新高二高中数学（人教A2019）衔接 专题03 第五章 三角函数（知识串讲）

1、专题三 三角函数（知识串讲）必备知识1.角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.(2)分类eq blc(avs4alco1(按旋转方向不同分为正角、负角、零角.,按终边位置不同分为象限角和轴线角.)(3)终边相同的角：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合S|k360，kZ.2.弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.(2)公式角的弧度数公式|(弧长用l表示)角度与弧度的换算1rad；1 rad弧长公式弧长l|r扇形面积公式Slr|r23.任意角的三角函数(1)定义：设是一

2、个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sin y，cos x，tan (x0).(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1，0).如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角的正弦线，余弦线和正切线.4.同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2cos21.(2)商数关系：tan_.5.三角函数的诱导公式公式一二三四五六角2k(kZ)正弦sin sin_sin_sin_cos_cos_余弦cos cos_cos_cos_sin_sin_正切tan tan_tan_tan_口诀函数名不变，符号看象限函数名

3、改变，符号看象限6.两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin()sin_cos_cos_sin_.cos()cos_cos_sin_sin_.tan().7.二倍角的正弦、余弦、正切公式sin 22sin_cos_.cos 2cos2sin22cos2112sin2.tan 2.8.函数f()asin bcos (a，b为常数)，可以化为f()sin()或f()cos() .9.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)正弦函数ysin x，x0，2的图象中，五个关键点是：(0，0)，(，0)，(2，0).(2)余弦函数ycos x，x0，2的图象中，五个关键点是：(0，1)，(，1)，(2，1)

4、.9.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中kZ)函数ysin xycos xytan x图象定义域RRx xk值域1，11，1R周期性22奇偶性奇函数偶函数奇函数递增区间 2k，2k递减区间2k，2k无对称中心(k，0)对称轴方程xkxk无10.用五点法画yAsin(x)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示.x +x0 2yAsin(x)0A0A011.函数yAsin(x)的有关概念yAsin(x)(A0，0)，x0，)表示一个振动量时振幅周期频率相位初相ATf x12.函数ysin x的图象经变换得到yAsin(x)的图象的两种途径常用结论1.三角函数值在各象限的符号规律：一全

5、正，二正弦，三正切，四余弦.2.若，则tan sin .3.角度制与弧度制可利用180 rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用.4.象限角的集合5.同角三角函数关系式的常用变形(sin cos )212sin cos ；sin tan cos .6.诱导公式的记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.7.在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.8.tan tan tan()(1tan tan ).9.cos2，sin2.10.1sin 2(sin cos )2，1sin 2(sin cos )2

6、，sin cos sin.11.对称与周期(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期.(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.12.要注意求函数yAsin(x)的单调区间时A和的符号，尽量化成0时情况，避免出现增减区间的混淆.13.对于ytan x不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间 (kZ)内为增函数.14.由ysin x到ysin(x)(0，0)的变换：向左平移个单位长度而非个单位长度.15.函数yAsin(x)的对称轴由xk(kZ)确定；对称中心由xk(kZ)确定其横坐标.典型例题考点一角的概念及其

7、集合表示【例1】 (1) 已知与角的终边关于轴对称，则是（ ）A第二或第四象限角B第一或第三象限角C第三或第四象限角D第一或第四象限角【答案】A【解析】由与角的终边关于轴对称，可得，取可确定终边在第二或第四象限（2）集合，则有（ ）ABCD【答案】C【解析】，是偶数，为整数，故选C规律方法1.利用终边相同的角的集合求适合某些条件的角：先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需的角.2.若要确定一个绝对值较大的角所在的象限，一般是先将角化为2k(02)(kZ)的形式，然后再根据所在的象限予以判断.【训练1】 (1) 将化为的形式是（ ）AB CD【答案】B【解

8、析】 (2) 若角的终边在函数的图象上，试写出角的集合为 【答案】【解析】解法一：函数的图象是第二、四象限的平分线，可以先在范围内找出满足条件的角，再进一步写出满足条件的所有角，并注意化简解法二：结合图形，与相差的整数倍，由此写出集合考点二弧度制及其应用典例迁移【例2】（1） (经典母题) 设扇形的周长为6，面积为2，则扇形的圆心角是（单位：弧度）（ ）A1B4CD1或4【答案】D【解析】设扇形的半径为，所以弧长为，扇形的圆心角为，因为扇形的面积为2，所以，解得或，所以扇形的圆心角为1或4（2）在半径为10 cm的圆中，的圆心角所对弧长为（ ）AcmBcmCcmDcm【答案】A【解析】根据弧长

