2022年河北省张家口市高考数学一模试卷及答案解析

1、第 PAGE 22 页 共 20 页2022 年河北省张家口市高考数学一模试卷注意事项：答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号 条形码粘贴在答题卡上的指定位置。选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效。3、非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在 试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的A2，4，6，8B2，4，6

2、C0，1，2，3，4，5，6，8D2，45 =（A2+iB2i）C105iD10+5i1（5 分）已知集合 A0，1，2，3，4，5，6，B2，4，6，8，则 AB（）2（5 分）已知 z12i，则3（5 分）直线 x+y2 与圆（x2）2+（y3）26 交于 A，B 两点，则|AB|（）6A32B6C 2D234（5 分）已知一个圆锥的底面半径为2，其侧面面积是底面面积的3倍，则该圆锥的体积为（）6 234B 33C 3 35（5 分）已知M（x0，y0）是抛物线C：y22px（p0）上一点，F 是 C 的焦点，y0|MF|6，则 p（）A2B3C6D96（5 分）已知函数() = 1 2

3、+ ，则函数 f（x）在点（1，f（1）处的切线方程为（）+1A2x+y20B2xy10C2x+y10D2xy+10 7（5 分）已知函数() = 1，则（）函数 f（x）是奇函数，在区间（0，+）上单调递增函数 f（x）是奇函数，在区间（，0）上单调递减函数 f（x）是偶函数，在区间（0，+）上单调递减2函数 f（x）非奇非偶，在区间（，0）上单调递增8（5 分）已知 10 x2，10y5，则（）4Ax+y1B 1C2 + 21D 25二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得

4、0 分（多选）9（5 分）2021 年 11 月 10 日，中国和美国在联合国气候变化格拉斯哥大会期间发布中美关于在21 世纪20 年代强化气候行动的格拉斯哥联合宣言（以下简称宣言）承诺继续共同努力，并与各方一道，加强巴黎协定的实施，双方同意建立“21 世纪 20年代强化气候行动工作组”，推动两国气候变化合作和多边进程为响应宣言要求，某地区统计了 2020 年该地区一次能源消费结构比例，并规划了 2030 年一次能源消费结构比例，如图所示：经测算，预估该地区2030 年一次能源消费量将增长为2020 年的2.5 倍，预计该地区（）A2030 年煤的消费量相对 2020 年减少了B2030 年天

5、然气的消费量是 2020 年的 5 倍C2030 年石油的消费量相对 2020 年不变D2030 年水、核、风能的消费量是 2020 年的 7.5 倍（多选）10（5 分）已知 F ，F为椭圆： 2 + 2 = 1的左、右焦点，直线 ykx（k0）123与椭圆 C 交于 A，B 两点，过点 A 向 x 轴作垂线，垂足为 E，则（）6椭圆 C 的离心率为 3四边形 AF1BF2 的周长一定是43点 E 与焦点重合时，四边形 AF1BF2 的面积最大1直线 BE 的斜率为2（多选）11（5 分）已知sincos+3cos2cos+ 3（0（）A3B62 ，2），则1218D（多选）12（5 分）在

6、九章算术中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑（bi no）如图，三棱锥 DABC 为一个鳖臑，其中 DA平面 ABC，ABBC，DAABBC2，AMDC，M 为垂足，则（）AAM平面 BCDBDC 为三棱锥 DABC 的外接球的直径C三棱锥 MABD 的外接球体积为43D三棱锥 MABC 的外接球体积与三棱锥 MABD 的外接球体积相等三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13（5 分）已知向量 =（12m，1），向量 =（3m+1，2），若，则实数 m14（5 分）已知an为等差数列，an+1an0，a46，且 a2，a3，a5 成等比数列，则 an15（5 分）

7、四个不同的小球随机放入编号为1，2，3，4 的四个盒子中，则恰有两个空盒的概率为16（5 分）已知函数() = ( + )(0，| )，(0) = 22间(816 ， )上单调递减，则 的最大值为2 ，且函数 f（x）在区四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10 分）已知 Sn 是数列an的前 n 项和，Snn2（1）求数列an的通项公式；（2）求数列1+1的前 n 项和 Tn18（12 分）已知某区 A，B 两所初级中学的初一年级在校学生人数之比为 9：11，该区教育局为了解双减政策的落实情况，用分层抽样的方法在 A，B 两校初一年级在校学生

