高等数学微积分知识点汇总

1、高等数学A知识整理第一章极限与连续一、函数1、函数的定义与要素(定义域、对应法则；函数相等的条件)2、函数的性质：单调性，奇偶性，周期性，有界性*单调性的定义(以递增为例)：Xi, X2 Df,若乂2时f (Xi ) f(X2),则f (x)在Df上单调递增；将 改为0,对于x A Df,都有| f (x) | M,则f (x)在A上有界。(f(x)弃iG R,则f(x)下有界；反之则上有界。只有既上有界又下有界的函数才是 有界函数。)3、函数的运算：四则运算、复合运算、反函数题型：判断某个函数由哪些基本初等函数复合而成。反函数存在的可能情况：y与x一一对应；f(x)是某区间上的严格单调函数

2、(反函数的单调性与原来的函数相同)* Df i Rf;当x DW，f 1( f (x) x;当x Rf时，f ( f 1(x) x。4、初等函数：包括 6大基本初等函数(常数函数、幕函数、指数函数、对数函 数、三角函数、反三角函数)以及它们的有限次四则、复合运算构成的函数。二、数列的极限1、数列的定义及表示方法2、数列的性质：单调性、有界性3、数列极限的定义：-N语言(存在性命题要学会寻找充分条件，即增加对 N的限制，从而找到 N;绝对值不等式与不等式放缩也很重要)4、极限的四则运算5、无穷小量的性质(1)若lim an A,则a n A是无穷小量。(一种证明极限的方法) n(2)有限个无穷小

3、量相加、相乘还是无穷小量。(3)无穷小量乘以有界量还是无穷小量。6、收敛数列的性质(1)收敛数列必然有界(2)收敛数列的任一子列与该数列收敛于同一极限。(逆否命题：如果一个 数列有发散子列或是有两个极限不同的收敛子列，则该数列发散。)(3)夹逼性(注意夹条件与逼条件)*保号性：若liman A0,则必然存在N,当nN时，an 0.(小于0类似) n7、无穷大量的两个定义：(。若1为无穷小量，则a 为无穷大量; -an K0, N,当 nN时，|an|K。8、数列收敛的判定方法与极限的求解(1)利用极限的定义(先知道极限才能使用，技巧性略强)(2)单调有界数列必收敛(不能同时求出极限，往往用于递

4、推式)(3)利用子列的收敛性(可以直接得出极限，逆否命题常用于判断发散)(4)柯西收敛准则(不能同时求出极限，往往用于求和式)Stolz 定理：若,严格单调递增且lim b,而lim小1小 A,则lim + A。(可以同时nn nn bn 1 bnn bn求出极限，常常用于比值形式的式子)(6)递推式求极限：不动点法an 1f (an),且lim a n A,则Anf( A)o 平均值法：若lim an a,则lim Ol n nn(8)利用定积分的定义求极限。需要配凑9、几个重要数列的极限(1) a0时,lim 忘 1 n limP.n1 ；n(3 lmn!；nk(4皿 0其中k 0, a1

5、为常数； na2an AonRiemann和的形式。n an n nn 1(5)lim(A a2 .)；nkmaxa , a ,.,a ;lim(12 kn111nn_nala2ak、n卜)：a a .a .V 1 2 k10、数列极限型函数的表达式：f (x) lim g(n, x)n处理方式：对x分类讨论，在各种情况下将 x视为常数，对n求极限例如：f (x) lim _xn_L, n 2xn 11当 x 1时,f (x) lim n 2_2.当 x 1时，f (x);3x1-n xR 0 求 f (x)。当 0Vx 1时，f (x) lim xn 1n 2xn 1最终结果要写成分段函数三

6、、函数的极限1、函数极限的定义：-箫言(某点X0处)、&M语言(x-0cM) o2、数列极限与函数极限的关系：Heine定理 TOC o 1-5 h z lim f (x) A 对任一数列Xn满足lim Xn a,有lim f (Xn) A。(a可以是) x ann逆否命题：lim f (x)不存在 存在两个数列Xn , % ,满足lim Xn lim % a x ann且lim f 区)与lim f ( Vn)不都存在或者 lim f (Xn) lim f ( yn)。 nnnn3、极限的性质：(1)四则运算、连续函数极限的复合运算；(2)夹逼性；(3) *保号性；(4)(函数)局部有界性：

