28、，可以大大抑制相干噪声的产生非相干光源照明中各点的光振动之间没有固定的位相差，它们是统计无关的，因而该系统对复振幅不是线性的，只对强度是线性的大多数非相干处理系统都是根据几何光学原理设计的，因而操作较为简便,用非相干处理系统也可进行图像的多种运算和处理48用下图所示的系统可以很容易地实现两个图像的相乘和卷积运算。S是均匀非相干光源, 经透镜L成放大象于(x,y)平面上,使该平面得到均匀照明。将两张透明片紧贴，在平面后便可得到两者乘积 I (x, y) = k 1(x，y) 2 (x，y) 透镜L2的作用是将 (x，y) 平面上的图像成一缩小象投射在小的光电探测器D上，这时光电流的数值则正比于下

29、式 光电探测器上得到的便是两个图像的积分 dxdyyxyxkI),(),(2149下图是另一种实现两个图像的相乘和卷积运算的系统如果要适时更换透明片，则上图所示的系统更为方便。L2可以将（x1，y1）平面以放大率M=1成像于（x2，y2）平面上应该说明的是，置于（x1，y1）上的透明片应该倒置，形成 1 (-x1，-y1)，原因是L2成像后将使之坐标反转。D上产生的光电流值仍由同样的方程给出。50实现图像相关运算可有两种方法，一种仍采用上图所示系统，1仍然反置。令 1在x1方向上位移x0，在y1方向上位移y0，则D的光电流输出将正比于一个实函数的共轭函数与其本身是相同的，用1*代替1 ,上式可

30、看成是两者之间的相关运算，即 1 2 在（x0，y0）点的值。若使 1 沿x方向以速度v1匀速移动，则光电探测器将得到两者在y = y0处的一维相关运算。它是一个时间的函数若在x方向每扫描一次，图形就向上移动y1的距离，则得到光电流的一维阵列Im(vt)，这是一个完整的二维相关运算，当然它在方向是抽样的 卷积运算的实现只需把（x1，y1）平面上的1置于正方向 dxdyyxyyxxkIo),(),(201dxdyyxyyvtxkvtImm),(),()(2151另一种方法无运动，光源S置于L1前焦面上。1（x，y）倒置紧贴1后，在相距处放置 2（x，y），透镜 L2 紧贴其后，在L2后焦面上测量

31、强度分布，可得到卷积运算S面上点（- x，- y）发出的光，经L1后成为平行光透过 1照明 2 ，照明光强度分布正比于 1-x+( d/f )x, -y+( d/f )y。 经 2后由L2聚焦到焦平面（x，y）上。位于（x， y）的探测器测得的强度为 1212(,)( , )sssddIkxxyyx y dxdyff52非相光学信息处理技术还可以用于图像消模糊，图像相减等运算当采用白光作照明光源时，又极大地拓宽了非相干处理技术的应用范围，下一节将集中讲述白光信息处理的内容以几何光学为基础的非相干处理系统只能处理光的强度分布，即只能处理非负的实函数，在有些应用中会受到很大的限制由于系统完全是根据

32、几何光学原理设计的，对于细节过于丰富的图像，由于衍射效应其内含的高频信息往往会丢失，使得输出结果引入较大的偏差以几何光学为基础的非相干光学处理系统只能在保证几何光学定理成立的条件下才能使用 。53在用一维正弦光栅实现两个图象相加或相减的相干处理系统中，设图象A、B置于输入平面P1原点两侧，其振幅透过率分别为：tA（x1- l，y1）和 tB（x1+ l，y1）；P2平面上光栅的空间频率为f0，它与l的关系为：f0 = l /f，其中和f 分别表示入射光的波长和透镜的焦距；又设坐标原点处于光栅周期的1/4处，光栅的振幅透过率表示为： 试从数学上证明： 1）在输出平面的原点位置得到图象A、B的相减

33、运算； 2）当光栅原点与坐标原点重合时，在输出平面得到它们的相加运算。2202021(,)1exp(2)exp(2)222G xyjf xjf x54证明： 1）输入函数的频谱为透过光栅得到xyxAlfjffTT2exp,xyxBlfjffTT2exp,0202,exp2,exp211exp(2)exp(2)222xyxyxxyxTffTffjlfTffjlfjf xjf x 55在输出面上得到222222222222222222222222222222222222,2,221,21,21,221,2,21,21,21,21,21,ylxtylxtjylxtylxtyxtyxtjyxtylxtjylxtyxtjylxtylxtylxjylxjyxylxtylxtffTFyxtBABABABABABABAyx562）当光栅原点与坐标原点重合时，在输出平面得到它们的相加运算透过光栅得到在输出面上得到)2(exp)2(exp12