8、中共抽取了 100 名学生，调查了他们课下做作业的时间，并根据调查结果绘制了如图频率分布直方图：在抽取的 100 名学生中，A，B 两所学校各抽取的人数是多少？该区教育局想了解学生做作业时间的平均时长（同一组中的数据用该组区间的中 点值作代表）和做作业时长超过 3 小时的学生比例，请根据频率分布直方图，估计这两个数值；另据调查，这 100 人中做作业时间超过 3 小时的人中的 20 人来自 A 中学，根据已知条件填写下面列联表，并根据列联表判断是否有 99%的把握认为“做作业时间超过 3 小时”与“学校”有关？单位：人做作业时间超过 3 小 做作业时间不超过 3合计时小时A 校B 校合计附表：

9、p（K2k）0.100.050.0250.0100.001k2.7063.8415.0246.63510.828附： 2 =()2 (+)(+)(+)(+)19（12 分）在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 = 135， = 5求sinB；若 D 为 AB 的中点，CD1，求ABC 的面积20（12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为正方形，M，N，E，F 分别为 AP，AD，DC，PB 的中点证明：AF平面 MNE；若平面 PAD平面 ABCD，PAD 为等边三角形，求二面角 DPCB 的正弦值2 2=1（a0，b0）的离心率为 2，右顶点 D

10、到一条渐21（12 分）已知双曲线 C： 223近线的距离为 2 求双曲线 C 的方程；若直线 l 与双曲线 C 交于 A，B 两点，且 =0，O 为坐标原点，点 O 到直线l 的距离是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由22（12 分）已知函数 f（x）ex+exax22当 a1 时，证明：函数 f（x）在区间（0，+）上单调递增；若 g（x）f（x）ex，讨论函数 g（x）的极值点的个数2022 年河北省张家口市高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5 分）已知集合 A0

11、，1，2，3，4，5，6，B2，4，6，8，则 AB（）A2，4，6，8 C0，1，2，3，4，5，6，8B2，4，6 D2，4【解答】解：集合 A0，1，2，3，4，5，6，B2，4，6，8，AB2，4，6故选：B5=（）2（5 分）已知 z12i，则2+i2i05iD10+5i5【解答】解：z12i，则 =故选：A512=5(12) (12)(12)=i（1+2i）2+i3（5 分）直线 x+y2 与圆（x2）2+（y3）26 交于 A，B 两点，则|AB|（）6A32B6C 2D23【解答】解：由题意可知：圆（x2）2+（y3）26 的圆心 C（2，3），半径为r= 6，于是圆心 C（2

12、，3）到直线 x+y2 的距离为： = |232|= 32 22 ，2所以|AB|222 =2 6故选：B9 = 6，4（5 分）已知一个圆锥的底面半径为2，其侧面面积是底面面积的3倍，则该圆锥的体积为（）6 234B 33C 3 3【解答】解：如图所示，由已知可得，OA= 2，其底面积为 (2)2 =2，且侧面积为 2 PA= 2PA，所以2PA= 3 2，解得 PA= 6， 所以 PO= (6)2(2)2 =2，31 (2)2 2= 4所以该圆锥的体积为3故选：D5（5 分）已知M（x0，y0）是抛物线C：y22px（p0）上一点，F 是 C 的焦点，y0|MF|6，则 p（）A2B3C6

13、D9【解答】解：由定义| = + = = 6，又2= 36 = 2 ，020002所以36 = 2(6 )，解得 p6故选：C6（5 分）已知函数() = 1 2 + ，则函数 f（x）在点（1，f（1）处的切线方程为（）A2x+y20B2xy10【解答】解：() = 1 2 + ，C2x+y10D2xy+10f（x）= 12又 f（1）1，1 2 +，则 f（1）2，函数 f（x）在点（1，f（1）处的切线方程为 y+12（x1），即 2x+y10故选：C+1，则（7（5 分）已知函数() = 1）函数 f（x）是奇函数，在区间（0，+）上单调递增函数 f（x）是奇函数，在区间（，0）上单调

14、递减函数 f（x）是偶函数，在区间（0，+）上单调递减函数 f（x）非奇非偶，在区间（，0）上单调递增+1【解答】解：函数() = 1的定义域为 R，关于原点对称， 由 f（x）= 1 = 1 = f（x），+11+所以 f（x）为奇函数；由 f（x）12，当 x0 时，yex 递增，y=2递减，+1则 f（x）在（0，+）递增由奇函数的性质可得 f（x）在（，0）递增+1故选：A8（5 分）已知 10 x2，10y5，则（）4Ax+y1B 12C2 + 215D 2【解答】解：由题意 10 x2，10y5，xlg2，ylg5，可知 x，y 都大于零，且 xy，可得 10 x10y10，4即

