数字信号处理：dsp14 相关分析（续）

1、数字信号处理8.相关分析（续） 8/11/20221马尽文8.3循环相关和普通相关A.循环相关与普通相关 一、有限离散傅氏变换的循环相关 设 ， 都是长度为 的实离散信号 其与有限离散频谱的关系为8/11/20222马尽文8.3循环相关和普通相关 为了便于讨论，我们按上式将 ， ， ， 都扩充为以 为周期的函数。 首先讨论 所对应的有限离散信号是什么。根据 的表 达式，有8/11/20223马尽文 由于 对变量 而言是以N为周期的，因此上式可写 为 因此， 所对应的有限离散信号是 。 现在考虑 所对应的有限离散信号 ，按照循环褶积定理1，有8.3循环相关和普通相关8/11/20224马尽文 由

2、于 是以N为周期的，所以 ，则 我们称 为 和 的循环相关，用循环褶积来表示为 循环相关的圆形示意图见下页。8.3循环相关和普通相关8/11/20225马尽文8.3循环相关和普通相关8/11/20226马尽文 二、循环相关与普通相关的关系 设离散信号 和 分别为 与 的普通互相关函数 为 设 ， 是 ， 的以N为周期的周期信号，即8.3循环相关和普通相关8/11/20227马尽文 与 的循环相关为 假定 ，则有 在 时，若 ，则 ，由 因此， 因此得到 ， 即8.3循环相关和普通相关8/11/20228马尽文 循环相关定理：设 ， 是长度分别为 和 的离散信号 ， 和 的相关函数为 。 ， 是

3、 ， 的以N为周期的 周期信号， 与 的循环相关为 ，则当 时， 。 注意：当 时，可用循环相关来计算相关函数 。 当 时，由于 也可由循环相关来计算。B.利用FFT计算相关函数 一、利用FFT计算互相关函数8.3循环相关和普通相关8/11/20229马尽文 设 ， 是长度分别为 和 的离散信号， 与 的互相关 函数为 。现在我们要计算 计算的步骤如下： 1）选择 ，N要满足 ，即 ； 2）构造 ， 的以N为周期的周期信号 ， ； 3）利用FFT分别计算 和 的有限离散频谱 和 （ ）； 4）计算 ；8.3循环相关和普通相关8/11/202210马尽文 5）利用FFT，对 作反变换得 ，则 二

4、、利用FFT计算自相关函数 设 是长度为 的离散信号， 的自相关函数为 ，则 在上式的和号中，当 时 ，因此8.3循环相关和普通相关8/11/202211马尽文 又由于 ，因此，为了计算自相关函数 ， 只要计算 就行了。这样，取 ， ， ，就转上情况 1）选择 ，N要满足 ，即 ； 2）构造 的以N为周期的周期信号 ； 3）利用FFT计算 的有限离散谱 ； 4）计算 ； 5）利用FFT，对 作反变换得 ，则8.3循环相关和普通相关8/11/202212马尽文 三、利用FFT计算互相关函数的分段求和法 在 长度为 ， 长度为 ，求 的条件下，取 。当 很大时， 也很大。当计算 机内存比较小时，或

5、者当关于FFT的硬件设备已确定时 ，对于很大的 ，做FFT就困难。这时，可以采用分 段求和法。 设 ，信号 的长度 为8.3循环相关和普通相关8/11/202213马尽文 取 ，取长为N的信号 当 时， 与 的互相关函数为 所以这时有8.3循环相关和普通相关8/11/202214马尽文 即 根据 ， 的定义和循环相关定理知，当 时 循环相关 和普通相关 是相等的。因此得 根据上述思想并利用FFT计算的步骤如下： 1）利用FFT计算长度为N的信号 ， 的有限离散频 谱 ， ， ， 2）计算 ；8.3循环相关和普通相关8/11/202215马尽文 3）计算 ； 4）利用FFT，计算 的反变换得 ，

6、 ，其中 当 时， 就是我们所要求的 。 最后指出：当 时，上述方法就是信号长度比较大时 的自相关函数计算方法。8.3循环相关和普通相关8/11/202216马尽文8.4多道相关 在实际问题中，我们经常要遇到一组信号，这一组信号 是由多道信号组成的。如果这多道信号产生的原因相同 那么它们的波形彼此间就应该相似。现在提出一个问题:多道信号作为一个整体，如何来衡量它们的相似性? M道信号 ， ， 相似是相对于一个标准信号 ，则A.问题的提出8/11/202217马尽文8.4多道相关8/11/202218马尽文8.4多道相关 的大小取决于 的选取，同相关性定义一样，我们可 以找出使 达到最小的 ，然

7、后再依此引入相关性度量.B.多道信号相似性的误差能量 选取 使 达到最小值的条件为： 下面来求解 。根据 的表达式得：8/11/202219马尽文8.4多道相关 因此， 这时，我们求算术平均标准信号 的误差能量 : 其中8/11/202220马尽文8.4多道相关 所以或者8/11/202221马尽文8.4多道相关 与M道信号总能量之比为C.衡量多道信号相似性的几个标准 一、能量比标准 称为M道信号的相对误差能量。8/11/202222马尽文8.4多道相关 二、叠加标准 三、未标准化相关系数实际上， 与叠加信号 的能量以及M道信号的总能量有密切的关系8/11/202223马尽文8.4多道相关 由

8、于 即 上式对n求和 所以8/11/202224马尽文8.4多道相关 四、标准化相关系数D.关于衡量多道相关的各种标准的相互关系及变化范围 一、各种标准的相互关系8/11/202225马尽文8.4多道相关 因此 二、各种标准的变化范围 1）能量比标准 的变化范围 2）叠加能量标准 的变化范围 3）标准化相关系数 的变化范围 （叠加振幅标准 ）8/11/202226马尽文8.4多道相关 4）未标准化相关系数 的变化范围E.关于对多道信号预先进行规格化问题 未标准化相关系数 标准化相关系数 当信号 ， ， 与 应该是完全相似的 ，即 与 的标准化相关系数 。 对于多道信号， 也应该是完全相似的，但8/11/202227马尽文8.4多道相关 在一般情况下 ，仅当 时，才有 为此，可对于 进行归一化处理: 当 时