第八章交通流理论

1、主要内容主要内容一、概述一、概述一、概述一、概述Poisson Distribution)tkkektP!)( mkkekmP!meP0kkPkmP)!1(1该分布的均值该分布的均值M和方差和方差D都等于都等于mt。实际应用中，均值实际应用中，均值M=E(X)和方差和方差D(X)可分别由其样本可分别由其样本均值和样本方差均值和样本方差S2分别进行估计：分别进行估计： n: 观测数据分组数观测数据分组数 : 在全部的观测时间内在全部的观测时间内,在计数间隔在计数间隔t内事件内事件K发生次发生次数的频率（即对应的计数间隔的次数）数的频率（即对应的计数间隔的次数） N: 观测的总周期（观测的间隔总数

2、），此时观测的观测的总周期（观测的间隔总数），此时观测的总时间为总时间为TNtNiimxNS122)(11ifnjjjfmxN12)(11NiiNmxN122)11（由于泊松分布的均值由于泊松分布的均值 M 和方差和方差 D均等于均等于t；而；而观测数据的均值观测数据的均值 m和和 S2均为无偏估计，因此，均为无偏估计，因此，当观测数据表明当观测数据表明S2/m显著不等于显著不等于1时，就是泊时，就是泊松分布不合适的表征，所以，应选择其他分布松分布不合适的表征，所以，应选择其他分布形式。形式。 例例1 设设60辆车随机分布在辆车随机分布在4km长的道路上，求任意长的道路上，求任意400m路路段

3、上有段上有4辆及辆及4辆车以上的概率辆车以上的概率 关键是把关键是把t理解为空间间隔（理解为空间间隔（m）,为单位长度上分为单位长度上分布的车辆数（辆布的车辆数（辆/m）求求=60/4=15辆辆/km 求泊松参数求泊松参数m=150.4=66!6ekPkk例例2 已知某公路断面流量已知某公路断面流量q720辆辆/h，试，试问该断面问该断面5s内有内有2辆车以上（包括辆车以上（包括2辆车）辆车）通过的概率（假设车辆达到服从泊松分通过的概率（假设车辆达到服从泊松分布）。布）。例例3 某信号灯交叉口周期某信号灯交叉口周期C=97s，有效绿灯时间，有效绿灯时间g=44s，在有效绿灯时间内排队的车流以，

4、在有效绿灯时间内排队的车流以s=900辆辆/h的流量通过交叉口，在有效绿灯时的流量通过交叉口，在有效绿灯时间外到达的车辆要停车排队。设信号灯交叉口间外到达的车辆要停车排队。设信号灯交叉口上游车辆的到达率上游车辆的到达率q=369辆辆/h，服从泊松分布，服从泊松分布，求使到达车辆不致两次排队的周期能占的最大求使到达车辆不致两次排队的周期能占的最大比例。比例。先分析发生两次排队的条件先分析发生两次排队的条件 即一个周期内到达的车辆数大于有效绿灯时即一个周期内到达的车辆数大于有效绿灯时间内通过交叉口的车辆数；间内通过交叉口的车辆数；再求发生两次排队的概率再求发生两次排队的概率说明说明本例中虽然在每个

5、信号周期中平均到车数只有本例中虽然在每个信号周期中平均到车数只有9.9辆小于一个信号周期有效绿灯时间内的通辆小于一个信号周期有效绿灯时间内的通过的车辆数过的车辆数11辆，但仍有可能出现车辆两次排辆，但仍有可能出现车辆两次排队的现象，因为平均到车数并不表示车流是均队的现象，因为平均到车数并不表示车流是均匀到达的，可能会出现某一周期到达的车辆数匀到达的，可能会出现某一周期到达的车辆数很少（小于很少（小于10），使绿灯时间不能充分利用，），使绿灯时间不能充分利用，当某些周期到达的车辆数很大（大于当某些周期到达的车辆数很大（大于11）时就）时就出现了二次排队。出现了二次排队。2、二项分布、二项分布（B

6、inomial distribution） ： 基本公式：在计数间隔基本公式：在计数间隔t内内 到达到达k辆车的概率辆车的概率 ：平均到车率或平均分布率（辆：平均到车率或平均分布率（辆/s、辆、辆/m） t：每个计数时间或空间间隔（：每个计数时间或空间间隔（s、m） n: 正整数，二项分布参数正整数，二项分布参数 通常记通常记 则则 ：0PD通过对观测数据的计算样本的均值、方差通过对观测数据的计算样本的均值、方差S2来来代替代替M、D;然后估算然后估算p、n的值。的值。kkpppkknP111msmp222smmpmnu适用条件：车流比较拥挤、自由行驶机会不多适用条件：车流比较拥挤、自由行驶机

