221分数指数幂课时教案（两个课时）

1、PAGE PAGE 9指数函数分数指数幂三维目标 一、知识与技能1了解指数函数模型的实际背景，认识学习指数函数的必要性；2理解分数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义；3理解n次方根与n次根式的概念，会进行根式与分数指数幂的相互转化；4掌握有理指数幂的运算性质，灵活运用乘法公式进行有理指数幂的运算与化简，会进行根式与分数指数幂的相互转化二、过程与方法1通过师生、同学之间的互相交流，使学生进一步体会共同学习的乐趣2通过n次方根概念的探索与活动，明确数学概念的严谨性和科学性，学会做具备严谨科学态度的人3通过对问题的探究过程，培养学生的观察能力和理性思维能力三、情感、态度与价值观1通过n次方根概念的学

2、习，体会类比的数学思想方法在数学学习中的作用，感受数学概念的整体性、严密性，学会怎样不断完善概念，培养严谨的科学精神2在教学过程中，通过学生的相互交流，来加深对n次方根的性质的理解，增强学生的交流能力，不断培养学生倾听、接受别人意见的优良品质二教学重点分数指数幂的概念及其运算性质的应用三教学难点1对根式意义的理解；2化简、求值问题中的指数运算技巧、整体代换思想的运用四教学过程第一课时问题情境细菌的繁殖在理想状态下约每20min一代，就是每20min由1个分裂成2个问题1 你能写出一个细菌分裂后的个数y与细菌分裂次数x之间的函数关系式吗？y2x，xN问题2 如果一个小朋友早上8点半离开家去幼儿园

3、之前洗了手，而且在幼儿园里直到11点半午饭前才由老师领着去洗手那么在这3个小时里，这位小朋友手上一个细菌会繁殖成多少个？ y29512复习回顾整数指数幂的运算性质：当a0，b0，s、tZ时， asatas eq sdo2()t，asatas eq sdo2()t； (as)tast； (ab)tatbt，( eq f( a ,b)t eq f( at ,bt)特别注意：x01(x0)数学理论、数学运用1根式在初中已经接触过平方根、立方根的概念：如果x2a，那么称x为a的平方根，一个正数的平方根有2个，且互为相反数；如果x3a，那么称x为a的立方根，一个实数的立方根只有一个；如此类推，如果一个实

4、数x满足xna（n1，nN*），那么称x为a的n次实数方根当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时，的次实数方根只有一个，用记为x表示例如：，当n为偶数时，正数a的n次实数方根有两个，它们互为相反数，这时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号表示，可以合并写成 eq r(n,a)（a0）例如：，16的4次方根可以写成负数没有偶次方根而0的n次实数方根为0，记作我们把叫n次根式，n是根指数，a是被开方数思考： ， 根据n次实数方根的定义，可得例如，必需注意的是：不一定等于a当n是奇数时，例如： ，当n是偶数时，因为表示正的n次方根或者0，所以如果a是非负数，

5、那么，例如：，；如果a是负数，那么，例如：综上我们有： 当为奇数时，；当为偶数时，例1 求下列各式的值：（书第46页例1改编）（1）；（2）；（3）；（4）；（5）解：（1）3（2）8（3）|2|2（4）|3|3（5）|ab|ba点评：对于式子，要特别注意的奇偶性，当为奇数时；当n为偶数时，否则容易导致错误的产生分数指数幂学生活动，总结运算规律 eq r(2,25)5， eq r(3,8)2， eq r(3,212)2416（2 eq sup4(f(12,3)）， eq r(5,215)238（2 eq sup4(f(15,5)），问题3 你能从上面的一组计算过程中，得到什么规律？当根式的被开

6、方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式问题4 当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式能不能也写成分数指数幂的形式？当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式也可以写成分数指数幂的形式，例如：，事实上，如果幂的运算性质对分数指数幂也适用这时设，且N*），那么这样，由次根式的定义，就可以把看成的次方根因此我们规定： a eq sup4(f(m,n) eq r(n,am)正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定：a eq sup4(f(m,n) eq f(1, sup6(a eq sup4(f(m,n) )（a0，m、nN*）其中m为被开方数的指数，n

7、为根指数*注意：分数指数幂只是根式的一种新的表示形式；分析底数为正的意义这是因为如果我们不做这样的规定，将会出现矛盾，例如：若规定，而由可得，而这时却没有意义显然：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整数指数推广到有理数指数问题5 推广后原来的整数指数幂的运算性质是还因此而发生的变化呢？推广后指数运算性质保持不变： asatas eq sdo2()t； (as)tast； (ab)tatbt，( eq f( a ,b)t eq f( at ,bt)（a0，b0，s、tQ）例2 求值：（书第47页例2）（1）100； （2）8； （3）9；

