数学建模——线性回归分析实用教案

1、2022-6-231一、引言(ynyn) 2004年全国数模竞赛的B题 “电力市场的输电阻塞管理” 第一个问题： 某电网有8台发电机组，6条主要线路，表1和表2中的方案0给出了各机组的当前出力和各线路上对应的有功潮流值，方案132给出了围绕(wiro)方案0的一些实验数据，试用这些数据确定各线路上有功潮流关于各发电机组出力的近似表达式。 第1页/共81页第一页，共81页。2022-6-232表1 各机组(jz)出力方案 （单位：兆瓦，记作MW）方案方案机组机组123 4 5 6780120731808012512581.1901133.02731808012512581.1902129.637

2、31808012512581.1903158.77731808012512581.1904145.32731808012512581.190512078.5961808012512581.190612075.451808012512581.190712090.4871808012512581.190812083.8481808012512581.190912073231.398012512581.1901012073198.488012512581.1901112073212.648012512581.1901212073190.558012512581.190131207318075.857

3、12512581.190141207318065.95812512581.190151207318087.25812512581.190161207318097.82412512581.190171207318080150.7112581.190第2页/共81页第二页，共81页。2022-6-233181207318080141.5812581.190191207318080132.3712581.190201207318080156.9312581.190211207318080125138.8881.190221207318080125131.2181.190231207318080125

4、141.7181.190241207318080125149.2981.19025120731808012512560.5829026120731808012512570.9629027120731808012512564.8549028120731808012512575.5299029120731808012512581.1104.8430120731808012512581.1111.2231120731808012512581.198.09232120731808012512581.1120.44第3页/共81页第三页，共81页。2022-6-234表2 各线路的潮流值（各方案与表1相

5、对(xingdu)应，单位：MW）方案方案线路线路1234560164.78140.87-144.25119.09135.44157.691165.81140.13-145.14118.63135.37160.762165.51140.25-144.92118.7135.33159.983167.93138.71-146.91117.72135.41166.814166.79139.45-145.92118.13135.41163.645164.94141.5-143.84118.43136.72157.226164.8141.13-144.07118.82136.02157.57165.59

6、143.03-143.16117.24139.66156.598165.21142.28-143.49117.96137.98156.969167.43140.82-152.26129.58132.04153.610165.71140.82-147.08122.85134.21156.2311166.45140.82-149.33125.75133.28155.0912165.23140.85-145.82121.16134.75156.7713164.23140.73-144.18119.12135.57157.214163.04140.34-144.03119.31135.97156.31

7、15165.54141.1-144.32118.84135.06158.26第4页/共81页第四页，共81页。2022-6-23524167.69138.07-144.14119.19137.11157.6525162.21141.21-144.13116.03135.5154.2626163.54141-144.16117.56135.44155.9327162.7141.14-144.21116.74135.4154.8828164.06140.94-144.18118.24135.4156.6829164.66142.27-147.2120.21135.28157.6530164.714

8、2.94-148.45120.68135.16157.6331164.67141.56-145.88119.68135.29157.6132164.69143.84-150.34121.34135.12157.6416166.88141.4-144.34118.67134.67159.2817164.07143.03-140.97118.75133.75158.8318164.27142.29-142.15118.85134.27158.3719164.57141.44-143.3119134.88158.0120163.89143.61-140.25118.64133.28159.12211

9、66.35139.29-144.2119.1136.33157.5922165.54140.14-144.19119.09135.81157.6723166.75138.95-144.17119.15136.55157.59第5页/共81页第五页，共81页。2022-6-236 仔细分析题目，可以发现，该问题就是要找出各线路上有功潮流与8台发电机出力的函数关系，这在数学上是一个函数拟合问题。 对函数拟合，可以采用线性函数，也可以采用非线性函数，比如多项式函数，三角函数，指数函数等等。在给出具体(jt)问题的具体(jt)数据时，首先想到的还是最简单的方法下手，采用最简单的函数去拟合，也就是线性函