7、会不多的车流用二项分布拟合较好，由于二项分布的的车流用二项分布拟合较好，由于二项分布的均值均值M大于方差大于方差D，当观测数据表明，当观测数据表明S2/m显著显著大于大于1时就不适合用二项分布拟合。时就不适合用二项分布拟合。例：例： 在某条公路上，上午高峰期间，以在某条公路上，上午高峰期间，以15s间隔观测到达车辆间隔观测到达车辆数，结果如下，试用二项分布拟合之数，结果如下，试用二项分布拟合之求出求出P=0.465，n=16.08取取16 7.4691121niiiiiffxm999. 3)11121222iiiNmfxNs（ 3、负二项分布、负二项分布negative binomial di

8、stribution 满足以下条件的称为负二项分布满足以下条件的称为负二项分布 1. 实验包含一系列独立的实验。实验包含一系列独立的实验。 2. 每个实验都有成功、失败两种结果。每个实验都有成功、失败两种结果。 3. 成功的概率是恒定的。成功的概率是恒定的。 4. 实验持续到实验持续到r次成功，次成功，r为正整数。为正整数。 已知一个事件在伯努利试验中每次的出现概率是已知一个事件在伯努利试验中每次的出现概率是p，在一连串，在一连串伯努利试验伯努利试验中，一件事件刚好在第中，一件事件刚好在第k+x次试验出现第次试验出现第k次的概率。次的概率。递推公式递推公式 P(0)=pk 负二项分布的期望值和

9、方差负二项分布的期望值和方差 E(x)=k(1-p)/p D(x)=k(1-p)/p2 用负二项拟合数据时，其参数的估计值用下式计用负二项拟合数据时，其参数的估计值用下式计算算 p=m/s2 k=m2/(s2-m) 适用条件：适用条件： S2/m.1 交通工程中，另一个用于描述车辆到达随机特交通工程中，另一个用于描述车辆到达随机特性的度量就是车头时距的分布，常用的分布有性的度量就是车头时距的分布，常用的分布有负指负指数分布、移位的负指数分布数分布、移位的负指数分布、M3分布和爱尔朗分分布和爱尔朗分布布1、负指数分布负指数分布（Exponential Distribution） 由泊松分布知由泊

10、松分布知TTeeTXP! 0)()0(01、负指数分布、负指数分布（Exponential Distribution） 基本公式：到达的车头时距基本公式：到达的车头时距h大于大于t秒的概率秒的概率泊松分布泊松分布t 内无车辆到达的概率内无车辆到达的概率teth)(Pte0P平均车头时距11、负指数分布、负指数分布 反之亦然反之亦然已知到达某交叉口的车流车头时距（单位：已知到达某交叉口的车流车头时距（单位：s）服从负指数分布，且服从负指数分布，且 试求任意试求任意10s到达车辆数不小于到达车辆数不小于2辆的概率辆的概率2 . 0)10(hPteP2 . 00tetP1101)2(PPXP()()

11、TM hTVP hTVe)()(2121TTeeVolumeThTMEquations to be remembered 例例5 ：在一条有隔离带的双向四车道道路上，单向：在一条有隔离带的双向四车道道路上，单向流量为流量为360辆辆/h，该方向路宽，该方向路宽7.5m，设行人步行，设行人步行速度为速度为1m/s，求，求1h中提供给行人安全横过单向车中提供给行人安全横过单向车道的次数，如果单向流量增加到道的次数，如果单向流量增加到900辆辆/h， 1h中中提供给行人安全横过单向车道的次数是增加还是提供给行人安全横过单向车道的次数是增加还是减少减少 。7.5mQ=360辆辆/h解：行人横过单向行车

12、道所需要的时间： t =7.5/1=7.5s 因此，只有当h7.5s时，行人才能安全穿越，由于双车道道路可以充分超车，车头时距符合负指数分布，对于任意前后两辆车而言，车头时距大于7.5s的概率为： 对于 Q=360辆/h的车流，1h车头时距次数为360，其中h7.5s的车头时距为可以安全横穿的次数：47240360057360360057.).(eePQth（次次. 当Q = 900辆/h时，车头时距大于7.5s的概率为： 1h内车头时距次数为900，其中h7.5s的车头时距为可以安全横穿的次数：15340360057900360057.).(eePQth（次次）13