9、公式，得（cm）（3）圆的半径是6 cm，则的圆心角与圆弧围成的扇形面积是（ ）A cm2B cm2Ccm2D cm2【答案】B【解析】根据扇形面积公式，得（cm2）规律方法1.应用弧度制解决问题的方法：(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度；(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决.2.求扇形面积的关键是求扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量.【训练2】一圆内切于中心角为、半径为的扇形，则该圆的面积与该扇形的面积之比为（ ）ABCD【答案】B【解析】一圆内切于扇形是指该圆与扇形的两条半径和弧都相切，如图：由圆半径，得

10、，考点三三角函数的概念【例3】 (1)(2020合肥质检) 已知角的终边与单位圆交于点，则的值为（ ）ABCD【答案】B【解析】 (2) 若三角形的两内角满足，则此三角形必为（ ）A锐角三角形B钝角三角形C直角三角形D以上三种情况都可能【答案】B【解析】，为钝角规律方法1.三角函数定义的应用(1)直接利用三角函数的定义，找到给定角的终边上一个点的坐标，及这点到原点的距离，确定这个角的三角函数值.(2)已知角的某一个三角函数值，可以通过三角函数的定义列出含参数的方程，求参数的值.2.三角函数线的应用问题的求解思路确定单位圆与角的终边的交点，作出所需要的三角函数线，然后求解.【训练3】 (1)(2

11、020西安一中月考) 已知角的终边在直线上，求的值【解析】在直线上任取一点，则（1）当时，故，所以；（2）当时，故，所以故等于或 (2) 的值等于（ ）ABCD【答案】A【解析】故选A考点四同角三角函数基本关系式的应用【例4】 (1)(2020兰州测试) 若，则（ ）AB2CD2【答案】B【解析】由，得，又，所以，即，从而，此时所以 (2)(2020平顶山联考) 如果，那么的值为（ ）ABCD【答案】C【解析】， 规律方法1.利用sin2cos21可以实现角的正弦、余弦的互化，利用eq f(sin ,cos )tan 可以实现角的弦切互化.2.应用公式时注意方程思想的应用：对于sin cos

12、，sin cos ，sin cos 这三个式子，利用(sin cos )212sin cos ，可以知一求二.3.注意公式逆用及变形应用：1sin2cos2，sin21cos2，cos21sin2.【训练4】 (1) 若，则（ ）A2B3C4D6【答案】D【解析】，故选D（2）已知是第二象限的角，则（ ）ABCD【答案】A【解析】由得故选A 考点五诱导公式的应用【例5】 (1)(2020衡水中学调研) 已知，则的值为（ ）ABCD【答案】C【解析】 (2) 若，则的值为（ ）ABCD【答案】B【解析】，解得，原式规律方法1.诱导公式的两个应用(1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了.(2)化

13、简：统一角，统一名，同角名少为终了.2.含2整数倍的诱导公式的应用由终边相同的角的关系可知，在计算含有2的整数倍的三角函数式中可直接将2的整数倍去掉后再进行运算，如cos(5)cos()cos .【训练5】 (1)(2020北京卷)在已知，则的值为（ ）ABCD【答案】D【解析】，（2）化简 【答案】【解析】原式考点六同角三角函数基本关系式与诱导公式的活用【例6】 (1)(2020菏泽联考) 已知，且是第四象限角，则 【答案】【解析】，又为第四象限角， (2)(2020福州调研) 若，求的值【解析】，设要求的式子为，则规律方法1.利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结

14、论间的联系，灵活使用公式进行变形.2.(1)注意角的范围对三角函数值符号的影响，开方时先判断三角函数值的符号；(2)熟记一些常见互补的角、互余的角，如eq f(,3)与eq f(,6)互余等.【训练6】 (1)(2020湖北七州市联考) 已知是方程的根，求的值【解析】是方程的根，或，而，故，故原式（2）化简【解析】原式考点七三角函数式的化简【例7】 (1) 等于（ ）ABCD【答案】A【解析】原式（2）的结果是（ ）A1BCD【答案】B【解析】原式规律方法1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，正确使用公式；二看函数名称之间的差异，确定使用的公式，常

15、见的有“切化弦”；三看结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”、“遇到根式一般要升幂”等.2.化简三角函数式的常见方法有弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂与升幂等.【训练7】（1）的值为（ ）ABCD【答案】B【解析】原式（2）的值是（ ）ABCD【答案】B【解析】考点八三角函数式的求值多维探究【例8】 (1) 的值是（ ）ABCD【答案】C【解析】（2）计算的值等于（ ）ABCD【答案】A【解析】规律方法1.“给角求值”、“给值求值”问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，借助角之间的联系寻找转化方法.2.“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数