10、数来表达。1、模型(mxng)的分析第6页/共81页第六页，共81页。2022-6-237 由电网的拓扑结构，线路上的有功潮流由机组出力决定。又根据功率的叠加原理，各线路上有功潮流应为各发电机组出力的线性组合，考虑对所有实验数据采用最小二乘法进行(jnxng)线性拟合，从而得到各线路有功潮流关于各发电机组出力的近似表达式。第7页/共81页第七页，共81页。2022-6-2382、模型的建立、模型的建立(jinl)与与求解求解1266, ,l llL L设设 条条主主要要线线路路有有功功潮潮流流为为1288,x xxL L台台机机组组出出力力分分别别为为则则801,iiijjjlaa x L L

11、 i=1,2, ,6 i=1,2, ,6ija其其中中，是是待待确确定定的的系系数数。第8页/共81页第八页，共81页。2022-6-239 根据表根据表1 1和表和表2 2围绕方案围绕方案0 0的的1-321-32组实验组实验数数据，可以据，可以(ky)(ky)列出关于未知数的列出关于未知数的3232个方个方程的方程程的方程组，利用组，利用SASSAS或或MatlabMatlab编程求解方程组，得编程求解方程组，得第9页/共81页第九页，共81页。2022-6-2310还需要根据样本值运用假设检验来判断还需要根据样本值运用假设检验来判断(pndun)，以确定求得的回归方程是否有价值。以确定求

12、得的回归方程是否有价值。18,ilxxL L为为了了确确定定 和和之之间间是是否否有有线线性性关关系系， 在许多国际国内数学建模竞赛中，都有可能用到回归分析。因此，我们介绍线性回归分析的基本原理，对模型好坏的评价指标，可线性化的回归分析，利用统计软件的实现等具体(jt)问题。第10页/共81页第十页，共81页。2022-6-2311二、回归(hugu)分析方法 回归分析是研究一个或一组变量（因变量，结果(ji gu)）与另一些变量（自变量或回归变量，原因）之间的依存关系。 在回归模型中，若变量之间的关系是线性关系，称为线性回归模型，否则，称为非线性回归模型。 当自变量只有一个，称为一元线性回归

13、， 如果自变量有多个，称为多元线性回归。第11页/共81页第十一页，共81页。2022-6-23121 1、一元、一元(y (y yun)yun)线性回归线性回归一元一元(y yun)(y yun)线性线性回归模型为回归模型为01yx （1 1）012,(0,)N其其中中x x是是自自变变量量，y y是是因因变变量量，为为未未知知的的待待定定常常数数，称称为为回回归归系系数数， 是是随随机机误误差差，且且假假设设。1122(,),(,),(,)nnxyxyxy对对( (x x, ,y y) )的的一一组组观观察察值值011 2iiiyxin ， ，满足(mnz)NoImage212,(0,)n

14、iN L:L:其其中中相相互互独独立立，且且。第12页/共81页第十二页，共81页。2022-6-23130101,ii L L 如如何何根根据据样样本本观观察察值值( (x x , ,y y ) )( (i i= =1 1, , , ,n n) )来来求求的的估估计计值值？01220101,11()min()nniiiiiiyxyx 0101, 通通常常采采用用最最小小二二乘乘估估计计来来做做，也也即即选选取取的的估估计计值值使使其其随随机机误误差差的的平平方方和和达达到到最最小小，即即一元(y yun)线性回归第13页/共81页第十三页，共81页。2022-6-2314201011(,)(

15、)niiiQyx 011001112()02()0niiiniiiiQyxQyx x 则令正规(zhnggu)方程组一元(y yun)线性回归第14页/共81页第十四页，共81页。2022-6-2315整理整理(zhngl)得得0111201111nniiiinnniiiiiiinxyxxx y （2 2）一元(y yun)线性回归第15页/共81页第十五页，共81页。2022-6-2316其中其中(qz(qzhnhng)g)，1111,nniiiixxyynn 0111122211()()()nniiiiiinniiiiyxx ynxyxxyyxnxxx （3 3）参数(cnsh)的最小二乘