13、815340900 .负指数分布在次要车流负指数分布在次要车流通行能力通行能力研究中的应用研究中的应用)1(Q0ee次次干路车辆穿越主干路所要求的最小时间间隔次干路横穿车辆连续通过时的最小车头时距主干路车辆平均达到率2、移位负指数分布、移位负指数分布 均值和方差均值和方差不足：不足：车头时距越接近车头时距越接近，其出现的概率越大；此时的，其出现的概率越大；此时的不是安全车头时距不是安全车头时距tetht，）()(P21D1M， 移位负指数分布的局限性：移位负指数分布的局限性： 服从移位负指数分布的车头时距愈接近服从移位负指数分布的车头时距愈接近出现的可能性愈大。这在一般情况下是不出现的可能性愈

14、大。这在一般情况下是不符合驾驶员的心理习惯和行车特点的。符合驾驶员的心理习惯和行车特点的。 车头时距分布的概率密度曲线一般总是车头时距分布的概率密度曲线一般总是先升后降。先升后降。 “排队排队”与与“排队系统排队系统” 当一队车辆通过收费站，等待服务（收费）的当一队车辆通过收费站，等待服务（收费）的车辆和正在被服务（收费）的车辆与收费站构成车辆和正在被服务（收费）的车辆与收费站构成一个一个“排队系统排队系统”。 等候的车辆自行排列成一个等待服务的队列，等候的车辆自行排列成一个等待服务的队列，这个队列则称为这个队列则称为“排队排队”。 “排队车辆排队车辆”或或“排队（等待）时间排队（等待）时间”

15、都是指排队都是指排队的本身。的本身。 “排队系统中的车辆排队系统中的车辆”或或“排队系统消耗时间排队系统消耗时间”则则是在指排队系统中正在接受服务（收费）和排队是在指排队系统中正在接受服务（收费）和排队的统称。的统称。 排队系统的三个组成部分排队系统的三个组成部分:输入过程：是指各种类型的输入过程：是指各种类型的“顾客顾客(车辆或行人车辆或行人)”按怎样的规律到达。输入方式包括：按怎样的规律到达。输入方式包括： 泊松输入、定长输入、爱尔朗输入泊松输入、定长输入、爱尔朗输入排队规则：是指到达的顾客按怎样的次序接受服排队规则：是指到达的顾客按怎样的次序接受服务。排队规则包括：务。排队规则包括： 等

16、待制、损失制、混合制等待制、损失制、混合制服务方式：服务方式： 指同一时刻多少服务台可接纳顾客，指同一时刻多少服务台可接纳顾客，每一顾客服务了多少时间。服务时间分布包括：每一顾客服务了多少时间。服务时间分布包括： 定长分布、负指数分布、爱尔朗分布定长分布、负指数分布、爱尔朗分布一、排队系统的特征及排队论4、常见排队系统顾客可以根顾客可以根据实际选择据实际选择服务台服务台排队系统的特征及排队论4、常见排队系统顾客选择队顾客选择队列后不能再列后不能再选择服务台选择服务台一、排队系统的特征及排队论4、常见排队系统 排队系统的主要数量指标：排队系统的主要数量指标：等待时间等待时间 ：即从顾客到达时起到

17、他开始接受服务：即从顾客到达时起到他开始接受服务时止这段时间。时止这段时间。忙期：即服务台连续繁忙的时期，这关系到服务忙期：即服务台连续繁忙的时期，这关系到服务台的工作强度。台的工作强度。队长（队长（chng）：有排队顾客数与排队系统中顾）：有排队顾客数与排队系统中顾客之分，这是排队系统提供服务水平的一种衡量客之分，这是排队系统提供服务水平的一种衡量指标。指标。主要参数：主要参数：设平均到达率为设平均到达率为，则两次到达的平均间隔时间，则两次到达的平均间隔时间（时距）为（时距）为1/；设排队从单通道接受服务后出来；设排队从单通道接受服务后出来的系统平均服务率（输出率）为的系统平均服务率（输出率

18、）为， 则平均服务则平均服务时间为时间为1/ ；比率：比率： 称为交通强度或利用系数，由比率称为交通强度或利用系数，由比率即可确定即可确定各种状态的性质。各种状态的性质。 系统的服务强度s当比率当比率1（即（即），且时间充分，每个），且时间充分，每个状态都会以非状态都会以非0的概率反复出现；当比率的概率反复出现；当比率1，任何状态都是不稳定的，且排队会，任何状态都是不稳定的，且排队会越来越长。越来越长。 例如：某高速公路进口收费站平均每例如：某高速公路进口收费站平均每10s有有一辆车到达，收费站发放通行卡的时间平一辆车到达，收费站发放通行卡的时间平均需要均需要8s，即，即: 1/=10s； 1