7、若lim f (x) A,则在a的一个邻域内，f (x)有界x a(5)有序性：11_)x lim(1 x) x e。(x也可以是中间变量)X x 0若f (x)vg(x)(或者)在a的一个邻域内成立，则lim f (x) lim g(x)。(反过来未必成立) x ax a4、两个重要极限：lim铿1；lim(1X 0 X X(求极限时注意配凑出这两个极限)5、单侧极限(可以用来判断某点极限是否存在)四、连续函数1、连续的定义：lim f (x) f (xo )。(左连续、右连续) X X02、连续的三个必要条件：f(x)在X0处有定义，lim f(x)存在，lim f (x) f (x0 )

8、。 X X0X X03、连续性在四则运算、复合运算、反函数中的保持。4、间断点(可去、跳跃间断点为第一类，其余为第二类)(1)无穷间断点：f(x)在此点无定义并且趋向于 s*振荡间断点：函数值在此点附近无限快地振荡，如f (x) sin 1在x 0处。x(3)可去间断点：对这一个点的函数值进行补充定义或调整，可以使函数在此点连续，即lim f (x)存在但不等于f (址)，或f (址)不存在。 X X0(4)跳跃间断点：lim f (x)与lim f (x)存在但不相等。 xxxx5、一切初等函数在其定义域内均连续。6、闭区间上连续函数的性质(1)有界；(2)存在最大值和最小值；(3)介值定理

9、；(4)零点存在性定理7、连续型无穷小的比较(1)若0 , WJx(x)；X +oo 时,若 0V ab1,则ax对任意pInx0,有 limpx x0,即x(bx)o,1时有x p(4In x等价无穷小替换:1 ,ex 1 x, arcsinx x arctan x。 nx0时，sin x x tan x, ln(1 x)x,1 cosx 卬1 x注：等价无穷小替换只有在乘除运算中才可以随意使用，同号无穷小相减，可能会 产生x的高阶无穷小。8、函数图像的渐近线：垂直渐近线 x=x0o斜(水平)渐近线 y=ax+b。其中 a lim f (x), b lim f (x) ax。注意 x+00与

10、 x-M勺情况可能不一样。第二章导数与微分一、导数1、导数的定义(不能忽视，也是求导的常用方法)：f (a) lim f (x) f lim f (a x) f .(如果 f(a)=0或者a=0,注意分子分x a x a母可能需要补0)(注意左导数、右导数的概念)2、可导必定连续，连续未必可导。3、导数的四则运算(略)注意(f#2.fn)flf2.fnflf?fnflf?fn.4、复合函数的导数：f(g(x)=f (g(x)g(x)。(链式法则)15、反函数的导数：若在点(x , y )处，y f(x)可导且f(x ) 0,则f 1( y )0 f(x。)6、初等函数的导数公式(0 g.(3)

11、(!tin x)H = row J,(tin j)H = sec1 x(7) (sec h) = sec jtran jf(9)In d.(4)(89 j)- - - sin X *6 (cot CK:jr t18) (c*c #= - cac rem r 110) (eJ) - tJ,(U) (In(13)(Mrcsiin =(14) (arrow jr) - - -(16)(BTCQ另一边 0为极小值点，f (x0)0为极大值点)*通过Taylor展开做出的推广：若存在正整数n使得f(x)在x0处的前(2n-1)阶导数都等于0,而2n阶导数不等于0,则x0是f(x)的极值点。5、求函数在闭

12、区间上最值的步骤：求极值 一求端点值一比较以上各值。6、凸性的定义：对于a, b上的连续函数f (x)与xi, x2 a, b,f ( 0 ) f (xi)f(x2)f (x)在a, b上下凸。反之则为上凸。22* 推论：f (x)在a,b上下凸x(,x b.,x n a, b,f (一 )f (xi )f(X2 )f (xn )nn7、用二阶导数判断凸性：仍然注意 当4勺等号不能少。另外，拐点是点而不是x的值。8、拐点的实质：两侧邻域内凸性相反的点。可以二阶不可导，但一旦二阶可导则二阶导数等于009、函数草图的描画步骤(1 确定函数f(x)的定义域。如果有奇偶性、周期性，也需指出；(2 计算

13、f(x),找出所有驻点与不可导点，确定f(x)的单调区间与极值(表格)；(3 计算f (x),确定f(x)的凸性区间与拐点(表格)；(4 讨论曲线的渐近线；(5 将极值点、拐点处的函数值求出，如需要增加图像的准确性，可以再取几个特殊点。(6 最终图像效果的衡量：单调性、凸性是否正确，渐近线是否正确并画全， 关键点处函数值是否正确。*五、用Newton切线法求方程的近似解1、基本原理：在f(x)零点所在小区间a,b的端点处作切线，此切线与x轴交于 (xi,0)；再作(xi,f(xi)处的切线，此切线与x轴交于(x2,0)；以此类推，数列xn将 收敛于&x x2、数列xn的递推式：ni nf X