16、估计一元(y yun)线性回归第16页/共81页第十六页，共81页。2022-6-2317211() ,()(),nnxxixyiiiixxLxxyy记记 L L则则有有如如下下结结论论01 yx而而 称作y关于x的一元(y yun)经验回归方程。22001(1)(,();xxxNnL : :一元(y yun)线性回归第17页/共81页第十七页，共81页。2022-6-2318211201(2)(,);(3)(,)xxxxNLxCovL : :0101,显显然然，分分别别是是，的的无无偏偏估估计计量量。一元(y yun)线性回归第18页/共81页第十八页，共81页。2022-6-231901i

17、iyx记记 2 下下面面来来求求的的估估计计。,iiiyyx 称称为为 的的残残差差2201211()()22nniiiiiiyyyxnn 令令 （ （4）4）22则则是是的的无无偏偏估估计计量量。一元(y yun)线性回归第19页/共81页第十九页，共81页。2022-6-23202 2、多元、多元(du (du yun)yun)线性回归线性回归模型模型(mxng)(mxng)为：为： 201,n L L是是未未知知参参数数。011nnyxx （5 5）2(0,),N 其其中中12,12,(1, )(, )niiipipxxxyinx xxy LLLLLL设设（）是是的的 个个观观察察值值，

18、满满足足第20页/共81页第二十页，共81页。2022-6-23211011121211201212222201122ppppnnnpnpnyxxxyxxxyxxx （ （6）6）2(0,),1,2, .iNin 1nL L其其中中，相相互互独独立立，且且多元(du yun)线性回归第21页/共81页第二十一页，共81页。2022-6-2322令令01,p 12n 12,nyyYy 111212122212(1)11,1ppnnnpnpxxxxxxXxxx 多元(du yun)线性回归注意(zh y)：矩阵X的第一列全是1.第22页/共81页第二十二页，共81页。2022-6-2323YX （

19、7 7）则（6）可用矩阵(j zhn)表达为 选选取取 的的估估计计值值 ，使使得得随随机机误误差差的的平平方方和和达达到到最最小小，即即02011,1() ()min() ()= min()pTTniipipiYXYXYXYXyxx L LL L 多元(du yun)线性回归第23页/共81页第二十三页，共81页。2022-6-2324TTX XX Y （8 8）对应(duyng)正规方程组为 Xm18TX X 在在矩矩阵阵 的的秩秩等等于于，即即列列满满秩秩时时，可可逆逆，正正规规方方程程组组（ ）有有唯唯一一解解，得得参参数数的的估估计计值值为为1()TTX XX Y 在X不是列满秩时，

20、其解虽然(surn)不唯一，但对任意一组解都使得残差平方和最小。多元(du yun)线性回归第24页/共81页第二十四页，共81页。2022-6-2325TXX X 即即使使 列列满满秩秩，但但是是行行列列值值很很小小，这这时时正正规规方方程程组组会会变变成成病病态态方方程程，虽虽然然能能求求解解参参数数的的估估计计值值 ，但但是是由由于于误误差差很很大大，无无实实用用价价值值，此此时时称称这这些些变变量量之之间间具具有有多多重重共共线线性性，即即X X的的列列向向量量之之间间有有近近似似的的线线性性关关系系。多元(du yun)线性回归关于(guny)多重共线性的知识请参阅韩中庚数学建模方法

21、及其应用。第25页/共81页第二十五页，共81页。2022-6-2326 当当 p=1 p=1 时，多元线性回归就变成一元线性时，多元线性回归就变成一元线性回归分析回归分析(fnx)(fnx)了，这时参数的求解和误差的方了，这时参数的求解和误差的方差的无偏估计与一元得到的结论是一样的，类似差的无偏估计与一元得到的结论是一样的，类似地也有经验回归平面方程。地也有经验回归平面方程。22011211()()11nniiiiippiiyyyxxnpnp 2 类类似似地地，可可以以求求的的无无偏偏估估计计多元(du yun)线性回归第26页/共81页第二十六页，共81页。2022-6-23273 3、回

