电磁场与电磁波理论第6章知识题解答

1、第6章习题解答6.1已知空气中存在电磁波的电场强度为 E = e E cos n兀x 1081 + 2nv V/m试问：此波是否为均匀平面波？传播方向是什公?求此波的频率、波长,相速以及对应的磁场强度丑。解：均匀平面波是指在与电磁波传播方向相垂直的无限大平面上场强幅度、相位和方向均相同的电磁波。电场强 度瞬时式可以写成复矢量E = e E0e*。该式的电场幅度为E0，相位和方向均不变，且E e = 0 n E1 e， 此波为均匀平面波。传播方向为沿着-z方向。=6兀x 108波数k = 2兀木目1束 v 3 x 10 n/s p k由时间相位t 6兀x 1081波的频率f = 3 x 108

2、Hz,2 n波长人1 m k由于是均匀平面波，因此磁场为一 E e ejkz xZw6.2有一频率为600 MHz的均匀平面波在无界理想介质隹=4, r = 1)中沿+ x方向传播。已知电场只有V分 ，初相位为零，且t , =10 s时，x = 1m处的电场强度值为800 kV/m。试写出E和H的瞬时表达 式。公一I一一 一- 一I J2 -解：根据题意，角频率=12兀x 108 ，k =叭，wr =叭 R R = = 8兀，因此E - e E cos(12n x 1081 - 8nx)由t = 10 s , x = 1m处的电场强度值为800)kV/m，可以得到e0 800 kV/mE =

3、e 800cos(12n x 1081 - 8nx) kV/mV根据电场的瞬时表达式可以写出电场的复矢量为E e 800e-j8n kV/m1 V波阻抗为Zw =、：、 9 =60兀(Q)。因此磁场强度复矢量为1 /一岂、一 40H - z (ex E) = e - e - j8 nx kA/mw因此，磁场的瞬时表达式为吊 -40H = e cos(12兀 x 1081 - 8nx)Z新()6.3在无界理想介质中，均匀平面波的电场强度为E = eE sin0兀x 1081-2nV/mx 0已知介质的r 1，试求其，并写出H的表达式解：根据电场的瞬时表达式可以得到2兀x 108 , k 2兀，而

4、n r电场强度的瞬时式可以写成复矢量为E = eE e-2迎W波阻抗为Zwx 0=E=40兀。，则磁场强度复矢量为1 , 二、 E 勺 n H =(e x E) = e f e* Z y 40 兀因此磁场为:E ._-、H - e 40 sin(2兀 x 1081 - 2nz)6.4无界自由空间传播的电磁波，其电场强度复矢量为E =(e2-e 3)ej(4-kz) V/m写出磁场强度的复矢量以及平均功率密度 解：首先判断是均匀平面波。该电场幅度为03，相位和方向均不变，且Ee - 0 n E1 e，因此磁场强度复 矢量可写成 TOC o 1-5 h z 1 一 三、 1 一 一 1 H z (

5、e x E) 120 e x (e 2 e 3)ej(兀/4-kz)修。(e 2 + e 3)ej(兀/4-kz)w二二 113平均功率流密度为S - Re(E x H*) (e 2 e 3) x (e 2 + e 3) - e W/m2av 2240n *y - z 240兀&5在无界理想介质(-1, -5 )中传播均匀平面波。已知其磁场强度复矢量为H - e 0.5e-j2兀(3x+4y) A/mz试求该平面波的传播方向.电场强度及其坡印廷矢量的平均值，并写出电磁波的瞬时表达式。解：由k r k x + k y + k z 2兀(3x + 4 y )k - 6 兀，k = 8 兀，k -

6、0得该电磁波的波数为电磁波的角频率为x y zk - k - Jk2 + k2 + k2 =10兀-kv = - = - x 109 Hz巧 5该电磁波在传播方向上的单位矢量为e - k - e k+e匕+e 土 - e 0.6+e 0.8k k x k y k z k x y而该均匀平面波的磁场强度复矢量为0e 0.5x(e 0.6 + e 0.8土eGx+4y) = !(-e 0.4 + e 0.3)e-j2兀(3x+4y)5z xJ5x yS - Re(E x H*)-整(e 0.3 + e 0.4)=埋 e W/m2 av 25 x y5 kE = 2籍 Le 0.4cos t- 2兀

