初一数学下各章节知识点例题总结 (2)

1、 TOC o 1-4 h z u HYPERLINK l _Toc294257691人教版 七年级数学（下册） PAGEREF _Toc294257691 h 1HYPERLINK l _Toc294257692第五章 相交线与平行线 PAGEREF _Toc294257692 h 1HYPERLINK l _Toc294257693（一）知识总结 PAGEREF _Toc294257693 h 1HYPERLINK l _Toc294257694（二）例题精讲 PAGEREF _Toc294257694 h 1HYPERLINK l _Toc294257695知识点一：相交线 PAGEREF

2、 _Toc294257695 h 1HYPERLINK l _Toc294257696知识点二：平行线 PAGEREF _Toc294257696 h 2HYPERLINK l _Toc294257697二、相交线与平行线 规律总结 PAGEREF _Toc294257697 h 4HYPERLINK l _Toc294257698（一）规律总结 PAGEREF _Toc294257698 h 4HYPERLINK l _Toc294257699（二）例题精讲 PAGEREF _Toc294257699 h 4HYPERLINK l _Toc294257700考点一：垂线的常考题型 PAGER

3、EF _Toc294257700 h 4HYPERLINK l _Toc294257701考点二：平行线的判定与性质 PAGEREF _Toc294257701 h 6HYPERLINK l _Toc294257702考点三：平行线的判定与性质在实际生活中的应用 PAGEREF _Toc294257702 h 7HYPERLINK l _Toc294257703第六章 平面直角坐标系 PAGEREF _Toc294257703 h 9HYPERLINK l _Toc294257704一、平面直角坐标系 知识总结 PAGEREF _Toc294257704 h 9HYPERLINK l _Toc

4、294257705（一）知识总结 PAGEREF _Toc294257705 h 9HYPERLINK l _Toc294257706（二）例题精讲 PAGEREF _Toc294257706 h 9HYPERLINK l _Toc294257707知识点一： 平面直角坐标系的相关概念 PAGEREF _Toc294257707 h 9HYPERLINK l _Toc294257708知识点二： 平面直角坐标系的应用 PAGEREF _Toc294257708 h 11HYPERLINK l _Toc294257709二、平面直角坐标系(规律总结) PAGEREF _Toc294257709

5、h 13HYPERLINK l _Toc294257710（一）规律总结 PAGEREF _Toc294257710 h 13HYPERLINK l _Toc294257711（二）例题精讲 PAGEREF _Toc294257711 h 13HYPERLINK l _Toc294257712考点一：平面直角坐标系中的数形结合思想 PAGEREF _Toc294257712 h 13HYPERLINK l _Toc294257713考点二：直角坐标系中的面积问题 PAGEREF _Toc294257713 h 16HYPERLINK l _Toc294257714第七章 三角形 PAGEREF

6、 _Toc294257714 h 18HYPERLINK l _Toc294257715一、认识三角形 知识总结 PAGEREF _Toc294257715 h 18HYPERLINK l _Toc294257716（一）知识总结 PAGEREF _Toc294257716 h 18HYPERLINK l _Toc294257717（二）例题精讲 PAGEREF _Toc294257717 h 18HYPERLINK l _Toc294257718知识点一：三角形三边关系 PAGEREF _Toc294257718 h 19HYPERLINK l _Toc294257719知识点二：与三角形有

7、关的角 PAGEREF _Toc294257719 h 20HYPERLINK l _Toc294257720知识点三： 三角形的高、中线和角平分线 PAGEREF _Toc294257720 h 22HYPERLINK l _Toc294257721二、认识三角形 规律总结 PAGEREF _Toc294257721 h 24HYPERLINK l _Toc294257722（一）规律总结 PAGEREF _Toc294257722 h 24HYPERLINK l _Toc294257723（二）例题精讲 PAGEREF _Toc294257723 h 24HYPERLINK l _Toc2

8、94257724考点一：三角形中的转化思想 PAGEREF _Toc294257724 h 24HYPERLINK l _Toc294257725考点二：三角形中的分类讨论思想 PAGEREF _Toc294257725 h 26HYPERLINK l _Toc294257726三、多边形及其内角和 知识总结 PAGEREF _Toc294257726 h 27HYPERLINK l _Toc294257727（一）知识总结 PAGEREF _Toc294257727 h 27HYPERLINK l _Toc294257728（二）例题精讲 PAGEREF _Toc294257728 h 28

9、HYPERLINK l _Toc294257729知识点一： 多边形及其内角和, 外角和 PAGEREF _Toc294257729 h 28HYPERLINK l _Toc294257730知识点二： 图形的镶嵌 PAGEREF _Toc294257730 h 29HYPERLINK l _Toc294257731四、多边形及其内角和 规律总结 PAGEREF _Toc294257731 h 30HYPERLINK l _Toc294257732（一）规律总结 PAGEREF _Toc294257732 h 30HYPERLINK l _Toc294257733（二）例题精讲 PAGEREF