16、值，再求角的范围，最后确定角.遵照以下原则：(1)已知正切函数值，选正切函数；(2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(,2)，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，)，选余弦较好；若角的范围为eq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)，f(,2)，选正弦较好.【训练8】 (1)(2020合肥模拟) 已知，求的值【解析】， 式平方得，式平方得以上两式相加，有，即，得（2）已知，且，求的值【解析】由题意易得，考点九三角恒等变换的简单应用【例9】 (2020郑州模拟) 如图，点在以为直径的半圆上移动，且，过点作圆的切线，使连接，

17、当点在什么位置时，四边形的面积等于？【解析】设，连接是直径，又，是切线，又,由已知，又，故当点位于的中垂线与半圆的交点时，四边形的面积等于规律方法1.进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用.2.把形如yasin xbcos x化为yeq r(a2b2)sin(x)，可进一步研究函数的周期、单调性、最值与对称性.【训练9】 (2020北京卷) 求函数的单调区间【解析】当，即，函数单调递增当，即，函数单调递减因此原函数的单调递增区间是，单调递减区间为考点十三角函数的定义域、值域(最值)【例10】 1.（2020渭南市尚德中学高一月考）求下列函

18、数的定义域.（1）；（2）【答案】（1），（2），且【解析】（1），所以所以的定义域为，（2），所以的定义域为，且2. （2020上海高一课时练习）函数的值域为_【答案】【解析】，时，时，所求值域为故答案为：规律方法1.求三角函数的定义域其实质是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数的图象求解.2.求解三角函数的值域(最值)常见三种类型：(1)形如yasin xbcos xc的三角函数化为yAsin(x)c的形式，再求值域(最值)；(2)形如yasin2xbsin xc的三角函数，可先设sin xt，化为关于t的二次函数求值域(最值)；(3)形如yasin xcos xb(sin xc

19、os x)c的三角函数，可先设tsin xcos x，化为关于t的二次函数求值域(最值).【训练10】1（2020上海高三专题练习）函数的值域是_，最小正周期是_.【答案】 【解析】依题意.由于，故，即函数的值域为.函数的最小正周期为.故答案为：；2（2020上海高三专题练习）函数的值域是_.【答案】【解析】由函数因为，所以当，即时，函数有最大值2.当，即时，函数有最小值.所以函数的值域为故答案为：考点十一三角函数的单调性多维探究角度1求三角函数的单调性【例111】 （2020四川省泸县第四中学高一月考）已知函数（1）求函数的最小正周期和单调增区间；（2）求函数在区间上的最大值【答案】（1）,

20、（2）【解析】（1）的最小周期；由题意得令，得：，函数的单调递增区间为；（2）由（1）知在区间上为增函数；在区间上为增函数；即在区间上为增函数；在区间上的最大值=角度2已知单调性求参数【例112】（2020辽河油田第二高级中学高一期中）函数在上单调递增，则的范围是ABCD【答案】B【解析】由题得，所以函数的最小正周期为,因为函数在上单调递增，所以，又w0，所以.故选B规律方法1.求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成yAsin(x)形式，再求yAsin(x)的单调区间，只需把x看作一个整体代入ysin x的相应单调区间内即可，注意要先把化为正数.2.对于已知函数的单调区间的某一部分确定参

21、数的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题利用特值验证排除法求解更为简捷.【训练11】1.已知函数的最小正周期为.（1）求的值及函数的单调增区间；（2）当时，求函数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】（1），因为的最小正周期为，所以.所以由，得所以函数的单调增区间为（2）因为，所以，所以所以函数在上的取值范围是.2. 已知函数在上单调递减，在上单调递增，则( )A1B2CD【答案】A【解析】函数在上单调递减，在上单调递增，当时，函数取得最小值，又，选A3若函数在区间上单调递减，则的取值范围

22、是( )A0B0C3D3【答案】D【解析】令x（kZ），则x函数f（x）sinx（0）在区间上单调递减，且当满足题意，故选：D考点十二三角函数的周期性、奇偶性、对称性多维探究【例12】1.（2020上海高三专题练习）下列函数中，既为偶函数又在上单调递增的是（ ）.ABCD【答案】C【解析】对于函数，当时无意义，在上不单调，故A不正确；函数在上单调递减，故B不正确；函数是偶函数，在上单调递增，故C正确；当时， 函数单调递减，故D不正确.故选：C2.（2020四川省高一期末）函数是（ ）A周期为的奇函数B周期为的偶函数C周期为的奇函数D周期为的偶函数【答案】C【解析】由题得，设，函数的定义域是,所

23、以函数的最小正周期为，由于，所以函数是奇函数.故选：C.3.（2020大连市普兰店区第一中学高一月考）给出的下列命题中正确的是（ ）A若，是第一象限角，且，则B函数是奇函数C是函数的一条对称轴D在区间上的最大值是，最小值为.【答案】B【解析】对于A，若，满足，是第一象限角，且，但是不成立，故A错误；对于B，令，则，所以，所以为奇函数，故B正确；对于C，解得，所以不是函数的对称轴，故C错误；对于D，在区间上的最大值是，最小值为，故D错误.故选：B.4.（2020河北省故城县高级中学高一期中）下列函数中，最小正周期为的偶函数是（ ）ABCD【答案】D【解析】为奇函数，排除；的周期为，排除；是非奇非