14、)f (xn)3、误差估计：|xn11 2m|(1)对于a, b上的连续函数f (x),有ddx n |其中M是|f (x)|在a,b上的最大值，m是|f (X)|在a,b上的最小值。第三章一元函数积分学(本章重难点在于不定积分和非初等定积分，其余的部分稍微简略一些) 一、定积分的概念1、Riemann和：对闭区间a,b做分割 a=X0 xiX2.0)11)x d x C (112)y x1n | x | C ;xxxa3 d x C ( aa1)；0, a1),sincosV2d x sec x d x tan x C ;d x csc 2x d x cot x C ;sin 2 x10右d

15、及2d x22tan x d xarcsin1 arctanaIn | sec x |0);0)；11 ) cot x d xIn | sin x | C ;12 )sec x d x In| sec x tan x | C13) csc x d x In | csc x cot x | C14 )sec x tan x d xx1 tan _In 2 | C ;x1 tan 一2x1n | tan 2 | C ;15 ) csc x cot x d x16) sinh x d xcosh x C ;17 )cosh x d xsinh x C ;) Jx 2d x 2 1n)x 2 a 2

16、d x20 )a 2 x 2 d xx/x 2 a 222n 2aIn22 a注意：最后三个公式都可以用分部积分公式推导,其中只有（18）可以直接使用10三、积分方法(1)有理式：运用0 c T p o r p分解C将真命式Pm(x)分解为Pn(X)p kj aq jB ；x C , 一，、 c，Ai ji 2 ji叫形式(2 4 i 0) ,以上分解运用了代数(x X )(X X ) TOC o 1-5 h z j 1 i 1j j 1 i 1jj基本定理，即任意n次多项式Pn (x)可分解为(x x ) .(x x )kp (x2x.(x2x”的形式(2 40, 1 i q)1p11qqi

17、i三角换元：万能代换；出现Ja2x2令xa sint;出现vx2a2令x tant;出现vx2 a2 令x sect。(注意secx与tan x既有导数关系又有 平方关系，对于三角函数有理式，可以尝试转化成只含 secx的积分，然后凑微 分sec2 xdx d(tan x),再利用平方关系把secx通通转化为tan x。) 根式换元：Qax b,n|丝_d均可以换元,转化为有理式。 ex f(4 双曲换元：建议熟练者使用。遇到 vx2 a2的式子，分别可以令x sinh t (根号中为 a2)和x cosh t (根号中为 a2)。(4)凑微分法：通过代数变形巧妙凑出 g(x)dx的形式，将其

18、化为dg(x)。常见的变形：分离常数(有理式)，加上再减去，乘上再除去，裂项(因式分解的积累)，f (x)f (x).f (x)(5 分部积分：凑dv(x)微分的推荐顺序：三角一指数一幕函数一对数一反三角。2) u(x)dv(x) u(x)v(x)v(x)du(x).在v(x)du(x)容易求的情况下较好用。注意等号右边可能会再次出现u(x)dv(x)且无法与左边抵消，此时相当于解关于u(x)dv(x)的方程。备注：不定积分换元求完以后要从其他变量回到关于 x的表达式；定积分换元以后要注 意积分上下限的变化。其他的常用公式若f (x)在l, l上连续，则11f (x)dx若f (x)是以T为周

19、期的连续函数，则b若f (x)在a,b上连续,则a f (x)dxl0 f(x) f (a Tf (x)dxbf (a b设f (x)连续，则 xf (sin x)dx 一 f (sin x)dx 2 sin2n xdx 02 sin2n 1 xdx002 cos2n xdx02 cos2n 1 xdx02 0 (2n 1)!(2n)!2(2n)!.(n 0) (2n 1)!11x)dx 120T0 f (x)dx;x)dx;0,当f (x)为奇函数时,f (x)dx,当f (x)为偶函数时2 f (sin x)dx 2 f (cosx)dx. 00四、定积分的应用(1)弧微分：设点附近一小段

20、曲线的弧长ds J(dx)2(dy)21 f 2 (x )c0 x.可以用此公式计算a,b上的弧长s%1 f 2 (x)dx.对于参数方程 x x(t), y y(t), t ,有 s vx2(t) y2(t)dt.对于极坐标系中的曲线r r(),有sqr 2( ) r2( )d .3曲线的曲率半径1电|支立I其中K为曲率。 TOC o 1-5 h z K d 1y1(2)平面图形的面积在直角坐标系中，若一图形D对应点集(x, y) | a x b, f (x) y g(x), b g(x)b则该图形的面积 Adxdy dx 一、dy (g(x) f (x)dx.Da f (x)a 在极坐标系