10、 _Toc294257733 h 30HYPERLINK l _Toc294257734考点一：多边形中的转化思想. PAGEREF _Toc294257734 h 31HYPERLINK l _Toc294257735考点二：镶嵌中的方程思想. PAGEREF _Toc294257735 h 32HYPERLINK l _Toc294257736第八章 二元一次方程组 PAGEREF _Toc294257736 h 33HYPERLINK l _Toc294257737一、二元一次方程组的概念及解法 PAGEREF _Toc294257737 h 33HYPERLINK l _Toc2942

11、57738（一）知识总结 PAGEREF _Toc294257738 h 33HYPERLINK l _Toc294257739（二）例题精讲 PAGEREF _Toc294257739 h 34HYPERLINK l _Toc294257740知识点一：二元一次方程(组)的概念 PAGEREF _Toc294257740 h 34HYPERLINK l _Toc294257741知识点二：解二元一次方程 组 代入消元法 PAGEREF _Toc294257741 h 35HYPERLINK l _Toc294257742知识点三：解二元一次方程 组 加减消元法 PAGEREF _Toc294

12、257742 h 37HYPERLINK l _Toc294257743二、二元一次方程组的概念与解法 规律总结 PAGEREF _Toc294257743 h 38HYPERLINK l _Toc294257744（一）规律总结 PAGEREF _Toc294257744 h 38HYPERLINK l _Toc294257745（二）例题精讲 PAGEREF _Toc294257745 h 39HYPERLINK l _Toc294257746考点一：整体法解二元一次方程组 PAGEREF _Toc294257746 h 39HYPERLINK l _Toc294257747考点二：综合其

13、他知识给出方程组 PAGEREF _Toc294257747 h 40HYPERLINK l _Toc294257748（一）知识总结 PAGEREF _Toc294257748 h 42HYPERLINK l _Toc294257749（二）例题精讲 PAGEREF _Toc294257749 h 42HYPERLINK l _Toc294257750知识点一：审题列方程 PAGEREF _Toc294257750 h 42HYPERLINK l _Toc294257751知识点二：创新情景 PAGEREF _Toc294257751 h 44HYPERLINK l _Toc29425775

14、2四、二元一次方程组的应用 规律总结 PAGEREF _Toc294257752 h 45HYPERLINK l _Toc294257753（一）规律总结 PAGEREF _Toc294257753 h 45HYPERLINK l _Toc294257754（二）例题精讲 PAGEREF _Toc294257754 h 45HYPERLINK l _Toc294257755考点一：由对话形式给出信息 PAGEREF _Toc294257755 h 45HYPERLINK l _Toc294257756考点二：其他形式给出信息 PAGEREF _Toc294257756 h 48HYPERLIN

15、K l _Toc294257757第九章 不等式与不等式组 PAGEREF _Toc294257757 h 50HYPERLINK l _Toc294257758一、一元一次不等式与一元一次不等式组 知识总结 PAGEREF _Toc294257758 h 50HYPERLINK l _Toc294257759（一）知识总结 PAGEREF _Toc294257759 h 50HYPERLINK l _Toc294257760（二）例题精讲 PAGEREF _Toc294257760 h 50HYPERLINK l _Toc294257761知识点一：一元一次不等式(组)的概念和解法 PAGE

16、REF _Toc294257761 h 50HYPERLINK l _Toc294257762知识点二：实际问题 PAGEREF _Toc294257762 h 52HYPERLINK l _Toc294257763二、一元一次不等式与一元一次不等式组 规律总结 PAGEREF _Toc294257763 h 53HYPERLINK l _Toc294257764（一）规律总结 PAGEREF _Toc294257764 h 53HYPERLINK l _Toc294257765（二）例题精讲 PAGEREF _Toc294257765 h 53HYPERLINK l _Toc29425776

17、6考点一：用比较法比较大小 PAGEREF _Toc294257766 h 53HYPERLINK l _Toc294257767考点二：一元一次不等式(组)参数范围的确定 PAGEREF _Toc294257767 h 55HYPERLINK l _Toc294257768考点三：不等式(组)的应用 PAGEREF _Toc294257768 h 57HYPERLINK l _Toc294257769第十章 数据收集与整理 PAGEREF _Toc294257769 h 59HYPERLINK l _Toc294257770一、数据收集与整理（知识总结） PAGEREF _Toc294257

18、770 h 59HYPERLINK l _Toc294257771（一）知识总结 PAGEREF _Toc294257771 h 59HYPERLINK l _Toc294257772（二）例题精讲 PAGEREF _Toc294257772 h 59HYPERLINK l _Toc294257773知识点一：统计调查 PAGEREF _Toc294257773 h 59HYPERLINK l _Toc294257774知识点二：直方图 PAGEREF _Toc294257774 h 61HYPERLINK l _Toc294257775二、数据收集与整理 规律总结 PAGEREF _Toc2

19、94257775 h 63HYPERLINK l _Toc294257776考点一：对相关概念的理解 PAGEREF _Toc294257776 h 63HYPERLINK l _Toc294257777考点二：从图中获取相关信息 PAGEREF _Toc294257777 h 64七年级数学讲义第五章 相交线与平行线一、相交线与平行线 知识总结（一）知识总结 （二）例题精讲 知识点一：相交线 知识点二：平行线 知识点一：相交线A、夯实基础如图，已知直线AB、CD都经过O点，OE为射线，若135 255，则OE与AB的位置关系是_ 解：135， 255（已知） AOE18012 1803555

