典型混沌电路介绍和其综合分析

1、典型混沌电路介绍和其综合分析1混沌电路综述 一、电路中混沌现象发现与研究的历史 电路中的混沌现象早在20世纪20年代就被发现，前面曾经提到的范德坡的工作就涉及到电路中的混沌现象。实际上，范德坡所处的时代正是建立电路理论基础的时代，当时的科学家急需建立振幅稳定与频率稳定的振荡电路，从而产生稳定的电磁波。稳定振荡的数学模型是极限环，当时的理论基础还不能够完全满足工程技术的需要，必须由电子工程师一方面进行工程技术设计，一方面完善数学基础理论。极限环的数学基础理论是微分方程理论，而且还是非线性的微分方程理论，而非线性的微分方程很容易产生混沌，范德坡、李纳德等科学家就是在这样的情况进行研究的。 由于当时

2、混沌问题的研究历史不成熟，就把电路中出现的混沌现象认为是一种尚未认真研究的另一种现象，是一种需要消除的坏现象，起码是要暂时回避的现象，这就是当时科学家的态度。这个现象不仅在电子学领域中存在，而且在其它学科领域中也存在，例如数学学科中的庞加莱。从这里可以看出，电子学的发展历史与其它学科的发展历史是密切相关的，是互相推动与互相制约的，这也正是20世纪上半叶电子科学技术的大背景，是电子学从物理学的电磁学中独立出来并向信息科学发展的大背景。从这里还可以看出，电子学中的混沌现象研究与应用研究必定会蓬勃发展起来，这是历史的必然。 再回过头来看频率稳定性问题的研究。由于历史时代要求频率的稳定，它与当时的其它

3、技术的共同发展，处于主流地位，使得线性电子技术以巨大的势头形成人类社会的重要产业，并将人类文明推向信息化历史时代。相对说来，非线性电子学在相当长的时期内处于缓慢发展的时期。“十年不鸣，一鸣惊人”，1983年蔡少棠提出的蔡氏混沌电路震惊了电子学界，许多电子工作者投入了精力予以研究。 1990年，混沌同步电路的研究再次把非线性电路研究推向一个高潮，这是因为它的重要意义特别是它极有可能用于保密通信与军事目的受到重视。神经网络电路、分形编码、混沌测量电路等为非线性电路大家庭增加了许多新成员。到现在，人们提出了许许多多的混沌电路，各种混沌电路文献浩如烟海，几乎每年约数千篇的论文问世，技术上也不断出现新突

4、破。非线性电路目前处于稳定、健康、迅速发展的时期。二、电路系统动态特性分类 根据分类目的的不同，电路系统分类的形式也很不同。现在按照电路动态特性分类，它和电路状态方程的阶数有一定的关系。电路系统的变量是电压、电流、电荷、电磁链，控制变量是电路元件电阻、电容、电感等参数。从能量的角度看，电路系统中有的元件（包括分布参数）从电路系统中吸收能量，变成热能或辐射能等，有的元件从电路工作电源吸收能量，储存或消耗在电路系统中，电路系统与外界进行着能量的交换。从信息的角度看，电路系统与外界一般进行信息交换，输入信息与输出信息。从物质的角度看，电路系统与外界一般不进行物质交换。物理学中，与外界进行着物质、能量

5、交换的系统叫做开放系统; 与外界不进行物质、能量交换的系统叫做封闭系统; 与外界仅进行能量交换的系统叫做耗散系统，因此电路系统是耗散系统。 一般地说，电路系统更关心的是信息交换，因而对于能量交换的关心程度相对偏少，有时侯会忽略某些重要问题，应该引起注意。现在讨论电路系统能量交换中对于信息状态的影响，并以电路系统储能元件个数及有无信号输入进行讨论。 将不包含随时间变化的激励信号的电路叫做自治电路，将包含随时间变化的激励信号的电路叫做非自治电路。以下讨论中我们把激励信号分成“简单”的信号和“复杂”的信号，“简单”的信号如正弦波信号或者其它周期信号，“复杂”的信号如混沌信号。1、零阶电路无储能元件电

6、路，即纯电阻电路 纯电阻电路用代数方程描述，由于纯电阻电路是时不变元件，所满足的方程与时间无关，不需要列写微分方程，仅列写代数方程就够了，故纯电阻电路是零阶电路微分方程（非微分方程）。对于零阶电路微分方程，分为线性零阶电路微分方程与非线性零阶电路微分方程，还分为自治零阶电路微分方程与非自治零阶电路微分方程，两两构成四种零阶电路微分方程。 零阶电路微分方程不存在电路运动问题，但是存在电路求解问题，这些问题研究成熟，方法有叠加原理、代文宁定理、诺顿定理、电压源电流源等效变换方法等。自治零阶电路不会产生新的动态特性。 2、一阶微分电路仅含有一个储能元件的电路电路仅有零输入响应与零状态响应问题，是研究