15、10 x+y10，x+y1，选项 A 错误， 1x+y2，解得 xy 1，选项 B 错误，x2+y2x2+（1x）22x22x+12（x 1）2+ 1 1 15yxlg5lg2lg ，2222（其中 x2），选项 C 正确，2 =lg1025210 的大小，5，即只需比较 和 5522525312552即可比较(2)5和 10 的大小，而(2)5=32 97.66100， 即 105 ，5lg2 = 2，选项 D 错误，所以 yxlg21055故选：C二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分

16、，有选错的得 0 分（多选）9（5 分）2021 年 11 月 10 日，中国和美国在联合国气候变化格拉斯哥大会期间发布中美关于在21 世纪20 年代强化气候行动的格拉斯哥联合宣言（以下简称宣言）承诺继续共同努力，并与各方一道，加强巴黎协定的实施，双方同意建立“21 世纪 20年代强化气候行动工作组”，推动两国气候变化合作和多边进程为响应宣言要求，某地区统计了 2020 年该地区一次能源消费结构比例，并规划了 2030 年一次能源消费结构比例，如图所示：经测算，预估该地区2030 年一次能源消费量将增长为2020 年的2.5 倍，预计该地区（）A2030 年煤的消费量相对 2020 年减少了B

17、2030 年天然气的消费量是 2020 年的 5 倍C2030 年石油的消费量相对 2020 年不变D2030 年水、核、风能的消费量是 2020 年的 7.5 倍【解答】解：设 2020 年该地区一次能源消费总量为 a，则 2030 年一次能源消费总量为2.5a，对于选项 A：2020 年煤的消费量为 0.6a，规划 2030 年煤的消费量为 2.5a0.30.75a0.6a，故选项 A 错误，对于选项 B：2020 年天然气的消费量为 0.1a，规划 2030 年煤的消费量为 2.5a0.20.5a50.1a，故选项 B 正确，对于选项 C：2020 年石油的消费量为 0.2a，规划 20

18、30 年石油的消费量为 2.5a0.20.5a0.2a，故选项 C 错误，对于选项 D：2020 年水、核、风能的消费量为0.1a，规划2030 年水、核、风能的消费量为 2.5a0.30.75a7.50.1a，故选项 D 正确，故选：BD（多选）10（5 分）已知 F ，F为椭圆： 2 + 2 = 1的左、右焦点，直线 ykx（k0）123与椭圆 C 交于 A，B 两点，过点 A 向 x 轴作垂线，垂足为 E，则（）6椭圆 C 的离心率为 3四边形 AF1BF2 的周长一定是43点 E 与焦点重合时，四边形 AF1BF2 的面积最大1直线 BE 的斜率为23【解答】解：由椭圆： 2 + 2

19、= 1，得 = 3，b1，c= 3 1 = 2，e= = 2 = 6，故 A 正确； 33四边形 AF1BF2 的周长为|1| + |2| + |1| + |2| = 4 = 43，故 B 正确；2 =3 = 1+32联立 2 + 32 = 3，得2 =32 ，1+32当 A 点在 x 轴上的射影无限靠近原点 O 时，四边形 AF1BF2 的面积逐渐增大，故 C 错误；不妨设 A 在第一象限，则 A（ 33，），B（3，3），E（ 3，0），1+3 21+32 1+321+321+323= 1+32= 1 ，故 D 正确E332 1+32故选：ABD1+32（多选）11（5 分）已知sinco

20、s+3cos2cos+ 3（）A3B62 ，C （0，2），则D1218【解答】解：因为sincos+3cos2cos+ 32 ， （0，2），1 2 + 3 (1 + 2) =cos+ 322所以，2即 sin（2 + ）cossin（ + 3因为 （0，2），2），4所以 2 + 3（3， 3）， + 2（2 ， ），3232所以 2 + = + 或 2 + + + =，所以 = = 6或18故选：BD（多选）12（5 分）在九章算术中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑（bi no）如图，三棱锥 DABC 为一个鳖臑，其中 DA平面 ABC，ABBC，DAABBC2，AMDC，M