21、中，若一图形由曲线r r()和直线 ，()包围而成，则图形的面积A 1 r 2( )d .2(3)立体图形的体积在空间直角坐标系中，若一几何体在垂直x轴方向的截面积是x的函数A(x),ba x b,则几何体的体积V a A(x)dx.旋转体：由曲线y f (x), a x b绕x轴旋转一周所形成的几何体的体积为V b f 2 (x)dx. a(4)旋转曲面的面积由曲线y f (x), a x b绕x轴旋转一周所形成的曲面的面积为A ：2f(x) 1 f 2 (x)dx.bf (x)dx(5)平均值：函数在区间a,b上的平均值,a。可用于等效计算b a12五、反常积分(广义积分、瑕积分)1、定义

22、 TOC o 1-5 h z Aaf (x)dx Aim f (x)dx； f (x)dx f (x)dxf (x)dx；aaabb对于f (x)在a,b上的无界点 c,有 f (x)dx limf(x)dx.cc2、反常积分敛散性的判别 a直接利用定义。注意：当f(x)dx与f(x)dxt匀收敛时，f(x)dx收敛a比较判别法：若在A,+ oo上有|f(x)| g(x),则对于aA,有：g(x)dx收敛 f (x)dx与 | f (x) | dx收敛; TOC o 1-5 h z aaaf (x)dx发散| f (x) | dx与 g(x)dx发散。aaa若 0 (a,b),使得 x (a,

23、a 0),| f(x)| g(x),且f(x)与g(x)在b处无界，则 bbb对于f (x)dx, | f (x) |dxf g(x)dx也有类似结论。 aaa注：使用此定理要学会对被积函数进行适当放缩。Cauchy判别法：p 1,使得 xim xp 1f (x)| C 0(不是)，则 f (x)dx 收敛；ap 1，使得！im xp|f(x)| C 0(可以是)，则 f (x)dx发散；a对于在a处无界的f (x):bp 1，使得a)p|f(x)| C 。(不是)，则f (x)dx收敛；abp 1，使得手0a)p|f(x)| C 0(可以是)，则f (x)dx发散。 a注：使用此定理要适当选

24、取p的值，使得分子分母的阶数恰当，从而得出收敛 或 发散的结论。注意联系第一章中常见的极限及其阶数。3、柯西主值积分A(CPV) f (x)dx Aimf (x)dx.A实质：通过某种取极限的方式使得f(x)dx是有限值。它的存在不代表f (x)dx一定收敛，但是该值有一定的实际价值4、I8数与B函数13IS数：(s)xs 1e x dx, s 0.0性质：(s 1) s (s), s 0,特别地，又t于正整数n, (n) (n 1)! s (0,1), (s) (1 s) 特别地，(1)-sin s 21B 函数： (p, q) xp1(1 x)q 1 dx, p, q 0.0性质：(p,

25、q) ( P) (q)(p q)(p, q) (q, p).黄 注：遇到一些类似形式的反常积分，要有意识地将其化为I数与B函数,并利用(1) . 以及题目可能提供的其他函数值进行计算。2第四章矩阵与线性方程组(仅讲向量与矩阵、行列式、逆矩阵三节)一、向量及其基本性质R, i 1,2,., n2印那:量R概念嘴,a ,., a ), aa I a 1 2 n在这个空间上定义了向量的一系列运算: (1)加法；(2)数乘；(3)取模：| a |a2aibi.i 1(4)(在n维欧氏空间En上定义)内积(点乘，数量积)：a b二、矩阵及其运算加此 .a1na21 a22 . a2n1、基本表小：m n

26、矩阵A (ajmn.anan 2.ann2、概念：实矩阵，复矩阵，方阵，主对角线，同型矩阵，零矩阵，单位矩阵， Kronecker记号(而)，对角矩阵，上(下)三角矩阵3、矩阵的运算(1)加法：A+B = (aij+bij)mxn (满足交换律、结合律)；(2)数乘：kA=(kaj)mxn (满足分配律)；(3)转置：AT=(aji)nxm (行变列，列变行),(A+B)T=AT+BT, (kA)T=kAT;(4)共腕：A (可)mn,共腕转置AH ( A)T (AD乘法条件：AB存在的条件是A的列数等于B的行数。n公式：对于m n矩阵A与n p矩阵B, AB ( aikbkj )m p .A

