二次曲面及其化简

1、二次曲面及其化简指导老师：许建楼答辩人：范逸雪QUADRATIC SURFACE AND ITS SIMPLIFICATION河南科技大学数学与统计学院河南科技大学数学与统计学院2016届毕业论文答辩届毕业论文答辩2017.6.7目 录CONTENTS二次曲面的化简二次曲面的分类绪论论文总结二次曲面化简方法的应用绪论研究意义国内外相关研究综述研究意义 17世纪以来，由于航海、天文、力学、经济、军事、生产的发展，以及初等几何和初等代数的迅速发展，促进了解析几何的建立，被广泛应用于数学的各个分支。在解析几何创立以前，几何与代数是彼此独立的两个分支。解析几何的建立第一次真正实现了几何方法与代数方法的

2、结合，使形与数统一起来，这是数学发展史上的一次重大突破。 而二次曲面是解析几何中重要的组成部分随着科学技术的日新月异，二次曲面及其化简不仅是数学上的一个重要概念，也是数学研究中的一个重要工具，是近年来数学解决实际问题常用的一种方法。因此研究二次曲面及其化简是很有实用价值的。主要体现在用哪种方法进行化简。我们既可以利用解析几何的二次曲线化简思路，也可以利用高等代数中的二次型化简的思路来达到化简的目的。 正是鉴于这些，二次曲面及其化简一直是一个值得我们去探索的问题。 我国对二次曲面的研究也有很长的历史了。所以我们现在学习到的课本已经是较为系统和全面的了。随着我国科学文化的发展，越来越多的领域可以通

3、过二次曲面来解决实际问题，同时也推动了二次曲面的大力发展，对二次曲面也有了更加深入和全面的研究。其中就有北京大学数学系讲授解析几何的讲师丘维声编著的解析几何。对于二次曲面的研究远远不止这些，通过查询数据库，可以查到近千条关于二次曲面的文献，每个热爱数学的人都在用自己微薄的力量在为数学做贡献，推动数学学科的进步与发展。 二次曲面及其化简在国外已有一定的研究。早在1704年，牛顿就对二次曲面进行了较系统的研究。之后，著名数学家欧拉又对二次曲面进行了详细讨论。由于科技的发展，更是为二次曲面及其化简的研究和应用开辟了广阔的前景。目前国外对二次曲面及其化简的研究也比较全面和深入。二次曲面的分类二次曲面的

4、分类 二次曲面的分类，按椭球面，双曲面，抛物面，二次锥面和二次柱面共分为十七种，在高等代数课程中，我们将得知二次曲面只有这十七种. 图1，图2，图3分别代表了椭球面，双曲面.左边两图则代表了抛物面二次曲面的化简代数方法几何方法Option 01Option 03Option04应用代数方法在直角坐标系下二次曲面的一般方程为 （2.1）令 以 来表示X的转置，则（2.1）可以写成 （2.2）由于A是实对称矩阵，则存在一个3级正交矩阵C，且 ,使是对角阵，作正交变换. 0 222321231312233222211dzbybxbyzaxzaxyazayaxa).,(,321332313232212

5、131211bbbbzyxXaaaaaaaaaAX.0dbXAXX1CACC,1CXX 或者 （2.3）那么公式（2.2）就化为 （2.4）根据上面的结果，有行列式为1的正交矩阵C使 也就是说，经过正交的线性替换可以使得式（2.4）变为其中 .111333231232221131211zyxccccccccczyx. 0)(111dXbCXACCX.000000321ACC. 0131211213212211dzbybxbzyx.),(,321321Cbbbbbb这样的话，新的方程将不再含有交叉项，现在可以按照 是否为零的情况，利用配方法即可将曲面的方程化为标准方程.比如说，当 全不为零时，取

6、于是曲面的方程就化为 其中321,321,.,331222121112bzzbyybxx, 0223222221dzyx.323222121bbbddOption 01We have many PowerPoint templates that has been specifically designed to help anyone that is stepping into the world of PowerPoint for the very first time.Option 02We have many PowerPoint templates that has been spec

7、ifically designed to help anyone that is stepping into the world of PowerPoint for the very first time.应用几何方法 为了对一般二次曲面进行化简，我们引入了右手直角坐标变换的方法.通过作右手直角坐标变换，使得二次曲面方程在新坐标系中的方程比较简单，易于辨认二次曲面的种类，且任一右手直角坐标变换都可由移轴和转轴得到.平面上二次曲面的一般方程为 （2.7）方程左端是 的二次多项式，记作 .把二次项部分记作 即 的矩阵即为. 0222 22244342414231312233222211azayax

8、ayzaxzaxyazayaxazyx,zyxF,.,zyx .,332313232212131211zyxaaaaaaaaazyxzyx.,zyx.332313232212131211aaaaaaaaaA 利用矩阵的乘法，可以把 写作其中矩阵称为二次曲面方程的矩阵，显然P是对称矩阵.令则P可以写作 再令 ，则 可以表示为zyxF, ,11 ,44342414343323132423221214131211zyxaaaaaaaaaaaaaaaazyxzyxF44342414343323132423221214131211aaaaaaaaaaaaaaaaP),(342414aaat.44aAPt

9、zyxt,zyxF, 于是方程（2.7）可以写成 （2.8） 由解析几何相关知识可得，经过转轴，新方程的二次项系数只与原方程的一次项系数及转角 有关，经过转轴，常数项不变，故我们只要选取适当的角度 ，就可以消除交叉项.此时方程将会化为 经过转轴消除交叉项后，便可通过配方作移轴.11 ,44aAzyxFtt011 ,44aAtt) 0.(02221144342414233222211aazayaxazayaxa333422241114aazzaayyaaxx. 0)(443334332224222111411aaazaaayaaaxa把二次曲面方程进一步化简.将上述方程配方得其中.3334222

10、411144444aaaaaaaa二次曲面化简方法的应用代数方法Option 01Option 02Option 04代数方法 例题 化简二次曲面 解 记 于是，矩阵A的特征多项式为 .从而，矩阵的特征值为 对应的特征向量为 . 0106662265222zyxyzxzxyzyx,511113131A.10 ,6, 6 , 6db2)3)(6(AE. 2, 3, 6321.0 , 3, 3,1, 1 , 12 , 1 , 121321 .03162213161213161 ,332211C作正交变换此时方程化为配方得作.0 , 36 , 0bC ,03162213161213161 111zyxzyx. 010362361212121yzyx. 012336212121zyx,030222111zyxzyx曲面方程就可化为标准方程这是双叶双曲面.相应的坐标变换公式为. 1236222222zyx .11103162213161213161 222zyxzyx论文总结 本文主要讲述了两个内容，一个是二次曲面的分类，另一个则是二次曲面的化简.在二次曲面的分类中，本文详细介绍了二次曲面的所有种类以及部分二次曲面的性质；而在二次曲面的化简中，本文提出了两种化简思路：一种是运用高等代数中二次型的相关知识来解决化简直角坐