21、为垂足，则（）AAM平面 BCDBDC 为三棱锥 DABC 的外接球的直径C三棱锥 MABD 的外接球体积为43D三棱锥 MABC 的外接球体积与三棱锥 MABD 的外接球体积相等【解答】解：对于 A 选项，如下图，过点 A 向 BD 引垂线，垂足为 N，AD平面 ABC，BC平面 ABC，则 BCAD，BCAB，ABADA，则 BC平面 ABD，又 AN、BD平面 ABD，所以，CBAN，CBBD，ANBD，BC BDB，则 AN平面 BCD， 这与 AM平面 BCD 矛盾，A 错；对于 B 选项，AD平面 ABC，AC平面 ABC，则 ACAD，在三棱锥 DABC 中，DACCBD90，则

22、 DC 的中点到 A、B、C、D 的距离相等，所以 DC 为三棱锥 DABC 的外接球的直径，故 B 正确； 对于 C 选项，分别取 BD、CD 的中点 N、E，连接 EN，因为 N、E 分别为 BD、CD 的中点，则 ENBC，BC平面 ABD，则 EN平面 ABD，AD平面 ABC，AB平面 ABC，则 ABAD， 故ABD 的外心为线段 BD 的中点 N，因为 EN平面 MBD，则平面 MBD平面 ABD，故三棱锥 MABD 的外接球球心在直线 EN 上，即该球球心在平面 MBD 内， 所以MBD 的外接圆直径 2R 为三棱锥 MABD 的外接球直径，BC2， = 2 + 2 = 2 +

23、 2 + 2 = 23，M = = 2 6，M = 2 M2 = 4 333 ，在 RtBCD 中 ， = = 3， = = 333 ，在MBC 中，由余弦定理得，M = 2 + M2 2 M = 2，故2 =MM= 2 = 23，则 = 3，3 34 3 = 4 3，故 C 正确；所以三棱锥 MABD 的外接球体积为3因为AMCABC90，故 AC 为三棱锥 MABC 的外接球的直径，且 = 22， 而三棱锥 MABD 的外接球直径为23，故 D 错误故选：BC三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13（5 分）已知向量 =（12m，1 =（3m+1，2），若1 【解答】

24、解： =（12m，1），向量），向量 =（3m+1，2），则实数m 7，（12m）21（3m+1），7，7m1，m= 11故答案为： 714（5 分）已知an为等差数列，an+1an0，a46，且 a2，a3，a5 成等比数列，则 an 2n2【解答】解：根据题意，设等差数列an的公差为 d（d0），由 a2，a3，a5 成等比数列，得 a32a2a5，即（a1+2d）2（a1+d）（a1+4d），整理得 a1d0，故 a10，又 a4a1+3d6，得 3d6，解得 d2， 所以 an0+2（n1）2n2故答案为：2n215（5 分）四个不同的小球随机放入编号为1，2，3，4 的四个盒子中，则

25、恰有两个空盒的21概率为64【解答】解：四个不同的小球随机放入编号为1，2，3，4 的四个盒子中，则基本事件数为 444444，4有两个空盒的事件数为2 (24 2) = 84，464故恰有两个空盒的概率为 P（A）= 84 = 21421故答案为： 6416（5 分）已知函数() = ( + )(0，| )，(0) = 222 ，且函数 f（x）在区间( ， )上单调递减，则 的最大值为10168【解答】解；由题意得 f（0）sin= 2，| ，所以 = 22sin（ + 4，f（x）因为 f（x）在区间( 4）， )上单调递减， + 所以1642 + 3168，842解得，410，即 的最

26、大值为 10 故答案为：10四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10 分）已知 Sn 是数列an的前 n 项和，Snn2求数列an的通项公式；求数列1的前 n 项和 T +1n【解答】解：（1）Sn 是数列an的前 n 项和，Snn2，S112a1，Sn1（n1）2，得：an2n1，（n2），a11 也成立，an2n1，11111（2）=（）， +1(21)(2+1)2212+1数列1的前 n 项和 T= 1（11 + 11 +11）= 1（11）= 2+1+1n2335212+122+118（12 分）已知某区 A，B 两所初级中学的初一年级