24、偶函数，排除；， ，为偶函数.，故D满足.故选：D.【训练12】 1（2020上海高一课时练习）下列函数中为奇函数的是（ ）ABCD【答案】D【解析】记每个函数为，A中，是偶函数，错；B中，是偶函数，错；C中函数原点不是对称中心，轴不是对称轴，既不是奇函数也不是偶函数，错；D中函数，是奇函数，正确故选：D2（2020上海高一课时练习）能使为奇函数，且在上是减函数的的一个值是（ ）ABCD【答案】C【解析】依题意，由于函数为奇函数，故，当时，或，由此排除B,D两个选项.当时，在上是减函数，符合题意.当时，在上是增函数，不符合题意.故选C.3（2020上海高一课时练习）下列函数中，最小正周期为的偶

25、函数是( )ABCD【答案】D【解析】函数的最小正周期为，且为奇函数，所以A不正确；函数的最小正周期为，所以B不正确；函数，所以最小正周期为，非奇非偶函数，所以C不正确；函数的最小正周期为，且为偶函数，故D正确.故选：D4（2020上海高一课时练习）在下列函数中，既是上的增函数，又是以为最小正周期的偶函数的是（ ）Ay=sinxBy=cos2xCD【答案】C【解析】逐一考查所给函数的性质：A.y=sinx，函数在上是增函数，函数的最小正周期为，函数为奇函数；B.y=cos2x，函数在上是减函数，函数的最小正周期为，函数为偶函数；C.，函数在上是增函数，函数的最小正周期为，函数为偶函数；D.，函

26、数在上是不具有单调性，函数的最小正周期为，函数为偶函数.综上可得，只有选项C中的函数符合题意.故选C.考点十三函数yAsin(x)的图象及变换【例13】已知函数的最小值为，周期为，其图象与轴的交点为试说明这个函数的图象是由正弦曲线经过怎样的变换而得到的【解析】由已知，从而图象过点，即，函数解析式为将正弦曲线向右平移，再将图象上各点的横坐标缩短到原来的，然后将图象上各点的纵坐标伸长到原来的4倍，即得函数的图象规律方法作函数yAsin(x)(A0，0)的图象常用如下两种方法：(1)五点法作图，用“五点法”作yAsin(x)的简图，主要是通过变量代换，设zx，由z取0，eq f(,2)，eq f(3

27、,2)，2来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象；(2)图象的变换法，由函数ysin x的图象通过变换得到yAsin(x)的图象有两种途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.【训练13】 (1) 为了得到函数的图象，只需把函数，的图象上所有的点（ ）A向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）B向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）C向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）D向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）【答案】C【解析】根据两个函数关系式的变化特点，

28、验证选项 (2)(2020石家庄调研) 已知函数为偶函数，其图象与直线的交点的横坐标为，若的最小值为，则（ ）A，B，C，D，【答案】A【解析】为偶函数且，则，所以，所以，又，故直线与的图象的交点为最高点，于是最小正周期为，即，所以，故选A考点十四求函数yAsin(x)的解析式【例14】(2020长郡中学、衡阳八中联考) 下图是周期为的三角函数的部分图象，那么的解析式可以是（ ）ABCD【答案】D【解析】由图象过点排除A、B，由时，排除C，选D函数的部分图象如图所示，则的值等于 【答案】0【解析】由图得周期，又，规律方法1.已知f(x)Asin(x)(A0，0)的部分图象求其解析式时，A比较容

29、易看图得出，利用周期性求，难点是“”的确定.2.yAsin(x)中的确定方法(1)代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入.(2)五点法：确定值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.【训练14】1（2020四川省泸县第四中学高一月考）函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）A函数在区间上单调递增B函数的最小正周期为C函数的图象关于点对称D函数的图象可以由 的图象向右平移个单位得到【答案】D【解析】如图所示，可得，图象过两点，当时，函数A：，解得子，当时，为递增区间，中超出了范围，所以A错B：最小正周期（已求），所以B错C：对称中心为，当时，所以对称中心为，所以C错D：，所以函数图象可以由向右平移个单位得到故选：D2（2020宜丰县第二中学高一月考）函数（其中，）的部分图象如图所示、将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象，则下列说法正确的是（ ）A函数为奇函数B函数的单调递增区间为C函数为偶函数D函数的图象的对称轴为直线【答案】B【解析】由函数的图像可知函数的周期为、过点、最大值为3，所以,，所以取时，函数的解析式为，将函数的图像向左平移