27、B的第i行第j列的 k 1元素等于A的第i行与B的第j列作内积。(满足结合律和分配律，不满足交换14律，左乘右乘不一样；(AB)t=BtAt)4、分块矩阵及其运算(略，注意 AtA1TATi)atat )1222二、行列式1-行列式的本质与排列有关(1)排列的逆序数：设ji,j2,.,jn是1,2,.,n的一个排列。将满足kjl的数 对(k,l)的个数称为j1,j2,.jn的逆序数,记作0则X0是极值点。此时，若fxx(X0)0,则X0为极小值点；若fxx(X0)0, 则X0为极大值点。A0则X0不是极值点。2、多元函数在定义域上无附加条件的最值：先求极值，再将其与定义域边界 处的各函数值比较

28、，得出最大与最小值(假如存在)。*3、最小二乘法一一线性回归方程最优解的计算(。线性回归方程最优解的条件：直线y ax b使得总体偏差n2 (a, b) V (ax b)最小。因此，一 二 0.nn nn nn n2n X y XyiXiy iXi Xi y i(2)最优解表达式：a n . n 二，b 上一11 i 1n ，；一 n x ( x )n x ( x )iiiii 1i 1i 1i 14-条件极值一一对自变量有适当约束的极值问题min F(x1,X2,.,Xn)(或 max)6条件极值简略记法：G(X1 , X2,., Xn) 0. 基本思想：通过G的约束减少变量个数，转化为无条

29、件极值问题(3) Lagrang乘数法：令 Lagrang乘数-F /_ ( G 0).Lagrang函数 1(为名，.，,)F(x1，X2，,Xn)G(x1,X2,.,Xn). TOC o 1-5 h z LFGx _x3 0(i 1,2,., n),显然L取极值等价于F取极值，故 ， iG(x , x ,., x ) 0.12 nmiG,且 i 1对于多个约束条件Gi(i1,2,.,m), L F_Fm G，j 1,2,.,n),Xx ji 1 i XJJT G (x , X ,2., x n) 0(i1,2,., m).24条件极值的实质：函数的定义域由于约束条件而发生维数上的退化。La

30、grange乘数法则是用L的非条件极值恰好取得F的条件极值(并且做好约束)。九、多元函数微分学在空间解析几何中的应用1、空间曲线的切平面与法线z f (x, y),(1)切平面的定义：任取空间曲面 z=f(x,y)上一点P(x0，wm),则曲线和曲x X0、z f (x, y),线在P处的切线构成的平面即为曲面在P处的切平面。y V。切平面的方程：f (x。，y0)(xx。)f y(x。,y。)( yy。)(zf (x。,y。)0.i j k其法向量 n 1 0f x(x。，y。)fx(x。,y。)if y(x。,y。)j k.0 1f y (x。，y。)*当曲面方程为隐函数F (x, y,

31、z) 0时，切平面方程为F x(x。,y。,z。)(xx) Fy(x。,y。,z0)(yy。)F z(x。,y。,z)(zz。)0.法向量 n(F xiFy jFz k).Fzpx x(u, v), *当曲面方程为y y(u, v),时，切平面方程为 z z(u, v)D( y, z)D(u, v)(x x。) D(z, x)pD(u, v)y。)D(x, y)D(u,v)(z z。)0.P法向量nD( y, z) i D(z, x)D(u,v)p D(u, v)D(x, y)D(u, v)k.P(3)曲面的法线：过曲面上一点P且与P处切平面垂直的直线为曲面在P处的法线。曲面方程为z f (x

32、, y)法线方程为x x。f x (x。，y。)曲面方程为F (x, y, z) 0法线方程为x x。F x(x。, y。, z。)y y。F y (x。, y。, z。)z z。Fz (x。, y。,z。)法线方程为 x(u, v), 曲面方程为 y y(u,v),z z(u, v) x D( y, z)D(u, v) py y。z z。D(z, x)D(x, y)D(u, v) pD(u, v)p2、空间曲线的切线与法平面 光滑曲线：x,y,z都可以用参数t统一表示且关于t均有一阶连续导数，而三者的 导数不全为00 光滑曲线的切线方程：设空间曲线上一点P对应的参数为t。，则P处的切线方25

33、程为xx(to)y y(to) z z(to ).如果曲线的方程为交线形式x(to) y(t0)N(t0)F (x, y, z) 0, 则切线方G(x, y, z) 0,D(F, G)D(F, G)D(F, G)D( y, z)p D(z, x)p D(x, y) p程为 x x y v。 z 4(3 法平面：过曲线上一点P且与P处切线垂直的平面为曲线在 P处的法平面。曲线为参数方程形式其方程为 x(t0 )(x x(t0)y(b)( y y(t0 ) z(t0)(z z(b )0.曲线为交线形式 其方程为D(F, G)(x x )D(F, G)(y y ) D(F, G) () 0.D( y

