最短路径问题探究

1、学数学最重要的是掌握什么？ 数学思想哥尼斯堡七桥问题与化归思想数学小故事化归思想 哥尼斯堡七桥问题解决哥尼斯堡七桥问题与化归思想数学小故事现实原型：七桥问题构造模型化归数学模型：一笔画问题 无解（一次过七桥不可能）还原 无解（一笔画不可能） 所谓化归思想，就是将一个较为复杂的问题通过转化变形，使其归结为另一个较为简单的问题，从而使问题得到解决 常用的化归方法有：立体问题转化为平面问题；折线问题转化为直线问题；多元问题转化为一元问题，高次问题转化为低次问题 化归立体图形上的最短路径问题ABAB 商场要修建从一楼到二楼的环形楼梯如图所示（绕圆柱表面升），圆柱的底面半径为3m，高为9m，现知道修筑楼

2、梯的费用为每米3000元，最少需要多少元才能修建好楼梯？（ ）9m18mA1ABABCCC变式1：商场要修建从一楼到三楼的环形楼梯如图所示，怎样修建最节约材料？立体图形上两点间的最短问题一般都是化曲为平，通过把立体图形的表面展开转化成平面图形解决。方法归纳：平面上线段和的最小值问题 生活中常会遇到求最短距离问题，建设中常常会遇到最佳位置的选择问题。这些问题都可以转化为：平面上线段和的最小值问题。 问题2. 如图，在河边有A、B两个村庄，要在河边建立水泵站，为节约材料，要使它到两个村庄的距离最短，请你确定水泵站的位置？AB河边C 进一步思考（将军饮马）如图，在河边有A、B两个村庄，要在河边建立水

3、泵站，为节约材料，要使它到两个村庄的距离最短，请你确定水泵站的位置？C河边A1AB利用对称：将两条线段的和转化到一条直线上，运用两点之间线段最短求最小值甲、乙两村之间隔一条河，如图所示现在要在小河上架一座桥，使得这两村之间的行程最短，桥应修在何处？活动一：甲、乙两村之间隔一条河，如图所示现在要在小河上架一座桥，使得这两村之间的行程最短，桥应修在何处？BA活动一：BAB1cD活动一：甲、乙两村之间隔一条河，如图所示现在要在小河上架一座桥，使得这两村之间的行程最短，桥应修在何处？利用平移：将折线和的最小值，转化到一条直线上，用两点之间线段最短求最小值活动二 如图，河流与公路所夹的角是一个锐角，某公

4、司A在锐角内现在要在河边建一个码头C，在公路边B修建一个仓库，工人们从公司出发，先到 河边的码头卸货，再把货物转运到公路边的仓库里去，然后返回到A处，问仓库、码头各应建在何处，使工人们所行的路程最短河流公路A公司BC活动二 抽象成数学模型：点A在MON内，在边MO和NO上各找一点B、C使AC+AB+BC（即ABC的周长）的距离最短。NMA公司BCO河流公路A公司A1A2cD活动二 抽象成数学模型：点A在MON内，在边MO和NO上各找一点B、C使AC+AB+BC（即ABC的周长）的距离最短。利用对称：将三角形三边和，转化到一条直线上，用两点之间线段最短求最小值活动三：在两条互相垂直的公路a、b旁

5、有两个居民小区A、B，现要在这两条公路旁建立两奶站向两居民区供奶，应建在何处，使得两居民小区A、B与这两个奶站所围成的四边形的周长最小？BA公路a公路bCD活动三：抽象成数学模型：在直线a和直线b上各找一点C、D，使AB+AD+CD+BC（即围成的四边形）的最小值。BACD公路a公路b思路点拨：AB为定值，问题化归为AD+CD+BC的最小值。BA公路a公路bB1A1CD利用对称：三边和转化到一条直线上，用两点之间线段最短求最小值活动三 抽象成数学模型：在直线a和直线b上各找一点C、D，使AB+AD+CD+BC（即围成的四边形）的最小值。挑战自我：若要将两奶站建在同一条公路旁，并且两奶站的距离为

6、5千米，那么两奶站应建在何处，使得两居民小区A、B与两奶站所围成的四边形周长最小？BA公路a公路b5千米DC挑战自我：抽象成数学模型：在直线a上找两点C、D，且CD=5，使AB+AC+CD+BD（即围成的四边形）的最小值。BA公路a公路b5千米DC思路点拨：AB、CD是定值，问题化归为求AC+BD的最小值。平面图形上线段和的最小值问题一般都是化折为直，通过对称、平移等方法把折线和最小值转化为直线段解决。方法归纳：化归思想方法小结亲爱的同学们，你们会运用这个数学思想了吗？客观问题抽象数学化数学问题找准目标模型把问题化归成模型数学模型得解运用模型求解本节课你有什么收获？化曲为平，化折为直一种思想，

7、两种方法，一种习惯化归思考、转化、反思、归纳感悟数学思想！ 创造美好的明天！寄语：思想指导方法，方法解决问题。BA公路a公路b5千米DCB1挑战自我：抽象成数学模型：在直线a上找两点C、D，且CD=5，使AB+AC+CD+BD（即围成的四边形）的最小值。挑战自我：若要将两奶站建在同一条公路旁，并且两奶站的距离为5千米，那么两奶站应建在何处，使得两居民小区A、B与两奶站所围成的四边形周长最小？BA公路a公路b5千米DB1B2C利用平移、对称：将两边和转化到一条直线上，用两点之间线段最短求最小值ABABCCC变式1：商场要修建从一楼到三楼的环形楼梯如图所示，怎样修建最节约材料？ABAB变式1：商场要修建从一楼到三楼的环形楼梯如图所示，怎样修建最节约材料？ABCDACCDDB课外探索：商场