20、 90OEAB (垂直的定义)B、双基固化 1、过直线 外 一点 做已知直线的 垂线。2、垂线 是一条什么线呢？3、点 P 和 垂足 之间的部分，是什么？4、这些线段中，哪一条最短？如图：P为直线 l 外一点，点A、B、C在直线 l 上， PA=3cm,PB=4cm,PC=6cm,则点 P 到直线 l 的距离 （ C ）A 等于 3cmB 小于 3cmC 不大于 3cmD 等于 5cmC、能力提升 AOB与BOC是一对邻补角, OD平分AOB, OE在BOC内部, 并且2BOE=COE, DOE=72.COE= 72 解:运用方程,设BOE=x,则其他角可相应表示为COE=2x, BOC=3x

21、,AOB=180-3x DOE=BOD+BOE 求得未知数x=36 知识点二：平行线 A、夯实基础如图直线ab, 直线c是截线, 如果1=50那么2=( C ) A 150 B 140C 130 D 120 B、双基固化 下列A、B、C、D四幅图案中，能通过平移图案（1）得到的是（ ）两个图形具有平移关系应满足：（1）两个图形的大小相等，形状相同；（2）对应点所连接的线段互相平行、相等（1）A B C DC、能力提升 如图所示,已知ABCD,分别探索下列四个图形中P与A,C的关系,请你从所得的四个关系中任选一个加以说明(1) (2) (3) (4) (1)P=360-A-C,(2)P=A+C,

22、 (3) A +P + 1 =C+1,P=C-A, (4) C +P + 1 =A+1, P=A-C 如图所示,已知ABCD,分别探索下列四个图形中P与A,C的关系,请你从所得的四个关系中任选一个加以说明(1) (2) (3) (4) (1)P=360-A-C,(2)P=A+C,(3)P=C-A,(4)P=A-C 二、相交线与平行线 规律总结（一）规律总结 平面内两条直线的位置关系是“空间与图形”所要研究的基本问题，垂直作为两条直线相交的特殊情形，与它有关的概念和结论是学习下一章“平面直角坐标系”的直接基础.本章重点是：平行线的判定公理及两个判定定理难点是：理解由判定公理推出判定定理的证明过程

23、平行线的性质，是学生在已学习相交线、平行线的定义，平行线的判定基础上来学习的，同时它是后面研究平行四边形的性质重要理论依据，在教材中起着承上启下的作用。考查用平行线的性质进行简单的推理和计算。理解平行线的判定方法和性质区别。（二）例题精讲 考点一：垂线的常考题型考点二：平行线的判定与性质考点三：平行线的判定与性质在实际生活中的应用ACBD图考点一：垂线的常考题型A、夯实基础如图所示， BAC=，ADBC，垂足为D，则下列结论:AB与AC互相垂直; AD与AC互相垂直;点C到AB的垂线段是线段AB; 点A到BC的距离是线段AD;线段AB的长度是点B到AC的距离;线段AB是点B到AC的距离.其中正

24、确的有( )A.2 B.3 C.4 D5【解析】:根据垂直的特征:交角为直角，可得正确， 错误.C点到AB的垂线段应是AC，故错误.点A到BC的距离是指线段AD的长度，故错误. 符合定义，正确，故错误. 【解答】A.B、双基固化如图，OC是AOB的角平分线，点P是OC上一点. （1）分别画出点P到AOB两边的垂线段； （2）比较点P到AOB两边距离的大小； （3）在OC上（除O，C外）任选点D，重复(1)、(2)步骤，并根据(2)的结果完成以下猜想:角平分线上的点到角两边的距离_.【解析】根据垂线段的定义，画垂线段的实质是画垂线，再取点P与垂足间的线段. (1)如图，PE，PF即为所求. (2

25、)点P到AOB两边的距离相等. (3)相等.C、能力提升已知点O直线AB上一点，OD平分， OE平分，试说明.证明 ：点O在直线AB上， ( ) OD平分， OE平分， _，( )即.( ).【解析】90推垂直, 垂直推90 都用垂直定义.【解答】平角定义 AOC 角平分线定义AOC 垂直定义考点二：平行线的判定与性质A、夯实基础完成下面的推理，并在括号中写出相应的根据如下图所示ADEDEF(已知)AD_() 又EFDC(已知)EF_()_ ()【解析】图中ADE和DEF没有直接给出，所以应自己画出辅助线，如下图此时就可以看一看ADE和DEF是什么关系的角，不难看出它们是一对内错角【解答】解：