7、现代电子电路的起步电路，一般电路分析教科书中都有详细的讨论。 3、二阶微分电路含有二个储能元件的电路对于自治线性二阶微分电路，动态特性为衰减振荡或增幅振荡，不稳定。对于自治非线性二阶微分电路，电路可以产生极限环，属于稳定振荡电路。对于非自治非线性二阶微分电路，能够产生混沌，如杜芬方程电路，圆周映射也属于这种情况，并且导致符号动力学的研究。对于自治非线性二阶微分电路，不能够产生混沌。 4、三阶微分电路含有三个储能元件的电路 三阶非线性微分电路已经复杂化，能够产生混沌。例如蔡氏电路、洛伦茨方程电路等，这还是自治电路的情况。对于非自治电路，还能产生超混沌与亚超混沌。 5、三阶以上微分电路运动特性更复

8、杂,可能出现多级超混沌现象。将以上各种情况整理于下表。 表4-1 电路方程的阶、自治与非自治、线性与非线性的形态零阶自治电路一阶自治电路零阶非自治电路二阶自治电路一阶非自治电路三阶自治电路二阶非自治电路三阶及三阶以上自治与非自治电路线性非线性线性非线性线性非线性线性非线性线性非线性平衡点周期极限环拟周期极限环混沌亚超混沌超混沌噪声由上表可以看出1、若电路的阶数相同，则n阶非自治电路与n+1阶自治电路形态相同。2、尽管非线性的n阶非自治电路及n+1阶自治电路与线性的n+1阶非自治电路及n+2阶自治电路有许多相似之处，但是线性电路永远不能产生混沌。三、混沌电路的定义 目前混沌电路的定义有多种形式，

9、这里采用系统的初始激发已经衰减到零时的稳态响应的频率特性来定义。稳态响应的频率特性粗分有下列4种： 1、噪声响应：系统输出为噪声，连续频谱输出。 2、静态响应：在状态相空间，所有轨道趋于一个平衡点。 3、同频周期响应、非同频周期响应与准周期响应：系统输出与输入信号相同频率的周期波形，即o=i; 系统输出与输入信号正整数倍频率的周期波形，o=ni，n为正整数; 系统输出与输入信号真分数倍频率的周期波形，即o=pi,p为真分数; 系统输出与输入信号基频不可约分的周期分量波形。 4、混沌电路：与以上电路都不同的输出，定义如下：一个由确定性运动方程所描述的确定性电路，由直流或确定性输入信号所激励，其输

10、出波形中包含一段或多段连续频谱，那么称此电路为混沌电路。四、几种混沌电路之间的关系 1、混沌电路动态特性的共同点 任何混沌电路的相图都落在某一个奇异吸引子之中，前面几节 讨论的几个吸引子是在三维相空间中运动。相图具有以下几个特点： （1）一个相图中的相轨线只有一根，无头无尾，（平衡点是不动点，应该认为是无穷时间，并且实际上绝对的不动点是不存在的。表示运动无休止，永不重复，永不相交。 （2）庞加莱截面图是分形图，有精细结构，无限复杂，具有自相似性。 （3）奇异吸引子有不稳定的平衡点、吸引盆、吸引域、分形面。其中我们感兴趣的是，经常是一个不稳定焦点，如洛斯勒吸引子; 两个不稳定焦点，如蔡氏电路、杜

11、芬方程电路、洛伦茨方程电路的吸引子等; 少数是多个不稳定焦点。2、几个混沌电路的分组、比较与相互关系（1）从线性LRC串联电路与LRC谐振电路演变而来的非线性电路。 线性LRC串联电路与线性LRC谐振电路满足的微分方程分别是 范德坡方程是 杜芬方程是对照线性LRC串联电路与范德坡方程，范德坡方程是将线性LRC串联电路一阶导数的正系数2改为（x2-1）,使得当x1时为衰减振荡，当x0，g30 由图4-12（j）建立电路状态方程比较方便 4-1 4-2 4-3 将3-22代入，将4-2代入，拟将4-4式改写成无量纲的数学方程，作如下变换 4-4 得到下面的范德坡方程 4-5 4-6 消取x2，容易

12、将上式改写成 4-7 范德坡发现，当值变大时，振荡波形变成方波，范德坡称之为张弛振荡，它对于某些强迫频率特别敏感，可以不需共振而锁定在强迫频率上，从而能够产生混沌。范德坡方程具有很有趣的结果，特别是受迫范德坡方程 使得人们去做更深一步的研究。范德坡方程有一个变形形式 与人的心脏跳动的波形接近，可以作为心脏搏动的模型，心电图由P、Q、R、S和T五个波段组成，心跳是一种张弛振荡，心律不齐是包括健康人在内的常见状态，严重心律不齐则是心脏疾病，用数学方法或者电路方法模拟心律不齐并分析其规律性涉及生命科学技术问题，具有实际应用价值。历史上的范德坡就对于此问题特感兴趣，他发表了重要文章心脏搏动是张弛振荡及

