材料力学之杆件的变形简单超静定问题PPT

1、第四章 杆件的变形.简单超静定问题研究变形的目的刚度问题超静定问题振动计算若车床主轴的弯曲变形过大，将影响齿轮的啮合与轴承的配合，造成磨损不均，降低寿命，还会影响加工精度。限制变形车辆中的叠板弹簧应有较大的变形，才能更好地起缓冲减振作用。利用变形注册筑龙结构超爽会员 超爽0币、超爽1币资料海量资料即刻下载详情咨询：QQ：294365614-1 轴向拉伸或压缩时的变形 注册筑龙结构超爽会员 超爽0币、超爽1币资料海量资料即刻下载详情咨询：QQ：29436561例4-1 设横梁ABCD为刚体。横截面积为76.36mm2的钢索绕过无摩擦的滑轮。设F20kN，试求钢索内的应力和C点的垂直位移。设钢索的

2、E=177GPa。 解：1.求钢索内的应力解得 钢索的应力 2.求C点的垂直位移 以横梁ABCD为为研究对象，受力如图b所示。 作结构的变形位移图如图c所示。因ABCD为刚体，故发生位移后，A、B、C、D仍为一直线。小变形条件下。可以“以切线代替圆弧”画变形图。 列平衡方程注册筑龙结构超爽会员 超爽0币、超爽1币资料海量资料即刻下载详情咨询：QQ：29436561由B1向钢索作垂线得点 ，设 。同理由D1向钢索作垂线得点 ，设 。则钢索的伸长为 。 由胡克定律 由图c得C点的垂直位移 为 注册筑龙结构超爽会员 超爽0币、超爽1币资料海量资料即刻下载详情咨询：QQ：294365614-2 拉伸、

3、压缩超静定问题 超静定问题：杆系未知力的数目超过静力平衡方程的数目，仅用静力平衡方程不 能确定全部未知力。这类问题，称为超静定问题，或静不定问题。 未知力个数与平衡方程式数之差，称为超静定次数。一、超静定问题的概念及其解法注册筑龙结构超爽会员 超爽0币、超爽1币资料海量资料即刻下载详情咨询：QQ：29436561超静定问题的求解方法 根据变形协调条件建立变形几何方程，将变形与力之间的物理关系带入几何方程得到补充方程，再与静力平衡方程联立求解，可得到全部未知力。 解题步骤：（1）画出杆件或节点的受力图，列出平衡方程，确定超静定次数；（2）根据结构的约束条件画出变形位移图，建立变形几何方程；（3）

4、将力与变形间的物理关系代入变形几何方程，得补充方程；（4）联立静力平衡方程及补充方程，求出全部未知力。超静定结构的特点：（1）各杆的内力按其刚度分配；（2）温度变化，制造不准确与支座沉陷等都可能使杆内产生初应力。 注册筑龙结构超爽会员 超爽0币、超爽1币资料海量资料即刻下载详情咨询：QQ：29436561例4-2 如图所示的三杆桁架，设1、2两杆的抗拉刚度为EA，3杆的抗拉刚度为E3A3，、F 、 l均为已知，求三杆的轴力。 解：取节点A为研究对象，列静力平衡方程：变形几何方程：物理关系：补充方程：联立(1)、(2)、(3)式，得由于结构在几何物性及受力方面都是对称。所以变形后A点将沿铅垂方向

5、下移。注册筑龙结构超爽会员 超爽0币、超爽1币资料海量资料即刻下载详情咨询：QQ：29436561例4-3 求图示两端固定杆的支反力。设杆的抗拉刚度为EA，F 、a、b、 l均为已知。 解：取杆AB为研究对象，列静力平衡方程：变形几何方程：物理关系：补充方程：联立(1)、(2)、(3)式，得注册筑龙结构超爽会员 超爽0币、超爽1币资料海量资料即刻下载详情咨询：QQ：29436561例4-4 如图所示的杆系结构，设AB杆为刚性杆，1、2杆刚度为EA，载荷为F，求1、2杆的轴力。 解：静力平衡方程：变形几何方程：物理关系：补充方程：注册筑龙结构超爽会员 超爽0币、超爽1币资料海量资料即刻下载详情咨

6、询：QQ：29436561注：受力图与变形图要对应起来 力方向可根据变形可能性进行假设，且使力方向与变形图一致。注册筑龙结构超爽会员 超爽0币、超爽1币资料海量资料即刻下载详情咨询：QQ：29436561二、温度应力由于温度变化会引起物体的膨胀或收缩，对于超静定结构由于温度变化而引起的内力，称为温度内力；与之相应的应力称为温度应力。 例4-5 已知：求当温度升高t时杆内的温度应力。解：静力平衡方程：变形几何方程：物理关系：注册筑龙结构超爽会员 超爽0币、超爽1币资料海量资料即刻下载详情咨询：QQ：29436561二、装配应力超静定结构由于杆件制作误差在装配时所引起的内力，称为装配内力；与之相应