26、EF 内错角相等，两直线平行 BC 同位角相等，两直线平行 AD BC 如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行点评：本题考察平行关系的判定与性质B、双基固化如图， AB/CD， 若ABE=120， DCE=35， 则有BEC=_度. 图【解析】要求BEC的度数，可过E点作EF/AB，根据AB/CD，可得EF/CD，这样可借助平行线的性质找到BEC与ABE和DCE之间的关系.从而求出BEC的度数.【解答】作EF/AB，因为AB/CD，所以EF/CD，所以ABE+BEF=180，FEC=C，所以BEC=ABE+DCE=120+35=155.【点评】当所求的角和两已知平行线没有直接

27、关系时，可通过添加平行线，借助平行线的性质解决.C、能力提升已知：如图，直线ABCD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，BEF的平分线与DFE的平分线相交于点P说明：P=90 图【解析】根据ABCD，可得到BEF+EFD=180，根据EP、FP分别是BEF和DFE的平分线，可得PEF+PFE=90，进而EPF=90.【解答】因为ABCD，所以BEF+DFE=180又因为BEF的平分线与DFE的平分线相交于点P，所以PEF=BEF，PFE=DFE所以PEF+PFE=（BEF+DFE）=90因为PEF+PFE+P=180，所以P=90【点评】本题在求解过程中，用到三角形的内角和等于180这一性质

28、.考点三：平行线的判定与性质在实际生活中的应用夯实基础 如图，一块不规则的木料，只有AB一边成直线，木工师傅为了在此木料上截出有一组对边平行的一块木板，用角尺在ED处画了一条直线，然后又在PN处用角尺画了一条直线，画完后用锯沿ED，PN锯开就截出了一块有一组对边平行的木料，你认为这样做有道理吗？并说明你的理由。【解答】这样做有道理。根据角尺结构的特点可知，EDCPNM90，即EDCPNM180，所以PNEC（同旁内角互补，两直线平行）。所以木工师傅这样做是有道理的。点评:本题考察平行线的判定与性质在合理用料中的应用.B、双基固化一位学员在广场上练习汽车驾驭，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相

29、同，这两次拐弯的角度可能是（ ）A先向左拐30，再向右拐30 B先向右拐50，再向左拐130C先向右拐50，再向左拐130 D先向左拐50，再向左拐130【解析】如图2，由题意：汽车两次拐弯后行驶方向相同，说明不但要求ABCD，而且方向朝同一方向，怎样才能使ABCD呢？则应满足平行的条件（同位角相等；内错角相等；或同旁内角互补）。因此可先将四个选项的图形准确地画出来，再观察判断。故选（A）DBCAC、能力提升 如图所示，潜望镜中的两个镜子是平行放置的，光线经过镜子反射时，入射角等于反射角（它们的余角有13，46），请解释为什么进入潜望镜的光和离开潜望镜的光线是平行的？【解析】因为镜子是平行的，

30、所以可以把它们看成是两条平行线，根据两直线平行，内错角相等，所以34，又因为13，46，所以1346，所以180（13）180（46），即25根据内错角相等，两直线平行，所以进入潜望镜的光线和离开潜望镜的光线是平行的。【点评】本题从平行线的性质“两直线平行，内错角相等”出发，得出了平行线，再利用平行线的条件“内错角相等，两直线平行”判别两直线平行。是平行线的判定与性质在物理光学上的应用.如图，在甲、乙两地之间要修一条笔直的公路，从甲地测得公路的走向是北偏东45，如果甲、乙两地同时开工，若干天后公路准确接通，乙地所修公路的走向是什么？【解析】因为正北方向的两条直线是平行的，即ab，所以12（两直

31、线平行，内错角相等）。又145，所以245，所以乙地开工的公路走向应为南偏西45。【点评】正确理解方向角的，利用平行线的性质是解此题的关键。第六章 平面直角坐标系一、平面直角坐标系 知识总结（一）知识总结点P有序实数对 (x,y)确定平面内点的位置平面直角坐标系表示点或平移建立平面直角坐标系画两条数轴垂直有公共点（二）例题精讲知识点一： 平面直角坐标系的相关概念知识点二： 平面直角坐标系的应用知识点一： 平面直角坐标系的相关概念A、夯实基础在平面直角坐标系中，点P（1，3）位于（ ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】B在平面直角坐标系中，点P（0，3）位于（

32、 ）X轴的正半轴； B. x轴的负半轴； C. y轴的正半轴； D. y轴的负半轴.【答案】C【解析】1.各象限内点的坐标的符号特征：第一象限（+，+）； 第二象限（-，+）； 第三象限（-，-）； 第四象限（+，-）；2.坐标轴上点的坐标的特征：X轴的正半轴（+，0）；x轴的负半轴（-，0）；y轴的正半轴（0，+）；y轴的负半轴（0，-）。3.坐标原点O的坐标为（0，0）。B、双基固化已知（a-2）2+(b+3)2=0，试判断点M（-a，-）所在的象限.【分析】由（a-2）2+(b+3)2=0，得a=2，b=-3，所以点M（-2，-）在第三象限.【解析】由（a-2）2+(b+3)2=0，得a

