不等式的证明（四）

1、PAGE 第六章不等式第九课时6.3.4不等式的证明（四）教学目标（一）教学知识点分析法证明不等式.（二）能力训练要求1理解分析法证明不等式的原理和思路.2理解分析法的实质执果索因，熟练掌握分析法证明不等式.（三）德育渗透目标分析法证明不等式意在提高学生的数学素质，培养学生的创新意识，加强学生分析问题和解决问题的逻辑思维及推理能力，进一步使学生认识到事物间是有联系的，增强瓣证唯物主义观念.教学重点分析法证明不等式，就是“执果索因”，从所证的不等式出发，不断用充分条件代替前面的不等式，直至使不等式成立的条件已具备，就断定原不等式成立.当证题不知从何入手时，有时可以运用分析法而获得解决，特别对于条

2、件简单而结论复杂的题目往往是行之有效的.用分析法论证“若A则B”这个命题的模式是：欲证命题B为真，只需证明命题B1为真，从而又只需证明命题B2为真，从而又只需证明命题A为真，今已知A真，故B必真.简写为：BB1B2BnA.教学难点1理解分析法的本质是从结论分析出使结论成立的“充分”条件.2正确使用连接有关（分析推理）步骤的关键词.如“为了证明”“只需证明”“即”以及“假定成立”等.教学方法指导自学法.即通过教师必要的引导，学生自己动手、动脑获取知识，并指导学生总结、归纳、分析证明不等式的方法思路，使学生在转化“矛盾”中，增强化归、转化意识，树立化归、转化思想，提高化归、转化能力.“执果索因”，

3、去探索证明不等式的途径.教具准备幻灯片一张记作6. 3. 4A用分析法证明不等式：（1）设x，yR，且x22xy2y22，求证：|xy|.（2）设a，b，x，yR，且a2b21，x2y21，试证：|axby|1.（3）a0，b0，且ab1，求证：.教学过程课题导入师随着我们对不等式证明学习的逐步深入，我们还会遇到这样的问题：面对一个不等式的证明而一筹莫展，无计可施，由题设不易“切入”展开推理.在此情况下，我们可以尝试从目标不等式“倒推”分析，往往在“倒推”的过程中，逐渐发现解题思路，从而达到证明不等式的目的.今天，我们根据这种基本思路，继续探讨学习证明不等式的又一种重要方法分析法.讲授新课（简

4、述：“分析法”证明不等式的基本思想）师证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件.把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题.如果能够肯定这些充分条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立.这种证明方法通常叫做分析法.（关于“分析法”证明不等式.其基本模式在后面“备课资料”中有较详细的说明）下面，我们探索分析用“分析法”证明不等式.例1求证：师显然，目标不等式中含有根式，我们尝试先平方、合并，后对其进行化简，逐步寻求不等式成立的充分条件，以达证题目的.（在教师指导下，请同学们书写证明过程）生和均为正数，为了证明只需证明展开得：即2125.2125成立，成立.即

5、师生共析证明某些含有根式的不等式时，用综合法比较困难.例如，在本例中，我们很难想到从“2125”入手.因此，在不等式的证明中，分析法占有重要的位置.我们常用分析法探索证明的途径，然后用综合法的形式写出证明过程，这是解决数学问题的一种重要思想方法.例2证明：当周长相等时，圆的面积比正方形的面积大.学生讨论设周长为L，则周长为L的圆的半径为，面积为；周长为L的正方形边长为，面积为.所以本题只需证明.生证明：设周长为L，依题意，圆的面积为，正方形的面积为.所以，本题只需证明，为了证明上式成立，只需证明.两边同乘以正数，得.因此，只需证明4，显然，上式“4”是成立的.故.这就证明了，如果周长相等，那么