19、/=10s 如果时间充分，这个收费站不会出现大量如果时间充分，这个收费站不会出现大量阻塞。阻塞。8081101./ 当比率当比率1（即（即），系统处以稳定状态：），系统处以稳定状态：在系统中没有顾客的概率为（即没有接受服务，在系统中没有顾客的概率为（即没有接受服务，也没有排队）：也没有排队）：在系统中有在系统中有k个顾客的概率为（包括接受服务的个顾客的概率为（包括接受服务的顾客与排队的顾客之和）：顾客与排队的顾客之和）：在系统中的平均顾客数为（平均接受服务的顾客在系统中的平均顾客数为（平均接受服务的顾客与排队的顾客之和）：与排队的顾客之和）： 10P)( 1kkP（辆辆）1)1 (n系统中顾客

20、数的方差：系统中顾客数的方差： 随着随着的增大，的增大，n 增大；当增大；当0.8以后，以后， n 迅速迅速增大，从而使排队长度快速增加，排队系统便的增大，从而使排队长度快速增加，排队系统便的不稳定，造成系统的服务能力迅速下降。不稳定，造成系统的服务能力迅速下降。平均排队长度：平均排队长度： 这里是指排队顾客（车辆）的平均排队长度，这里是指排队顾客（车辆）的平均排队长度，不包括接受服务的顾客（车辆）。不包括接受服务的顾客（车辆）。)1()1/(22 （辆辆）)(112 nnq平均非零排队长度平均非零排队长度： 即排队不计算没有顾客的时间，仅计算有顾客即排队不计算没有顾客的时间，仅计算有顾客时的

21、平均排队长度，即非零排队。如果把有顾客时的平均排队长度，即非零排队。如果把有顾客时计算在内，就是前述的平均排队长度。时计算在内，就是前述的平均排队长度。排队系统中排队系统中平均消耗时间平均消耗时间： 这里是指排队中消耗时间与接受服务所用时间这里是指排队中消耗时间与接受服务所用时间之和。之和。)(辆辆辆或辆或 s/ h/1 nd（辆）（辆）)(qqqww 11排队中的平均等待时间：排队中的平均等待时间： 这里在排队时平均需要等待的时间，不包这里在排队时平均需要等待的时间，不包括接受服务的时间，等于排队系统平均消括接受服务的时间，等于排队系统平均消耗时间与平均服务时间之差。耗时间与平均服务时间之差

22、。 共有八个指标。共有八个指标。)()(辆辆辆辆或或 s/ h/1 dw M/M/1系统（单通道服务系统）的基本概念：由系统（单通道服务系统）的基本概念：由于排队等待接受服务的通道只有单独的一条，因于排队等待接受服务的通道只有单独的一条，因此也叫做此也叫做“单通道服务单通道服务”系统。系统。服务（收费站）输出输入M/M/1系统例例1：高速公路入口收费站，车辆到达是随机的，：高速公路入口收费站，车辆到达是随机的，流入量为流入量为400辆辆/h，如果收费工作人员平均能在，如果收费工作人员平均能在8s内发放通行卡，符合负指数分布，求：收费站内发放通行卡，符合负指数分布，求：收费站排队系统中的平均车辆

23、数，平均排队长度，排队排队系统中的平均车辆数，平均排队长度，排队系统中的平均消耗时间和排队中的平均等待时间系统中的平均消耗时间和排队中的平均等待时间。 解：解：=400/3600（辆（辆/s）, =1/8 （辆（辆/s） =/=0.89 1 ，排队系统是稳定的。，排队系统是稳定的。 收费站排队系统中的平均车辆数：收费站排队系统中的平均车辆数：)(.辆辆889018901 n 平均排队长度： 排队系统中的平均消耗时间： 排队中的平均等待时间：（辆辆）7.110.898 nq)(辆辆s/ 7236004008111 d)(辆辆s/ 648721 dw例例2：修建一个服务能力为：修建一个服务能力为1

