2、一阶微分方程的解法

1、一阶微分方程的解法 第二节 第八章 一、可分离变量微分方程 二、齐次微风方程 三、一阶线性微分方程 四、伯努利方程* （了解） 一、可分离变量微分方程 定义：形如 第八章 或的方程称为可分离变量方程。 特点：变量x及dx与变量y及dy能分离在方程两端。分离变量方程的解法:再两边积分, 得 当G(y)与F(x) 可微且 G (y) g(y) 0 时, 的隐函数 y (x) 是的解. 则有称为方程的隐式通解.同样, 当 F (x) = f (x)0 时,由确定的隐函数 x(y) 也是的解. 设左右两端的原函数分别为 G(y), F(x), 说明由确定先分离变量： 例1. 求微分方程的通解.解: 分

2、离变量得两边积分得即( C 为任意常数 )或说明: 在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可能增、减解.( 此式在分离变量时丢失的解 y = 0 )例2. 解初值问题解: 分离变量得两边积分得即由初始条件得 C = 1,( C 为任意常数 )故所求特解为例3. 求下述微分方程的通解:解: 令 则故有即解得( C 为任意常数 )所求通解:二、齐次方程形如的方程叫做齐次方程 .令代入原方程得两边积分, 得积分后再用代替 u,便得原方程的通解.解法:分离变量: 定义：特点：右端能化为以 为内函数的复合函数。例4. 解微分方程解:代入原方程得分离变量两边积分得故原方程的通解为( 当 C = 0 时,

3、 y = 0 也是方程的解)( C 为任意常数 )此处三、一阶线性微分方程定义：形如称为一阶线性微分方程。特点：变量 及y 都是“一次”的。上方程称为一阶线性齐次方程.上方程称为一阶线性非齐次方程.例如线性的;非线性的.齐次方程的通解为1. 线性齐次方程(使用分离变量法)一阶线性微分方程的解法 例5、若连续函数f(x)满足关系式讨论: 设y=f(x)是解, 则积分非齐方程通解形式2. 线性非齐次方程常数变易法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.设解为积分得非齐方程通解一阶线性非齐次微分方程的通解为:对应齐次方程通解非齐次方程特解对应齐次方程通解与非齐次方程特解之和。解例6、 如图所示，

4、平行于 轴的动直线被曲 线 与 截下的线段PQ之长数值上等于阴影部分的面积, 求曲线 .两边求导得解解此微分方程例7、所求曲线为*四、伯努利 ( Bernoulli )方程 伯努利方程的标准形式:伯努利 方程为线性微分方程. 方程为非线性微分方程.解法: 经过变量代换化为线性微分方程.令求出此方程通解后,除方程两边 , 得换回原变量即得伯努利方程的通解.解法:(线性方程)伯努利 例8. 求方程的通解.解: 令则方程变形为其通解为将代入, 得原方程通解: ( 雅各布第一 伯努利 ) 书中给出的伯努利数在很多地方有用, 伯努利(1654 1705)瑞士数学家, 位数学家. 标和极坐标下的曲率半径公式, 1695年 版了他的巨著猜度术,上的一件大事, 而伯努利定理则是大数定律的最早形式. 年提出了著名的伯努利方程, 他家祖孙三代