6、圆的面积比正方形的面积大.师生共议同学们，我们想一想，本题是否可以用比较法证明呢？（通过师生共议，在教师启发诱导下，让学生尝试写出证明过程.）生证明：设周长为L，依题意，圆的面积为，正方形的面积为，则，L20，40，即.故证明了，如果周长相等，那么圆的面积比正方形的面积大.师生点评本题中比较与的大小，除了用分析法、比较法确定大小外，还可用作商法.这是因为，0，0，所以故.（打出幻灯片6. 3. 4A，让学生分三组，在教师指导下进行练习，目的在于激活学生思维，提高学生分析问题，解决问题，灵活应变的能力）师请甲组同学做（1）题，乙组同学做（2）题，丙组同学做（3）题.（学生板书证明过程）.（1）设

7、x，yR，且x22xy2y22，求证：xy.生甲证明：|xy| (xy)210(xy)25(x22xy2y2)0（2x3y）20这显然成立.故|xy|.（2）设a，b，x，yR，且a2b21，x2y21，试证：|axby|1.生乙证明：|axby|1（axby）21a2x22abxyb2y21a2x22abxyb2y2(a2b2)(x2y2)(bxay)20这显然成立.故|axby|1.生丙证明：(axby)2a2x22abxyb2y2a2x2a2y2b2x2b2y2(x2y2)(a2b2)1，|axby|1.（上述证明过程利用了重要不等式：a2b22ab）（3）a0，b0，且ab1，求证：.

8、生丁证明：成立.故.师生共析用分析法证明不等式的关键是寻求不等式成立的充分条件.因此，经常要对原不等式进行化简，常用的方法有：平方、合并、有理化、去分母等，但要注意所做的这些变形是否可以逆推，若不能逆推，则不可使用.课堂练习1求证：分析：仿照例1，尝试分析法证明不等式.证明：要证只需证，即13亦即，也就是4240.由于4240成立，故成立.2求证：（acbd）2(a2b2)(c2d2).分析：本题运用分析法，在证明过程中，每一步的“只需证”，应该是上一步“欲证”的充分条件，只有这样，才能保证整个证明过程正确.证明：要证（acbd）2（a2b2）（c2d2）.只需证a2c22abcdb2d2a2

9、c2a2d2b2c2b2d2，即证2abcda2d2b2c2，也就是证(adbc)20.由于（adbc）20成立，故（acbd）2(a2b2)(c2d2)成立.3求证：1.分析：不等式的运算结构复杂，由题设不易“切入”展开推理，尝试运用分析法.证法一：要证1，只需证a21a21a21，也就是证2a20且11.由于2a20，且11成立，故1成立.证法二：要证1，只需证，即.上式显然成立，所以.类似地，可以证明，故1成立.课时小结这节课，我们学习了“分析法”证明不等式.用“分析法”证明不等式时，其叙述方式很重要，必须突出分析法的语言“特色”，如：“欲证成立，只需证”或采用符号“”或“”.还要注意，

10、用“分析法”证明不等式的一大优点是，当我们面对一个不等式的证明而一筹莫展，无法下手时，它给我们提供了一个方法，即从目标不等式“倒推”分析，而往往在“倒推”的过程中，会逐渐发现解题思路.因此，分析法从本质上说，只是对问题作尝试与探索的过程（即执果索因）.在运用“分析法”时，典型的错误是把所证不等式当作已知条件，如证明命题“若A则B”，错误地写成：“因为B成立，则”.希望同学们很好地掌握.课后作业（一）课本P17习题6.3 4、5、9.（二）通读课本P1217，巩固理解证明不等式的最基本方法（比较法、综合法、分析法）的基本原理和证题思路.板书设计6. 3. 4不等式的证明（四）分析法证明不等式1基

11、本原理课堂练习课时小结2应用例题 课后作业备课资料一、参考例题例1已知a，b，c均为正数，求证：.分析：从所证的不等式来看，形式比较复杂，目标不等式中含有根式，直接论证比较困难，不妨用分析法从探索结论成立的充分条件入手.证明：a，b，c均为正数，abc0.欲证，只要证，只要证3(a2b2c2) a2b2c22ab2bc2ca，即证(ab)2(bc)2(ca)20，上述不等式显然恒成立，故原不等式成立.评述：带有根式、分式或有条件的不等式证明，常用分析法证明，提醒注意分析法证明叙述过程（1）语言式：“要证，只需证，即证”；（2）箭头式：“”或“”.分析法的本质在于探索结论成立的原因，采用分析法证