34、, z) 0 D(z, x) 0 D(x, y) z 3、向量导数(1)基本法则：若 r(t) x(t)i y(t) j z(t)k, M定义 r(n)(t) d-r x(n) (t)iy(n) (t) j z(n) (t) k.dt性质：(rir2) ri修；(ri r2)rir2 ri r2 ;(r1 r2 ri 2.4、空间曲线弧微分(i)若一段曲线由参数方程决定，参数t (,),则该段曲线的弧长2)可以以曲线上一点为基点，以有向弧长ts(t)卜()d将曲线上的点唯一确定,t0r(s) x(s)i y(s) jz(s)k.?drd2r流数记法：r, r尸.从而sd sd气。仙)dlk()

35、 d.0?i,可知 r(s) r(s)i,故 r(s) r(s) 0,r(s)与r(s)垂直。5、空间曲线的曲率与挠率(i)曲率：(s) r (s)|d- J.为曲线的转角。曲率反映了曲线的弯曲程度(2)曲率向量：即r (s)曲率半径：R(x)(3)单位切向量： 主法向量：N副(从)法向量:i(s)T (s) ?r(s).它沿着曲线的切线方向。它是单位向量，指向曲率圆的圆心。77T .B(s) T (s) N (s).它也是单位向量，与曲率圆所在平面垂直。26s .x2(t) y2(t) z2 (t)dt|r(t) 的T, N , B构成的右手系称为Frenetic架。三个向量分别对应切线、主

36、法线、副法线。过切线、主法线的平面为密切平面；过主 法 线、副法线的平面为法平面；过切线、副法线的平面为从切平面。? 挠率： B(s) N (s).挠率反映了曲线从密切平面内扭出的程度。T(s) N (s),(6)曲率、挠率与Frene标架的关系(曲线论基本公式)：N(s)(s)T(s) (s)B(s),B(s) (s) N (s).以上各量在任意参数t下的表达式:T (t)r,(t)、B(t) k(t) IIr(t)r(t)2tL N (t) B(t) T (t), r(t)r(t)r(t)收t) II3r(t) r(t) r(t). ./(t) r1(t) j写成直角坐标的参数方程:I y

37、”(x) I3 .1y2 (x)F(t) I x(t) y(t) x(t) y(t) |x2 (t)y2(t)2-6、曲面的两大基本形式(1)第一基本形式：用弧微分刻画曲面的度量性质。表达式：I Edu 2 2Fdudv Gdv2.其中E r r x2 y2 z2, F r r u u u u uu vx x y y z z , G r r x2 y2 z2 . u v u v u vv v v v v(2)第二基本形式：用Taylor公式量度某点附近的点到该点处切平面的距离，体现曲 线的弯曲程度。表达式：II Ldu 2 2Mdudv Ndv2.其中 L n r un * M r %v ru

38、 nvrv nu, N rvv nrv nv。n为曲线的法向量。LN M 2 0椭圆点根据弯曲程度对曲面上点的分类：LN M20 抛物点LN M 2 0双曲点。7、对曲面弯曲程度的进一步刻画?(D法曲率：n r(s)IIso n TLdu 2 2Mdudv Ndv2Edu 2 2Fdudv Gdv2切向量：曲面上过P点的任一曲线在P处的切向量都是曲面在P处的切向量。这些 切向量的全体构成曲面在P处的切平面Tp。切向量可以用ru du rv dv表示。法截面：过曲面上一点P且与曲面在P处的切平面垂直的平面。其方向与切向量的 选取有关。法截线：法截面与原曲面的交线。曲面在P处沿(du, dv)方向

39、的法曲率与法截线在P处 的曲率具有相同的绝对值。272 主曲率：曲面在P处各个法曲率中的最值(既有最大，也有最小)。取得最值的 方向称为主方向。两个主曲率1与2满足关于的方程(EG F 2 ) 2 (GL EN 2FM ) LN M 2 0.(3)平均曲率：HGaus姓率：K 12i 2 GL EN 2FM22(EG F 2 )2LN M 2用H与K表示主曲率：1,2 H VH 2 K .第八章多元函数积分学一、重积分的概念1、多元函数的 Riemann和：将高维(至少二维)空间内的有界闭区域Q分割成n个小区域A 0(i=1,2,.,n),对应面积A 3在每个A。中取一个点Pi。作和：nf(P

40、) i. i 12、重积分的定义：在 QmaxA d)一0 (即n一)时Riemann和的极限。nf(x)d lim f(P) i 0 i 1为二维空间时，此积分为二重积分f (x, y)d f (x, y)dxdy。为三维空间时，此积分为三重积分f (x, y, z)dV f (x, y, z)dxdydz.3、重积分的几何意义：二重积分表示曲顶柱体的体积，该曲顶柱体底面为Q,侧面为以Q边界为准线，母线平行于z轴的柱面，顶面为曲面 z=f(x,y) 0类似地，n重积分表示对应n+1维几何体的n+1维测度。二、二重、三重积分的计算1、直接转化为一元函数定积分的计算(1)二重积分：若 (x, y