22、归、回归(hugu)(hugu)模型的假模型的假设检验设检验 在许多实际问题中，我们事先并不能断定因在许多实际问题中，我们事先并不能断定因变量与自变量之间是否确有线性关系，而前面建立变量与自变量之间是否确有线性关系，而前面建立的因变量与多个自变量间的线性关系只是一种假设，的因变量与多个自变量间的线性关系只是一种假设，尽管尽管(jn gun)(jn gun)这种假设常常不是没有根据的。这种假设常常不是没有根据的。这就意味，所求得的经验回归方程是否有实用价值，这就意味，所求得的经验回归方程是否有实用价值，需要经过假设检验才能确定。需要经过假设检验才能确定。第27页/共81页第二十七页，共81页。2

23、022-6-2328主要从以下主要从以下(yxi)(yxi)几个方面进几个方面进行检验：行检验： a、 回归方程的检验(jinyn)； b、 回归系数的检验(jinyn)； c、 回归好坏程度的度量。第28页/共81页第二十八页，共81页。2022-6-2329a a、回归方程的检验、回归方程的检验(jinyn)(jinyn)是否全为零。若全为零，则认为线性回归不是否全为零。若全为零，则认为线性回归不显著，否则认为线性回归显著。为此，在上显著，否则认为线性回归显著。为此，在上述模型述模型(mxng)(mxng)中作假设中作假设12,p012112:0:,ppHH不不全全为为零零 要检验(jin

24、yn)（6）的变量间有没有这种线性关系，只要检验(jinyn)p个系数第29页/共81页第二十九页，共81页。2022-6-2330考虑总偏差平方和，利用考虑总偏差平方和，利用(lyng)正规方程正规方程组，有组，有2211()()nniiiiiiSyyyyyy T T0112211,niiiipipiyyyxxxn 为了(wi le)构造检验统计量，记经验(jngyn)回归方程回归方程的检验第30页/共81页第三十页，共81页。2022-6-23312211()()nniiiiiyyyy 2211()()nneiiiiiSyySyy R R记记 , , TeRSSS则则 回归方程的检验(ji

25、nyn)第31页/共81页第三十一页，共81页。2022-6-2332 它是由自变量它是由自变量X X的取值变化且通过线性的取值变化且通过线性回归模型对回归模型对y y的影响的影响(yngxing)(yngxing)所构成所构成的误差平方和。的误差平方和。eS 称称为为残残差差平平方方和和。RS 称称为为回回归归平平方方和和。 它是由随机误差和其他未加控制(kngzh)的因素所引起的误差平方和。回归方程的检验(jinyn)第32页/共81页第三十二页，共81页。2022-6-23332212222122()(1),()( )niiiniiyySnpyySp e eR R0H在在成成立立的的条条

26、件件下下，可可以以证证明明eRSS且且与与相相互互独独立立。回归方程的检验(jinyn)第33页/共81页第三十三页，共81页。2022-6-2334( ,1)1SpFF p npSnp R Re e构造(guzo)检验统计量为FeS 当当自自变变量量和和因因变变量量之之间间符符合合线线性性回回归归模模型型时时，残残差差平平方方和和 比比较较小小，上上述述统统计计量量的的取取值值有有偏偏大大倾倾向向，否否则则， 的的取取值值很很可可能能偏偏小小。回归方程的检验(jinyn)第34页/共81页第三十四页，共81页。2022-6-2335( ,1)FFp np ( ,1)FFp np 反反之之，若