12、明不等式时，要注意有意识地发现能足以说明结论成立的关键不等式.例2已知函数f(x)，若，且x1x2，求证：分析：这是一个综合性较强的问题，我们可以采用分析法与综合法并用的解题策略，也可以单用综合法.证法一：（分析法与综合法并用），又，欲证，只需证.因为所以因此只需证，即证且x1x2，x1x2（）且x1x20.成立.故原不等式成立.证法二：（用综合法），且x1x2，且x1x20，且从而有.由此得：，即评述：运用分析法与综合法联合解题时，要特别注意“分析”那部分的叙述，千万不能与综合法混为一谈.也就是说要注意分析环节与综合环节的区分，另一方面，要习惯运用分析探求解题途径，再用综合完成命题的论证.例

13、3若，求证：分析：此题可先尝试运用比较法，但会发现困难较大，因此采用分析法证明目标不等式.证明：，欲证成立，只需证成立.y0，所以只需证：，即证1y21，即y20.y0，y20成立.故若，则有评述：本例的证明中首先利用题设中x，y的关系将证明的问题转化为证明，不等式的两边全是关于y的代数式较易证明，转化的依据是不等式的传递性，可是这时只是的充分条件而不是充要条件，这也是使用分析法证题时应注意的问题，其倒推过程中的每一步是上一步的充分条件即可.二、参考练习题1选择题（1）若为整数，且，那么下列四个结论中正确的个数是（）A1B2C3D4答案：A（2）设x1和x2是方程x2px40的两个不相等的实数

14、根，则（）A|x1|2且 |x2|2Bx1x2|4C|x1x2|4D|x1|4且|x2|1答案：B（3）若x0，y0，且成立，则a的最小值是（）ABC2D答案：B（4）已知a0，b0，则下列各式中成立的是（）ABCD答案：A（5）设a0，b0，且abab1，则有（）ABCD答案：A2用分析法证明：3（1a2a4）（1aa2）2.证明：要证3（1a2a4）（1aa2）2，只需证3(1a2)2a2 (1aa2)2，即证3(1a2a)(1a2a) (1aa2)2.1aa2，只需证3(1a2a) 1aa2，展开得24a2a20，即2(1a)20成立.故3(1a2a4) (1aa2)2成立.3用分析法证

15、明：证明：当abcd0时，成立.当abcd0时，欲证，只需证，展开得a2b22abcdc2d2(a2c2)(b2d2)，即a2b22abcdc2d2a2b2a2d2b2c2c2d2，即2abcda2d2b2c2.只需证a2d2b2c22abcd0，即（adbc）20.因为（adbc）20成立.所以当abcd0时，abcd成立.综合可知，abcd成立.4用分析法证明下列不等式：（1）求证：；（2）求证：.证明：（1）欲证，只需证，展开得，即只需证，即4这显然成立，故成立.（2）欲证：，只需证，即证，展开得，即.只需证，即证x25x4x25x6，即46这显然成立.故成立.5若a，b0，2cab，求

16、证：（1）c2ab；（2）.证明：（1），abc2.（2）欲证，只需证.即|ac|，即a22acc2c2ab.只需证a(ab)2ac.a0，只要证ab2c（已知），故原不等式成立.6已知关于x的实系数二次方程x2axb0，有两个实数根，证明：（1）如果，那么b且b4；（2）如果b且b4，那么.证明：依题设及一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）得：.则有：（1）（2）等价于证明且或或三、证明不等式的基本方法分析法分析法是从被证不等式出发，分析使这个不等式成立的条件，把证明这个不等式转化为判定这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么可以判定原不等式成立.对于某些不等式（如含有根式、分式或两端较为复杂），有时由题设条件很难展开推理，这时可考虑运用分析法.用分析法证题时，要注意其语言“特色”.如