概率论2.2离散型随机变量

1、2.1 随机变量的概念第二章 随机变量2.2 离散型随机变量2.3 连续型随机变量2.4 随机变量函数的分布1. 离散型随机变量的定义：若随机变量X 只取有限个或可列个可能值，而且取这些可能值的概率确定，则称X为离散型随机变量。研究离散型随机变量的概率分布也就是研究随机变量的可能取值及与所取值对应的概率的关系.2. 离散型随机变量的概率分布2.2 离散型随机变量 这样，我们就掌握了X 这个取值的概率分布。例1：从盒中任取3 球， 记 X 为取到白球数，则 X 是一随机变量。求X 这个取值的概率分布X 可能取的值为: 0, 1, 2。取各值的概率为且解：三红二红一白一红两白 定义1 ：设离散型随

2、机变量 X 所有可能取的值为 且有则称p1 , p2, 为离散型随机变量 X 的概率分布或概率分布律，也称概率函数。其中 p1 , p2, 满足概率分布也可用下面表格的形式给出：2.2.1 离散型随机变量概率分布的定义X的概率分布表 一般常用花括号，不过，有时也用园括号。用这两条性质判断一个数列是否是概率分布。解：依据概率分布的性质欲使上述数列为概率分布，应有 例2：设随机变量 X 的概率分布为确定常数 a 。又因二段学过幂级数的展开式,从中解得例3：某篮球运动员投中篮圈概率是0.9，求其两次独立投篮后，投中次数 X 的概率分布。X 可取的值为 ： P(X=0) = P(X=1) = P(X=

3、2) =0.10.1 = 0.01，20.90.1 = 0.18 ,0.90.9 = 0.81 .二不中一中一不中二中解：0, 1, 2，设Ai=第i次中篮i=1,2.易见： P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = 1 .X的概率分布表P27例2.2.1 如图所示，电子线路中装有两个并联继电器，假设这两个继电器是否接通具有随机性,且彼此独立。已知各继电器接通的概率为0.8,记X为线路中接通的继电器的个数。求 (1). X 的概率分布；(2). 线路接通的概率。解：(1). 记 Ai=第 i 个继电器接通, i =1, 2.因两个继电器是否接通是相互独立的,所以A1和A2相互独立，

4、且 P(A1)=P(A2)= 0.8 .下面求 X 的概率分布:P两个继电器都没接通首先，X 可能取的值为: 0, 1, 2 .PX=0 =PX=1=P恰有一个继电器接通=PX=2 =P两个继电器都接通X的分布律为P27例2.2.1 续：如图所示,电子线路中装有两个并联继电器。设这两个继电器是否接通具有随机性,且彼此独立。已知各电器接通的概率为0.8,记X为线路中接通的继电器的个数。求 (2). 线路接通的概率。(2). 因线路是并联电路，所以 P线路接通 = = PX1= PX=1+PX=2= 0.32+0.64= 0.96.X的概率分布律P只要一个继电器接通2.2.2 常见离散型随机变量的

5、概率分布1. 两点分布设 E 是一个只有两种可能结果的随机试验, 用= 1, 2 表示其样本空间，此试验称为贝努里试验( Bernoulli)。 P1 = p , P2 = 1-p ， 0 p 1.则称X服从参数p的两点分布, 记成 XB(1, p)。p1-pP10“”读成“服从” 。贝努里试验XB(1, p)解：P28例 2.2.2: 200 件产品中,有196件正品,4件次品,今从中随机地取一件,若规定 试给出X的概率分布。XB(1, 0.98)。p1-pP10则称X服从参数p的两点分布, 记成 XB(1, p)。“”读成“服从” 。2. 贝努里概型与二项分布类P29例2.2.3：某射手每

6、次命中10环的概率为p,现独立射击了n次,(1)求在n次射击中,前k次命中10环,后n-k次未命中10环的概率,(2)这n次射击中恰好有k次命中10环的概率.类P29例2.2.3续：某射手每次命中10环的概率为p,现独立射击了n次,(1)求在n次射击中,前k次命中10环,后n-k次未命中10环的概率,(2)这n次射击中恰好有k次命中10环的概率.这n次试验中事件A恰好发生k次的概率为:以上例题这类的随机试验称为n重Bernoulli 试验的特点:1n个独立的重复子试验构成。2每个子试验都只有两个可能结果3在每个子试验中都是 n重贝努里试验n重贝努里试验所研究的基本问题: 在这n次试验中A恰好发

7、生k次的概率是多少?回答： 贝努里定理 设一次试验中事件A发生的概率为p (0p1), 则n重贝努里试验中，（贝努里公式）.类P29例2.2.3：某射手每次命中10环的概率为p,现独立射击了n次,求这n次射击中恰好有k次命中10环的概率.n重贝努里试验的例子： 2.向目标独立地射击9次，每次击中目标的概率为0.75，3.将一骰子掷10次,求10次中有1次出现6点的概率4.设生男孩的概率为0.51,生女孩的概率为0.49，现随机抽查出生的6个婴儿,求其中恰有3个男孩的概率求9次全没击中目标的概率(A为出现6点).(A为男孩).1. 已知一堆产品的废品率为0.05,现在从中重复抽取20个,求其中有