27、若 相应(xingyng)的检验法则为： 对对事事先先给给定定的的检检验验水水平平 ，若若0H则则拒拒绝绝，即即认认为为各各系系数数不不为为零零，线线性性回回归归方方程程显显著著；0H则则接接受受，即即认认为为各各系系数数都都为为零零，所所假假设设的的线线性性回回归归方方程程不不显显著著；回归方程的检验(jinyn)第35页/共81页第三十五页，共81页。2022-6-233601p,HL L在在拒拒绝绝的的情情况况下下，即即认认为为回回归归系系数数，不全为零，但这并不意味着每个自变量1,pXXyL L对对 的的影影响响都都相相同同，其其中中有有的的自自变变量量可能(knng)会起重要作用，而

28、有的可能(knng)起的作用不大或者不起作用。110Xy 例例如如，若若，则则对对 没没有有影影响响。因此，在通过前面的线性回归(hugu)模型的检验，1,pyXXL L认认为为 与与符符合合线线性性回回归归模模型型之之后后，回归方程的检验(jinyn)第36页/共81页第三十六页，共81页。2022-6-2337还有必要还有必要(byo)从线性回归模型中剔除那从线性回归模型中剔除那些次要的、些次要的、可有可无的自变量，只保留那些(nxi)起重要作用的自变量，以从新建立更为简练的线性回归(hugu)模型，使之有利于实际应用。回归方程的检验第37页/共81页第三十七页，共81页。2022-6-2

29、338b b、回归系数的检验、回归系数的检验(jinyn)(jinyn)01:0:0(1,2, )jjHHjp检验(jinyn)假设0jHxy原原假假设设未未被被拒拒绝绝，则则表表明明自自变变量量对对 的的作作用用不不显显著著，在在回回归归模模型型中中可可以以去去掉掉。01jHHxy当当拒拒绝绝，即即接接受受，则则表表明明对对 起起作作用用，在在回回归归模模型型中中不不能能去去掉掉。第38页/共81页第三十八页，共81页。2022-6-2339下面的任务是选取检验下面的任务是选取检验(jinyn)(jinyn)统计量。统计量。2(,)nYN XI 121()( ,() )TTTX XX YNX

30、 X E ,0,1,jjEjp由（7）所以(suy)，jj即即估估计计量量是是的的无无偏偏估估计计量量。回归系数的检验(jinyn)第39页/共81页第三十九页，共81页。2022-6-23401 ()TCX X ，2(,)jjjjNc (0,1)jjjjNc 22(1),Snp e e1jjcj 为为C C的的主主对对角角线线上上的的第第个个元元素素，则可以(ky)证明jeS 且且与与相相互互独独立立。注意：矩阵C的下标(xi bio)都是从0开始的！回归系数的检验(jinyn)第40页/共81页第四十页，共81页。2022-6-2341(1)1jjjeTt npc Snp 2(1),ttn

31、p 0H因因此此，在在成成立立的的件件下下， 对对于于检检验验水水平平 ，若若0jH 则则拒拒绝绝，即即认认为为显显著著的的不不为为零零。回归系数的检验(jinyn)第41页/共81页第四十一页，共81页。2022-6-2342 如果回归方程的检验结果是显著的，而且各个如果回归方程的检验结果是显著的，而且各个回归系数的检验结果都为显著时，说明回归系数的检验结果都为显著时，说明(shumng)(shumng)各个自变量对因变量的单纯影响都是显著的。各个自变量对因变量的单纯影响都是显著的。 若有回归系数经显著性检验为不显著时，说明若有回归系数经显著性检验为不显著时，说明(shumng)(shumn

32、g)其对应的自变量在回归方程中是不重要其对应的自变量在回归方程中是不重要的，此时应该剔除。的，此时应该剔除。2(1)ttnp 若若 0jH 则则接接受受，即即认认为为等等于于零零。回归系数的检验(jinyn)第42页/共81页第四十二页，共81页。2022-6-2343在对变量在对变量(binling)(binling)进行剔除进行剔除时，需要注意：时，需要注意：1 1）一次只能）一次只能(zh nn)(zh nn)剔除一个不显著的回归系剔除一个不显著的回归系数对应数对应的自变量，而且被剔除的自变量，应该是所的自变量，而且被剔除的自变量，应该是所有不显著的回归系数中的有不显著的回归系数中的tt