7、(3x + 4y) + e 0.3cost- 2兀(3x + 4y) 6.6下列表达式中的平面波各是什么极化波？如果是圆或椭圆极化波，判断是左旋还是右旋？E - e E sin 姊t - kz)+ e E cos t- kz);E - e E sin 姊t- kz)+ e 2E sin 姊t - kz)；E -e E sin ”- kz + 兀 / 4)+ e E cos (t - kz - n/4)；x 0y(4) E =e E sin g kz + n/4)+ e E cos J kz)。x 0y 0解：(1)左旋圆极化波(又称为顺时针旋转的圆极化波)。(2 )线极化波。(3 )线极化波。

8、(4 )左旋椭圆极化波(又称为顺时针旋转的圆极化波)。6.7试证明任意的圆极化波的瞬时坡印廷矢量的值是个常数证明：设圆极化波沿着+z方向传播，其磁场强的的瞬时式为E - e E cos(wr 一 kz + p ) 土 e E sin(wr 一 kz + p ) x 00 y 00对应的复振幅矢量为E (e e 干 e jE )e-jkz+j览根据均匀平面波的传播特性可以得到该圆极化波的磁场强度的复振幅矢量为二 1 / 二、 1/.、H (e xE)e x(eE 干e jE )ejkz+j%Z乙Zz x 0/ 0(e E 土 e jE )e-jkz+j%Zy 00w对应的瞬时值为e E cos(

9、st-kz + 中)=Fe E sin(st-kz +中)Z y 00 x 00w瞬时坡印廷矢量为1E 2S ExH e E2cos2(t-kz + 中)+ e E2sin2(t-kz + 中)e Z z 00 z 00 z Zww由此可见，圆极化波的瞬时坡印廷矢量的值是个常数。6.8改聚苯乙烯在频率为1 GHz时损耗角正切tan 5 0.000 3 / 2.54 ,日1 ,试求此时电磁波对聚苯 乙烯的趋肤深度以及电场.磁场之间的相位差。e解：显然聚苯乙烯在频率为1 GHz时可以视为一种弱导电媒质，即U tanSe tanSe 时tan 5 0.00314822cc5 - L - 318.5

10、ma而此时电场、磁场之间的相位差仅为L arctan - arctan 0.0003 0.00862 咬 26.9铜的电导率b 5.8 x 107 S/m，口 8 1 .试求下列各频率电磁波在铜内传播的相速、波长,透入深度 及其波阻抗 ：(1) f 1MHz ；(2) f 100 MHz ;(3) f 10 GHz。解：已知 8 ax 10-9 F/m 和 u 4n x 10-7 H/m，那么 bx 1.044 x 10180 36兀0S82nf 8 80f(1)当f 1MHz时，色1.044 x 10121，则铜看作良导体，衰减常数a和相位常数0分别为8于是有相速：v % - 4.152 x

11、 10-4/f 0.4152 m/sa 0 j 15.132 f 15.132 x 103波长：人-寻4.152 x 10-4 m透入深度：5 a1 6.6x 10-5 m波阻抗:Z 客(1+ j) - 2.61 x 107(1+ j)*f - 2.61 x 10-4(1+ j) 2b 当f = 100 MHz时，由=1.044 x 1010 1 ,则铜仍可以看作为良导体，衰减常数a和相位常数P分别为a = P = =15.132%： f = 15.132 x 10423-2 n相速：v =- = 4.152x 10-47 = 4.152 m/s波长：X= 4.152x 10-5 m透入深度：

12、8 =a = 6.6 x 10-6 m 波阻抗：W =:芸(1+ j) = 2.61 x 10 -7(1+ j) .打=2.61 x 10-3(1+ j)当f = 10 GHz时，旦=1.044 x 1081，则铜看作良导体，衰减常数a和相位常数P分别为 3a = 0 = =15.132* f = 15.132 x 105n相速：七=0 = 4.152x 1。-4f = 41.52m/s波长：X= 2 = 4.152x 10-6 m透入深度：8 =才=6.6x 10-7 m 波阻抗：力=、:翌(1+ j) = 2.61 x 10-7(1+ j/f = 2.61 x 10-2(1+ j) TOC