27、在校学生人数之比为 9：11，该区教育局为了解双减政策的落实情况，用分层抽样的方法在 A，B 两校初一年级在校学生中共抽取了 100 名学生，调查了他们课下做作业的时间，并根据调查结果绘制了如图频率分布直方图：在抽取的 100 名学生中，A，B 两所学校各抽取的人数是多少？该区教育局想了解学生做作业时间的平均时长（同一组中的数据用该组区间的中 点值作代表）和做作业时长超过 3 小时的学生比例，请根据频率分布直方图，估计这两个数值；另据调查，这 100 人中做作业时间超过 3 小时的人中的 20 人来自 A 中学，根据已知条件填写下面列联表，并根据列联表判断是否有 99%的把握认为“做作业时间超

28、过 3 小时”与“学校”有关？单位：人做作业时间超过 3 小 做作业时间不超过 3合计时小时A 校B 校合计附表：p（K2k）0.100.050.0250.0100.001k2.7063.8415.0246.63510.828附： 2 =()2 (+)(+)(+)(+)【解答】解：（1）根据分层抽样原理知，在抽取的 100 名学生中，A 学校抽取人数是 100=945（人），9+11B 学校抽取人数是 100119+11=55（人）；根据频率分布直方图知，学生做作业时间的平均时长为 =（1.250.1+1.750.3+2.250.4+2.750.6+3.250.3+3.750.2+4.250.

29、1）0.52.675（小时），做作业时长超过 3 小时的人数为（0.3+0.2+0.1）0.510030（人），所以根据频率分布直方图，估计这两个数值分别为2，675 和 30；根据题意填写列联表如下，做作业时间超过 3 小时做作业时间不超过 3小时合计A 校202545B 校104555合计3070100根据表中数据，计算=K2100(20451025)28.1296.635，45553070所以有 99%的把握认为“做作业时间超过 3 小时”与“学校”有关19（12 分）在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 = 135， = 5求sinB；若 D 为 AB 的中点，

30、CD1，求ABC 的面积【解答】解：（1）ABC 中， = 135， = 5，由正弦定理得= 5a，sinA= 5，cosA= 12 = 25，55sinBsin（A+C）sinAcosC+cosAsinC= 5 （ 2）+ 2 5 2 = 10；（2）如图所示，525210因为 = 1（ + ），2所以 2= 1 2 + 1 + 1 2= 1b2+ 1bacos135+ 1a21，.424424又 b= 5asinB= 5a 10 = 2a，.102由解得 a22，b2，所以ABC 的面积为 SABC= 1absinC= 1 22 2sin13522220（12 分）如图，在四棱锥 PABC

31、D 中，底面 ABCD 为正方形，M，N，E，F 分别为 AP，AD，DC，PB 的中点证明：AF平面 MNE；若平面 PAD平面 ABCD，PAD 为等边三角形，求二面角 DPCB 的正弦值【解答】（1）证明：连接 AC、BD，ACBDO，连接 OF， 因为 ABCD 为正方形，所以 O 为 AC 中点，因为 F 为 PB 中点，所以 OFPD，因为 M、N 分别为 PA、DA 中点，所以 MNPD， 所以 OFMN，因为 NE 分别为 AD、CD 中点，所以 NEAO， 所以平面 AOF平面 MNE，因为 AF平面 AOF，所以 AF平面 MNE（2）解：连接 NP、NO，因为PAD 为等

32、边三角形，所以 PNAD，又因为平面 PAD平面 ABCD，所以 PN平面 ABCD， 因为 ABCD 为正方形，所以 NO、ND、NP 两两垂直，建系如图，不妨设 AB2，P（0，0，3），B（2，1，0），C（2，1，0），D（0，1，0）， =（2，1，3）， =（2，0，0）， =（0，1，0），令 =（0，3，1）， =（3，0，2），因为 =0，=0，所以 是平面 PCD 的法向量，因为 =0， =0，所以是平面 PBC 的法向量，设二面角 DPCB 的大小为，（0，）， =|cos | | =22= 7，sin= 1 2 = 42777| |2 2=1（a0，b0）的离心率为 2，右顶点 D 到一条渐21（12 分）已知双曲线 C：223近线的距离为 2 求双曲线 C 的方程；若直线 l 与双曲线 C 交于 A，B 两点，且 =0，O 为坐标原点，点 O 到直线l 的距离是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由22【解答】解：（1）根据题意，双曲线 C： 22=1（a0，b0）的离心率为 2，则 e= =2，即 c2a，3 = 3又由右定点到一条渐近线的距离为 2又由 c2a2+b2，即 4a2a2+