8、（4）()解 （1）100(102)1010 （2）8(23)2224（3）9(32)333（4）()(34)3327说明 本例的目的是帮助学生熟练掌握分数指数幂的运算性质例3 用分数指数幂的形式表示下列各式（a0）:（1）a2； （2） （书第47页例3）解 （1）a2a2aa（2）说明 用分数指数表示根式目的在于将根式运算转化为指数运算，因此我们必须演练掌握根式与分数指数幂的互化例4 计算： eq f(a2, r(a)r(3,a2) )解 eq f(a2, r(a)r(3,a2) )说明 （1）式子中既含有分数指数幂，又含有根式时，为了方便计算应该把根式统一化成分数指数幂的形式，再根据运算

9、性质运算（2）对于计算结果，并不强求用统一的形式来表示，如果没有特别的要求，一般用分数指数幂的形式表示但结果不能同时含有根式和分数指数，也不能既有分母又含有负指数课堂练习书第47页练习第2题，第3（3）题，第4题知识拓展问题6 通过这节课的学习我们将指数幂扩展到了分数指数幂，那么能否进一步扩展到有理数指数幂，实数指数幂？如果能，那么其运算性质是否与分数指数幂相同？请学生课后阅读教材第47页的阅读内容，思考上述问题课堂回顾这节课的我们学习了：（1）根式的概念：若xna（n1，nN*），那么称x为a的n次实数方根当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，记为x当n为偶数时，

10、正数a的n次实数方根有两个，它们互为相反数，记为 eq r(n,a)（a0）负数没有偶次方根而0的n次实数方根为0，记作我们把叫n次根式，n是根指数，a是被开方数（2）当为奇数时，；当为偶数时，（3）分数指数幂的意义：规定： a eq sup4(f(m,n) eq r(n,am)根式与分数指数幂之间可以互相转化（4）分数指数幂的运算性质与整数指数幂的运算性质相同课后思考计算：(21)(221)(241)(281)(2161)第二课时（分数指数幂习题课）复习回顾 上节课我们们了哪些主要内容？（1）根式的概念：若xna（n1，nN*），那么称x为a的n次实数方根当n为奇数时，正数的n次方根是一个正

11、数，负数的n次方根是一个负数，记为x当n为偶数时，正数a的n次实数方根有两个，它们互为相反数，记为 eq r(n,a)（a0）负数没有偶次方根而0的n次实数方根为0，记作我们把叫n次根式，n是根指数，a是被开方数（2）当为奇数时，；当为偶数时，（3）分数指数幂的意义：规定： a eq sup4(f(m,n) eq r(n,am)根式与分数指数幂之间可以互相转化（4）分数指数幂的运算性质与整数指数幂的运算性质相同巩固练习1求值：（P48练习3）解 说明 在化简求值的综合运算中应注意将小数化分数，根式化成分数指数幂；指数运算是建立在同底的基础上因此，在运算中注意将底数转化为相同的底数2若 eq r

12、(6,4a24a1) eq r(3,12a)，则实数a的取值范围为( ) AaR Ba eq f(1,2) Ca eq f(1,2)，) Da(， eq f(1,2)选D3求值：，解：； 典型例题例1 计算 (0.0081) eq sup4(f(1,4)3( eq f(7,8)081 eq sup4(0.25)(3 eq f(3,8) eq sup4(f(1,3) eq sup4(f(1,2) 解 原式 例2 解方程：（书第48页练习 4（1）（3） （1）； （3）解 （1），所以， （2），即，所以，即例3 计算 eq f(a eq sup4(f(4,3)8a eq sup4(f(1,3)

13、b, 4b eq sup4(f(2,3)2r(3,ab)a eq sup4(f(2,3) )(12 eq r(3,f(b,a) eq r(3,a)解 原式 eqr(3,a)a说明 将指数合理拆分，进而利用平方差，立方和，立方差等公式因式分解是本题的关键，因此请同学们课后及时的复习相关的乘法公式例4 （1）已知8x2，8y3，8z5，求8 eq sup4(3x2yz)的值 （2）已知x eq sup4(f(1,2)x eq sup4(f(1,2)3，求 eq f(x eq sup4(f(3,2)x eq sup4(f(3,2)2,x2x eq sup4(2)3)的值解 （1）因为8x2，8y3，8z5，所以8 eq sup4(3x2yz) （2），即，即， eq f(x eq sup4(f(3,2)x eq sup4(f(3,2)2,x2x eq sup4(2)3)说明 本例着重体现“整体代换”在数学的的运用例5 计算：（1） eq r(32r(512r(32r(2)； （2）(a eq sup4(f(1,2)b eq sup4(f(1,2)(a eq sup4(f(1,2)b eq sup4(f(1,2)(ab)； （3）(21)(221)(241)(281)(2161)；（4）(12 eq sup4(f(