13、 o 1-5 h z 6.10 海水的 = 4S/m , = 81, 口 = 1，试求频率为10 kHz ,10 MHz和10 GHz时电磁波的波长、衰减常 数和波阻抗。解：已知 Q 上x 10-9 F/m和日=4nx 10-7 H/m，那么旦=-I8 x 109。o 36n03 f 9当f = 10kHz时，E = I8 x 109 = 8 x 1051，则海水可看作良导体，衰减常数a和相位常数0分别为 3 f 99a = 0 =普 = 3.97 x 10-3 v7 = 0.397l 2v =* = 1.5 82 x 103* = 1.5 82 x 105波长p 08 = ! = 2.52

14、m波阻抗 Z =aw相速透入深度-2 n冗=-0 = 15.83 m* (1+ j) = 0.316 n x 10-3(1+ j/f = 0.099(1 + j) 2b当f = 10 MHz时，E = 8 x 102 = 88.891，海水也可近似看作良导体，衰减常数a和相位常数0分别为 3 9a = 0 = i = 3.97 x 10-3 % f = 12.55-2 n相速v =0 = 1.5 82 x 103 疗=5.00 x 106 波长 X =页=0.500 m透入深度8 =? = 0.080 m 波阻抗 Z =箴(1+ j) = 0.316 n x 10-3(1+ j)打=3.139

15、(1+ j)当f = 10GHz时，旦=I8 x 109 = 8 x 10-1 = 0.0891，海水也可近似看作弱导电媒质，衰减常数以和相 3 f 99位常数0分别为P80 n=rad / m0 = 3 侦 |LX187 = 600n m/sec相速波长G J n 人=m0300透入深度8=1 = 0.012ma波阻抗p b 、 40%(1+J23)=T(1+J06.11平面波在导电媒质(p = =1,b= 0.11 S/m )中,电磁场的频率f =1 950MHz ,试求：(1)波在0.11瞄质内的相速和波长；（2）场强经过一个波长的衰减量。解：因为 A 2 nx 108x6 n )x 1

16、0 -9所以于是有相速二 125.3 rad/m 。=目2=131.8 m/secv = = 0.94 x 108 m/s p P波长（2）场强经过一个波长的衰减量为20log e_ak= 51.88 dB0.016.12均匀平面波在无界导电媒质（四=1, =5,b= 0.01 S/m ）中沿+z方向传播，电场为y方向。巳知z = 0 处，电场强度的振幅E = 5x 10r-3 V/m，初相位为赢 若电磁波的频率为1。8田，试求：（1）空间任意 点的E和H的瞬时表达式；（1）媒质中传导电流与位移电流之比。解：因为 = 2nx 108 x(13m)x 10-9/5 = 0.36 ,所以= 0.8

17、3 rad/m目2=4.76 m/sec、=163.5ej4.95 = 1635ej0.086J 必 )E = e 5x 10-3e-0.83z cos(3t-4.76z) y于是，空间任意点的E和H的瞬时值可以表达成H = -e 3.06x10-5e-0.83z cos(3t 4.76z 0.086)X（2）媒质中传导电流与位移电流之比为=0.01、= 0.3632n x108 x(1 36n)x 10-9 / 5JcJd6.14试证明电磁波在良导体中传播时，场强每经过一个波长衰减55 dB。证明：在理想导体中a幻P 则场强每经过一个波长衰减为L = 20log （e -a入 ）=20log

18、 （e-ax2n/旦）=20log （e-2n ） = -55dB6.16均匀平面波由空气向理想介质（日=1,丰1 ）平面垂直入射。已知分界面上E = 10 V/m，H0 = 0.25 A/m。试求：（1）理想介质的 ；（ 2）空气中的驻波比；（3）入射波,反射波和折射波的电 磁场。r解：利用波阻抗的表达式Z = 1w=(120n x 0.025)2 = 88.8(2) Zw2 = 40 , Zwi = 120兀，垂直入射的反射系数为r = Z w2 Z wi = -0.808Z w2 + Z wi因此驻波比为i+1 r ii-_ 1.808 0.192=9.417垂直入射的透射系数为T =