33、=2，b=-3，-a=-2，-=-，即点M的坐标为（-2，-），又-20，-第三边，故有2cm+9cm第三边长, 即11cm第三边长，两边差第三边, 即9cm-2cm第三边长, 也就是7cmbc, 若aa-b, ba-c 由abc 可知,ac, b是正数,故a+bc. 同理a+cb.即ab-c【解答】(1)因为6+810， 所以6，8，10能组成三角形。 (2)因为5+28 , 所以5，8，2不能组成三角形AB、双基固化如图AD是ABC边BC上的中线, 已知: AB=5cm, AC=3cmCB求ABD与ACD周长的差.D解析:有关中线的题目, 常与周长联系, 考查长度的计算.解答: CABD=

34、AB+AD+BD CACD=AC+AD+CD因为BD=CD故CABD -CACD=AB-AC=2cmC、能力提升已知等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm和21cm两部分，求这个三角形的腰长图DCBA【解析】如图，设腰为AB, 底为BC，D为AC边的中点根据题意，得AB+AB12，且BC+AB21；或AB+AB21，且+12解得8，17；或14，5显然当=8，=17时，8817不符合定理，应舍去故此三角形的腰长是14cm 注意：本题有陷阱，即在根据题设条件求得结论时，其中可能有一个答案是错误的，即求出的三角形的三边长不满足三角形三边关系，需要我们去鉴别，而鉴别的依据就是三角形三边

35、关系定理及推论知识点二：与三角形有关的角A、夯实基础A点P是ABC内一点，连结BP并延长交AC于D，连结PC，D则图中1、2、A 的大小关系是（ ）PAA 2 1 BA 2 1 21C2 1 A D1 2 A CB解析: 三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的两个内角和.答案: D将一副三角板按图中的方式叠放，则角等于ABCD解析: 作辅助线l上下两个直角边, l4321因为平行故1=2, 3=4(两直线平行内错角相等), =2+3 (对顶角相等) =1+4=45+30=75当然, 量一量也是可以的【答案】AAB、双基固化如图求A+B+C+D+E的度数解析:添加辅助线解答: 法一:延长BE交

36、AC于F. A+B=BFC(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和)同理: D+E=FPC故A+B+C+D+E=BFC+FPC+C=180(三角形的内角A和等于180)法二: 连结，(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和)(三角形的内角和等于180)点评：敢于添加辅助线C、能力提升已知ABC中，A=60，ABC、ACB的平分线交于点O，则BOC的度数为解：如图2，由BO平分ABC，得1=ABC；由CO平分ACB，得2=ACB所以1+2=(ABC +ACB)=(180-A) =(180-60)=60解析：如图，ABC中，角平分线AD 、BE 、CF相交于点H，过H点作HGAC，垂足

37、为G,那么AHE=CHG？为什么？解答：AD、BE、CF为ABC的角平分线BAC=21, ABC=22=故2AHE=22=BAC+ABC在CHG中，CHG=90-32CHG=180-23=180-BCA=BAC+ABCAHE=CHG；知识点三： 三角形的高、中线和角平分线A、夯实基础下列说法：三角形的高、中线、角平分线都是线段；三角形的三条中线都在三角形内部；三角形的高有两条在三角形的外部，还有一条在三角形的内部；如果点P是ABC中AC边的中点，则PB是ABC的中线，其中正确的是（ ） A B C D【解答】A【解析】ABC的三条高.三角形高的位置与三角形的形状有关，锐角三角形的三条高在三角形

38、内部；钝角三角形的三条高有两条高在三角形的外部；直角三角形有两条高与直角边重合.锐角三角形ABC的三条高交于一点，交点在三角形内部；钝角三角形ABC三条高不交于一点，但高所在的直线交于一点；直角三角形ABC的三条高交于一点，交点为直角顶点A.因为SBCAD=ACBE=ABCF，所以BCAD=ACBE=ABCF.ABC中所有中线.【注意】无论什么形状的三角形，三条边上的中线均在三角形内，并交于一点.由AF=BF=AB，BD=DC=BC，AE=CE=AC，所以SACF=SBCF=SABD=SADC=SABE=SBCE.ABC中所有角平分线.【注意】三角形的角平分线是线段，而角的平分线是射线. 无论

39、什么形状的的三角形，三个角的平分线都在三角形内部，并相交于一点.如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ ）A锐角三角形B钝角三角形C直角三角形 D都有可能B、双基固化如图，ABC中，AD，CE是ABC的两条高，BC=5cm，AD=3cm，CE=4cm，你能求出AB的长吗？【解析】由于三角形面积等于底与高乘积的一半.因此，三角形的面积就有三种不同的表达方式.我们若设ABC的三边长分别为a，b，c，对应边上的高分别为ha，hb，hc，那么三角形的面积S=aha=bhb=chc.本题中已知三角形的两条高与其中一条高所对应的边，求另一条边，利用三角形面积SABC=BCAD

40、=ABCE，解决十分方便.解：SABC=BCAD=ABCE53=AB4，解得AB=（cm）【点评】用同一个三角形不同的面积表达式建立等式求线段的长度，是一种很重要的方法，在今后的学习中，我们应注意这种方法的运用C、能力提升下图是一个等边三角形木框，甲虫在边框上爬行（，端点除外），设甲虫到另外两边的距离之和为，等边三角形的高为，则与的大小关系是（）无法确定【解答】C【解析】连结BP，则有，因为ABC是等边三角形，根据等积法，可证得）本章主要内容有三角形的有关线段、角，三角形的高、中线和角平分线是三角形中的主要线段，与三角形有关的角有内角、外角。教材通过实验让学生了解三角形的稳定性，在知道三角形的