13、一个心脏的电模型，含有清晰的用混沌学观点研究生命科学的思想方法。二、范德坡方程定性讨论 对于范德坡方程，它的积分曲线可以使用三种标准方法求得，一是严格意义下的纯数学分析方法，找出其运动形态; 二是数值计算方法做出其积分曲线; 三是凭经验使用对比的方法求出它的运动规律，下面先使用对比的方法求出它的运动形态。对比方程是线性RLC串联谐振电路方程对应于普通电路中，R总是正值，构成阻尼因子，使电流输出有三种形式：阻尼振荡、欠阻尼振荡与过阻尼振荡，三种情况都是衰减振荡，都是一次微分项系数（1/RC）0。对照范德坡方程，当0，若|x|1，表示振荡振幅比较大，则，与式3-28描述的电路形态相同，电路系统呈现

14、正电阻特性，LC电路系统消耗能量为衰减振荡; 反之，若|x|1，则，电路系统呈现负电阻特性，LC电路系统增加能量为增幅振荡。因此可以猜测到，电路输出等幅振荡，这是通常LC振荡电路系统研究方法所讲述的内容。等幅振荡的相图图形是一个封闭的环形，数学上称为极限环，动力学中称为吸引子，是稳定的周期运动，无混沌。当1，呈现负电阻特性，电路系统发散; 若|x|0，显示出清晰的极限环。 (a) =-0.02 (b) =-0.01 (c) =0(d) =0.1 (e) =0.5 (f) =1(g) =2 (h) =3图4-14 范德坡方程极限环图4-15 MATLAB的范德坡波形与极限环运行结果4普通混沌电路

15、 一、研究普通混沌电路的背景与意义 前面讨论过的各种各样的混沌电路以及所依据的非线性方程，由于历史的原因或者其它原因，从电子电路设计的角度来看，总是带有“特殊性”的“手工工艺品”，使得这些非线性电路设计不很流畅。现代电子电路发展很快，可以提供的电路设计手段很多，另一方面，非线性方程也很多。因而，用电子电路设计非线性动力系统是很容易的，稍微使用一些电路技巧就可以设计出很多很灵活的非线性电路系统。 电子电路的内容既丰富又灵活，像一座大舞台，电子学工作者们在这里创造了一个又一个电子电路的奇迹。如果说前面几节讲述的著名非线性电路是著名科学家在特定领域内创造的奇迹，那么，本节叙述的就是广大的电子工作者各

16、显神通壮阔场面。二、非线性电路组成单元 一个非线性电路是由几个基本单元电路组成的，这些基本单元电路多数是线性基本单元电路，而非线性基本单元电路很少，一般是一个。线性基本单元电路有的仅是一个单一线性电路元件，如电阻器、点容器、电感器等，有的是一个线性单元电路，如工作在线性放大区的反向比例放大器、反向加法器、减法器、同向放大器、反向微分器、反向积分器等，如图4-16所示。 (a)反向比例放大器 (b)反向加法器 (c)减法器 (d) 同向放大器 (e) 反向微分器 (f) 反向积分器图4-16 非线性电路设计常用的线性单元电路经常用到的非线性单元电路有：限幅运算放大器、乘法器、绝对值器、正向电压传

17、送器、反向电压传送器、运算符号器、正向阶跃信号器等。这些非线性单元电路有的是一个单一电子元件，如二极管; 有的是不太复杂的基本电路，如表4-3所示。表中的改进电路主要是对于基本电路的阻抗的改进。表4-3 常用的非线性单元电路 当前的电子电路系统与其它学科相比，能够产生更多的非线性动态系统，这是因为电子电路系统内容很多，设计灵活，价格低廉，以上所述的非线性单元电路仅仅是其中的一部分，就呈现出很多的类型了，这也是电子电路系统成为非线性学科中比较活跃的一个领域的主要原因。下面举例介绍几个能够产生非线性特性的电子电路系统。三、一种由运算放大器为主要元件构成的混沌电路 运算放大器自身的限幅特性是典型的非线性特性，使得非线性或分段线性器件无须特意构造，简化了电路设计。一个具体的运算放大器混沌电路如图4-17所示，它是由反相加法器、反相积分器、比例放大器等线性运算单元构成的一个三阶非线性自治电路。 图4-17 一种以运算放大器为主构成的混沌电路 图4-18 运算放大器限幅特性曲线 是标准的