7、的应力称为装配应力。 例4-6 已知：1、2杆刚度为EA，3杆刚度为E3A3 ，并且3杆短了。求将杆系装配后三杆的轴力。 (1) 变形几何方程(2) 物理方程补充方程:(3)平衡方程：注册筑龙结构超爽会员 超爽0币、超爽1币资料海量资料即刻下载详情咨询：QQ：294365614-3 圆轴扭转变形与刚度条件.超静定问题 一、圆轴扭转时的变形相距为dx的两个横截面的相对扭转角相距为l的两个横截面的相对扭转角为：注册筑龙结构超爽会员 超爽0币、超爽1币资料海量资料即刻下载详情咨询：QQ：29436561二、刚度条件为了消除的影响，引入单位长度扭转角 （单位：rad/m）扭转的刚度条件注册筑龙结构超爽

8、会员 超爽0币、超爽1币资料海量资料即刻下载详情咨询：QQ：29436561例4-7 图示传动轴系钢制实心圆截面轴，已知：Me1=1592N.m， Me2=955N.m， Me3=637N.m。截面A与截面B、C之间的距离分别为l1=300mm和 l2=500mm。轴的直径d=70mm，钢的切变模量G80GPa。试求截面C对B的扭转角。 负号表明转向与 Me3相同的转向相同注册筑龙结构超爽会员 超爽0币、超爽1币资料海量资料即刻下载详情咨询：QQ：29436561例4-8 某机床中的传动轴上有三个齿轮。主动轮输入功率为3.74kW，从动轮、输出功率分别为0.76kW和2.98kW，轴的转速n1

9、84 r/min，材料为45号钢，G80GPa。若40 MPa，1.5/m 。试设计轴的直径。解 : 计算外力偶矩由强度条件由刚度条件注册筑龙结构超爽会员 超爽0币、超爽1币资料海量资料即刻下载详情咨询：QQ：29436561三、扭转超静定问题例4-9 有一空心圆管A套在实心圆杆B的一端，两杆在同一截面处各有一直径相同的贯穿孔，但两孔的中心线的夹角为。设钢管与圆杆的抗扭刚度分别为GAIPA和GBIPB。现在杆B上施加外力偶，使其扭转到两孔对准的位置，并在孔中装上销钉。试求在外力偶除去后两杆所受到的约束反力偶矩。解：静力平衡方程：变形几何方程：物理关系：补充方程：注册筑龙结构超爽会员 超爽0币、

10、超爽1币资料海量资料即刻下载详情咨询：QQ：294365614-4 梁的变形.挠曲线微分方程及其积分 挠度w横截面形心 C (即轴线上的点)在垂直于 x 轴方向的线位移，称为该截面的挠度。 挠曲线挠曲线方程截面转角横截面对其原来位置的角位移 , 称为该截面的 转角。正负号规定：挠度w的正负号与坐标一致。转角：根据挠曲线斜率规定：斜率为正为正，反之为负； 根据截面转向规定：逆时针为正，顺时针为负w、是衡量弯曲变形的两个基本量。注册筑龙结构超爽会员 超爽0币、超爽1币资料海量资料即刻下载详情咨询：QQ：29436561工程实际中，梁变形均为小变形，注册筑龙结构超爽会员 超爽0币、超爽1币资料海量资

11、料即刻下载详情咨询：QQ：29436561积分常数C、D的确定：连续性条件边界条件注册筑龙结构超爽会员 超爽0币、超爽1币资料海量资料即刻下载详情咨询：QQ：29436561补充：挠曲线的大致形状注册筑龙结构超爽会员 超爽0币、超爽1币资料海量资料即刻下载详情咨询：QQ：29436561例4-10 如图示的悬臂梁，抗弯刚度为EI，集中载荷F,求w(x)、(x)及wmax、max。解：弯矩方程：挠曲线近似微分方程：积分得边界条件为 :C=0及D=0将边界条件代入(1) (2)两式中,可得注册筑龙结构超爽会员 超爽0币、超爽1币资料海量资料即刻下载详情咨询：QQ：29436561例4-11 如图示

12、的简支梁，抗弯刚度为EI，均布载荷q,求w(x)、(x)及wmax、max。解：弯矩方程：挠曲线近似微分方程：积分得边界条件为 :将边界条件代入(1) (2)两式中,可得D=0注册筑龙结构超爽会员 超爽0币、超爽1币资料海量资料即刻下载详情咨询：QQ：29436561例4-12 如图示的简支梁，抗弯刚度为EI，集中载荷F,求w(x)、(x)及wmax、max。解：分段列出弯矩方程：注册筑龙结构超爽会员 超爽0币、超爽1币资料海量资料即刻下载详情咨询：QQ：29436561C点的连续条件：在 x = a 处边界条件:在处，在 x = 0 处，两段梁的挠曲线方程分别为12挠曲线方程转角方程挠度方程

