正交矩阵的性质

1、高等代数 习题课 正交矩阵的性质讲课：杨忠鹏制作：林志兴 杨忠鹏 2003.06.05习题课习题课 正交矩阵的性质正交矩阵的性质一、正交矩阵的定义及简单性质一、正交矩阵的定义及简单性质二、有限维欧氏空间里的正交矩阵二、有限维欧氏空间里的正交矩阵三、正交矩阵的特征根三、正交矩阵的特征根习题课习题课 正交矩阵的性质正交矩阵的性质一、正交矩阵的定义及简单性质一、正交矩阵的定义及简单性质 问题问题 正交矩阵之和？正交矩阵之和？nnRAEAA1 定义定义 ， 若若 称称 A 为正交矩阵为正交矩阵2 运算性质运算性质 正交矩阵之积为正交阵正交矩阵之积为正交阵正交矩阵的转置为正交阵正交矩阵的转置为正交阵 正

2、交矩阵的伴随矩阵为正交矩阵正交矩阵的伴随矩阵为正交矩阵 数乘正交矩阵？数乘正交矩阵？习题课习题课 正交矩阵的性质正交矩阵的性质nnnnijRaA2121),()(njijijiji, 2 , 1, 0, 1 A为正交矩阵为正交矩阵 njijijiji, 2 , 1, 0, 1 A为正交矩阵为正交矩阵 1AA A为正交矩阵为正交矩阵3 正交矩阵的判定正交矩阵的判定习题课习题课 正交矩阵的性质正交矩阵的性质 的关系如何？的关系如何？ ijaijMijA 元素元素 与其余子式与其余子式 ，代数余子式，代数余子式1|00iiaijajiji?00 当某当某 时，时，|ijaji, 的上界？的上界？|i

3、iai问题：问题： 的上界？的上界？习题课习题课 正交矩阵的性质正交矩阵的性质二、有限维欧氏空间里的正交矩阵二、有限维欧氏空间里的正交矩阵nR 空间空间 的一组标准正交基。的一组标准正交基。A为正交矩为正交矩 阵阵 A的行（列）向量组是的行（列）向量组是 n 维行（列）向量维行（列）向量nnRA 1 矩阵矩阵 ，则，则习题课习题课 正交矩阵的性质正交矩阵的性质2 n维欧氏空间维欧氏空间 的一组标准正交基的一组标准正交基 ，)(RVnn,21矩阵矩阵 满足满足nnRA),(21n12(,)nA n,21则则 为标准正交基为标准正交基 A为正交矩阵为正交矩阵习题课习题课 正交矩阵的性质正交矩阵的性

4、质 A是正交变换是正交变换 A为正交矩阵为正交矩阵 则则 标准正交基，若标准正交基，若)(RVnn,213A为为n维欧氏空间维欧氏空间 的线性变换，的线性变换， 是一组是一组),(21nAn),(21nnRAA ，习题课习题课 正交矩阵的性质正交矩阵的性质 1A A为第二类的，若为第二类的，若 。1A A为第一类的为第一类的(旋转旋转)，若，若 ；)(RVn4n维欧氏空间维欧氏空间 的正交变换的分类的正交变换的分类习题课习题课 正交矩阵的性质正交矩阵的性质 ),(21ndiagAPPAPP1 使使),(21nPn),(21即即diag),(21n 对角矩阵对角矩阵n,21向量，即向量，即A在在

5、 下的矩阵为实下的矩阵为实n,21存在标准正交基存在标准正交基 是是A的特征的特征AA A为对称变换为对称变换 则则),(21nAn),(21nnRA标准正交基，且标准正交基，且 A ，)(RVnn,215 A为为n维欧氏空间维欧氏空间 的线性变换，的线性变换， 为一组为一组习题课习题课 正交矩阵的性质正交矩阵的性质1 在不同的教材上曾出现下面的命题在不同的教材上曾出现下面的命题三、正交矩阵的特征根三、正交矩阵的特征根 正交矩阵的特征根的模等于正交矩阵的特征根的模等于1。 正交矩阵的实特征根为正交矩阵的实特征根为1或或1； 正交变换的特征根为正交变换的特征根为1或或1；习题课习题课 正交矩阵的