41、) | a x b, 1(x) y 2 (x),则先积 y再积x。b 2(x)f (x, y)dxdy dx f (x, y)dy. a 1(x)若 (x, y) | c y d , 1 ( y) x 2 ( y),则先积 x再积 y。 d2 (y )f (x, y)dxdy dy f (x, y)dx. c1( y )(思路：第一次积分算各处的平行截面积，第二次积分积得体积。)(2)三重积分：若 (x, y, z) | a x b, y(x) y y2(x), z(x, y) z z2(x, y)28b 丫2( x) Z2 ( x, y )贝 Uf (x, y, z)dxdydz dx dy

42、 f (x, y, z)dz.ayi( x)Z1 ( x, y )2、变量代换法 二重积分变量代换法：令x x(u, v),(u, v),则y(u, v),f (x, y)dxdy f (x(u, v), y(u, v) D(x, y) dudv.D(u, v)e.g.二维直角坐标与极坐标的变换：f ( x, y)dxdy f (r cos , r sin )rdrd .(x x(u, v, w), 三重积分变量代换法：令 y y(u, v, w),(u,v, w),则Z z(u, v, w),f (x, y, z)dxdydz f (x(u, v, w), y(u, v, w), z(u,

43、v, w) D(x, y, z) dudvdw.D(u, v, w)e.g.柱坐标变换：dxdydz rdrd dz.球坐标变换：dxdydz r 2sin drd d .3、重积分的性质线性性：(f g)d fd gd;(2)可加性：若 i 2, i 2,则 fd fd fd ;12(3 保序性(单调性)：f g fd gd . fd | f | d ;(4 若在 上M1 f M 2, m()为 的同维测度(二维时为面积，三维时为体积)，则 Mim( ) fd M 2 m().(5重积分中值定理：对于上的连续函数f,存在P 使得fd f (P)m().4、重积分的应用：计算转动惯量，质心位置

44、，引力大小三、反常重积分1、反常重积分的定义：无界区域上的反常重积分：对于无界区域，fd lim fd苴中是d ().用封闭曲线 分割出的 的子区域，d ()为 上的点原点的最小距离。*直积记法：记a, b c, d (x, y) | x a, b, y c, d 为a, b与c, d 的直积。29由 f (x, y)dxdy f (x, y)dxdy,可记 f (x, y)dxdy f (x, y)dxdy,其余 a,b c,d a c( ,a b, )b反常重积分类似。 无界函数的反常重积分：对于有界区域上在Po处无界白函数f,fd J)” fd .其中为 内过Po的封闭曲线，包围的区域为

45、D,()为D中 D的点到Po的最大距离。类似地可以定义在一条曲线上无界的函数的反常重积分。2、反常二重积分敛散性的判别(以无界区域为例)(1子区域列定理(类似于一元函数 Heine定理)：对于无界区域，若任给一列封闭曲线 n,它们分割出的 的有界子区域 n 满足12 . 且limd (),则fd收敛数列fd 收敛，且nfd lim fd .(任意满足条件的 n均取同一极限) n(2比较判别法对于无界区域 上的二重积分，fd可积等价于| f |d可积。gd收敛fd收敛；如果o f g,则： fd发散gd发散。(3Cauchy判别法令r . x2 y2.p 2与M 0,使得在 上有| f (x,

46、y) | ?，则f (x, y)dxdy收敛r pp 2与m 0,使得在 上有| f (x, y) | :，则 f (x, y)dxdy发散。 r四、曲线积分与曲面积分1、第一类曲线积分：积分区域为一条平面或空间曲线。(1)定义：将光滑曲线L任意分割成n个小段s,在每个小段上任取一个点 已， n则 f (x, y,z)ds lim f(P) s.其中 max Si. TOC o 1-5 h z Loi 1(2)性质：线性(f g)ds fds gds.LLL可加性一 一若L由曲线Li与L2组成，则fds fdsfds.LL1L2(3)计算方法：由于曲线只有一个自由度，所以第一类曲线积分一定可以

47、转化3o为一元函数定积分x x(t),对于三维空间内的光滑曲线L: y y(t),且t ,则z z(t),.227f (x,y,z)ds f (x(t),y(t),z(t) x (t) y (t) z 出.L, x x(t), 一对于平面曲线L：且t , , x a,b,则y y(t),八f(x,y)ds f(x(t),y(t)、x2 2 出f (x，y(x)1 y12(x)dx.L2、第二类曲线积分：在一条曲线上的向量值函数的“积分”。(1)定义：在有向曲线段L (以A, B为端点)上取n个点R(i 0,1,2,.n, P0 A,Pn B),向量ri P：7P在每个小弧段R iP上取一点Q,