33、值最小者。值最小者。2 2）重新进行少一个自变量的多元线性回归分析。）重新进行少一个自变量的多元线性回归分析。回归系数的检验(jinyn)第43页/共81页第四十三页，共81页。2022-6-2344 前面(qin mian)说的是剔除变量，也会有变量因素考虑不周的情况，这时应该考虑引入新的变量，那么如何引入新的变量？ 对于模型的选择，目前普遍采用(ciyng)的是逐步回归法。也即，每引入一个变量，要进行逐个检验，将不显著的变量剔除。详细情况请参阅韩中庚数学建模方法(fngf)及其应用第九章。回归系数的检验第44页/共81页第四十四页，共81页。2022-6-2345c c、复相关系数、复相关

34、系数 对一个回归方程来说，即使回归显著，但还对一个回归方程来说，即使回归显著，但还涉及到回归好坏程度涉及到回归好坏程度(chngd)(chngd)的度量。对于的度量。对于一个因变量一个因变量和一组自变量之间相关程度和一组自变量之间相关程度(chngd)(chngd)，则要，则要采用的复相关采用的复相关系数来度量。系数来度量。 研究一个变量与多个变量的线性相关称为复研究一个变量与多个变量的线性相关称为复相关分析。相关分析。 第45页/共81页第四十五页，共81页。2022-6-234621eRTTSSRSS21SRe e残残差差平平方方和和越越小小，复复相相关关系系数数越越大大，且且0 0。 复

35、相关系数定义(dngy)为21R 越越接接近近 ，因因变变量量与与自自变变量量之之间间的的线线性性相相关关程程度度越越强强。复相关系数第46页/共81页第四十六页，共81页。2022-6-23472111eaTSnpRSn 但是复相关系数也有一些(yxi)缺点。当采用的自变量2eSR增增多多时时，其其就就会会减减少少，从从而而导导致致增增大大，而而有有些些自变量的引入可能(knng)是多余的。为了更准确地反映(fnyng)参数个数的影响，采用调整的2复复相相关关系系数数（adjust Radjust R ）, ,其其定定义义如如下下：221aRR与与越越接接近近 ，因因变变量量和和自自变变量量

36、之之间间线线性性相相关关程程度度越越强强。复相关系数第47页/共81页第四十七页，共81页。2022-6-23484 4、预测、预测(yc)(yc) 如果经检验，认为线性回归方程是可信的，而且如果经检验，认为线性回归方程是可信的，而且拟合的又好，那么拟合的又好，那么(n me)(n me)接下来就要用它进行预测。接下来就要用它进行预测。 12,pxxxxxxL L01020p01020p所所谓谓预预测测，是是指指当当20012000012,(0,)ppyxxxNyxxxX L:L:L L01020p01020p01020p01020p记记 时对y做区间(q jin)估计，即以一定的置信度预测y

37、的观察值的取值范围，也即y的预测区间。第48页/共81页第四十八页，共81页。2022-6-234920012(,)pyNxxx:L:L01020p01020p01,nyyyL L且且假假设设 与与相相互互独独立立。00,yy 相相互互独独立立，分分别别服服从从正正态态分分布布。001220011(,1()()pppijiijjijyNxxxcxxxxn :L:L01020p01020p 预测(yc)第49页/共81页第四十九页，共81页。2022-6-23500001111()()ppijiijjijdcxxxxn000(1)1eyyTt npSdnp : :1 对对给给定定的的置置信信度度

38、，有有2000(0,)yyNd : :因而(yn r)其中(qzhng)此时(c sh)预测第50页/共81页第五十页，共81页。2022-6-23510000022(1)(1)111eeSSP ytnpdyytnpdnpnp 000022(1),(1)11eeSSytnpdytnpdnpnp1y 0 0即即 的的置置信信度度为为的的置置信信区区间间为为预测(yc)第51页/共81页第五十一页，共81页。2022-6-23520,xx 显显然然，对对给给定定的的 ，越越靠靠近近样样本本均均值值0y 的的预预测测区区间间长长度度越越小小，预预测测效效果果越越好好。预测(yc)第52页/共81页第