6、性质正交矩阵的性质)()()( xxxxAxAxxAAx)( xxxx212 可得可得即即, 0,xxEAA注意此时注意此时 由（由（1）和（）和（2）对（对（1）两边取共轭转置）两边取共轭转置)()(xxAxxAAx（2）nCxCxAx)0(, （1）xn的证明：设的证明：设 为为 维非零复向量，维非零复向量， 为复数，为复数， 且且习题课习题课 正交矩阵的性质正交矩阵的性质2正交矩阵正交矩阵A的特征根的特征根 AEfA)(nnnaa11 共轭出现的。共轭出现的。 nnRA 当当 时，由（时，由（3）知）知A的非实的复特征根是成对的非实的复特征根是成对n,21iCi,这里这里 为矩阵为矩阵A

7、的所有特征根的所有特征根niiA1 iii) niniiiiatrA11 ii)AatrAann) 1(,1 i) （3） 特征多项式特征多项式习题课习题课 正交矩阵的性质正交矩阵的性质正交矩阵正交矩阵 的特征根的特征根 nnRAkiiii, 2 , 1, 12nkst2kst,这里这里 ， 为非负整数为非负整数且且kk,2211非实特征根非实特征根121s负特征根负特征根 （4）121t正特征根正特征根ii) 可设可设 12非实特征根为成对共轭非实特征根为成对共轭 与与 出现，出现， 且且实特征根为实特征根为1或或1i) 分类分类习题课习题课 正交矩阵的性质正交矩阵的性质3正交矩阵正交矩阵A

8、的行列式的行列式 )(11stAkk2211)(1s ssA) 1( ， 是是1作为作为A的特征根的重数的特征根的重数 （5） 即即 在（在（4）之下）之下1A 或或1（简单证明，由定义给出）（简单证明，由定义给出）习题课习题课 正交矩阵的性质正交矩阵的性质 4正交矩阵正交矩阵 的三类特征根的三类特征根nnRA 特征根为特征根为1或或1。 ts n为奇数时，为奇数时， 与与 的奇偶性相反，且至少有的奇偶性相反，且至少有1个个st n为偶数时，为偶数时， 与与 的奇偶性相同的奇偶性相同 习题课习题课 正交矩阵的性质正交矩阵的性质5n 维欧氏空间中的正交变换维欧氏空间中的正交变换A特征根的存在情况

9、特征根的存在情况 若若A有特征根，则特征根有特征根，则特征根1的重数与的重数与n的奇偶性相同。的奇偶性相同。相同。相同。 A必以必以1为特征根且重数为奇数，特征根为特征根且重数为奇数，特征根1的重数与的重数与n的奇偶性的奇偶性1A A为第二类的为第二类的 即即 若若A有特征根，则特征根有特征根，则特征根1的重数为偶数，特征根的重数为偶数，特征根1的重数的重数与与n 的奇偶性相同的奇偶性相同1A A为第一类的即为第一类的即才是才是A的特征根，约定当的特征根，约定当 不是特征根时，其重数为不是特征根时，其重数为0： 注意此时注意此时A与在标正基下的正交矩阵与在标正基下的正交矩阵A的对应关系，的对应关系，A的实特征根的实特征根习题课习题课 正交矩阵的性质正交矩阵的性质 设设A是是3 3正交阵且正交阵且 证明证明A的特征多项式为的特征多项式为1A 31t这里这里1)(23ttf， 证明第二类正交变换一定以证明第二类正交变换一定以1作为它的一个特征值。作为它的一个特征值。特征值。特征值。 证明奇数维欧氏空间中的旋转一定以