等边三角形的判定

1、想一想 （1）一个三角形满足什么条件时是等边）一个三角形满足什么条件时是等边三角形？三角形？ （2）一个等腰三角形满足什么条件时是）一个等腰三角形满足什么条件时是等边三角形？你能证明你的结论吗？把等边三角形？你能证明你的结论吗？把你的证明思路与同伴进行交流。你的证明思路与同伴进行交流。证明：三个角都相等的三角形是等边三角形已知：如图，在ABC中，A=B=C.求证：ABC是等边三角形.证明：有一个角60的等腰三角形是等边三角形已知：如图，在ABC中，AB=AC,B=60 求证：ABC是等边三角形.等边三角形的判定方法：等边三角形的判定方法：1、定义：、定义：三边都相等三边都相等的三角形是等边三角

2、形；的三角形是等边三角形；3、有、有一个角是一个角是60 的等腰三角形的等腰三角形是等边三角形是等边三角形. .2、三个角都相等三个角都相等的三角形是等边三角形的三角形是等边三角形. .w1 操作操作:用两个含有用两个含有30 角的三角尺，角的三角尺，你能拼成一个怎样的三角形？你能拼成一个怎样的三角形？能证明你的结论吗？能证明你的结论吗？300300300300结论:在直角三角形中, 30 角所对的直角边等于斜边的一半.w能拼出一个等边三角形吗？说说你的理由能拼出一个等边三角形吗？说说你的理由.w由此你想到，在直角三角形中由此你想到，在直角三角形中, 30 角所对的角所对的直角边与斜边有怎样的

3、大小关系？直角边与斜边有怎样的大小关系？300300300w定理定理: :在直角三角形中在直角三角形中, , 如果一个锐角等于如果一个锐角等于30300 0, ,那那么它所对的直角边等于斜边的一半么它所对的直角边等于斜边的一半. .已知已知: :如图如图, ,在在ABCABC中中,C=90,C=900 0,A=30,A=300 0求证求证:BC= AB.:BC= AB.21300ABCD分析：突破如何证明分析：突破如何证明“线段的倍、分线段的倍、分”问题问题转转 化化“线段相等线段相等”问题问题延长延长BCBC至至D,D,使使CD=BC,CD=BC,连接连接ADADw定理定理: :在直角三角形

4、中在直角三角形中, , 如果有一个锐角等于如果有一个锐角等于30300 0, ,那么它所对的直角边等于斜边的一半那么它所对的直角边等于斜边的一半. .ACB=90ACB=900 0,A=30,A=300 0. .BC= ABBC= AB. .( (在直角三角形中在直角三角形中, 30, 300 0角所对的直角边等于斜边角所对的直角边等于斜边的一半的一半).).21ABC300例3：如果等腰三角形的底角为15，那么腰上的高是腰长一半.已知：如图，在ABC中，AB=AC,B=15，CD是腰AB上的高.求证：CD=21AB.1.1.已知已知: :如图如图, ,在在ABCABC中中,ACB,ACB90

5、900 0,A=30,A=300 0,CDAB,CDAB于于D.D.求证求证:AB=4BD.:AB=4BD.你能规范地写出证明过程吗？你能规范地写出证明过程吗？你的证题能力有所提高吗？你的证题能力有所提高吗？ACBD300等边三角形的判定方法：等边三角形的判定方法：1、定义：、定义：三边都相等三边都相等的三角形是等边三角形；的三角形是等边三角形；3、有、有一个角是一个角是60 的等腰三角形的等腰三角形是等边三角形是等边三角形. .2、三个角都相等三个角都相等的三角形是等边三角形的三角形是等边三角形. .特殊直角三角形：特殊直角三角形：在直角三角形中在直角三角形中, 30 角角所对的直所对的直角

6、边等于斜边的一半角边等于斜边的一半.1 1. .已知：如图，在已知：如图，在ABCABC中中, ,高线高线BDBD和和CECE相交于相交于H H，BHC=120BHC=120,HD=1,HE=3,HD=1,HE=3,求求BDBD和和CECE的长。的长。CH=2CE=5BH=6BD=72 2. .已知：如图，已知：如图，ABCABC是等边三角形是等边三角形,D.E,D.E分别是分别是BC,ACBC,AC上的点上的点, ,且且AE=CDAE=CD,BE,BE和和ADAD相交于相交于P,BQAD, P,BQAD, 垂足是垂足是Q, (1)Q, (1)求求BPDBPD的度数的度数 (2)(2)求证求证

7、:BP=2PQ:BP=2PQACDBPEQ603.将不全等的两个等边三角形将不全等的两个等边三角形ABCABC和等边三角形和等边三角形DEFDEF任意摆放任意摆放,请你画出请你画出不少于不少于5种种的摆放示意图的摆放示意图,使得使得AE=CF,同时同时满足在重合的满足在重合的一条直线上有且只有三个顶点一条直线上有且只有三个顶点(重合的顶点算一个重合的顶点算一个),并说明理由并说明理由.ABCEFABECF4.矩形矩形ABCD中中,AB=6,BC=8,先把它对折先把它对折,折痕为折痕为EF展开后再折成如图所示展开后再折成如图所示,使点使点A落在落在EF上的点上的点A处处,求第二次折痕求第二次折痕

8、BG的长的长.ABCEDGAF34BG365.已知正方形已知正方形ABCD中中,M是是AB的中点的中点,E是是AB延长延长线上的一点线上的一点,MNDM,DM,且交且交CBECBE的平分线于的平分线于N, N, (1)(1)求证求证:MD=MN:MD=MN(2)若将上述条件中的若将上述条件中的“M是是AB的中点的中点”改为改为“M是是AB上的上的任意一点任意一点”，其它条件不变，则结论，其它条件不变，则结论“MD=MN”MD=MN”还成立吗？还成立吗？如果成立请证明；若不成立请说明理由如果成立请证明；若不成立请说明理由ADCNEBMADCNEBM.HH.公理：三边对应相等的两个三角形全等（公理

9、：三边对应相等的两个三角形全等（）公理：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等公理：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等( (SASSAS) )公理：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等公理：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等( (ASAASA) )公理：全等三角形的对应边、对应角相等。公理：全等三角形的对应边、对应角相等。推论：两角及其中一角的对应边相等的两个三角形全等推论：两角及其中一角的对应边相等的两个三角形全等(AAS)定理定理: 等腰三角形的两个底角相等等腰三角形的两个底角相等简称简称:等边对等角等边对等角推论推论: 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高线等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高线