13、( 0 x a)( a x )注册筑龙结构超爽会员 超爽0币、超爽1币资料海量资料即刻下载详情咨询：QQ：29436561代入方程可解得:将积分常数代入 后, 即得两段梁的转角方程和挠曲线方程如下1段2段注册筑龙结构超爽会员 超爽0币、超爽1币资料海量资料即刻下载详情咨询：QQ：29436561将 x = 0 和 x = l 分别代入转角方程左右两支座处截面的转角当 a b 时, 右支座处截面的转角绝对值为最大简支梁的最大挠度应在处当 a b时，注册筑龙结构超爽会员 超爽0币、超爽1币资料海量资料即刻下载详情咨询：QQ：29436561令代入第一段的转角方程得梁中点处的挠度为结论: 在简支梁中

14、, 不论它受什么荷载作用, 只要挠曲线上无 拐点, 其最大挠度值都可用梁跨中点处的挠度值来代替, 其精确度是能满足工程要求的.注册筑龙结构超爽会员 超爽0币、超爽1币资料海量资料即刻下载详情咨询：QQ：29436561用积分法计算梁变形时应遵循的两个规则对各段梁，都是由坐标原点到所研究截面之间的梁段上的外力来写弯矩方程的。所以后一段梁的弯矩方程包含前一段梁的弯矩方程。只增加了（x-a）的项。对（x-a）的项作积分时，应该将（x-a）项作为积分变量。从而简化了确定积分常数的工作。注册筑龙结构超爽会员 超爽0币、超爽1币资料海量资料即刻下载详情咨询：QQ：294365614-5 用叠加法求弯曲变形

15、 梁上同时受几个载荷作用下的变形，等于各载荷分别作用时引起的变形的代数和。叠加法例4-13 如图示的简支梁，抗弯刚度为EI，集中载荷F,均布载荷q,求wC及 A、B。注册筑龙结构超爽会员 超爽0币、超爽1币资料海量资料即刻下载详情咨询：QQ：29436561例4-14 试用叠加法求图示的简支梁跨度中点的挠度wC 和两端截面的转角 A、B ，梁的抗弯刚度为EI 。注册筑龙结构超爽会员 超爽0币、超爽1币资料海量资料即刻下载详情咨询：QQ：29436561例4-15 试用叠加法求图示梁A截面的挠度与B截面的转角。EI为已知。 1）在qa单独作用时， 2）在均布载荷q单独作用时 注册筑龙结构超爽会员

16、 超爽0币、超爽1币资料海量资料即刻下载详情咨询：QQ：294365614-6 简单静不定梁 .提高梁得刚度得措施 超静定梁：约束反力数目多于静力平衡方程数目的梁称为超静定梁。两者数目的差称为超静定次数。 相当系统：在静定基上加上外载荷以及多余约束力，便得到受力和变形与超静定梁完全相同的相当系统。一、简单静不定静定基：指将超静定梁上的多余约束除去后所得到的“静定基本系统”。注册筑龙结构超爽会员 超爽0币、超爽1币资料海量资料即刻下载详情咨询：QQ：29436561例1 如图示的简支梁，抗弯刚度为EI，集中载荷F,均布载荷q,试绘出其剪力图和弯矩图。注册筑龙结构超爽会员 超爽0币、超爽1币资料海

17、量资料即刻下载详情咨询：QQ：29436561例2 如图示结构，已知AB梁截面的惯性矩为I，杆BD的截面积为A,二者材料相同，弹性模量为E。试求BD杆所受的拉力FN。注册筑龙结构超爽会员 超爽0币、超爽1币资料海量资料即刻下载详情咨询：QQ：29436561例3 抗弯刚度为EI的梁的支承及受力如图所示，试求约束反力。注册筑龙结构超爽会员 超爽0币、超爽1币资料海量资料即刻下载详情咨询：QQ：29436561二、提高梁的刚度的措施从挠曲线的近似微分方程及其积分可以看出，弯曲变形与弯矩大小、跨度长短、支座条件，梁截面的惯性矩、材料的弹性模量有关。故提高梁刚度的措施为：（1）改善结构形式，减小弯矩；

18、（2）增加支承，减小跨度；（3）选用合适的材料，增加弹性模量。但因各种钢材的弹性模量基本相同，所以为提高梁的刚度而采用高强度钢，效果并不显著；（4）选择合理的截面形状，提高惯性矩，如工字形截面、空心截面等 注册筑龙结构超爽会员 超爽0币、超爽1币资料海量资料即刻下载详情咨询：QQ：294365614-5 杆的应变能应变能：弹性体在外力作用下，因变形而储存的能量称为应变能(或变形能)。 能量法二、拉、压杆的应变能一、功能原理应变能比密度：单位体积的应变能 注册筑龙结构超爽会员 超爽0币、超爽1币资料海量资料即刻下载详情咨询：QQ：29436561三、等直圆轴在扭转时的应变能应变能比密度:注册筑龙结构超爽会员 超爽0币、超爽1币资料海量资料即刻下载详情咨询：QQ：29436561四、梁的弯曲应变能纯弯曲横力弯曲注册筑龙结构超爽会员 超爽0币、超爽1币资料海量资料即刻下载详情咨询：QQ：29436561例一：在图示简单杆系中，设AB和AC分别为直径是20mm和