39、五十二页，共81页。2022-6-2353三、可线性化的一元三、可线性化的一元(y yun)(y yun)非线性回非线性回归模型归模型 上面主要讲的是线性回归，而对于一元回归，上面主要讲的是线性回归，而对于一元回归，非线性回归的情形也是很常见的，对这些问题做回非线性回归的情形也是很常见的，对这些问题做回归就是曲线回归。归就是曲线回归。 配置曲线回归的一个基本方法是通过适当的变配置曲线回归的一个基本方法是通过适当的变量代换把非线性回归化为线性回归。具体如下量代换把非线性回归化为线性回归。具体如下(rxi)(rxi)：先画出观察值的散点图，通过与常见的函：先画出观察值的散点图，通过与常见的函数曲线

40、对比，经验的选择曲线类型。数曲线对比，经验的选择曲线类型。 常见的是下面六类曲线：常见的是下面六类曲线：第53页/共81页第五十三页，共81页。2022-6-2354（1 1）双曲线）双曲线 1bayx可线性化的一元非线性回归(hugu)模型第54页/共81页第五十四页，共81页。2022-6-2355（2 2）幂函数曲线）幂函数曲线(qxin)(qxin),0,0byaxxa可线性化的一元(y yun)非线性回归模型第55页/共81页第五十五页，共81页。2022-6-2356（3 3）指数）指数(zhsh)(zhsh)曲线：曲线：,0bxyaea可线性化的一元非线性回归(hugu)模型第5

41、6页/共81页第五十六页，共81页。2022-6-2357（4 4）倒指数）倒指数(zhsh)(zhsh)曲线：曲线：,0bxyaea可线性化的一元非线性回归(hugu)模型第57页/共81页第五十七页，共81页。2022-6-2358（5 5）对数）对数(du (du sh)sh)曲线：曲线：log ,0yabx x可线性化的一元非线性回归(hugu)模型第58页/共81页第五十八页，共81页。2022-6-2359（6 6）S S型曲线型曲线(qxin)(qxin)：1xyabe 可线性化的一元(y yun)非线性回归模型第59页/共81页第五十九页，共81页。2022-6-236021,

42、(0,)baNyx : :11,uvxy做做变变量量代代换换，则则上上述述模模型型转转化化成成2,(0,)vabuN : :(,)(1,2, ),iiu vin 设有模型(mxng)线性回归(hugu)模型：实验(shyn)数据按上面的变量代换算出可线性化的一元非线性回归模型第60页/共81页第六十页，共81页。2022-6-23612,ln(0,)bxyaeN: :1,ln ,uvyx可可做做变变量量代代换换lnAa 并并记记，则则有有2,(0,)vAbuN : :再按前面(qin mian)的线性回归公式计算参数估计，得1bayx当y与x适合(shh)模型可线性化的一元非线性回归(hugu

43、)模型第61页/共81页第六十一页，共81页。2022-6-2362 其他几种曲线都可通过适当的变量代换转化其他几种曲线都可通过适当的变量代换转化为线性回归为线性回归(hugu)(hugu)模型。这类回归模型。这类回归(hugu)(hugu)模模型就称为可线性化的一元非线性回归型就称为可线性化的一元非线性回归(hugu)(hugu)模模型。型。 2,(0,)bxyaeN : : 表面上看，该模型比上面的模型简单，然而它却无法化成线性回归，因为(yn wi)它是所谓本质上非线性的模型。可线性化的一元(y yun)非线性回归模型 值得注意的是，并非所有的曲线回归问题都可线性化，例如 第62页/共8

