2022年《定积分的概念汽车行驶的路程》教案

1、 1.5.2 汽车行驶的路程 教学目标：1体会求汽车行驶的路程有关问题的过程；2感受在其过程中渗透的思想方法：分割、以不变代变、求和、取极限（靠近）；3明白求曲边梯形面积的过程和解决有关汽车行驶路程问题的过程的共同点；教学重点：把握过程步骤：分割、以不变代变、求和、靠近（取极限）教学难点：过程的懂得教学过程：一创设情形 复习： 1连续函数的概念；2求曲边梯形面积的基本思想和步骤；利用导数我们解决了“ 已知物体运动路程与时间的关系,求物体运动速度”的问题反之,假如已知物体的速度与时间的关系,如何求其在肯定时间内经过的路程呢？二新课讲授问题： 汽车以速度 v 组匀速直线运动时,t经过时间 t 所行

2、驶的路程为Svt 假如汽车作变速直线运动,在时刻t 的速度为v t22（单位： km/ h）,那么它在0 t 1单位： h这段时间内行驶的路程S（单位： km）是多少？分析： 与求曲边梯形面积类似,实行“ 以不变代变” 的方法,把求匀变速直线运动的路程问题, 化归为匀速直线运动的路程问题把区间 0 ,1 分成 n 个小区间, 在每个小区间上,由于 v t 的变化很小,可以近似的看作汽车作于速直线运动,从而求得汽车在每个小区间上行驶路程的近似值,在求和得 S（单位： km）的近似值, 最终让 n 趋紧于无穷大就得到S（单位： km）的精确值（思想： 用化归为各个小区间上匀速直线运动路程和无限靠近

3、的思想方法求出匀变速直线运动的路程）解： 1分割在时间区间 0 ,1 上等间隔地插入 n 1 个点,将区间 0,1 等分成 n 个小区间：0 , 1,1 , 2, ,n 1,1n n n n记第 i 个区间为 i 1 , i i 1, 2 , , ,其长度为n nt i i 1 1n n n把汽车在时间段 0 , 1,1, 2, ,n 1,1 上行驶的路程分别记作：n n n nS ,S , ,S nn明显,Si1S i（2）近似代替当 n 很大,即 t 很小时,在区间 i 1 , i 上,可以认为函数 v t t 22 的值变化n n很 小 , 近 似 的 等 于 一 个 常 数 , 不 妨

4、 认 为 它 近 似 的 等 于 左 端 点 i 1 处 的 函 数 值n2v i 1 i 1 2,从物理意义上看, 即使汽车在时间段 i 1 , i i 1, 2 , , n n n n n2上的速度变化很小,不妨认为它近似地以时刻 i 1 处的速度 v i 1 i 1 2 作匀n n n速直线运动,即在局部小范畴内“ 以匀速代变速”,于是的用小矩形的面积 iS 近似的代替iS ,即在局部范畴内“ 以直代取”,就有2 2S i S i v i 1t i 12 1 i 1 1 2 i 1,2, , n n n n n n（3）求和n1nvi1t1n1i121222n122由,S nS ii1n

5、i1nnni11n22=011 1 3 2n2=nnnnn=1n1n2n12=111 n1123 n632n从而得到 S 的近似值SS n1 311112n2n（4）取极限当 n 趋向于无穷大时,即t趋向于 0 时,S n111112趋向于 S,从3n2n而有Slim nS nlim nin1vin1lim n11111251n3n2 n3摸索： 结合求曲边梯形面积的过程,你认为汽车行驶的路程S 与由直线t0,t1 ,v0和0曲线vt22所围成的曲边梯形的面积有什么关系？结合上述求解过程可知,汽车行驶的路程Slim nS 在数据上等于由直线t0 ,t1,v和曲线vt22所围成的曲边梯形的面积一

6、般地,假如物体做变速直线运动,速度函数为vv t,那么我们也可以采纳分割、近似代替、求和、取极限的方法,利用“ 以不变代变” 的方法及无限靠近的思想,求出它在a t b 内所作的位移 S三典例分析例 1弹簧在拉伸的过程中,力与伸长量成正比,即力 F x kx（ k 为常数, x 是伸长量）,求弹簧从平稳位置拉长 b 所作的功分析： 利用“ 以不变代变”的思想, 采纳分割、 近似代替、 求和、 取极限的方法求解解： 将物体用常力 F 沿力的方向移动距离 x ,就所作的功为 W F x 1分割在区间 0 , b 上等间隔地插入 n 1 个点,将区间 0 ,1 等分成 n 个小区间：0 , b,b, 2 b, ,n 1 b bn n n n记第 i 个区间为 i 1 b, i b i 1, 2, , ,其长度为n ni b i 1 b bxn n n把在分段 0 , b,b, 2 b, ,n 1 b b 上所作的功分别记作：n n n nW ,W , ,W n（2）近似代替有条件知：W iFi1bxki1b bi1, 2, nnn（3）求和W ninW iinki1b b11nn=2 kb012W nn112 kbn n12 kb11n2n222n从而得到 W 的近似值W2 kb12