41、内角和等于1800的基础上，进行推理论证，从而得出三角形外角的性质。这些知识加深了学生对三角形的认识，既是学习特殊三角形的基础，也是研究其它图形的基础。通过本节课的学习要了解与三角形有关的线段（边、高、中线、角平分线）。理解三角形两边的和大于第三边，会根据三条线段的长度判断它们能否构成三角形。会画出任意三角形的高、中线、角平分线。了解三角形的稳定性及其应用。了解与三角形有关的角（内角、外角），会用平行线的性质与平角的定义说明三角形内角和等于180，探索并了解三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。二、认识三角形 规律总结（一）规律总结三角形

42、的知识是中考中重要的内容，是今后学习的基础. 在这一章中, 体现了不少数学思想,一是转化的思想,一是分类讨论的思想. 它将为我们后续的学习打下坚实的基础. （二）例题精讲考点一：三角形中的转化思想考点二：三角形中的分类讨论思想考点一：三角形中的转化思想A、夯实基础ABCDEFGHI123如图: 求A+B+C+D+E+F的度数.【解析】将求角度问题转化为三角形内角和问题,A+B+C+D+E+FABG内角内角和+CDH内角和+EFI内角和-GHI内角和【解答】ABC中, A+B+AGB=180(三角形内角和定理) 同理: +=180 +=180 1+2+3=180A+B+C+D+E+F+=540A

43、GB=1（对顶角相等）同理GIH=2, GHI=3故A+B+C+D+E+F+1+2+3=540从而A+B+C+D+E+FB、双基固化下图是一个等边三角形，点在上爬行（A,B端点除外），设点到另外两边的距离之和为，等边三角形的高为，则与的大小关系是（）无法确定【解答】C【解析】连结CP，根据等积法，则有，D即BCDP+ACPE=ACh因为ABC是等边三角形，故DP+PE=h,而DP+PE=d可证得d=hE本题运用了转化的思想, 将长度关系转化为面积关系求解.【点评】在利用数学知识解决实际问题时，需要先把实际问题转化成数学问题，然后再利用数学知识进行解决。因此，转化思想是利用数学知识解决实际问题的

44、关键。所谓转化的思想是将陌生的或不易解决的问题，设法通过某种手段转化为我们所熟悉的或已经解决的，或易于解决的问题，从而使原问题获得圆满的解决的一种思想方法。这样不但易于培养创新思维能力。同时也降低了对知识理解的难度，一举多得。_图_B_E_C_A_DC、能力提升如图，已知五角星形的顶点分别为A、B、C、D、E，请你求出A+B+C+D+E的度数. _图_B_E_C_A_D_1_2NM【解析】直接求这五个角的度数和显然比较难，又考虑到此图中提供的角应与三角形有关，我们应该想办法将这几个角转化成三角形的内角，然后利用三角形的内角和定理求解.【解答】解法一：1是CEM的外角，1=C+E，2是BDN的外

45、角，1=B+D.在AMN中，由三角形内角和定理，得A+1+2=180，A+B+C+D+E=180.解法二：如图，连结CD，在BOE和COD中，5=6，3+4+6=B+E+5=180，3+4=B+E.在ACD中，A+ACE+ADC=180，A+ACE+ADC+3+4+ADB=180，A+B+C+D+E=180.【点评】在遇到不熟悉的数学问题时，要善于研究分析该问题的结构，通过“拼”、“拆”、“合”、“分”等方法将之转化为熟悉问题来解决.这种将不熟悉的数学问题转化为熟悉的数学问题来解决，这就是转化的思想.在运用三角形知识解决有关问题时，通过添加辅助线将一般图形转化为三角形来解决是常用解答方法之一.

46、考点二：三角形中的分类讨论思想A、夯实基础现有长度分别为2cm、3cm、4cm、5cm的木棒，从中任取三根，能组成三角形的个数为（ ）A1B2C3D4【解析】要确定三角形的个数只需根据题意，首先确定有几种选择，再运用三角形三边关系逐一验证，做到不漏不重由三角形的三边关系知：若以长度分别为2cm、3cm、4cm，则可以组成三角形；若以长度分别为3cm、4cm、5cm，则可以组成三角形；若以长度分别为2cm、3cm、5cm，则不可以组成三角形；若以长度分别为2cm、4cm、5cm，则也可以组成三角形即分别为2cm、3cm、4cm、5cm的木棒，从中任取三根，能组成三角形的个数为3，故应选C【解答】