24、20辆辆/h的停车场，布置的停车场，布置一条进入停车场的引道，经调查车辆到达率为一条进入停车场的引道，经调查车辆到达率为72辆辆/h，进入停车场的引道长度能够容纳，进入停车场的引道长度能够容纳5辆车，是辆车，是否合适否合适 。 解：解： =72（辆（辆/h）, =120 （辆（辆/h） =/=0.6 1 ，排队系统是稳定的。，排队系统是稳定的。 进入停车场的引道长度能够容纳进入停车场的引道长度能够容纳5辆车辆车,如果系统如果系统中的平均车辆数小于中的平均车辆数小于5辆车则是合适的，否则，辆车则是合适的，否则，准备停放的车辆必然影响交通。准备停放的车辆必然影响交通。合合适适辆辆辆辆)()(.51

25、.5601601 n 验证系统中平均车辆数超过5辆车的概率P(5)，如果P(5)很小，则得到 “合适”的结论正确。由： 验证结果表明：系统中平均车辆数超过5辆车的概率P(5)不足5%，概率很小，进入停车场的引道长度是合适的。0.046710.03110.05180.08640.14400.24000.400011555432100）（）（得得：和和PPPPPPPPPPkk)( 一般收费站属于多路排队多通道服务的一般收费站属于多路排队多通道服务的M/M/N系统系统，如果总流入量为，如果总流入量为Q，可以假设每个收费站的流入，可以假设每个收费站的流入量为量为Q/N，就可以按照，就可以按照M/M/1

26、系统计算。系统计算。服务收费站1输出输入M/M/1系统服务收费站N输出输入M/M/1系统N 单路排队多通道服务的单路排队多通道服务的M/M/N排队系统如下：从排队系统如下：从服务效率分析这种排队系统的效率较高，但用于服务效率分析这种排队系统的效率较高，但用于收费站显然是不合适的（这一系统同样有一整套收费站显然是不合适的（这一系统同样有一整套计算公式）计算公式） 。输入服务1输出服务N输出N Ldddt213)(Sn+1 nn+1n+1 nS(t)Xn+1(t)Xn+1(t)Xn (t)d1d2L时刻时刻t两车位置两车位置完全制动后两车位置完全制动后两车位置前车开始减速的位置前车开始减速的位置后

27、车开始减速后车开始减速的位置的位置)()(T111TtxTtxdnnLTtxTtxtxnnn)() () (11)()()( S1txtxtnn)() () (11TtxTtxtxnnn )()(T1)(11txtxTtxnnn 时刻时刻t的的刺激刺激加速度：加速度：反应反应敏感度敏感度d3)()()(11txtxTtxnnn 上述模型是基于前导车制动、前后车制动距离相等以及上述模型是基于前导车制动、前后车制动距离相等以及后车在反应时间后车在反应时间T内速度不变等假定条件推倒出来的。内速度不变等假定条件推倒出来的。一般情形下：一般情形下：接相关驶人动作的强弱程度直：反应强度系数；与驾线性跟车模

28、型线性跟车模型模型的稳定性：车队车辆的稳定性模型的稳定性：车队车辆的稳定性稳定的含义稳定的含义局部稳定性：前后两车之间的距离变化是否稳局部稳定性：前后两车之间的距离变化是否稳定，如车间距的摆动，若摆动大则不稳定，摆动定，如车间距的摆动，若摆动大则不稳定，摆动愈小愈稳定愈小愈稳定渐进稳定性：前车速度变化向后面各车传播的渐进稳定性：前车速度变化向后面各车传播的特性，如速度变化的振幅在传播中扩大了则不稳特性，如速度变化的振幅在传播中扩大了则不稳定；如振幅在传播中逐渐衰减则稳定，此情形成定；如振幅在传播中逐渐衰减则稳定，此情形成为渐进稳定性为渐进稳定性跟车模型与车流模型跟车模型与车流模型车流模型是指在

29、稳定的车流中，流量、车速和密车流模型是指在稳定的车流中，流量、车速和密度之间的相依关系度之间的相依关系 从跟车模型出发，可推导出各种车速从跟车模型出发，可推导出各种车速-密度关系，密度关系，方法是根据边界条件解微分方程方法是根据边界条件解微分方程 跟车模型与车流模型跟车模型与车流模型 用线性跟车模型推到车流模型用线性跟车模型推到车流模型 当车队处于平稳状态时，当车队处于平稳状态时， 因此对任何因此对任何t,有有ctxtxTtxnnn)()()(11积分对)()()(11txtxTtxnnn )()(11txTtxnnckacasu1jjkacukk0,)11(jkkau)1 (jkkaukq)