19、% = 2 x 40 = 0.192Z + Z40 +120兀根据题意，已知分界面上E0 = 10V/m，即即TE. =E。所以有E. = 52.1 V/m ,H = E / Z . = 0.14A/m。 设空气中的传播常数为七，则理想介质中的传播常数k2 = 2，因此，入射波、反射波和透射波分别为E = e 52.1e-jwE = e 42.2e+jk1 乙E = e 10e-jk2z = e 10e-j2*i xr xt xxH = e 0.14e-jk1 z H = e 0.11e+ jk1z H = e 0.25e-jk2z = e 0.25e-j2k1z i yr yt yy6.17

20、频率为300MHz的均匀平面波由空气垂直入射到海面。已知海水的 = 81 =1 ,。= 4s/m，且海 面的合成波磁场强度H0 = 5x 10-3A/m试求：海面的合成电场强M ； (2)空气中的驻波比；(3)海面下 0.1 m处的电场强度与磁场强度的振幅；单位面积进入海水的平均功率。解：因为角频-W = 6n X108。斜2.96，海水不能看作良导体，所以a =必=9.276 = 58.28 Np/m cP =12.924 = 81.205 rad/m c海水波阻抗Zw =籍书d=孚;F=23.67e g 海水表面的电场强度为E = Z H = 23.67e+j35.67 H = 0.118

21、e+j35.67 V/m空气中波阻抗为Z = 120兀，则反射系数r = |1 = 19.23 + 以町-120 兀=-357-76 + 13-80j =0.903前Z + Z19.23 + 13.80j +120 n 396.22 + 13.80j因此空气驻波比为w w0S = 1+归=些=19.61-1 r | 0.097海面下0.1 m的电场强度和磁场强度为E = E e-az = 0.118e+j35.67e-58.28x0.1 = 0.118e+j35.67e-5.828 = 3.474e+j35.67 V/mH = H e-az = 5x 10-3e-58.28x0.1 = 1.4

22、7 x 10-5 A/m0 平均坡印廷矢量为S = 1 Re(E x H*)av 2单位面积进入海水内的功率等于海表面处的平均坡印廷矢量的大小，即11 . .S = Re EH *= I H |2 Re Z = 2.41x 10-4 W/m2 av 20 020w6.18均匀平面波由空气垂直入蛔理想介质隹=4,日=1）平面上，设其电场为E =（e 反射波和透射波的电磁场强度复振幅，并指出它们各是何种极化。者是圆解：根据已知条件，可求出两媒质的波阻抗分别为Z 1 = 120n, je）E e-脂，试求i 尤 y 0极化或椭圆极化，判断其旋转方向。Z 2 =120兀 /知=60兀于是有r = Zw

23、2 Z w1 =1Zw2 + Zw132 Z%Z. 2 + Zw13由此可得E = 3(e -je)E0e+jk0乙-(e je)E e-j2k0乙3 x y 00入射波和透射波是右旋圆极化波，反射波是左旋圆极化波。6.19均匀平面波由理想介质（气=1,七=4q = 0 ）垂直入射到理想导体表面。测得距导体表面0.75 m和1.5 m 处的电场为零，且导体表面的合成磁场气=0.01 A/m，初相位为零试求电磁波的频率以及理想介质中 合成电磁场的复矢和导体表面的面电流密度复矢量。解：因为七=1.5 0.75 = 0.75 m2v c所以有f=牛=200 MHz导体表面的合成磁场2 E H 0 =

24、 0.01 =w1E = H。乙1 = 0.3ni0 2由此可得E = e j2E sin k x = e j0.6兀 sin V/m1 y i0 1 y3方 _ 2E2nxH = e zcoskx = e 0.01cos- A/mw1J = e X H = e 2Hi0 = e 0.02 A/m6.20试证明均匀平面波由理想介质垂直入射到良导体表面时，进入到良导体内的功率与入射功率之比约为4 R , Zw1，其中 与 =卷是良导体的表面阻抗，Z W1是理想介质的波阻抗。证明：对于理想介质垂直入射到良导体的透射系数为F 2 Z T =wZ w2 + Z w1式中Z =Z =w2 w1/2=(1

25、+ j)业为良导体的波阻抗，Z =2。w1普为理想介质的波阻抗。对良导体，存在Z Z，则透射系数为” 2 ZT =w2Zw1Eiz e水，平均坡印廷矢量为w1-11 | E |2S = ReE x H* =-avi2-w2w1设入射波电场为E = eE0 ejkz，则磁场H =e透射波的电磁场为e2 Z zw1在良导体表面的平均坡印廷矢量为一 1 二 二S = ReE x H* = e一 tE=e z 0 ejkzw21 , ，* T |2| E0|2 Re-Z-I w2 J土 =1T |2 Z Re上=4 Zw2 |2 - Z -Sw1 Z 2| Z 1 |2w14丝b2叩 Zw1b 42b