48、则对于同维向量值函n数F,有F dr limF(Q).(分割与取点方式是任意的) TOC o 1-5 h z L0 i15F (P, Q, R),则 F dr Pdx Qdy Rdz. LL*若1是封闭曲线，则该积分可记为 F dr Pdx Qdy Rdz. LL*注：因为第二类曲线的积分本质是向量内积的积分，所以积分的值与积分方 向 有关。(2)性质：线性性(F G) dr F dr G dr.LLL可加性若L由两条同向曲线Li与L2组成，则F dr F dr F dr.LL1L2有向性一一若L与L反向，则 F dr F dr.LLx x(t), (3)计算方法：利用参数方程y y(t),且

49、t a, b,有z z(t), b TOC o 1-5 h z F dr P(x(t),y(t),z(t)x(t) Q(x(t),y(t),z(t)y(t) R(x(t),y(t),z(t)z(t)dt. La3、两类曲线积分的关系若用方向余弦表示有向曲线 L在某点的切向量r (cos , cos , cos ),则drds.从而 F dr Pdx Qdy Rdz (P cos Q cos R cos )ds.LLL4、第一类曲面积分31x(1)曲面的面积：对于三维空间内的曲面yx(u, v),y(u, v),(u,v) D,则曲面面积为 z(u, v),dSDDu r vdudv转化成直角坐

50、标：dSDEEG F 2dudv,其中E, F, G的意义同曲面第一基本形式。D1 z2 (x) z2 ( y)dxdy.Dz 第一类曲面积分的定义：将曲面 任意分割成n小块i,并在每一块上任取一点R。若i的面积为 S,则积分 f (x, y, z)dSnlim f (P) Si,其中 maxd 0i 1d ( i )指i的直径，是i上两点间的最大距离(性质：线性性(fg)dS fdSgdS.可加性一一右12,fdS fdSfdS.x(u, v),(4)计算方法：若 的方程为y(u, v),且(u, v)D,则z(u, v),fdS f (x(u, v), y(u, v), z(u, v) -

51、 EG F 2 dudv。D若(x, y) D，则 fdS f (x, y, z(x, y) 1 N2(x)z2 (y)dxdy.D5、第二类曲面积分(1)曲面的侧：若选定法向量的统一朝向后，点在曲面内运动一圈回到初位置 时法向量朝向不变，则曲面为双侧曲面(与涂色类比，双侧曲面的正反面无法一次涂完)，二类曲面积分11f 2f 2 ( f x , f y,1).x y反之则为单侧曲面(如莫比乌斯带)。在此只考虑双侧曲面的第法向量方向余弦符号名称cos(n ,x)+前侧后侧cos(n,y)+右侧左侧cos(n ,z)+上侧一下侧0(2)曲面的6种侧(3)曲面z f (x, y)在某点的法向量n第二

52、类曲面积分的定义一一在曲面上进行的向量值函数的“积分”。对于R3上的有向光滑曲面，在其上定义向量值函数F (P, Q, R)。将 分成n个32同侧小块i,对应面积Si,单位法向量Mio记有向面积Sini S,并在每个ni上任取一点R,则积分 F dS lim F(R) S,其中 maxd( i). 0 i i*称 为F通过 指定侧的通量。当 为封闭曲面时，记 OF dS.(5)性质：线性性 (F G) dS F dS G dS.可加性一 一若 12,12 ，且1 , 2和 同侧，则F dS F dS F dS.12有向性若与反向，则 F dS F dS.(6)计算方法：基本原理F dS F n

53、dS.x x(u, v), 转化成二重积分：若 的方程为y y(u,v),且(u,v) D,(x, y) D,则 z z(u, v),F dS (PA QB RC)dudv.其中DPA P(x(u, v), y(u, v), z(u, v) D( y, z), QB Q(x(u, v), y(u, v), z(u, v) D(z, x)D(u, v)D(u, v)RC R(x(u, v), y(u, v), z(u, v) D(x, y).D(u, v)转化成直角坐标：如果选择的上侧，则F dS P(x, y, z(x, y)N(x)Q(x, y, z(x, y)N( y) R(x, y, z(x, y)dxdy.D选择下侧，则上式右边乘以1.6、线积分与面积分的联系一一两个重要公式Green式：若平面区域D的边界D为封闭光滑曲线，且 D取