47、CB、双基固化已知斜三角形ABC中，A=45，高BD和CE所在直线交于H，求BHC的度数.【解析】三角形的形状不同，高的交点的位置也就不同，斜三角形包括锐角三角形和钝角三角形，故应分两种情况讨论. 【解答】ABC为斜三角形，ABC可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形，（1）当ABC为锐角三角形时（如图1），BD、CE是ABC的高，A=45，ADB=BEH=90，ABD=90-45=45，BHC=ABH+BEH=45+90=135.（2）当ABC为钝角三角形时（如图2），H为ABC的两条高所在直线的交点，A=45，ABD=90-45=45，在RtEBH中，BHC= 90-ABD=90-45=45

48、.综上所述，BHC的度数是135或45.【点评】当问题出现的结果不唯一时，我们就需要分不同的情况来解决，这就是分类的思想.此类问题的出现，往往会被同学们忽视，或考虑不全面，希望大家在平时就要养成分类解析的习惯.本题易犯的错误是只考虑锐角三角形的情况，而造成解答不全面的错误.C、能力提升各边长互不相等且都是整数、周长为24的三角形共有_个？【解析】最长边短于于周长的一半(两较短边的和大于较长边),长于周长的三分之一(即各边长的平均数)设较大边长为a，另两边长为b、c因为abc，故2aabc，a(abc)又aabc，即2abc所以3aabc，a(abc)所以，(abc)a(abc)24a24所以8

49、a12即a应为9，10，11由三角形三边关系定理和推论讨论知： 由此知符合条件的三角形一共有7个答案: 知符合条件的三角形一共有7个三、多边形及其内角和 知识总结（一）知识总结镶嵌多边形多边形的内角和三角形的内角和多边形的外角和n边形的内角和等于(n-2)180（二）例题精讲知识点一： 多边形及其内角和, 外角和知识点二： 图形的镶嵌知识点一： 多边形及其内角和, 外角和A、夯实基础四边形的四个内角（）可以都是锐角可以都是钝角可以都是直角必须有两个锐角解析: n边形内角和=(n-2)180(n3)答案:C一个七边形的内角和等于，十边形的内角和等于，边形的内角和等于, 外角和等于_解析: 多边形

50、内角和公式: n边形内角和=(n-2)180, n边形外角和=360(n3)答案: 6：；B、双基固化(1)多边形的内角和不可能为（ ）A、180 B、680 C、1080 D、1980如果一个多边形的内角和等于外角和的2倍，那么这个多边形的边数n 解析：根据多边形的内角和公式为：(n-2)180，其中n是大于或等于3的整数。可以知道三角形的内角和为180的整数倍。而B中680不能被180整除。多边形的外角和是360，根据这个多边形的内角和等于外角和的2倍，可以得到该多边形的内角和为3602=720，根据多边形的内角和公式：(n-2)180=720，解得n=6，解：选B；n=6C、能力提升如图

51、,小亮从A点出发向前走10米, 向右转15, 再向前走10米, 向右转15再向前走10米, 又向右转15, 这样一直走下去. 他第一次回到点A时一共走了_米15解析: 此题实际上描述了一个正多边形,它的每一个外角都等于15, 因此边数为36015=24， 即为24边形, 故周长为240米答案: 240小明和小方分别设计了一种求边形的内角和（为大于2的整数）的方案： 小明是在边形内取一点，然后分别连结、（如图1）；小红是在边形的一边上任取一点，然后分别连结、（如图2）. 请你评判这两种方案是否可行？如果不行的话，请你说明理由；如果可行的话，请你沿着方案的设计思路把多边形的内角和求出来. 图1 图

52、2多边形内角和公式的推导多边形的内角和公式(n-2)180的推导是将多边形分割为三角形,将多边形的内角和转化为我们熟悉的三角形的内角和来解决的.这里体现一种转化思想.常见的推导方法有三种:(1)从一个顶点出发引n边形的(n-3)条对角线,把n边形分割成(n-2)个三角形,则这(n-2)个三角形的内角和就是n边形的内角和,从而得到n边形的内角和为(n-2)180.(2)在n边形内任意取一点,然后把这一点与各顶点连接,将n边形分割成n个三角形,这n个三角形的内角和比n边形的内角和多出了一个周角360,所以n边形的内角和为n180-360=(n-2)180. (3)在n边形的一边上取一点,把这点与多

53、边形的个顶点连接,把n边形分割成(n-1)个三角形,这(n-1)个三角形的内角的和比n边形的内角的和多出了一个平角即180,所以n边形的内角和是(n-1)180-180=(n-2)180.2.多边形外角和的推导n边形的任何一个外角加上与它相邻的内角都等于180 ,n边形的n个外角连同它们各自相邻的内角，共有2n个角，这些角的总和为n180.这些总和就是n边形的外角和加上内角和，所以外角和等于总和减去内角和，即外角和等于n180-(n-2)180=2180=360.知识点二： 图形的镶嵌A、夯实基础当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个 时，就拼成一个平面图形。周角 B、双基固