26、w12叩 Z4 RZw1单位面积进入良导体内的功率等于良导体表面的平均坡印廷矢量大小，则进入到良导体的功率与入射功率之 比为值值6.21理想导体表面有一层厚度为d的理想介质（目=侦=10, b = 0 ）。均匀平面波由空气垂直入射到理想介质 表面。改电磁波的频率为100 MHz，试求空气与理想介质分界处的反射系数和折射系数；d为何值时， 该分界面处的电场强度的振幅值最大？解：第一区域内E = eE e-jk1 (z+d) + E ejk1 (z+d) 1-1i1一 i r1吉- 1H = e zw1E e-ik1 G+d) E ejk1 G+d)i1r1第二区域内E2 = 4 2。-狄2Z+

27、Er2ejk21第三区域内是理想导体，其电磁场为零。于是在第2分界面（z = 0）处E + E = 0 即 而在第1分界面z = d上，应满足的电磁场边界条件是（E - E ）= （Ei1E + E = Ej d + Eejk2 d1Zw1H 2 = e Z G 学-昵 z E j z） w2，应满足的电磁场边界条件是E = Er2i2r1 Zw2.ejk2d E ejk2d )= E = jZ tan k d Z1 E jZ： tan k： d + zT ET =i21 Ei1联立解得Z Z ZZw w1w1 oc，将发生全反射，则反射系数和透射系数变成cosO 一， / s 一 sin2

28、OcosO 一（1/ s 一 sin2OcosO 一 jjsin2O 一 1/ s=i*21i = ir .i = i%, i r-sin2 OcosO + “simO -1/ s0.994e-j俘 =e - j380 0.994ej，2cos Or =1 cosO +0.94-h0.117-0.012 _ 0.94- j0.3240.94 + j%0.117 - 0.012 0.94 + j0.3242cos O =.,/ -sin2 O cosO + J1/ s21ii T =1 cos O. +Js / s sin2 O cosO +/ s sin2O*21ii V 21i2cos O1

29、.8791 on=1.89e-j190cosO + jsin2 O. -1/ s0.994ej1906.26频率为3GHz的线极化平面波由空气向理想导体表面斜入射，入射角。=兀/4，入射电场在导体表面处 振幅为1 V/m，初相位为零，方向与导体表面平行试写出入射波、反射波和合成波的电磁场强度的复矢 ，并求合成波的坡印廷矢量的平均值解：这是一个垂直极化波斜入射到理想导体表面的问题，即r =-1。由k =o /c = 20兀，E = 1，O =兀/4 可以得到11i0 ie -jio 2 兀(x+z )(k z cos0 )e-jkxsin0inz )ejio2nxk sin 0, 6k cos

30、0, 8E = e E ejk1 (Xsin0. +zcos.) = e ej1。 2n(x+z)H = (e cos0 + e sin0 ) e-jk1 (xsin0+z河)=(e + ei x i z i Zx zw1E = e E e-jk (xsin0r + zcos0r) = e ej102兀(xz)H - (e cos0 + e sin 0 工e-jk (xsin0 + z cos0 )-(e + e )e-jio 2兀(xz)r x r z r Zx z 240%wl合成波的电磁场强度的复矢量E e Eejk1 (xsin0i + zcos0. ) ejk (xsin0i zco

31、s。1 y iO Le j2E sine j2sin0可2yH 土 (e cos 0 + e sin 0 )ej (x sin0, + z cos0,)jO-(e cos0 + e sin 0 )e-jE sin 0_ z cos0.)1 Z x i z ij j Z x i z ij je Socos 0 cos (k z cos 0 )ejkxsin0, e jSosin 0 sin (k z cos0 )ejkxsin0, x Zi 1 iz Zi 1 i-e 1 20 cos (0；2nz.10% e j j ； sin (0、；&z)e-j 10%合成波的坡印廷矢量的平均值S - 2 Re(E x H*) - esin 2 CZnz )6.27均匀平面波由空气入射到理想介质(p 1,8 4)的表面(xOy平面)已知入射电