数值分析讲稿2

1、第二章 插 值 法1 引言 问题的提出 在实际问题中常遇到这样的函数 ,其在某个区间 上是存在的。但是,通过观察测量或试验只能得到在 区间上有限个离散点 上的函数值 或者 的函数表达式是已知的,但却很复杂而不便于计算,希望用一个简单的函数来描述它。 插值问题的数学提法: 已知函数 在n+1个点上的函数值 , 求一个多项式 ,使其满足 。即要求该多项式的函数曲线要经过 上已知的这n+1个点 同时在其它点 上估计误差为 。 2.拉格朗日插值公式2-1插值多项式的存在唯一性 过n+1个点 ，作多项式函数 可构造(n+1)(n+1)线性方程组确定参数要证明插值多项式存在唯一，只要证明参数存在且唯一，即

2、只要证明其系数行列式不为零即可。系数行列式为： 此为范德蒙行列式。利用行列式性质可得 由于 时 ，故所有因子 ，于是即插值多项式存在唯一。2-2线性插值与抛物线插值一、线性插值（一次插值） 1.问题的提出 已知函数 在区间的端点 上的函数值 ，求一个一次函数 使得 。其几何意义是已知平面上两点 求一条直线过该已知两点。2.插值函数和插值基函数由直线的点斜式公式可知：把此式按照 和 写成两项： （两点式）， 记 并称它们为一次插值基函数。该基函数的特点如下表：从而 ,此形式称之为拉格朗日型插值多项式。其中,插值基函数与 无关，而由插值结点 所决定。 一次插值多项式是插值基函数的线性组合,相应的组

3、合系数是该点的函数值 。 二、二次插值多项式(抛物线插值) 1.问题的提出 已知函数 在点 上的函数值 求一个次数不超过二次的多项式 ,使其满足 其几何意义为:已知平面上的三个点， 。 求一个二次抛物线,使得该抛物线经过这三点。2.插值基本多项式（构造插值基函数） 有三个插值结点 ,构造三个插值基本多项式，要求满足：(1)基本多项式为二次多项式；(2)它们的函数值满足下表： 100010001因为 , 故 有因子 ,而其已经是一个二次多项式,仅相差一个常数倍,可设又因为 ，故得：同理 3.拉格朗日型二次插值多项式 由前述，拉格朗日型二次插值多项式 是三个二次插值基函数多项式的线性组合,因而其是

4、次数不超过二次的多项式,且满足 三、拉格朗日型n次插值多项式问题的提出： 已知函数 在n+1个不同的点上 的函数值分别为 ,求一个次数不超过n的多项式 ,使其满足 即n+1个不同的点可以唯一决定一个n次多项式。2. 插值基函数 过n+1个不同的点分别决定n+1个n次插值基函数每个插值基本多项式 满足：(1). 是n次多项式;(2). ，而在其它n个点 。 由于 ，故 有因子 因其已经是n次多项式，故仅相差一个常数因子。令: 由可以定出 ，进而得到： 令 则于是 可改写成 次拉格朗日型插值多项式 是n+1个n次插值基本多项式 的线性组合，相应的组合系数是 。即 是一个次数不超过n的多项式,且满足

5、 例求过点(2,0)(4,3)(6,5)(8,4)(10,1)的拉格朗日型插值多项式。解：对5个点插值构造4次插值多项式。 所以 四、拉格朗日插值多项式的截断误差 在a,b上用多项式 来近似代替函数f(x),其截断误差记作下面来估计截断误差 ：定理1：设函数y=f(x)的n阶导数y=f(n)(x)在a,b上连续，y=f(n+1)(x)在(a,b)上存在；插值节点为ax0 x1xnb, 是n次拉格朗日插值多项式；则对任意xa,b有：其中(a,b),依赖于x； 证明：由插值多项式的要求：设 其中K(x)是待定的；固定xa,b且 xxk， k=0,1,n; 构造函数 则 H(xk)=0，k=0,1,

6、2,n，且所以，H(t)在a,b上有n+2个零点，反复使用罗尔中值定理：存在(a,b),使H(n+1)()=0;因 是n次多项式，故 而 是首项系数为1的n+1次多项式，故有于是 得：所以 得证。设 ,则 易知，线性插值的截断误差为 二次插值的截断误差为: 例: 用和lg20=1.3010 计算 lg12. 解： 查表得 l，。估计误差：因为 f(x)=lgx, 所以这个的结果和相差不大。 3.牛顿(Newton)插值差商及其性质一.差商（均差）定义 拉格朗日插值公式可看作直线方程两点式的推广，若从直线方程点斜式出发，将它推广到具有n+1个插值点的情况，可把插值多项式表示为其中 为待定系数，可