54、化某商店出售下列四种形状的地砖：正三角形；正方形；正五边形；正六边形若只选购其中一种地砖镶嵌地面，可供选择的地砖共有（ ）（A）4种；（B）3种 ；（C）2种；（D）1种解析：解答此类问题的关键是求出各正多边形的内角度数，若内角度数是360的约数，则这个正多边形能够进行平面镶嵌，否则不能进行平面镶嵌解：由于正三角形、正方形、正五边形、正六边形的内角度数分别为60、90、108、120显然，108不是360的约数，所以正五边形不能进行平面镶嵌故应选C点评：只用同一种正多边形进行平面镶嵌的，只有三种正多边形，即正三角形、正方形、正六边形C、能力提升某中学新科技馆铺设地面，已有正三角形形状的地砖，现

55、打算购买另一种不同形状的正多边形地砖，与正三角形地砖在同一顶点处作平面镶嵌，则该学校不应该购买的地砖形状是A 正方形 B正六边形 C 正八边形 D 正十二边形解析: 从平面图形的镶嵌中可以发现，解决问题的关键在于分析能同时用于完整镶嵌平面的两种正多边形的内角特点具体地说，就是在镶嵌平面时，一个顶点周围围绕的各个正多边形的内角恰好拼成一个周角在镶嵌平面时，设围绕某一点有x个正三角形和y个正方形的内角可以拼成一个周角根据题意，可得方程：，整理得：，我们可以找到惟一一组适合方程的正整数解为 设围绕某一点有x个正三角形和y个正六边形的内角可以拼成一个周角根据题意，可得方程：，整理得：，我们可以找到适合

56、方程的正整数解为 设围绕某一点有x个正三角形和y个正十二边形的内角可以拼成一个周角根据题意，可得方程：，整理得：，我们可以找到惟一一组适合方程的正整数解为 设围绕某一点有x个正三角形和y个正八边形的内角可以拼成一个周角根据题意，可得方程：，整理得：，我们找不到适合方程的正整数解 答案:C四、多边形及其内角和 规律总结（一）规律总结在本章的学习中: 我们同样遇到了不少能体现数学思想的地方.本章中, 我们遇到的数学思想可分为两类, 一类是转化思想, 一类是方程思想.（二）例题精讲考点一：多边形中的转化思想.考点二：镶嵌中的方程思想.考点一：多边形中的转化思想.A、夯实基础如图(十六)，有一正八边形

57、ABCDEFGH，点O为中心,若ODE的面积为 5，则正八边形ABCDEFGH的面积为何？ (A) 40 (B) 50 (C) 60 (D) 80 。【解析】多边形面积转化为三角形面积, 【答案】A B、双基固化如图所示，以六边形的每个顶点为圆心，1为半径画圆，则图中阴影部分的面积为。图【答案】O【解析】面积问题转化为多边形内角和问题AAC、能力提升将一块正五边形纸片（图）做成一个底面仍为正五边形且高相等的无盖纸盒（侧面均垂直于底面，见图），需在每一个顶点处剪去一个四边形，例如图中的四边形，则的大小是_度.21FE【答案】72【解析】转化为求正五边形内角问题考点二：镶嵌中的方程思想.A、夯实基

58、础下列多边形中，不能铺满地面的是（ ）A、正三边形 B、正四边形 C、正五边形 D、正六边形【解析】当围绕一个顶点拼在一起的几个正多边形的内角加在一起恰好等于一个周角时, 就说这几个多边形能够平面镶嵌.若用同一种正多边形拼成一个平面图形,则这个正多边形内角的度数p,必能使方程px=360有正整数解.本题中ABD满足条件,C不满足.故选C【答案】C 如果用正六边形来镶嵌平面，在一个顶点周围应该围绕着 个正六边形的内角【解析】这类问题的解法: 看px=360是否有正整数解(其中p为正多边形一个内角的度数)【解答】3B、双基固化是否可以同时用正方形、正八边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？【解析】我们

59、可以将此问题转化为数学问题来解决从平面图形的镶嵌中可以发现，解决问题的关键在于分析能同时用于完整镶嵌平面的两种正多边形的内角特点具体地说，就是在镶嵌平面时，一个顶点周围围绕的各个正多边形的内角恰好拼成一个周角【解答】在镶嵌平面时，设围绕某一点有x个正方形和y个正八边形的内角可以拼成一个周角根据题意，可得方程：，整理得：怎样求解?将一个未知量放在等号一边,另一个未知量放在等号另一边.将一边的系数化为1.2x=8-3y 3y=8-2xx=4-1.5y y=此时y为正整数又比2小或等于2,只能取1,2.将可能取得的值代入检验,即得结果此时x为正整数又比4小,只能取1,2,3.将可能取得的值代入检验,

60、即得结果我们可以找到惟一一组适合方程的正整数解为 结论：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着1个正方形和2个正八边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正方形和正八边形两种正多边形组合可以进行平面镶嵌点评:解决两种正多边形满铺问题,只需将其转化为判断二元一次方程是否有正整数解.C、能力提升是否可以同时用正三角形、正方形和正六边形三种正多边形组合进行平面镶嵌？ 【解析】【解答】在镶嵌平面时，设围绕某一点有m个正三角形、n个正方形和c个正六边形的内角可以拼成一个周角. 根据题意，可得方程：，整理得：，可以找到惟一一组适合方程的正整数解为.8分结论：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着1个正三角形、2个正方形