44、1页第六十二页，共81页。2022-6-2363 多项式回归的处理方法和前面多项式回归的处理方法和前面(qin mian)(qin mian)的曲线回归类似，通过变量转换化成多元线性回的曲线回归类似，通过变量转换化成多元线性回归来解决。归来解决。2yabxcx 其其实实，还还有有一一种种曲曲线线，这这样样的的回回归归称称作作。如如果果自自变变量量只只有有一一个个，称称为为一一元元多多项项式式回回归归；如如果果自自变变量量有有多多个个，称称为为多多元元多多项项多多项项式式回回归归式式回回归归。2012 mmy bbx b xb x L L对于一元(y yun)m次多项式回归， 212,mmxx

45、xxxxL L令令则则上上式式化化为为可线性化的一元非线性回归(hugu)模型第63页/共81页第六十三页，共81页。2022-6-236401122 mmybb xb xb x L L因此可以(ky)用前面的方法解决多项式回归问题。二元多项式回归处理方法类似。 值得注意的是，随着自变量个数的增加(zngji),多元多项式回归分析的计算量急剧增加(zngji)。因此，在多项式回归中较为常用的是一元二次多项式回归和一元三次多项式回归。 可线性化的一元非线性回归(hugu)模型第64页/共81页第六十四页，共81页。2022-6-2365四、软件应用四、软件应用 解决线性回归问题(wnt)的常用软

46、件有：Matlab，统计软件SPSS和SAS。SPSS的求解与SAS相同。这里介绍Matlab和SAS的求解方法。第65页/共81页第六十五页，共81页。2022-6-23661 1、线性回归、线性回归(hugu)(hugu)的的matlabmatlab实现实现 回归分析的求解回归分析的求解(qi ji)(qi ji)在在MatlabMatlab中可用中可用regressregress实现，其使用格式为：实现，其使用格式为：其中(qzhng)y为列向量，表示因变量的取值；X为矩阵，代表自变量的取值；(注意：第一列全是1)alpha为置信水平，缺省时取0.05。b,bint,r,rint,sta

47、ts = regress(y,X,alpha) b- 参参数数 的的估估计计值值，为为列列向向量量。bint-alpha 参参数数 的的置置信信度度为为（1 1）的的置置信信区区间间，第66页/共81页第六十六页，共81页。2022-6-2367 当置信区间包含当置信区间包含0 0时，说明该参数未通过时，说明该参数未通过(tnggu)T(tnggu)T检验，可认为检验，可认为0 0。r-残差向量(xingling)，取值为Y-X*b。rint-残差的置信度为1-alpha的置信区间。stats-回归方程的统计量，stats(1)为复相关系数， stats(2)为F值， stats(3)为F值对

48、应的概率值，stats(4)为误差(wch)方差的估计值。线性回归的matlab实现第67页/共81页第六十七页，共81页。2022-6-2368 对照前面所讲的参数意义，采用Matlab可方便(fngbin)求解该问题。第一个回归模型计算结果如下，其他类似。第 1条线路回归方程参数(cnsh):系数， 置信下限， 置信上限110.29651，109.37571，111.21731 0.08284， 0.08109， 0.08459 0.04828， 0.04432， 0.05224 0.05297， 0.05164， 0.05430 0.11993， 0.11684， 0.12303-0.0

49、2544，-0.02737，-0.02351 0.12201， 0.11939， 0.12463 0.12158， 0.11855， 0.12461-0.00123，-0.00335， 0.00090线性回归(hugu)的matlab实现第68页/共81页第六十八页，共81页。2022-6-2369统计量值R2=0.9995,F=5861.51944,p=0.00000方案0的原始(yunsh)值，预测值，相对误差百分比:164.7800 164.7120 0.0413140.8700 140.8238 0.0328-144.2500 -144.2051 0.0312119.0900 119.0412 0.0410线性回归(hugu)的matlab实现第69页/共81页第六十九页，共81页。2022-6-23702 2、SASv9SASv9求解求解(qi (qi ji)ji)过程过程（1 1）启动）启动(qdng)SAS(