7、由插值条件 确定。当 依次可得到 。为写出系数的一般表达式，现引入差商（均差）定义。定义：称 为函数 关于节点 的一阶差商，记为 。 一阶差商 的差商 称为 关于节点 的二阶差商，记为 。 递归地用k-1阶差商来定义k阶差商，称为 关于k+1个节点 的k阶差商。 性质1:k阶差商可以表示成k+1个函数值 的线性组合,即 可用归纳法证明。例: 二. 差商（均差）的性质这个性质也表明差商与节点的排列顺序无关(差商的对称性)。即 性质2：k阶差商定义: 依对称性，对调定义公式左端k阶差商中 与的位置，再将各差商中的节点按原来次序排列。 性质3:若 是 的n次多项式,则一阶差商 是 的n-1次多项式,

8、二阶差商是 的n-2次多项式; 一般地,函数 的k阶差商 是 的n-k次多项式 ,而 时,k阶差商为零。若 是 的n次多项式，则 也是n次多项式，且 。于是 可分解为其中 为n-1次多项式。所以为n-1次多项式三.利用差商表计算差商利用差商的递推定义,可以用递推来计算差商。如下表： 如要计算四阶差商,再增加一个节点,表中还要增加一行。 一阶差商二阶差商三阶差商例:已知如下,计算三阶差商 。解：列表计算1347021512一阶差商二阶差商三阶差商10321415134712-1-3.5-1.253.2 牛顿插值公式 根据差商定义，把 看成 上的一点，可得 只要把后一式代入前一式，得:最后一项中,

9、 差商部分含有 ,为余项部分,记作 而前面n+1项中, 差商部分都不含有 ,因而前面n+1项是关于 的n次多项式,记作这就是牛顿插值公式。于是,上式记为由牛顿插值公式与 比较知： 例如:当n=1时，其中, 这就是牛顿一次插值多项式，也就是点斜式直线方程。 当n=2时,这就是牛顿二次插值多项式。 显然, 即 满足二次插值条件。例:已知求满足以上插值条件的牛顿型插值多项式。 解:在上例中,我们已计算出则牛顿三次插值多项式为1347021512例:已知 在六个点的函数值如下表，运用牛顿型插值多项式求 的近似值。一阶二阶三阶四阶五阶解： 欲求 ,只需在 之后再加一项:故 。 截断误差：问题的提出： 已

10、知函数 在n+1个不同的点上 的函数值分别为 ,求一个次数不超过n的多项式 ,使其满足 即n+1个不同的点可以唯一决定一个n次多项式。n次拉格朗日型插值多项式: 一阶差商二阶差商三阶差商n次牛顿插值多项式:拉格朗日插值与牛顿插值的比较(1) 和 均是n次多项式,且均满足插值条件: 由插值多项式的唯一性, ,因而两个公式的余项是相等的,即则可知n阶差商与导数的关系如下： (2)当插值多项式从n-1次增加到n次时,拉格朗日型插值必须重新计算所有的基本插值多项式;而对于牛顿型插值,只需用表格再计算一个n阶差商,然后加上一项即可。（3）牛顿型插值余项公式对 是由离散点给出或 导数不存在时均适用。、差分

11、与等距牛顿插值公式插值节点为等距节点：如图： h h h h h h h h hh称为步长，函数 在 的函数值为 。1.差分的概念一阶差分:二阶差分:一般地，m阶差分用m-1阶差分来定义：以上定义的是前差：从 起向前的函数值的差，称为向前差分算子。 而下面定义向后差分，表示向后差分算子，分别称为一阶，二阶， ，m阶向后差分。 中心差分，表示中心差分算子， 如果用函数表上的值，一阶中心差分应写成二阶中心差分为： 除差分算子外，常用的算子符号还有： 不变算子I:移位算子E：由上面各种算子的定义可得算子间的关系：同理可得 差分的性质性质1: 各阶差分均可用函数值表示，其中 为二项式展开系数。验证：n=1时， n=2时,n=3时， 一般地，可用数学归纳法证明此公式。对于后差，也有类似的公式， 例如： 性质2:可用各阶差分表示函数值。 例如：可用向前差分表示 ，因为于是有 性质3:在等距插值的情况下,由定义可得出差分和差商（均差）有如下关系： 同理，对向后差分有由差商与导数的关系，可推出差分与导数的关系：验证差分和均差有如下关系： 因为 所以性质4:各种差分之间可以互化。例如： 2.等距节点的牛顿插值公式 将牛顿差商（均差）插值公式中各阶差商（均差）用相应差分代替，就可得到各种形式的等距结点插值公式。 h h h h 牛顿向前插值公