8、4个废品的概率(A为抽到废品)(A为击中目标).这n次试验中事件A恰好发生k次的概率为:（贝努里公式）.例7:电灯泡使用寿命在1000小时以上的概率为0.2,求3个灯泡在使用1000小时后,最多只有1个坏了的概率。解1：解2：例：某射手每次射击时命中10环的概率为 p, 现进行 4 次独立射击，用X 表示 4 次射击后, 命中10环的次数, 求X 的概率分布。用“”表示未中，“”表示命中。则X 的概率分布为中0次中1次中2次中3次中4次解：X的可能取值为0，1，2，3，4（贝努里公式）贝努里定理： 设一次试验中事件A发生的概率为p (0p0 是常数， 则称 X 服从参数为的泊松分布, 记作 X

9、 P() 。易见解:P32例2.2.6: 某城市每天发生火灾的次数 X 服从参数为0.8的泊松分布。求该城市一天内发生 3 次以上火灾的概率。= 1- (0.80/0!)+(0.81/1!)+(0.82/2!) e-0.8(e=2.71828)1-PX0 是常数， 则称 X 服从参数为的泊松分布, 记作 X P() 。解: (1). PX=3 = (2). P2X5 = PX=2 + PX=3 + PX=4 + PX=5 = (32/2!) + (33/3!) + (34/4!) + (35/5!) e-3 0.7169.p(3; 3) =(33/3!)e-3 0.2240；可计算出e-3 0

10、.049787 泊松分布的图形 设随机变量 X 所有可能取的值为: 0, 1, 2, 概率分布为：其中0 是常数， 则称 X 服从参数为的泊松分布, 记作 X P() 。 历史上，泊松分布是作为二项分布的近似，于1837年由法国数学家泊松引入的 。二项分布与泊松分布的关系 定理1(泊松定理): 对二项分布 B(n,p), 当 n充分大, p又很小时,对任意固定的非负整数 k，有近似公式 由泊松定理，n重贝努里试验中稀有事件出现的次数近似地服从泊松分布。 我们把在每次试验中出现概率很小的事件称作稀有事件。如：地震、火山爆发、特大洪水、意外事故等。P31例2.2.5:某出租汽车公司共有出租车400

11、辆，设每天每辆出租车出现故障的概率为0.02,求:一天内没有出租车出现故障的概率。解: 将观察一辆车一天内是否出现故障看成一次试验 E。因为每辆车是否出现故障与其它车无关, 于是, 观察400辆出租车是否出现故障就是做 400 次贝努利试验。设 X 表示一天内出现故障的出租车数, 则 X B(400, 0.02)。由泊松定理，有泊松分布是作为二项分布的近似令 = np = P一天内没有出租车出现故障= PX=0 = b(0;400,0.02)= 4000.02 = 8 ，于是, e-8 =0.000335464显然有 n=400很大, p=0.02很小=0.0003093360.0003355

12、.解 由 XP(1.5) 及概率的可加性，得 P32例2.2.7 某床单厂生产的床单，每条床单上含有疵点的个数 X 服从参数=1.5的泊松分布。质检部门规定：床单上无疵点或只有一个疵点的为一等品，有 24 个疵点的为二等品, 5 个或 5 个以上疵点的为次品。试求床单厂生产的床单为一、二等品和次品的概率。 P床单为一等品= P X 1 =PX= 0 + PX=1=e-1.5 (1.50/0!) + (1.51/1!)=0.559 ,P床单为二等品= P2 X 4 =PX= 2 + PX=3 + P X = 4 = e-1.5 (1.52/2!) + (1.53/3!) + (1.54/4!)

13、= 0.424 , P床单为次品= 1- 0.558 - 0.424= 0.018.1 - P 床单为一等品 - P 床单为二等品 它有两个可能的结果: A = 正品 和 = 次品 。P33例2.2.8 某公司生产的一种产品，根据历史生产纪录知，产品的次品率为 0.01，问该种产品 300 件中次品数大于 5 的概率是多少?解对 n = 300，p = 0.01，有 = np = 3 。应用泊松定理, 有查附表1(P211)，知 P X 5 把检验每件产品看作一次试验，检验 300 件产品相当于做 300 次伯努利试验。用 X 表示检验出的次品数，则 XB(300, 0.01)，0.08391

14、8P X 5 0.083917942.若X是一个随机变量(可以是离散型的，也可以是连续型的),对任何实数x, 令1. 定义：则称F(x)为随机变量X的分布函数.2. X的区间概率与X的分布函数的关系对任意的 证明:对任意的x1x2 2.2.3 、随机变量的分布函数 3.分布函数的性质至多具有可列个间断点，且在这些间断点上右连续。 是x的单调不减函数。 单调不减。 F(x)是x的单调不减函数。证：证：这里只作一些解释，严格的证明对我们来说是超范围的。说明： 对我们只能来理解：F(x0)x0F(x)在间断点x0上右连续的意思是:当x从比x0大的方向向x0无限逼近时,通俗的说,在比x0大的一边,F(x)到F(x0)这一段曲线是一条连续的“绳子”!F(x)以F(x0)为极限,当x从比x0小的方向向x0无限逼近时,通俗的说,在比x0小的一边,F(x)到F(x0)这一段”路”可能有F(x)可能没有极限间断(壕沟).例1 一批产品的废品率为5%,从中任意抽取一个进行检验,用随机变量来描述废品出现情况,并求其分布函数.解：设随机变量 表示废品出现的个数。xxx01类似地可以得到:B(1,p)分布的分布函数：p1-pP10X例1 一批产品的废品率为5%,从中任意抽取一个进行检验,用随机变量来描述废品出现情况,并求其分布函数.