电磁场中粒子的运动

1、第七章电磁场中粒子的运动电磁场中荷电粒子的运动电磁场中荷电粒子的运动的薛定渭方程设带电粒子质量为 m,电荷为q运动速度为v.按经典电动力学理论, 即- J , 1 -二)mr = q E +v 父 B i(7-1)I c )引入电磁场的矢势 A和标势，则电磁场分别表示为：满足牛顿第二定律,e = Aa .c 二 tB A所以，经典力学中的哈密顿量为HOTA)2 qP称为正则动量，相应的方程为:Hr = 一P所以,:H.:r(7-2)(7-3)(7-4)(7-5)1Px-qAX得 Px = mx q Ax c类似的可以算出他的其它分量，正则动量为- q P =mv + A(7-6)c由此可以看出

2、，在有的作用下，带电粒子的正则动量不等于其机械动量。在坐标表象中，把正则动量替换成动量算符，即-L工P ，P = -i 则在电磁场中的哈密顿算符为 HYPERLINK l bookmark32 o Current Document 1q 9. HYPERLINK l bookmark34 o Current Document H =(P -A)2 +q4(7-7)2mc薛定谓方程为 HYPERLINK l bookmark38 o Current Document i 力=1 P-qAi +q(7-8)近2mc J M Jr- -1 匚-二-对易关系 P, A=PA-AP i *A20在库仑规

3、范下 VA=0, (7-8)式可以写为i，P2 A*P+-A2 十qeL(7-9)2t112m mc 2mc7.1.2定域的概率守恒与流密度-.:2-_解，*= 1 P2 + q AP+ q 2 A2 +q* V *(7-10):t112mmc 2mc令3式(7-9)川M式(7-10),并由g据v,A = 0,得=0P2-. _ . p2. _1，一 A 爪! A P：2mmc1q2mi -i *. 2mP P中 一“P- -Up A1-mc.ph ,；,p,._2q,. a.可以写成cP -(7-11)、, j = 0.:t式中j = -P-; -1-;P-;-2m12mCd-q- a !；

4、 m c/i-rP-qA 卜十fPSa 中,*1. =1 . iv：v2=Re 1 v1-而 v =P-qA L- -i-A i m A = A+:3r,t(7-12) TOC o 1-5 h z ,1 2X *R = *r,t)iC ct波函数作如下变换：一., = / 则中满足的薛定谓方程，形式上与 中满足的薛定谓方程完全相同，即i 一 二(P _q A )2 q -汽|l_2mc还可以证明：在上述规范变换下，P, j,v （平均值）都不变。虽然电磁场的矢势和标势，波函数变了，但是薛定谓方程的形式不会改变。我们采用矢势和标势来描述电磁场，但是矢势和标势的选择不是唯一的。当势做规范变化时，场

5、矢量及其规律都保持不变，这种不变性称为规范性或协变性。还可以At A=A+V也能使B保持不变。B = t A八 A t 八 A A波函数甲和平描述的是同一个状态。7.2 正常塞曼效应正常塞曼效应概述1896年，荷兰物理学家塞曼（P.Zeeman, 1865-1943）使用罗兰光栅观察磁场中的钠火焰的 光谱，发现钠的 D线似乎出现了加宽的现象。这种加宽现象实际是谱线发生了分裂，随后 不久，塞曼的老师荷兰物理学家洛伦兹对这种现象进行了解释。他认为，由于电子存在轨道磁矩，并且磁矩方向在空间的取向是量子化的，因此在强磁场的作用下能级发生分裂，谱线分裂成间隔相等的三条谱线。塞曼和洛伦兹因为这一发现，分享

6、了1902年的诺贝尔物理学奖。塞曼效应证实了原子磁矩的空间量子化，为研究原子结构提供了重要途径，被认为是 19世纪末20初物理学最重要的发现。正常塞曼效应：在强磁场的作用下原子光谱发生分裂（一般为三条）的现象。忽略电子自旋和轨道的相互作用。反正常塞曼效应：如果磁场比较弱，自旋和轨道的耦合作用不能忽略时，原子光谱在弱磁场中的分裂就更复杂了。正常塞曼效应的量子力学解释：在原子尺度范围内，实验室常用的磁场都可视为均匀磁场，记为B,取矢势为 TOC o 1-5 h z A 1 -，、A = BMr(7-13)2可以验证B=MA, *A =0 ,设磁场方向指向z轴的正向，则A 11rAe,、Ax= By

7、, Ay= Bx,Az =0(7-14)2y 222只考虑一个价电子的情况， 并假设价电子处于 （原子实和内层慢壳层电子）所产生的屏蔽库伦场V（r冲运动，那么的哈密顿量为H =2eBy) LPx -+ Py2c / eBx 2七 1,、+ 1 +Pz +V r2c )(7-15)2 eBlz e B 22P 2 X y| c 2c上式中第三项很小，可以忽略。所以H=21F Vr 喋：(7-16)上式中最后一项视为电子的磁矩（ze=l z ）与外磁场相互作用引起的附加能量 2cAE = -NzB）。因此，原子价电子满足的薛定谓方程为:2 2 eBL(-、V r 嗅尸二E：22c(7-17)由于外磁场的作用，破坏了原子的球对称性，角动量不再是守恒量，但是l 2和lz仍然守恒。因此波函数为（H,l 2,lz）的共同本征函数，即(7-18)式中 nr =0,1,2； ,l；m = -l,-l +1,，l 1,l。注意nr是径向量子数，而不是主量子数。l是角量子数。能量为EnrXEnrl黑m-Enr，m；L(7-19)式中,eB01 =L 2%称为拉莫尔（Larmor）频率Enj为价电子处于中心力场V（r中的能量